Bài giảng hàm số lượng giác - TOANMATH.com

  Trang 1 BÀI GIẢNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác

Góc I II III IV

sinx + + – –

cosx + – – +

tanx + – + –

cotx + – + –

2. Công thức lượng giác cơ bản

tan .cot  1 sin²cos²1 2

2

1 tan 1

 cos

   ² 1₂

1 cot

 sin

   3. Cung liên kết

Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau

 

cos  a cosa ^sin



^a



^sina _{sin cos}

2 a a

  

 

 

 

sin   a sina ^cos



^a



^{ cosa} _{cos sin}

2 a a

  

 

 

 

tan   a tana ^tan



^a



^{ tana} _{tan cot}

2 a a

  

 

 

 

cot   a cota ^cot



^a



 ^cota cot tan

2 a a

  

 

 

Góc hơn kém π

Góc hơn kém π 2

Cách nhớ:

cos đối sin bù phụ chéo tang và côtang hơn kém nhau pi

 

sin    sin sin cos

 2 

  

 

 

 

cos    cos cos sin

 2 

   

 

 

 

tan   tan tan cot

 2 

   

 

 

 

cot   cot cot tan

 2 

   

 

 

TOANMATH.com Trang 2 4. Công thức cộng cung

 

sin a b sin .cosa bcos .sina b ^cos



^{a b}



^{cos .cosa bsin .sina b}

 

^{tan tan}

tan 1 tan .tan

a b

a b a b

  

 ^cot

 

^{cot .cot 1}

cot cot

a b

a b  a b





5. Công thức nhân đôi, nhân ba và hạ bậc

Nhân đôi Hạ bậc sin 2 2sin .cos  sin₂ 1 cos 2

2

 ^ 

2 2

2 2

cos sin

cos 2^{ }2cos^  1 1 2sin 

2 1 cos 2

cos 2

 ^ 

2

2 tan tan 2

1 tan

 

 



2 1 cos 2 tan 1 cos 2

 



 

 cot2 1

cot 2

2cot

 



  cot² 1 cos 2

1 cos 2

 



 



Nhân ba Hạ bậc

sin 3 3sin4sin3 3 3sin sin 3

sin 4

 

 

cos34cos33cos cos3 3cos cos3

4

 

  

3 2

3 tan tan tan 3

1 3 tan

 

 

 

 6. Góc chia đôi

Đặt tan 2 t x

2

sin 2 1 x t

 t



2 2

cos 1 1 x t

t

 

 ²

tan 2 1 x t

 t



7. Công thức biến đổi tổng thành tích cos cos 2 cos cos

2 2

a b a b

a b   cos cos 2sin sin

2 2

a b a b

a b   

sin sin 2sin cos

2 2

a b a b

a b   sin sin 2 cos sin

2 2

a b a b

a b  

 

tan tan sin

cos .cos a b a b

a b

   _{tan tan} ^sin

 

cos .cos a b a b

a b

  

 

cot cot sin

sin .sin a b a b

a b

   _{cot cot} ^sin

 

sin .sin a b b a

a b

  

TOANMATH.com Trang 3 8. Công thức biến đổi tích thành tổng

   

cos .cos 1 cos cos

a b 2 a b  a b 

   

sin .sin 1 cos cos

a b 2 a b  a b 

   

sin .cos 1 sin sin

a b 2 a b  a b 

MỘT SỐ CÔNG THỨC THƯỜNG DÙNG

 ^{1 sin 2 x}



^sinxcosx



^{2;1 sin 2 x}



^sinxcosx



^2.



2 2

1 sin sin cos ;1 sin sin cos

2 2 2 2

x x x x

x   x  

        .

 1 cos 2 x2sin ;1 cos 2²x  x2cos²x.

 1 cos 2 cos² ;1 cos 2sin²

2 2

x x

x x

    .

 sin cos 2 sin 2 cos

4 4

x x x  x .

 sin cos 2 sin 2 cos

4 4

x_ x_{ }x_ _{ }x_ _

   

   .

 sin 3 cos 2cos 2sin

6 3

x_ x_{ }x_ _{ }x_ _

   

   .

 3 sin cos 2sin 2cos

6 3

x x x  x .

 ^{4 4} 1 ² 3 cos 4

sin cos 1 sin 2

2 4

x x  x  x.

 sin⁶ cos⁶ 1 3sin 2² 5 3cos 4

4 8

x x  x  x.

BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ GÓC ĐẶC BIỆT



0 30 45 60 90 120 135 150 180 360

0 6



4



3



2

 2

3

 3

4

 5

6

  2

sin 0 1 2

2 2

3

2 1 3

2

2 2

1

2 0 0

cos 1 3

2

2 2

1

2 0 1

2 2

 2 3

 2 1 1

TOANMATH.com Trang 4

tan 0 3

3 1 3 ||  3 1 3

 3 0 0

cot || 3 1 3

3 0 3

 3 1  3 || ||

Một điểm M thuộc đường tròn lượng giác sẽ có tọa độ M



^{cos ;sin }



HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Mục tiêu

1. Nêu rõ tính chất 4 hàm lượng giác cơ bản sin ,cos , tan ,cotx x x x.

2. Phân biệt được tập xác định, tập giá trị, tính tuần hoàn và đồ thị của các hàm lượng giác.

 Kiến thức

+ Tìm được tập xác định của hàm lượng giác.

+ Xác định được chu kì của các hàm lượng giác.

+ Vẽ được đồ thị của các hàm lượng giác.

+ Biết xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm lượng giác.

TOANMATH.com Trang 5 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Hàm số y = sinx Đồ thị hàm số ysinx

 Tập xác định D.

 Tập giá trị



^1,1



^{, tức là}

1 sinx 1, x

    .

 Hàm số ysinxlà hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

 Hàm số ysinx là hàm số tuần hoàn với chu kì T 2.

Hàm số y = cosx Đồ thị hàm số ycosx

 Tập xác định D.

 Tập giá trị



^1,1



^{, tức là}

1 cosx 1, x

    .

 Hàm số cosy x là hàm số

chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.

 Hàm số cosy x là hàm số tuần hoàn với chu kì T 2 .

Hàm số y = tanx Đồ thị hàm số ytanx

 Tập xác định

\ ,

D ^2k k  ^

 

  .

 Tập giá trị R.

 Hàm số tany x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

 Hàm số tany x là hàm số tuần hoàn với chu kì T  .

Hàm số y = cotx Đồ thị hàm số ycotx

 Tập xác định

 

\ ,

D k k  .

 Tập giá trị .

TOANMATH.com Trang 6

 Hàm số ycotx là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

 Hàm số coty x là hàm số tuần hoàn với chu kì T 

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Tập xác

định

Chu kì

Tính chẵn lẻ

  ²

sin

y ax b T

a

    

  ²

cos

y ax b T

a

    

 

tan

y ax b T

a

   

 

cot

y ax b T

a

   

sin y x

D

cos y  x

D

tan y  x

\ 2 D  ^ k^

 



cot

y x

 

\ D k

Hàm chẵn

Đồ thị nhận Oy làm trục đối cứng. Hàm số chẵn khi

   



^{x Df    x f xx D}

Hàm lẻ

Đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. Hàm số lẻ khi

   



^{x Df     x x Df x ytanx}

cot y x

sin y x

cos

y x

TOANMATH.com Trang 7 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm lượng giác Phương pháp giải

Tập xác định của các hàm phân thức, căn thức 1. Hàm số phân thức

 

 

^DKXD

 

⁰

y P x Q x

Q x   . 2. Hàm số chứa căn thức

^{y2nP x}

 

^{DKXD P x}

 

^0.

3. Hàm số chứa căn thức dưới mẫu số

 

   

2 ^DKXD 0

n

y P x Q x

 Q x   .

Tập xác định của một số hàm lượng giác cơ bản 1.^ysin_^{u x}

 

^_^{xác định u x}

 

xác định.

2.^ycos_^{u x}

 

^_ ^{xác địnhu x}

 

xác định.

3.^ytan_^{u x}

 

^_ ^{xác định}

 

^,

u x 2 k k 

    .

4. ^ycot_^{u x}

 

^_ ^{xác định u x}

 

^{k k, .}

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số 2 3 cos

y  x. Hướng dẫn giải

Vì 1 cos  x  1, x  nên 3 cosx 3, x

     2 3cosx 0, x

    .

Vậy tập xác định của hàm số là D. Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số

2

sin 1 y 4

x

 

   

Hướng dẫn giải Hàm số sin ₂1

y 4

x

 

    xác định

2 4 0

x   2

  x .

Vậy tập xác định của hàm số là ^D\

 

^{2 .}

Ví dụ mẫu

Ví dụ. Tìm tập xác định của hàm số ^{ycot 2018}



^x1



^.

Hướng dẫn giải

Hàm số ^{ycot 2018}



^x1



^{xác định  2018x1k  1,}

2018

x k k.

Vậy tập xác định của hàm số \ 1, 2018

D k  k 

 

  .

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Tập xác định của hàm số 1 sin 2

y x

 x là

A. ^D\

 

^{k . B. D }



^{1;1 \ 0}

  

^{. C. D. D. D\ 0}

 

^.

Câu 2: Tập xác định của hàm số 2coty xsin 3x là

A. \

D ^2 k^

 

 . B. ^D^\

 

^k . C. D. D. ^D^\



^k2



.

TOANMATH.com Trang 8 Câu 3: Tập xác định của hàm số ycos x là

A. ^D



^{0; 2}



^{. B. D}



^0;



^{. C. D. D. D\ 0}

 

^.

Câu 4: Tập xác định của hàm số cos 2sin 1 y x

 x

 là

A. \ 2

D ^6 k ^

 

 . B. \

D k2

 

 .

C. \

D ^6 k^

 

 . D. 5

\ 2 ; 2

6 6

D ^ k   k ^

 

 .

Câu 5: Tập xác định của hàm số cos 2cos 3 y x

 x

 là

A. \ 2

D ^ 3 k ^

 

 . B. \

D k2

 

 .

C. \ 2

D ^ 6 k ^

 

 . D. \ 2 ;5 2

6 6

D ^ k   k ^

 

 .

Câu 6: Tập xác định của hàm số cot sin 1 y x

 x

 là

A. \ 2

D ^2 k ^

 . B. \

D k2

 

 .

C. \ 2 ;

D ^2 k  k ^

 

 . D. \

2 2 D_{ } _k_

 

 

 .

Câu 7: Tập xác định của hàm số y2016 tan²⁰¹⁷2x là

A. \

D ^2 k^

 

 . B. \

D_{ }k2_

 

 

 . C. D. D. \

4 2 D  k

 

 .

Câu 8: Tập xác định của hàm số y3tanx2cotx x là

A. \

D ^2 k^

 

 . B. \ D k2

 

 ^. C. D. D. \

4 2 D  k

 

 .

Câu 9: Tập xác định của hàm số sinx tan 1 y x

 là

A. \

D ^4 k^

 

 . B. \

D k4

 

 .

C. \ ;

4 2

D ^ k  k^

 

 . D. \ 2

D ^4k ^

 

 .

Câu 10: Tập xác định của hàm số 2017 tan 2_{2 2} sin cos y x

 x

 là

A. \

D ^2 k^

 

 . B. \

D k2

 

 .

TOANMATH.com Trang 9 C. D. D. \

4 2 D  k

 

 .

Câu 11: Tập xác định của hàm số tan sin 1 y x

 x

 là

A. \ 2

D ^2k ^

 

 . B. \ D k2

 

 .

C. \

D ^2 k^

 

 . D. \

4 2 D  k

 

 .

Câu 12: Tập xác định của hàm số sin sin cos y x

x x

  là

A. \

D ^ 4 k^

 . B. \ D k4

 

 .

C. \ ;

4 2

D ^ k  k^

 

 . D. \ 2

D ^4k ^

 

 .

Câu 13: Tập xác định của hàm số y sin 2x1là

A. ^D\

 

^{k .} B. D.

C. \ ;

4 2

D ^ k  k^

 

 . D. \ 2

D ^2k ^

 

 .

Câu 14: Tập xác định của hàm số y 1 cos 2017 xlà A. ^D\

 

^{k .} B. D.

C. \ ;

4 2

D ^ k  k^

 

 . D. \ 2

D ^2k ^

 

 .

Câu 15: Tập xác định của hàm số 1 1 sin 2

y x

 là A. ^D\

 

^{k .} B. D.

C. \ ;

4 2

D ^ k  k^

 

 . D. \

D ^4k^

 

 .

Câu 16: Tập xác định của hàm số 1 2 cos 6

y x

 là

A. ^D\

 

^{k .} B. D.

C. \ ;

4 2

D ^ k  k^

 

 . D. \

D ^4k^

 

 .

Câu 17: Tập xác định của hàm số tan 15 14cos13 y x

 x

 là

A. ^D\

 

^{k .} B. D. C. \

D ^2 k^

 

 . D. \

D ^4k^

 

 .

TOANMATH.com Trang 10 Câu 18: Tập xác định của hàm số 2 sin

1 cos y x

x

 

 là

A. ^D\

 

^{k . B. D\}



^k2



^{. C. \}

D ^2k^

 

 . D. \

D_{ }k2_

 

 

 .

Câu 19: Để tìm tập xác định của hàm số tany xcosx, một học sinh giải theo các bước sau Bước 1. Điều kiện để hàm số có nghĩa là



^sincosx ⁰0

x

 . Bước 2.  ^x ₂ ^k



^{k m;}



x m

 



   

 

  .

Bước 3. Vậy tập xác định của hàm số đã cho là ^{\ ,}



^;



D ^2 k m ^ k m

 

  .

Bài giải của bạn đó đã đúng chưa? Nếu sai, thì sai bắt đầu từ bước nào?

A. Bài giải đúng. B. Sai từ bước 1. C. Sai từ bước 2. D. Sai từ bước 3.

Câu 20: Hàm số nào sau đây có tập xác định là ?

A. ysin x. B. ytan 2x. C. ycot 2x. D. y x sinx. Dạng 2: Tính chẵn – lẻ của hàm số lượng giác

Phương pháp giải

1. Hàm số ^{y f x}

 

với tập xác định Dgọi là hàm số chẵn nếu



^{    fx D}

 

^{ x f x}

 

^{x D.}

2. Hàm số ^{y f x}

 

với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu

   



^{    fx D  x f xx D.}

Chú ý:

+ Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

+ Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ ^O

 

^0;0 làm tâm đối xứng.

Ví dụ: Xét tính chẵn - lẻ của hàm số sin 2

y x. Hướng dẫn giải

Hàm số sin 2y xcó tập xác định D. Đặt ^{f x}

 

^{ y sin 2x.}

Ta có



^{    fx D}

 

^{ x sin 2x D}



^{ x}



^{ f x}

 

Suy ra hàm số sin 2y x là hàm số lẻ.

Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ

 

^0;0

O làm tâm đối xứng.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Xét tính chẵn - lẻ của hàm số ^{y f x}

 

^{tanxcot .x}

Hướng dẫn giải

Hàm số có nghĩa khi



^cossinx 0x⁰

  x 2 k x l

 



  

 

 ( với ,k l).

Tập xác định \ , | , D ^2k l  k l ^

 

  là tập đối xứng.

TOANMATH.com Trang 11 Do đó  x Dthì  x D.

Ta có ^f

 

^{ x tan}

 

^{ x cot}

 

^{  x tanxcotx }



^tanxcotx



^{ f x}

 

^.

Vậy ^{f x}

 

là hàm số lẻ. Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

Ví dụ 2. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số ysin x²4. Hướng dẫn giải

Hàm số có nghĩa khi ^x2      ^{4 0 x}



^{; 2] [2;}



^.

Tập xác định ^{D   }



^{; 2] [2;}



là tập đối xứng.

Do đó  x D thì x D

Ta có ^f

 

^{ x sin}

 

^{x 2 4 sin x2 4 f x}

 

^.

Vậy ^{f x}

 

là hàm số chẵn. Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.

Ví dụ 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số ysin²⁰¹⁸2xcos 2019x. Hướng dẫn giải

Tập xác định D là tập đối xứng.

Do đó  x Dthì  x D.

Ta có ^{f   }

 

^{x sin2018}



^2x



^{cos 2019}



^{ x}



^{sin20182xcos 2019x f x}

 

^.

Vậy ^{f x}

 

là hàm số chẵn. Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.

Ví dụ 4. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số

 

^{sin 5 2017 .}

y f x   x 2   Hướng dẫn giải

Tập xác định Dlà tập đối xứng.

Do đó  x Dthì  x D.

Ta có

 

^{sin 5 2017 sin 5 1008 sin 5 cos5 .}

2 2 2

f x  ^ x  ^ ^ x  ^ ^ x ^ x Lại có ^f

 

^{ x cos 5}



^{ x}



^{cos 5x f x}

 

^.

Vậy ^{f x}

 

là hàm số chẵn. Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.

Ví dụ 5. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số

 

^{sin 43}



⁹



^{cot 11}



^{2018 .}



y f x  x   x  Hướng dẫn giải

Ta có ^{y f x}

 

^{sin 43}



^x9



^{cot 11}



^x2018



^{ sin 43 xcot11x.}

Hàm số có nghĩa khi sin11 0 11 , 11

x  x k   x k k.

TOANMATH.com Trang 12 Tập xác định \ ,

11

D k k 

 

  là tập đối xứng.

Do đó  x Dthì  x D.

Lại có ^f

 

^{  x sin3}



^4x



^{cot 11}



^{ x}



^{sin 43 xcot11x}

^{  }



^{sin 43 xcot11x}



^{ f x}

 

^.

Vậy ^{f x}

 

là hàm số lẻ. Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ ^O

 

^0;0 làm tâm đối xứng.

Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: Hàm số sin .cosy x xlà

A. hàm số không lẻ. B. hàm số chẵn.

C. hàm số không chẵn. D. hàm số lẻ.

Câu 2: Hàm số ysinxtan 2xlà

A. hàm số lẻ. B. hàm số chẵn.

C. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ. D. hàm số không chẵn, không lẻ.

Câu 3: Hàm số siny xcosx là

A. hàm số lẻ. B. hàm số chẵn.

C. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ. D. hàm số không chẵn, không lẻ.

Câu 4: Hàm số y2xsin 3x là

A. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ. B. hàm số không chẵn, không lẻ.

C. hàm số chẵn. D. hàm số lẻ.

Câu 5: Hàm số y 1 2x²cos3x là

A. hàm số lẻ. B. hàm số chẵn.

C. hàm số không chẵn, không lẻ. D. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ.

Câu 6: Hàm số nào là hàm số lẻ trong các hàm số sau?

A. y sinx. B. cot cos y x

 x. C. ysin²x. D. tan

sin y x

 x. Câu 7: Hàm số y xcos 2x là

A. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ. B. hàm số không chẵn, không lẻ.

C. hàm số chẵn. D. hàm số lẻ.

Câu 8: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. Hàm số ysin .cos 3x x là hàm số lẻ.

B. Hàm số ycosx 2 sinx là hàm số chẵn.

C. Hàm số ^{y3 cot}



^2xcosx



là hàm số lẻ.

D. Cả 3 mệnh đề trên đều sai.

TOANMATH.com Trang 13 Câu 9: Hàm số 2sin 4 tan

5 cos

x x

y x

 

 là

A. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ. B. hàm số chẵn.

C. hàm số lẻ. D. hàm số không chẵn, không lẻ.

Câu 10: Xét hai mệnh đề

(I) Hàm số ytanxcosxlà hàm số lẻ.

(II) Hàm số ytanxsinx là hàm số lẻ.

Mệnh đề nào sai?

A. Chỉ (I) sai. B. Chỉ (II) sai. C. Cả 2 sai. D. Không có mệnh đề sai.

Câu 11: Hàm số ysin cosx ²xtanx là

A. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ. B. hàm số chẵn.

C. hàm số không chẵn, không lẻ. D. hàm số lẻ.

Câu 12. Hàm số y x ²tan 2xcotx là

A. hàm số không chẵn – lẻ. B. hàm số chẵn.

C. hàm số không lẻ. D. hàm số lẻ.

Câu 13. Hàm số 2 sin cos 5 2 y  x  2  x là

A. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ. B. hàm số không chẵn, không lẻ.

C. hàm số chẵn. D. hàm số lẻ.

Câu 14. Cho hàm số ^{f x}

 

^{sin 2x và g x}

 

^tan2x. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. ^{f x}

 

là hàm số chẵn, ^{g x}

 

là hàm số lẻ. B. ^{f x}

 

là hàm số lẻ, ^{g x}

 

là hàm số chẵn.

C. ^{f x}

 

là hàm số chẵn, ^{g x}

 

là hàm số chẵn. D. ^{f x}

 

^{và g x}

 

đều là hàm số lẻ.

Câu 15. Hàm số sin 2₃ cos 2

x x

y x là

A. hàm số lẻ. B. hàm số chẵn.

C. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ. D. hàm số không chẵn, không lẻ.

Câu 16. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

A. y 1 sin²x. B. y cot .sinx ²x. C. y x ²tan 2xcotx. D. y 1 cotxtanx. Câu 17. Hàm số tany x2cos3x là

A. hàm số lẻ. B. hàm số chẵn.

C. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ. D. hàm số không chẵn, không lẻ.

Câu 18. Hàm số 1 cos sin 3 3 y  x  2  xlà

A. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ. B. hàm số chẵn.

TOANMATH.com Trang 14 C. hàm số không chẵn, không lẻ. D. hàm số lẻ.

Câu 19. Cho hai hàm số

 

^{cos 2}₂

1 sin 3 f x x

 x

 và

 

^{sin 2 cos3}₂

2 tan

x x

g x x

 

 .

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ^{f x}

 

^{lẻ và g x}

 

^{chẵn. B. f x}

 

^{và g x}

 

^chẵn.

C. ^{f x}

 

^{chẵn và g x}

 

^{lẻ. D. f x}

 

^{và g x}

 

^lẻ.

Câu 20. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

A. ⁴ cos

y x_{  }x_3_

 

 . B. ²⁰¹⁷ cos

y x_{  }x_2_

 

 . C. y2015 cos xsin²⁰¹⁸x. D. ytan²⁰¹⁷xsin²⁰¹⁸x. Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Phương pháp giải

Sử dụng một số bất đẳng thức sau 1. Bất đẳng thức lượng giác

1 sin ;cosx x 1, x

    .

sin ,

A B A x B A B x

       .

cos ,

A B A x B A B x

       .

2. Bất đẳng thức về điều kiện có nghiệm hàm số bậc nhất.

2 2 sin cos 2 2,

A B A x B x A B x 

        .

3. Bất đẳng thức Bunhiacopxki.

2 2. 2 2

ax by  a b x y .

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi ay bx . 4. Sử dụng phương pháp đồ thị lượng giác.

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốy3cosx2trên đoạn ;

2 2

 

 

 . Hướng dẫn giải

Xét hàm số 3cosy x2 trên đoạn ; 2 2

 

 

 .

Khi ;

x   2 2 thì 0 cos x1. Suy ra 2 3cos x    2 5 2 y 5. Vậyminy2 khi

x_{ }2

;maxy5 khi x0.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ysin⁶xcos⁶x. Hướng dẫn giải

Ta có ^{6 6} 3 ²

sin cos 1 sin 2 y x x 4 x. Do 0 sin 2 ² x1 nên 3 3 ² 3

.0 sin 2

4 4 x 4

    

3 2 3 1

1 1 sin 2 1 1

4 x 4 y 4

       .

Vậy 1 ²

min khi sin 2 1 cos 2 0 ,

4 4 2

y_ x_{ } x_{   }x  k k_.

TOANMATH.com Trang 15 max 1 khi sin 22 0 sin 2 0 ,

2

y_ x_{ } x_{  }x k k_ . Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

tan2 tan 2020

y x x trên đoạn ; 4 4

 

 

 . Hướng dẫn giải

Ta có

2

2 1 8079

tan tan 2020 tan

2 4

y x x  x   .

Hàm số tanxđồng biến và xác định trên khoảng ; 2 2

 

 

 

Mà ; ;

4 4 2 2

   

    

 

    nên hàm số tanxđồng biến và xác định trên ; 4 4

 

 

 . Do đó tan tan tan 1 tan 1

4 x 4 x

 

      

 

 

1 1 1 3 1 1 1 2 9

1 tan 1 tan 0 tan

2 x 2 2 2 x 2 2  x 2 4

                 8079 1 2 8079 9 8079 8079

tan 2022

4  x 2 4 4 4 4 y

          .

Vậy min 8079khi tan 1 arctan1

4 2 2

y x  x ;

max 2022 khi tan 1 , y x     x 4 k k 

Chú ý: Hàm số tanx luôn đồng biến trên các khoảng xác định của nó.

Bài tập tự luyện dạng 3

Câu 1. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 7 2cos

y_{  }x_4_

 

  lần lượt là A. -2 và 7. B. -2 và 2. C. 5 và 9. D. 4 và 7.

Câu 2. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y4 sinx 3 1 lần lượt là

A. 2 và 2. B. 2 và 4. C. 4 2 và 8. D. 4 2 1 và 7.

Câu 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số ysin²x4sinx5là

A. -20. B. -8. C. 0. D. 9.

Câu 4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2sinx3là

A. maxy 5, miny1. B. maxy 5, miny2 5. C. maxy 5, miny2. D. maxy 5, miny3. Câu 5. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 ₂

1 2sin

y x

 là

TOANMATH.com Trang 16

A. 4

min , max 4

y 3 y . B. 4

min , max 3 y 3 y . C. min 4, max 2

y 3 y . D. min 1, max 4 y 2 y . Câu 6. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y2sin²xcos 2² x là

A. 3

max 4, min

y y 4. B. maxy3, miny2. C. maxy4, miny2. D. max 3, min 3

y y 4. Câu 7. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 3siny x4cosx1 là A. maxy6, miny 2. B. maxy4, miny 4.

C. maxy6, miny 4. D. maxy6, miny 1. Câu 8. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 4sin 6y x3cos 6x là A. miny 5, maxy5. B. miny 4, maxy4.

C. miny 3, maxy5. D. miny 6, maxy6. Câu 9. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sin 2y x trên ;

6 3

 

 

 lần lượt là A. 1

2và 3

2 . B. 3

2 và 3

 2 . C. 3 2 và 1

2. D. 1 2và 1

2. Câu 10. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y 3 tanx trên ;

3 4

 

 

  lần lượt là A. 3 và 3

 3 . B. 3 và 3

3 . C. 3 và -3. D. 3 và -1.

Câu 11. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y 4 3cosx trên 2 0; 3

 

 

 lần lượt là A. 1 và -1. B. 11 và 5. C. 3 và -3. D. 11

2 và 1.

Câu 12. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

^{sin 2}

y_ f x _{ } x_4_

 

 trên ; 4 4

 

 

 lần lượt là A. 1 và - 2 . B. 1 và 2

2 . C. 2

2 và -1. D. 2

2 và 2

 2 . Câu 13. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ysinx 2 sin ²x là

A. miny0, maxy3. B. miny0, maxy4. C. miny0, maxy6. D. miny0, maxy2. Câu 14. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số cos 2sin

2 sin

x x

y x

 

 lần lượt là

TOANMATH.com Trang 17 A. 2 19

3

  và 2 19 3

  . B. 3 và 3

3 . C. 3 và -3. D. 3 19

3

 

và 3 19 3

  .

Câu 15. Giá trị của m để bất phương trình



^{3sinx4cosx}



^{26sinx8cosx2m1 nghiệm đúng với}

mọi x là

A. m0. B. m0. C. m0. D. m1. Câu 16. Kết luận đúng về hàm số ^{ytan2xcot2x3 tan}



^xcotx



^1là

A. miny 5đạt được khi , x  4 k k .

B. Không tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

C. miny 2và maxy5.

D. Tồn tại giá trị lớn nhất nhưng không tồn tại giá trị nhỏ nhất.

Câu 17. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ycos⁴xsin⁴x trên lần lượt là A. 2 và 0. B. 1 và 1

2. C. 2 và 0. D. 2 và 1.

Câu 18 . Giá trị của m để bất phương trình 3sin 2 cos 2₂ sin 2 4cos 1 1

x x

x x m

  

  là

A. 3 5

m 4 . B. 3 5 9

m 4 . C. 3 5 9

m 2 . D. 3 5 9 m 4 . Câu 19. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số

2

2

cos sin .cos 1 sin

x x x

y x

 

 lần lượt là

A. 0 và 3. B. 2 và 4. C. 2

 3 và 6. D. 2 6 4

 và 2 6 4

 .

Câu 20. Cho cos²xcos² ycos²z1. Giá trị lớn nhất của y 1 cos ²x 1 cos ² y 1 cos ²z là

A. 3 3 . B. 2 3 . C. 4 3 . D. 3 .

Dạng 4. Tính tuần hoàn và chu kỳ hàm lượng giác Phương pháp giải

Một số vấn đề cần chú ý 1. Tính tuần hoàn của hàm số

Định nghĩa: Hàm số ^{y f x}

 

xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T 0 sao cho với mọi x0ta có

x T Dvà ^{f x T}



^



^{ f x}

 

^.

Ví dụ: Tìm chu kì của hàm số sin 2

3 4 y_{ } x_ _

 

 . Hướng dẫn giải Tập xác định D.

TOANMATH.com Trang 18 Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì

hàm số đó được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T.

2. Các hàm số

 

 

sin cos y m ax b y m ax b

  

  

 có chu kỳ 2

T a

  ;

biên độ m ;cực đại m ;cực tiểu - m, 3. Hàm số ^{f x}

 

^{asinux b cosvx c}

(với ,u v) là hàm số tuần hoàn với chu kì ^{T }

 

^{u v2,} ((u,v) là ƯCLN (u,v)).

4. Hàm số ^{f x}

 

^{a.tanux b cosvx c}

(với u v, ) hàm số tuần hoàn với chu kì

 

^2,

T u v

  ((u,v) là ƯCLN (u,v)).

Chu kì của hàm số 2 2 3 3

T     .

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Tìm chu kì cơ sở của hàm số y2sin 2x3cos3x. Hướng dẫn giải

Tập xác định D. Chu kì hàm số

 

^{2,32 2}

T     .

Ví dụ 2. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì của hàm số ^{f x}

 

^{cosxcos}

 

^{3x .}

Hướng dẫn giải

Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn. Suy ra tồn tại số thực dương T thỏa mãn ^{f x T}



^



^{ f x}

 

^cos



^{x T}



^cos_ ³



^{x T}



^_^{cosxcos}

 

^{3x .}

Chọn x0ta được ^{cosT cos}

 

^{3T   2 }_^coscos

 

^{T 3T1 1}



3 ² 2 ³ T n m

T m n

 

     (vô lí do ,m nnênm

n là số hữu tỉ).

Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn.

Bài tập tự luyện dạng 4 Câu 1. Chu kì của hàm số sin

3 6 y x  là

A. 1

2. B.

3

 . C. 2

3

 . D. 6.

TOANMATH.com Trang 19 Câu 2. Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?

A. ycos3x. B. y3cos3x. C. y 3cos 6x. D. y 3cos3x. Câu 3. Hàm số 2sin

2 3

y x  là hàm số tuần hoàn với chu kì

A. T 6. B. T 4. C. T 6. D. T 2 . Câu 4. Khẳng định nào sau đây sai về hàm số y 2 sinx?

A. Đồ thị hàm số không đi qua gốc tọa độ.

B. Đồ thị hàm số nằm ở phía trên trục hoành.

C. Giá trị cực đại của y là 2.

D. Giá trị cực tiểu của y là 1.

Câu 5. Nếu chu kì tuần hoàn của hàm số sin x

y a

  là 4 thì

A. a 2. B. a 4. C. a2. D. a 1. Câu 6. Hàm số ytanx²tuần hoàn với chu kì

A. T ². B. T   .

C. T  . D. Hàm số không có chu kì.

Câu 7. Khẳng định nào sau đây đúng với hàm số 2cos 2 y x?

A. Biên độ là 2, chu kì là . B. Biên độ là -2, chu kì là 180. C. Biên độ là 2, chu kì là 2 . D. Biên độ là 2, chu kì là 4 . Câu 8. Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?

A. ysin 2x. B. ysin 3x. C. ycos 2x. D. ycos3x. Câu 9. Chu kì của hàm số sau ysin 3x2cos 2x là

A. T₀ 2 . B. ₀ T _2

. C. T₀. D. ₀ T _4

. Câu 10. Với 0

x 2

  thì hàm số

 

^sin

3

f x  xcó giá trị cực đại là

TOANMATH.com Trang 20

A. 0. B. 1. C. 1

3. D. 1

2. Câu 11. Hàm số 3cos

y 4 mxtuần hoàn có chu kì T 3 khi

A. 3

m 2. B. m 1. C. 2

m 3. D. m 2. Câu 12. Xét đồ thị hàm số ysinxvới ^x



^{ , 2}



. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số có một cực đại tại x . B. Đồ thị hàm số có một cực tiểu tại x2 . C. Đồ thị hàm số có một cực tiểu tại 3

x_ 2 . D. Hàm số đồng biến trên



^{ , 2}



^.

Câu 13. Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?

A. ysin 2x. B. ycos 2x. C. cos 2

y x. D. cos3y x. Câu 14. Chu kì của hàm số ysin 2xsinx là

A. T 2. B. ₀ T _2

. C. T₀. D. ₀ T _4

. Câu 15. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A. Hàm số coty x đồng biến trên khoảng ;

 2

 

 

 . B. Hàm số siny x nghịch biến trên khoảng ;

 2

 

 

 . C. Hàm sốytanx đồng biến trên ;

2 2

  

 

  và ycotx nghịch biến trên khoảng ; 2 2

  

 

 . D. Hàm sốysinx và ycosx cùng đồng biến trên khoảng 0;

2

  

 

 . Câu 16. Chu kì của hàm số ytanxtan 3x là

A. T 2. B. T  . C.

T _4

. D.

T _2 . Câu 17. Khẳng định nào sau đây đúng về hàm số 2sin 2017

2

y ^x ^?

TOANMATH.com Trang 21 A. Chu kì 2 , biên độ 2. B. Chu kì 4 , biên độ 2.

C. Chu kì 2 , biên độ 1. D. Chu kì 4 , biên độ 1.

Câu 18. Chu kì của hàm số ysin 3x2017 cos 2x là A. T  . B.

T _2

. C. T 2. D.

T _4 .

Câu 19. Hình vẽ sau là đồ thị của hàm số ^ysin



^axb



^{. Biết a0} và b nhỏ nhất, giá trị của biểu thức P a b  là

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 20. Chu kì cơ sở (nếu có) của hàm số ysin x là A. hàm số không có chu kì cơ sở. B. ₀

T _2 . C. T₀ . D. ₀

T _4_.

TOANMATH.com Trang 22 ĐÁP ÁN

Dạng 1: Tìm tập xác định hàm số lượng giác

1 – D 2 – B 3 – B 4 – D 5 – C 6 – C 7 – D 8 – B 9 – C 10 – D 11 – C 12 – A 13 – B 14 – B 15 – D 16 – B 17 – C 18 – B 19 – A 20 – D

Hướng dẫn giải chi tiết Câu 1.

Hàm số y sin1 2x

 x có nghĩa ^{  x 0 D\ 0}

 

^.

Câu 2.

Hàm số 2coty xsin 3x có nghĩa ^{ x k D\}

 

^{k k}



^.

Câu 3:

Hàm số ycos x có nghĩa ^{  x 0 D}



^0;



^.

Câu 4.

Hàm số cos 2sin 1 y x

 x

 có nghĩa ^{2sin 1 0 sin 1} ₅^{6 2}

 

2 2

6

x k

x x k

x k

 

 

  

      

  



 .

 

\ 2 ;5 2

6 6

D ^ k   k ^ k

      

 

  .

Câu 5.

Hàm số cos 2 cos 3 y x

 x

 có nghĩa ^{2 cos 3 0 cos 3 6 2}

 

2 2

6

x k

x x k

x k

 

 

  

      

  



 .

 

\ 2

D  ^ 6 k ^ k 

     

  .

Câu 6.

Hàm số cot sin 1 y x

 x

 có nghĩa ^



^sinx k^x^{ 1 0}



^sinx k^x^1

   

2 \ 2 ;

2 2

x k k D k k k

x k

    



    

       

 

     .

Câu 7:

Hàm số y2016 tan²⁰¹⁷2x có nghĩa ^{cos 2 0 2}

 

2 4 2

x x  k x  k k

        

 

\ 4 2 D  k k

     

 

  .

TOANMATH.com Trang 23 Câu 8:

Hàm số y3tanx2cotx x có nghĩa cos 0 sin 0 2

x x k

x x k

 



    

    

 

^\

 

2 2

x k k D k k

       

 

   .

Câu 9: Hàm số sin tan 1 y x

 x

 có nghĩa tan 1

tan 1 0

2

x x x k

 

      



   

4 \ ;

4 2

2

x k

k D k k k

x k

     

 

  

  

        

 

  



   .

Câu 10:

Hàm số 2017 tan 2_{2 2} sin cos y x

x x

  có nghĩa

 

2 2 cos 2 0

sin cos 0

2 2 4 2

x x x

x k k

x  k  

 

   

 

      



 

4 2 \ 4 2

x  k D _ k_ k

        

 

  .

Câu 11: