1
ﺔﯾدﻮﻌﺴﻟا ﺔﯿﺑﺮﻌﻟا ﺔﻜﻠﻤﻤﻟا
ﻲﻟﺎﻌﻟا ﻢﯿﻠﻌﺘﻟا ةرازو
ﺰﯾﺰﻌﻟا ﺪﺒﻋ ﻚﻠﻤﻟا ﺔﻌﻣﺎﺟ
تﺎﻨﺒﻠﻟ مﻮﻠﻌﻟا ﺔﯿﻠﻛ
يدﺪﻌﻟا ﻞﯿﻠﺤﺘﻟا ﻲﻓ ﻊﯿﺿاﻮﻣ
تﺎﯿﺿﺎﯾﺮﻟا ﻢﺴﻗ
MATH 423
يرود 1
ﻦﯿﻨﺛﻻا 19 - 11 - 1432
ﻝﻭﻷﺍ ﻝﺍﺆﺴﻟﺍ :
ﺔﺑﺎﺟﻹا جذﻮﻤﻧ ﻲﻓ ﺔﺤﯿﺤﺼﻟا ﺔﺑﺎﺟﻹا ﻞﯿﻠﻈﺘﺑ ﺔﯿﻟﺎﺘﻟا ﺔﻠﺌﺳﻷا ﻦﻋ ﻲﺒﯿﺟأ :
1 . ﺰﺸﺒﯿﻟ طﺮﺷ ﻖﻘﺤﺘﯾ (Lipschitz Condition )
ﺔﻟاﺪﻠﻟ y t y t f( , ) ﻲﻓ
ﺮ ﯿﻐﺘﻤﻟا ﺔ ﻋﻮﻤﺠﻤﻟا ﻰ ﻠﻋ y
( , ):0 1 , 3 4
t y t y
D
ﺖﺑﺎﺜﻟﺎﺑ يوﺎﺴﯾ يﺬﻟا L
:
) أ ( 0
) ب ( 1
) ج ( 2
) د 4 (
2 . ﺔﻋﻮﻤﺠﻣ ﻦﻋ لﻮﻘﻧ R2
D ﺔ ﺑﺪﺤﻣ ﺎ ﮭﻧأ (Convex Set)
دﺪ ﻌﻠﻟ ﺔ ﻤﯿﻗ ﻞ ﻜﻟ
1 0
ﻞ ﺟأ ﻦ ﻣو ﻦﯿ ﺘﻄﻘﻧ ﻞ ﻛ
) , ( , ) ,
(t1 y1 t2 y2 ﻦ ﻣ
D ﺖ ﻧﺎﻛ اذإ
ﻲﻓ ﺎﻀﯾأ ﺔﻌﻗاو ﺔﻄﻘﻧ كﺎﻨھ ﻲھ ﺎﮭﺗﺎﯿﺛاﺪﺣإ D
:
) أ
(1)t1 t2, (1)y1 y2
() ب
(1)t1 t2, (1)y1 y2
() ج
(1)t1 t2, (1)y1 y2
() د
(t1 t2, y1 y2
(3 . ﻟا ﺔﻟﺄﺴﻤﻟ نﻮﻜﯾ ﺔ ﯿﺋاﺪﺘﺑﻻا ﺔﻤﯿﻘ
f (t,y) , a t b , y(a) y
ﺔ ﻋﻮﻤﺠﻤﻟا ﻰ ﻠﻋ ﺔﻓﺮﻌﻤﻟا
t y a t b y
D ( , ): ,
ﻞ ﺣ
ﺖﻧﺎﻛ اذإ ﺪﯿﺣو :
) أ f ( و ﺔﻠﺼﺘﻣ ﺮﯿﻏ ﺔﺑﺪﺤﻣ ﺔﻋﻮﻤﺠﻣD
.
) ب f ( كﻮﻠﺴﻟا ةﺪﯿﺟ ﺔﻟﺄﺴﻤﻟاو ﺔﻠﺼﺘﻣ (well-posed)
ﻰﻠﻋ .D
) ج f ( ﻰﻠﻋ ﺰﺸﺒﯿﻟ طﺮﺷ ﻖﻘﺤﺗو ﺔﻠﺼﺘﻣ ﺮﯿﻐﺘﻤﻠﻟD
. y
) د f ( ﻰﻠﻋ ﺰﺸﺒﯿﻟ طﺮﺷ ﻖﻘﺤﺗو و ﺔﻠﺼﺘﻣ ﺮﯿﻐﺘﻤﻠﻟD
. t
ﺔﺒﻟﺎﻄﻟا ﻢﺳا :
ﻲﻌﻣﺎﺠﻟا ﻢﻗﺮﻟا :
2
4 . ﯾوأ ﺔﻐﯿﺻ ماﺪﺨﺘﺳا ﺪﻨﻋ ﺔﯿﻟﺎﺘﻟا ﺔﯿﺋاﺪﺘﺑﻻا ﺔﻤﯿﻘﻟا ﺔﻟﺄﺴﻣ ﻞﺤﻟ ﺮﻠ
5
. 0 ) 0 ( , 2 0
,
2 1
y t t y
y
ﺚﯿﺣ 10
طﻮﺒﻀﻤﻟا ﻞﺤﻟا ﺎﮭﻟ ﻲﺘﻟاو ،N et
t t
y( ) ( 1)2 0.5 نﺈﻓ
ﺔﻤﯿﻗ w2
ﺔﻤﯿﻘﻟ ﺐﯾﺮﻘﺗ ﻦﻋ ةرﺎﺒﻋ ﻲھ :
) أ ) ( 0 ( y
) ب ) ( 1 . 0 ( y
) ج ) ( 2 . 0 ( y
) د ) ( 4 . 0 ( y
5 . ﻊﻄﻘﻟا ﺄﻄﺧ (truncation error)
ﺔ ﯿﺋاﺪﺘﺑﻻا ﺔ ﻤﯿﻘﻟا ﺔﻟﺄ ﺴﻣ ﻞ ﺤﻟ ﺮﻠﯾوأ ﺔﻐﯿﺼﻟ
ﺔﻗﻼﻌﻟا ﻦﻣ ﻰﻄﻌﯾ ، :
) أ M ( h h
i1( ) 2
) ب M ( L h h
i1( ) 2
) ج M ( h h
i
) 2
1(
) د L (
M h h
i
2 1( )
6 . رﺎﯿﺘﺧﺎﺑ رﻮﻠﯾﺎﺗ ﺔﯾﺮﻈﻧ ماﺪﺨﺘﺳا ﻦﻋ ﺮﻠﯾوأ ﺔﻘﯾﺮط ﺞﺘﻨﺗ يوﺎﺴﺗ n
:
) أ 1 (
) ب ( 2
) ج ( 3
) د ( 4
7 . ﺔﯿﺋاﺪﺘﺑﻻا ﺔﻤﯿﻘﻟا ﺔﻟﺄﺴﻣ ﻲﻓ
0 ) 1 ( , 2 1
2 2 ,
y t e t y
y t t
طﻮﺒ ﻀﻤﻟا ﻞ ﺤﻟا ﺎ ﮭﻟ ﻲ ﺘﻟا )
( )
(t t2 e e
y t
ماﺪﺨﺘ ﺳا نﺈ ﻓ 1
. 0
ﺐﺒ ﺴﯾ h
بﺎﺴﺣ ﻲﻓ ﺔﻐﯿﺻ ﺄﻄﺧ w1
هراﺪﻘﻣ ﺔطﻮﺒﻀﻤﻟا ﺔﻤﯿﻘﻟا ﻦﻋ ﺮﻠﯾوأ ﺔﻘﯾﺮﻄﺑ :
) أ ( 074092 .
0
) ب ( 17325 .
0
) ج 271828 ( .
0
) د 34592 ( .
0
3
8 . ﻲﻟﺎﺘﻟا مﺎﻈﻨﻟا ﻞﺣ ﺪﻨﻋ
6 2
6 2
2
4
3 2
1
3 2 1
3 2 1
x x
x
x x x
x x x ﻰﻠﻋ ﻞﺼﺤﻧ :
) أ ( لﻮﻠﺤﻟا ﻦﻣ ﻲﺋﺎﮭﻧ ﻻ دﺪﻋ .
) ب 1 ( ,
2 ,
1 2 3
1 x x
x
) ج 4 ( ,
4 ,
2 2 3
1 x x
x
) د ( مﺎﻈﻨﻠﻟ ﻞﺣ ﺪﺟﻮﯾ ﻻ .
9 . ﺖﺠﺘﻧ اذإ A~
ﺔﻓﻮﻔﺼﻤﻟا ﻦﻋ A
ﺔﯿﻠﻤﻌﻟﺎﺑ
Ei Ej
Eijﺚﯿﺣ i نﺈﻓ :
) أ A ( A~ det det
) ب A ( A~ 1 det det
) ج A ( A~ det det
) د A ( A~ det det
10 . ﻲﻜﺴﻟﻮﺸﺗ ﺔﻘﯾﺮط ﻲﻓ (Choleski )
ﺔﻓﻮﻔﺼﻤﻟا ﻞﯿﻠﺤﺘﻟ ﻖﻘﺤﺘﯾ نأ طﺮﺘﺸﯾ A
:
) أ n ( i
lii 1 , 1,2,...,
) ب
n (
i
uii 1 , 1,2,...,
) ج n ( i
u
lii ii , 1,2,..., ) د n( i
u
lii ii , 1,2,...,
4
ﻲﻧﺎﺜﻟا لاﺆﺴﻟا :
) أ (
ﺔ ﯿﻟﺎﺘﻟا ﺔ ﯿﺋاﺪﺘﺑﻻا ﺔ ﻤﯿﻘﻟا ﺔﻟﺄ ﺴﻣ ﻞ ﺤﻟ ﺮ ﻠﯾوأ ﺔﻐﯿ ﺻ ماﺪﺨﺘ ﺳﺎﺑ
1 . 0 ,
1 ) 5 . 0 (
2 ,
y t y h
y
ﺎﻣﺪ ﻨﻋ ﻞ ﺤﻠﻟ ﺔ ﯿﺒﯾﺮﻘﺘﻟا ﺔ ﻤﯿﻘﻟا ﻲﺒ ﺴﺣا t
6 . 0
؟ t
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
__________________________________
) ب (
ﺞﻧور ﺔﻘﯾﺮط ماﺪﺨﺘﺳﺎﺑ -
ﺔ ﯿﺋاﺪﺘﺑﻻا ﺔ ﻤﯿﻘﻟا ﺔﻟﺄ ﺴﻣ ﻞ ﺤﻟ ﺔ ﻌﺑاﺮﻟا ﺔ ﺒﺗﺮﻟا ﻦ ﻣ ﺎﺘﻛ
ﺔﯿﻟﺎﺘﻟا 1
. 0 ,
1 ) 0 ( , 1 0
,
t y t y h
ﻲﺒﺴﺣا y w2
؟
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
5
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
_____________________________________________
__
) ج (
ﺔﻓﻮﻔﺼﻤﻟا ﻲﻠﻠﺣ
2 2
1
3 1 7
4 3 2
ﻦﯿﺜﻠﺜﻤﻟا ﺎﮭﯿﻠﻣﺎﻋ ﻰﻟإA
U L A
ﺔﻘﯾﺮﻄﺑ
ﻞﯿﺘﯿﻟود (Doolittle)
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
. ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
6
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
________________________________________________
) د ( نأ ضﺮﻔﺑ :
2 1 0
1 2
0 1
A
ﻢﯿﻗ ﻊﯿﻤﺟ يﺪﺟوأ
, ﺗ ﻲﺘﻟا ﺎﮭﻠﺟأ ﻦﻣ نﻮﻜ :
) أ ( ةﺮظﺎﻨﺘﻣ A
) ب ( ةذﺎﺷ A
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
______________________________________________
ﻦﻳﺭﺍﺪﻟﺍ ﰲ ﻖﻴﻓﻮﺘﻟﺎﺑ ﻦﻜﻟ ﰐﺍﻮﻋﺩ
ةدﺎﻤﻟا ةذﺎﺘﺳا
د . ﺎﺑ ىﺪھ حدﻮﻛ
