溫柔數學史
閱讀心得
書名: 溫柔物學史
作者:
比爾．柏林霍夫, 佛南度．辜維亞 譯者: 洪萬生,英家銘暨 HPM 團隊
班級: 1 年 9 班 座號: 10
姓名: 周柏融
前言 :
現在的生活中無時無刻都充滿著數學，不管是時鐘上淺顯易懂的六十進 位制，複雜到計算機裡的邏輯程式，基本上數學已滲透進周遭的任何事物 中，但今日的數學成就是好幾個世紀以來數學家一直不斷研究發展來的結 果。這本[溫柔數學史]描寫了從古埃及到今日的數學發展，也描寫了許多著 名公式怎麼被找出來的，我也才知道有的公式甚至要花上幾百年不同的論 證出來才有今天發達的數學。在國小階段上的其實都只是基礎四則運算，
而國中學的是更深入接觸多方位的數學，像是座標、函數、方程式或圖形，
現在才明白來這些東西在以前不同的時代都有不同寫法，而且還有很長一 段悠悠的歷史才有今天的樣貌:
(1)數學的數碼
光是數字的數碼就有各種形形色色的符號，寫寫看才發現現在的阿拉伯數 字是如此的簡單明瞭和便於計算，例如巴比倫以楔形文字和六十進位制來 表 現， 數字1到59用這兩個基本符號表示，
表示一 表示十
十二可以這樣表現:
因為是六十進位制，所以六十二就長以下那樣: 左邊那一組乘上六十再加上右邊那一組的值為總和 如果是3662就要以下這樣寫:
最左邊乘上 602 +中間乘以六十+最右邊的數等於總和 可是當空格不清不楚，可能就會誤解。像以下這樣畫
這樣可以是72，但也可以認為是空兩格，變成3672。
接著像埃及使用象形文字來表示數碼、馬雅文明則以點和短線來表示，重
點是馬雅文明有零的概念，空一格時會畫一個記號表示那一位空著，這樣 一來就不會有巴比倫在六十進位時空白的模稜兩可的問題、羅馬則以字母 來表示一 十 百 千的倍數，但超過一千就得利用特殊的記號來標示了。不 過這些表現法都有個很大的缺點，如果數字很大的話就很難表示了，可能
會需要很多符號來表現，這就是為什麼要用簡潔的阿拉伯數字了。
(2)四則運算符號
處處可見的加減乘除符號，也是經過了數個世紀和不同的數學家的演變 及改良才有今天的樣貌，用算術符號來表示式子會相對簡單明瞭許多，但 是早在一千多年前的古希臘並沒有使用任何符號來表示運算式子，而是利 用文字來表達，一直到中世紀以前人們只用文字來寫運算式子。在這本書 中列出從文藝復興到現在曾有的寫法:
在1470的德國，雷喬．蒙塔努斯曾把加號寫成et (這個字在拉丁文中表 示和)然後等號寫成 —
在1494有一本書《算術、幾何及比例性質之摘要》裡帕奇歐里把加號寫 成 減號寫成 這樣的記號反而在歐洲普及起來
在1557年我們熟悉的+ - =號終於出現了，雷科德的代數課本《礪智 石》中，同時也是他引入=當成等號，他說: 再也沒有任何事物會比兩段相 同長度的平行線更為相等。不過他的記號都加長了，所以看起來會像這樣
但是它的記號沒有在當時流行起來，歐洲仍用 和 來表示加減號在1631 年的英國，奧特雷德出了一本書《數學之鑰》，在當時具有高度影響力。
他用+ - =號，才有今日運算符號的樣子。
但是笛卡兒卻在1637年用一個相當奇怪的符號表示等號 ，結果它的詭 異符號很快就傳遍了歐洲。
終於在1700年，許多有影響力的學者把今日所用的符號傳開來，我們現在 的簡單式子寫法終於出現了，就跟今日相同。
(3) 零
零不是正數，不是奇偶數，也不是負數，那零到底存不存在，或者說零 可以是一個數嗎?
這本書裡面寫道:其實零一開始只是佔據位子而已，是來區分巴比倫六十 進位制的。
後來印度人有個很重要的概念，將零認為成一個數目，那是敲開代數 學大門的重要認知。零當成符號和概念傳到西方世界主要是靠著九世紀的 阿拉伯學者阿爾．花剌子模寫的書傳播出來的，他的書使得歐洲開始使用 十進位制，並了解零，雖然仍花了很久的時間把零視為一個數目的概念建 立起來。
不過那時有些數學家還是無法接受零可當成方程式的一解，十七世紀早 期，有位地理學家哈里奧特提出一個相當簡單卻很有威力的方法:將方程式
的所有現都移至等號的一邊，則方程式會像這樣:[某方程式]=0。有人稱之 為哈里奧特定理，這個原理是方程式論很大的一個進步。而原理之中還隱 藏著一個東西:如果數目乘積為零，則他們之中至少有一必須為零，就像
x2−8x+12=0 ,分解成(x-2)(x-6)=0
現在兩數乘積為零，所以其中一數必須等於零。這個東西刻劃了整域這個 特別重要的系統，可見零真的很特別也非常重要。
(4) 負數
小學剛接觸負數時，都很難理解為什麼會有這樣的東西，非常抽象，但 有好像理所當然，一直在想也無解，只好接受它，就像很多數學的概念一 樣沒有原因，定義就是那樣，現在讀這本書，才發現幾百年前的人也感同 身受，而且是直到十九世紀才真正被接受呢!
原來早在三千多年前，希臘人是徹底忽略負數，完全不認為是一種數，
並認為是荒謬的。到了七世紀，印度人將正數是為資產，負數則是負債，
並提出負數的加減乘除，不過他們還是對付樹保留懷疑，但比完全不認可 好許多了。
後來人們雖然開始重視負數，也明白負負得正，負正得負，但這些的前 提還是答案必須為正的題目。
事實上，在十七世紀接受負數的數學家，竟然認為負數大於無限，他們 認為3/0這種比值是無限大，於是，當分母變成負數，會比無限大更大，
這種很抽象的想法也令我難以想像，既然已是無限大，大於無限不就無意 義了?其實每個數學家都知道如何處理負數的運算，他們的問題就跟那時的 我很像，是在於對負數的概念。
後來到了十九世紀，代數方程的研究逐漸轉變為代數系統的研究，這樣 一來就更為抽象，所以數目的實際意義變得沒那麼重要了，於是對負數的 懷疑就這樣消失了，而我就努力去接受負數就好了，不要想太多。
(5)解一次方程式 線性思考
在國中，一次方程式總是簡單又討喜，但是在幾千年前沒有運算符號 的時候，算法可就有別於今日了，甚至很有趣。像是在藍德紙草書中，使 用的方法為試位法，例如:一未知數，它的五分之一加上它後等於12。現 在這種題目只要列出
x+1/5x=12
出來大致上就有答案了，不過那時根 本就沒有代數的概念，於是先假設此未知數為五(設五這樣一來就可整除)將五代進去後，得到的是5+1=6，但我們要的是十二，但是只要同乘以 二就可得到正確答案，將假設的五乘以二，於是答案為10。在整個古典時 期，一直都用是為法來解決此類的線性方程式的問題，但是若問題不是簡 單的Ax=B，而是Ax+c=B，那將x縮放的話就會破壞了式子，於是取而 代之的，一種另類有趣的方法被發明出來—雙設法，因為它不須用到代數，
所以直到十九世紀還存在教科書裡，其中有一個來自於十九世紀的《校長 好幫手》的書就有寫到解法。
假設問題如下:
將123顆糖分給甲、乙、丙、丁四個小孩，假設甲拿到x顆糖則乙拿 的比甲多3塊，丙比乙多拿7顆，而丁是丙的兩倍，那麼每一個人可以拿 到多少顆糖?
依現在的代數形式來表現就像這樣
x+(x+3)+(x+10)+2(x+10)=123
。在《校長好幫手》裡中不用代 數的解法是這樣的:先隨便猜測一個數字，就和試位法很像，假使甲拿了9 顆，那麼乙拿到了12顆，丙拿到了19顆，丁拿到了38顆，這些數量加 總為78，少了45 顆。再繼續假設，這一次甲拿到了13顆，那麼乙拿到了16顆，丙拿到了 23顆，丁拿到了46 顆，總共為98顆，還是少了25顆。
神奇的來了，如圖， 列出兩個猜測與誤差的數字，將他們
交叉相乘:9x25得到225，13x45得到585，再將它們相減，
585-
225=360
，將360除以兩個誤差間的差，在此為20，甲的正確所得即為360/20=18。
這樣的解法通常會疑惑為什麼行的通，我剛讀完就覺得很新奇，同時也 想不出來為何如此形的通，所以用圖像來思考會明瞭許多，將
x+
(x+3)+(x+10)+2(x+10)=123
化簡為5x+33=123
，然後在座標平面上把它想像成一條5x+33=y的斜直線，我們要知道的是當 y=123時x是多少，所以用猜測的值得直線上的兩點(9,78)和(13,98)，
這兩點都在5x+33=y這條線上，所以現在我們只需用斜率來判斷答案。
於是可以列出
然後交叉相乘，得:
25(x-9)=45(x-13)
化簡得:20x=360 則x=18
這樣的結果就和剛才計算過程一模一樣，原來雙設法是用線性方程式座標
之間的斜率來推導出來的。
線性的本質就是輸入質的變化與輸出值的變化成比例，而我們用來處理線 性問題時，與試位法的根本都來自於相同的基礎洞察力。
結語
現代人實在難以想像。事實上，據估計今日所學的數學，有95%是在1990 年後產生的。
書本封面寫的古埃及到超級電腦，就覺得很有趣，給我一種讀下這本書 的動力，因為我想了解人類到底如何把數學發展到今天這一步，其中又是 經歷了什麼挫折和發現，裡面也有寫今日的數學比以前任何時代更多樣也 更統一，可以在生活中各種領域廣泛運用同，但同時也更為抽象，雖然難 以理解，但是是現代繁榮與科技不可或缺的一部分。
這本書以全新的一種觀點來認識數學，以歷史來詮釋數學，讓我看
見數學溫柔的一面，還有跟平常認識的數學不同的地方在於一般數學就只 講計算、定義或解法，在這裡是將公式由以前到現在慢慢地演變推導出來 的，並說明背後的故事，像是二次方程式的公式解的由來以及畢氏定理長 久下來的發現與各種證法，這樣一來數學不是只有數字和圖形了，更有了 背後的意義，雖然依我現在國中畢業的程度來讀這本書是相當吃力的，或 者說大部分都不太了解，而且報告也寫的沒什麼深度，但我盡量把我看懂 得舉例出來，希望能符合老師們的要求。
