CARA PENGHITUNGAN UJI TERHADAP PARAMETER POPULASI

UJI TERHADAP PARAMETER POPULASI

C. CARA PENGHITUNGAN UJI TERHADAP PARAMETER POPULASI

1. Uji Terhadap Parameter Populasi dengan Simpangan Baku Populasi (σ_o) telah Diketahui

Dalam hal ini selain diketahui besarnya rata-rata populasi (µ_o) juga telah diketahui pula besarnya simpangan baku populasi (σ_o) yang didasarkan pada hasil penelitian sebelumnya atau telah ditetapkan berdasar pernyataan. Kondisi seperti ini dapat terjadi manakala yang dijadikan nilai parameter populasi merupakan hasil-hasil penelitian yang telah dilaksanakan sebelumnya. Oleh karena itu, walaupun dari hasil pengamatan terhadap sampel penelitian Anda dapat memperoleh nilai simpangan baku sampel (s), Anda tetap harus menggunakan nilai simpangan baku populasi dalam penghitungannya.

Rumus:

Y  : nilai rata-rata sampel (sebagai penduga) µo : nilai rata-rata populasi (sebagai parameter)

σo : nilai simpangan baku populasi yang juga sebagai parameter

Bagaimana cara menggunakan rumus di atas, coba Anda perhatikan contoh berikut ini.

Berdasarkan hasil-hasil penelitian yang sudah banyak dilakukan, diketahui bahwa persyaratan minimal kandungan oksigen terlarut yang harus ada di dalam air agar ikan emas dapat hidup 13,0 bpj dengan simpangan baku paling tinggi 2,3 bpj. Hasil penelitian terhadap kandungan oksigen terlarut dari air sungai yang akan dialirkan ke kolam untuk pemeliharaan ikan emas adalah sebagai berikut.

Tabel 4.1.

Data Pengamatan Kandungan O2 dalam Air Sungai

Ulangan

s = n 1 n

Sekali lagi, hal pertama yang perlu Anda perhatikan bahwa sebelum dilakukan pengujian  untuk melihat perbedaan seperti diatas berdasarkan data sampel harus diuji normalitas distribusinya dengan mengikuti langkah pada Modul 3.

Selanjutnya untuk pengujian hipotesis, karena informasi yang ada pada populasi telah tersedia, tersedia baik rata-rata atau µ0  maupun simpangan bakunya atau σ0  maka yang dijadikan pembanding adalah nilai rata-rata dan nilai simpangan baku populasi, yakni:

rata-rata =

µ =

_o 13,0 

dan s impangan baku =

σ =

_o 2,3 

Dengan demikian, harga z dapat diperoleh yaitu sebesar:

hitung o

Jika Anda menggunakan pengujian dengan prinsip uji dua pihak atau uji dua arah maka rumusan hipotesis nihil (H₀) dan hipotesis alternatif (H₁) adalah sebagai berikut.

0 o o

Harga z untuk uji dua pihak dengan

α

 5% (taraf nyata atau taraf kesalahan 5%) yaitu z(0,05)/2 atau z0,025 ± 1,96, sedangkan untuk

α

 = 1% maka z(0,01)/2atau z0,005= ±2,575. Oleh karena zhitung negatif maka harus dibandingkan dengan harga z0,005 yang negatif pula.

Ternyata harga zhitung= -4,602 < z0,005= -2,575. Boleh saja untuk mudahnya dimutlakkan harganya menjadi zhitung= |-4,602| > z0,005= |-2,575|, jadi sama saja dengan zhitung = 4,602 >

z0,005  = 2,575). Dengan demikian, Ho: µ  = µo  ditolak. Jadi, terbukti bahwa besarnya nilai rata-rata populasi (rata-rata kandungan oksigen terlarut dalam air sungai berbeda dibanding nilai rata-rata kandungan oksigen terlarut yang diperlukan bagi kehidupan ikan emas dengan sangat nyata/sangat signifikan/sangat bermakna (p<0,01). Dalam hal ini justru lebih rendah.

Jika Anda yakin dengan melihat buangan limbah kota yang begitu banyak ke sungai dan secara teoretik besar kemungkinan pembuangan limbah tersebut memang diyakini mampu menurunkan nilai kandungan oksigen terlarut jauh di bawah batas minimal bagi persyaratan hidup ikan emas  maka Anda dapat menggunakan uji satu pihak  atau satu arah, yakni uji pihak kiri, dengan rumusan hipotesis statistika sebagai berikut.

0 o o

1 a o

H (H ) : H (H ) :

µ ≥µ µ <µ

 

Harga z untuk uji satu pihak (pihak kiri) dengan

α

 5% (taraf nyata atau taraf kesalahan 5%) atau z0,05= -1,645, sedangkan untuk

α

 = 1% maka z0,01= -2,325. Ternyata harga zhitung

= -4,602 < z_0,001= -2,325, boleh saja untuk mudahnya dimutlakkan harganya menjadi z_hitung

= |-4,602| > z0,001= |-2,325| (sama saja dengan zhitung = 4,602 > z0,001 = 2,325). Jadi, Ho:µ 

≥µo  ditolak. Dengan demikian, terbukti bahwa nilai rata-rata oksigen terlarut dalam air sungai tersebut berada di bawah batas ambang untuk kehidupan ikan emas benar-benar sangat meyakinkan/signifikans (p<0,01). Agar mudah untuk menerima atau menolak hipotesis statistiknya, dapat dilihat langsung pada kurva berikut ini.

Gambar 4.1.

Pemetaan batas nilai kritis z_tabel menggunakan uji dua pihak pada taraf kesalahan (

α

) 1%

Gambar 4.2.

Pemetaan Letak ztabel menggunakan Uji Satu Pihak (Pihak Kiri) pada Taraf Kesalahan (

α

) 1%

Contoh lain, misalnya sudah diketahui bahwa rata-rata produksi susu sapi perah asal New Zealand, per hari mampu mencapai 15 lt dengan simpangan baku 0,5 lt. Setelah hampir 5 tahun sapi-sapi tersebut didatangkan di Indonesia, yang diantaranya dipelihara di Kabupaten Boyolali, ingin diteliti apakah produksinya memang mampu mencapai 15 lt seperti di negeri asalnya. Karena sapi-sapi yang ada sudah dipelihara merata pada seluruh desa di kabupaten tersebut, maka untuk keperluan tersebut dilakukan penelitian sampling dengan teknik gugus bertahap (multi stage random sampling). Mula-mula diundi 2 kecamatan dari seluruh kecamatan yang ada di Kabupaten Boyolali. Dari 2 kecamatan terpilih, diundi lagi masing-masing 5 desa. Jadi ada 10 desa terpilih dalam penelitian tersebut, dan dengan demikian, seluruh sapi perah asal New Zealand yang ada di 10 desa

terpilih tersebut merupakan sampel penelitian. Misalnya pada 10 desa tersebut ada 75 ekor sapi, maka 75 ekor sapi tersebut mewakili populasi sapi perah asal New Zealand yang ada di Kabupaten Boyolali.

Katakanlah, hasil pengukuran produksi susu dari 75 ekor sapi sampel menunjukkan rata-rata produksi susu 13 lt dengan simpangan baku 0,7 lt per hari. Dalam hal ini, nilai rata-rata-rata-rata 13 lt dengan simpangan 0,7 lt merupakan nilai statistik sampel yang mewakili populasi sapi yang ada di Kabupaten Boyolali. Nilai ini merupakan penduga tak bias dari nilai parameter populasi tersebut. Dengan demikian, nilai rata-rata 13 lt diberi notasi Y, maka merupakan penduga tak bias dari µ. Sementara nilai simpangan baku sampel (s) sebesar 0,7 lt merupakan penduga tak bias dari simpangan baku populasi. Namun demikian, karena populasi sapi yang ada di Kabupaten Boyolali mula-mula juga merupakan bagian dari populasi sapi perah yang ada di New Zealand. Oleh karena itu, nilai simpangan baku yang digunakan adalah simpangan baku produksi susu dari populasi sapi perah yang ada di New zealand yakni 0,5 lt per hari, dan diberi simbol σ_o. Tujuan pengujian adalah apakah Y = 13 lt sebagai penduga tak bias dari µ  tersebut masih sama dengan µ =_o 15  dengan σ =_o 0,5lt. Data tersebut kemudian dimasukkan ke dalam rumus:

o

z o / n

µ −µ

= σ

 

Karena dalam hal ini µ diwakili oleh nilai Y, maka rumusnya menjadi:

o o

Y 13 15

z 34, 64

 / n 0,5 / 75

−µ   −

= − = −

σ

 

Jika ditetapkan taraf kesalahan dalam pengujian hipotesis sebesar 1%, maka titik z = 34,64 dapat dilihat apakah berada pada daerah penerimaan hipotesis nihil ataukah pada daerah penolakan hipotesis nihil (yang berarti penerimaan hipotesis alternatif). Untuk itu, Anda harus melakukan pemetaan luas daerah kurve z dengan luas ekor sebesar 1% lebih dahulu.

Sekali lagi, yang perlu Anda perhatikan bahwa sebelum dilakukan pengujian  untuk melihat perbedaan seperti diatas berdasarkan data sampel harus diuji normalitas distribusinya. Selain itu Anda juga harus memperhatikan pula bagaimanakah rumusan

hipotesis nihilnya. Jika H0: µ = µ0 lawan H1: µ = µ0, maka luas daerah di bawah kurve z sebesar 1% itu, Anda petakan pada ekor bagian kiri dan kanan. Mengapa? Karena jika terbukti berbeda signifikan, akan ada dua kemungkinan, yakni µ<µ_o  atau µ >µ_o. Tabel z menunjukkan bahwa luas di bawah kurve pada bagian kiri dan kanan ekor seluas 1% (kiri dan kanan masing-masing 0,5%), dibatasi oleh nilai z_i = + 2,575. Dengan demikian, nilai z_i  sebesar 34,64 berada di daerah penolakan hipotesis nihil. Dengan kata lain hipotesis alternatifnya diterima, jadi µ ≠µ_o, yang dalam hal ini µ<µ_o. Untuk jelasnya, coba Anda perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar 3.10. Kurve z beserta batas penerimaan dan penolakan H0 

Karena ternyata µ ≠µ_o, maka harga µ  juga dapat Anda cari. Dalam hal ini, untuk mengestimasi besarnya harga µ menggunakan Y, Anda juga dapat menggunakan taraf nyata yang Anda inginkan. Adapun rumus yang dapat Anda gunakan adalah sebagai berikut.

P

=

<

+

<

^{Y ( /  n)}}

n)  /  ( -Y

{ z^{12α  σ}   µ  z^12α σ  

 (100 –α)%

Untukα = 1% maka:

( )   ^{( )} ( )

{ }   ^{( )}

P 13 (2,575) 0,5 / 75

− <µ<

13

+

2,575 0,5 / 75

=

100 1 %

−

 

( )

P 12,851

<µ <

13,149

=

99% 

Dengan demikian, besarnya produksi susu populasi sapi perah yang ada di kabupaten Boyolali dengan taraf kesalahan 1% atau taraf kebenaran 99% kurang lebih antara 12,851 sampai 13,149 lt per hari.

2. Uji terhadap Parameter Populasi dengan Simpangan Baku Populasi (σ_o) Tidak Diketahui

Jika besarnya nilai simpangan baku populasi (σ_o) tidak diketahui maka besarnya dapat diduga dengan menggunakan nilai simpangan baku sampel (s). Oleh karena itu, Anda dapat menggunakan prinsip peluang berdasar distribusi t-Student. Adapun rumus untuk penghitungannya adalah sebagai berikut.

o hitung

t Y

s / n

= −µ  

Dari contoh di atas, misalnya hanya dinyatakan bahwa nilai rata-rata sebagai batas ambang untuk kehidupan ikan mas adalah 13,0 bpj. Jadi tidak ada informasi tentang besarnya nilai simpangan baku populasinya. Dengan demikian, yang diketahui hanya nilai µo  = 13,0. Sementara dari data statistik diperoleh nilai rata-rata sample atau Y  = 10.267 dan simpangan baku sampel atau s = 1.534. Oleh karena itu, pengujian menggunakan rumus t. Adapun harga t_hitung  adalah sebesar:

Tugas 

Berdasarkan hasil penelitian tahun 1960 tinggi orang Indonesia dewasa yang laki-laki rata-rata 162 cm dengan varians 25 cm² dan yang perempuan rata-rata 155 cm dengan varians 36 cm² (data fiktif). Seorang peneliti baru-baru ini mendata 50 laki-laki dan 50 perempuan dewasa. Setelah ia cari rata-rata dan variansnya ternyata untuk sampel laki-laki 166 cm dengan varians/ragam 45 cm² dan untuk sampel perempuan rata-rata 158 cm dengan varians/ragam 16 cm²  (data fiktif). Apakah tinggi tubuh orang Indonesia saat kini sudah lebih tinggi dibanding tahun 1960?

hitung 0

Y 10, 267 13, 0 2, 733

t 6, 90

0,396 s / n 1,534 / n

−µ   − −

= = = = −

 

Jika Anda menggunakan prinsip uji dua pihak, nilai t dengan

α

  5% (taraf nyata atau taraf kesalahan 5%) dengan derajat bebas n-1 = 14 adalah + 2,145, sedangkan untuk

α

  = 1%, nilai t_(0,01)/2 atau t_0,005= ±2,977.

Karena thitung =-6,90 <  t(0,01)/2; 14atau t0,005;14 = -2,977, atau thitung = |-6,90| > t0,005; 14= |-2,977|, maka, Ho ditolak. Dengan demikian, terbukti bahwa besarnya nilai rata-rata populasi (rata-rata kandungan oksigen terlarut dalam air sungai) berbeda sangat nyata (sangat signifikan atau sangat bermakna) dibanding nilai rata-rata kandungan oksigen terlarut yang diperlukan bagi kehidupan ikan emas, dalam hal ini justru lebih rendah.

Jika Anda yakin dengan melihat demikian banyak limbah kota yang dibuang ke sungai sehingga secara teoretik besar kemungkinan pembuangan limbah tersebut diyakini akan menurunkan nilai kandungan oksigen terlarut jauh dibawah batas minimal bagi persyaratan hidup ikan emas maka Anda dapat membuat hipotesis penelitian yang menyatakan bahwa:

“Pembuangan limbah kota yang demikian banyak akan menurunkan nilai kandungan oksigen terlarut jauh dibawah batas minimal bagi persyaratan hidup ikan emas”. Dengan hipotesis seperti itu maka Anda dapat menggunakan uji satu pihak atau satu arah, yakni uji pihak kiri. Rumusan hipotesis statistika sebagai berikut.

0 o o

1 a o

H (H ) : H (H ) :

µ ≥µ µ< µ

 

Harga t untuk uji satu pihak (pihak kiri) dengan

α

  5% (taraf signifikansi atau taraf kesalahan 5%) dengan derajat bebas n-1 = 14 adalah –1,761, sedangkan untuk

α

  = 1%

maka harga t0,01 = –2,624. Karena thitung  = -6,90 < t0.01; 14 = -2,624 atau thitung = |-6,90| >

t_0.01;14) = |-2,624| maka Ho ditolak. Dengan demikian, terbukti bahwa nilai rata-rata oksigen terlarut dalam air sungai tersebut berada di bawah batas ambang untuk kehidupan ikan emas benar-benar sangat meyakinkan (p<0,01). Jadi, cara pemaknaannya sama, seperti untuk uji terhadap parameter dengan simpangan baku yang diketahui, yang berbeda adalah dalam hal penggunaan prosedur analisis statistikanya.

Agar mudah dalam untuk menerima atau menolak hipotesis statistiknya, dapat dilihat langsung pada kurva berikut ini.

Gambar 4.3.

Pemetaan letak ttabel menggunakan uji dua pihak pada taraf kesalahan (

α

) 1% dan db = 14

Gambar 4.4.

Pemetaan Letak t_tabel Menggunakan Uji Satu Pihak pada Taraf Kesalahan (

α

) 1% dan db = 14

Sebagai contoh lain, misalnya dari kasus produksi susu sapi perah di atas, tidak ada informasi berapa besarnya simpangan baku produksi susu per hari dari sapi-sapi tersebut di New Zealand. Dengan demikian, yang Anda ketahui adalah nilai µ =_o 15lt, nilai rata-rata pengamatan sampel Y= 13 lt dengan simpangan baku sampel s = 0,7 lt dari n = 75.

Dengan rumus t dapat kita peroleh besarnya nilai t^hitung sebagai berikut.

t o

s / n

= µ −µ

 

Karena dalam hal ini µ diwakili oleh nilai Y, maka rumusnya menjadi:

Y o 13 15

t 24, 74

s / n 0, 7 / 75

−µ   −

= = = −

 

Jika ditetapkan taraf kesalahan dalam pengujian hipotesis sebesar 1%, maka titik t = 24,74 berada pada daerah penerimaan hipotesis nihil ataukah pada daerah penolakan hipotesis nihil (yang berarti penerimaan hipotesis alternatif). Untuk itu, Anda harus melakukan pemetaan luas daerah kurve z dengan luas ekor sebesar 1% lebih dahulu. Karena nilai t dalam tabel sangat tergantung kepada derajat bebasnya, maka cari dahulu derajat bebasnya (db), yakni sebesar n-1 = 74.

Sama halnya saat Anda menggunakan distribusi z, maka Anda juga harus memperhatikan bagaimana rumusan hipotesis nihilnya. Jika H :₀  µ = µ_o lawan H :₁ µ ≠ µ_o, maka luas daerah ekor sebesar 1%, dipetakan pada bagian ekor kiri dan ekor kanan.

Mengapa? Karena jika terbukti berbeda signifikan, maka ada dua kemungkinan, yakni

o

µ < µ  atau

o

µ > µ . Dari tabel t dengan db = 74 dan luas di bawah kurve pada bagian kiri dan kanan dari ekornya sebesar 1%, maka nilai t = + 2,650. Dengan demikian, nilai thitung  sebesar 24,74 berada di daerah penolakan hipotesis nihil. Dengan kata lain, hipotesis alternatifnya yang diterima, jadi µ ≠ µ_o, dan dalam hal ini µ < µ_o. Untuk jelasnya, coba Anda perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar 3.11.

Kurve t beserta batas penerimaan dan penolakan Hdengan derajat bebas 74 ^o pada taraf 1%

Karena dengan uji t ternyata µ ≠ µ_o, maka harga µ  juga harus dicari. Dalam hal ini, untuk mengestimasi besarnya harga µ  menggunakan Y, Anda juga dapat menggunakan taraf nyata yang Anda inginkan. Adapun rumus yang dapat digunakan adalah sebagai berikut.

(

1

)  ( )

¹

( )   ^{( )}

2 ;db 2 ;db

P Y t α s / n Y t α s / n 100 %

 

− <µ< + = − α

 

   

( )

 ( ) ( )

{

^{0,005;74 0,005;74}

}   ^{( )}

P Y

−

t s / n

<µ<

Y t

+

s / n

=

100 1 %

−

 

( )  ( )   ^{( )}  ( )

{ }

P 13

−

2, 650 0, 7 / 75

<µ<

13

+

2, 650 0, 7 / 75

=

99% 

( )

P 12, 786

< µ <

13, 214

=

99% 

Jadi dapat disimpulkan bahwa besarnya produksi susu populasi sapi perah asal New Zealand yang ada di kabupaten Boyolali dengan taraf nyata 1% atau taraf kebenaran 99%

kurang lebih antara 12,786 sampai 13,214 lt per hari.

Dari dua pendekatan yang satu menggunakan distribusi t dan yang satunya menggunakan distribusi z, menunjukkan bahwa nilai parameter berupa nilai rata-rata produksi susu sapi asal New Zealand yang ada di Kabupaten Boyolali tersebut tidak sama persis. Hal ini disebabkan oleh karena pada saat Anda melakukan perhitungan dengan prinsip distribusi z yang diperhatikan nilai simpangan baku populasi, sedangkan saat menggunakan prinsip t Anda menggunakan nilai simpangan baku sampel sebagai penduga nilai simpangan baku populasi.

Jangan lupa, dalam penelitian yang sesungguhnya Anda akan memperoleh data terserak, bukan data yang dalam bentuk harga rata-rata dan simpangan baku. Oleh karena itu seperti pada pengujian menggunakan uji z, pada pengujian menggunakan uji t di atas  juga harus diawali terlebih dahulu untuk melihat normalitas distribusinya.

T u gas 

Suatu pabrik obat menyatakan di dalam label bungkus bahwa kandungan bahan aktif obat penurun panas untuk setiap tablet adalah 500 mg. Seorang peneliti tertarik untuk menyelidiki informasi itu. Setelah data dari 25 tablet yang ia teliti diolah ternyata rata-ratanya hanya 497 mg dengan simpangan baku 16 mg. Apakah bukti di lapangan menunjukkan bahwa informasi yang diberikan oleh pabrik di dalam label tidak benar?

POKOK BAHASAN IV-2

UJI BEDA DUA RATA-RATA UNTUK