isebut ukuran gejala pusat atau tendensi sentral (central tendency) karena nilai atau harga ukuran gejala pusat mampu memberi gambaran tentang posisi atau letak pusat data atau nilai-nilai pengamatan, baik dalam bentuk data terserak maupun yang sudah dikelompokkan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi. Data yang disajikan dengan ukuran-ukuran gejala pusat lebih mudah dibaca dibandingkan dengan data yang masih dalam keadaan terserak. Posisi atau letak pusat data yang ada dapat dilihat dari besarnya harga rata-rata, modus, median, kuartil, desil, dan persentil.
Dalam modul ini hanya akan disajikan perhitungan berdasarkan data primer yang Anda peroleh jika Anda melakukan penelitiaj sendiri, yang berarti berupa data terserak.
Untuk perhitungan berdasar data sekunder, yang sudah tersaji dalam bentuk tabel distribusi frekuensi misalnya, silahkan Anda mempelajari sendiri pada buku-buku acuan.
A. RATA-RATA ( MEAN )
Harga rata (mean) atau disingkat dengan rata meliputi rata hitung, rata-rata ukur, rata-rata-rata-rata harmonis dan rata-rata-rata-rata tertimbang. Meskipun demikian, pada penelitian biologi umumnya hanya menyajikan nilai rata-rata hitung.
1. Rata-rata hitung ( Arithmetic Mean)
Jika Anda memperoleh data dari kegiatan sensus maka harga rata-rata hitung (cukup disebut rata-rata) yang Anda miliki merupakan rata-rata populasi diberi simbul
µ
, dan apabila Anda memperoleh data dari penelitian sampling maka datanya merupakan data statistik sampel. Oleh karena itu, jika Anda cari rata-ratanya maka rata-rata tersebut merupakan rata-rata sampel atau rata-rata contoh untuk sampel, dan diberi simbol Y (baca Y bar).D
Rumus rata-rata populasi (
µµµµ
) adalah sebagai berikut.Keterangan:
Yi : data (nilai pengamatan) untuk i = 1, 2, 3, …., N N : banyaknya data/nilai pengamatan (ukuran populasi)
Rumus rata-rata sampel (Y):
1 2 3 n Yi
Y Y Y .... Y
Y n n
+ + + +
= =
∑
Keterangan:
Yi = data (nilai pengamatan) untuk i = 1, 2, 3, …., n n = banyaknya data/nilai pengamatan (ukuran sampel)
Coba Anda perhatikan contoh penelitian sensus berikut ini.
Setelah sukses dihasilkan 30 ekor biri-biri melalui kegiatan cloning (kopian), pada usia 1 tahun seluruh biri-biri tersebut didata berat tubuhnya. Ternyata hasilnya sebagai berikut (dalam kg):
78 89 87 69 69 60 62 72 72 72 60 97 66 66 66 78 81 78 88 68 82 84 91 82 98 89 96 82 83 86
Oleh karena merupakan hasil sensus, berarti rata yang akan dihitung adalah rata-rata populasi (
µµµµ
). Rata-rata populasi dari N data sebanyak 30 sebesar:N N
...
Y Y Y
Y
µ Y
1 2 2N
∑
+ = +
+
= +
ikg adalah sebagai berikut (dalam gram)..
250 234 260 253 310 278 243 289
Oleh karena seluruh anak ayam dari satu induk didata berarti data sensus, jadi rata-rata yang diperoleh adalah rata-rata populasi
Bagaimana jika penelitian yang dilakukan merupakan penelitian sampling? Misalnya, 30 ekor biri-biri tersebut merupakan sampel diambil secara acak dari populasi biri-biri hasil cloning sebanyak 100 ekor, berapa rata-ratanya?
Rata-rata sampel (Y) dari n data sebanyak 30 adalah:
kg
Contoh lain, misalnya berat 40 anak ayam Broiler usia 1 hari yang diambil secara acak dari 500 ekor dari sekali penetasan adalah sebagai berikut
112 132 120 115 125 122 110 111 109 115 124 121 114 116 118 111 117 121 123 125 123 114 125 119 113 121 132 129 128 125 130 123 123 125 117 119 123 130 128 130
Rata-rata sampel (Y) dari n data sebanyak 40 adalah:
kg
2. Rata-rata Ukur (Geometric Mean)
Rata-rata ukur (geometric mean) merupakan rata-rata nilai/harga pengamatan yang dihitung atas dasar akar banyaknya nilai/harga pengamatan dari hasil perkalian seluruh data.
Sajian rata-rata ukur akan lebih baik dibandingkan rata-rata hitung jika merupakan data yang menunjukkan urutan perubahan yang tetap atau hampir tetap. Misalnya, data kenaikan atau penurunan dari sesuatu hal.
Untuk mencari rata-rata ukur dari data yang masih terserak digunakan rumus sebagai berikut.
Rata-rata ukur populasi (uG)
N
Y Y Y .... Y
u
G=
1 2 3 Natau
N log N
...log log
log
log log
Y Y Y Y Y
u
G 1 2 3 N∑
i+ = +
= +
Keterangan:
Yi : data (nilai pengamatan) untuk i = 1, 2, 3, …., N N : banyaknya data/nilai pengamatan ukuran (populasi)
Rata-rata ukur sampel (YG):
n
Y Y Y .... Y
Y
G=
1 2 3 natau
n log n
...log log
log
log log
Y Y Y Y Y
Y
G=
1+
2+
3+
n= ∑
i
Keterangan:
Yi : data (nilai pengamatan) untuk i = 1, 2, 3. …., n n : banyaknya data/nilai pengamatan (ukuran sampel)
Coba Anda perhatikan contoh penelitian sensus berikut ini.
Hasil sensus berat badan 30 ekor biri-biri usia 1 tahun hasil cloning (kembaran) menunjukkan kenaikan rata-rata berat triwulan I sebanyak 10 kg, triwulan II sebanyak 15 kg, triwulan III sebanyak 22,5 kg, dan triwulan IV sebanyak 15 kg. Berapa rata-rata kenaikan badan per triwulan?
Kenaikan triwulan II = 15/10 kali triwulan I = 1,50 kali Kenaikan triwulan III = 22,5/15 kali triwulan II = 1,50 kali Kenaikan triwulan IV = 15/22,5 kali triwulan III = 0,67 kali
Jika dihitung dengan menggunakan rumus rata-rata hitung populasi ( µ) maka rata-rata kenaikannya adalah sebagai berikut.
Jika dihitung dengan menggunakan rata-rata ukur populasi (uG) maka hasilnya sebagai berikut.
Perhatikan pula contoh berikut. Hasil perlakuan menunjukkan bahwa pemberian dosis pupuk trifosfat sebesar 0 kg/Ha menunjukkan produktivitas tanaman padi varietas mentik sebesar 40 kwintal/Ha, dosis 20 kg/Ha menunjukkan produktivitas sebanyak 55 kwintal/Ha, dosis pupuk 40 kg/Ha menunjukkan produktivitas 65 kwintal/Ha, penambahan 60 kg/Ha menunjukkan kenaikan produktivitas menjadi 73 kwintal/Ha, penambahan 80 kg/Ha menunjukkan kenaikan produktivitas menjadi 77 kwintal/Ha, dan penambahan 100 kg/Ha menunjukkan kenaikan produktivitas menjadi 78 kwintal/Ha. Dengan demikian, setiap penambahan 20kg/Ha pupuk triposfat menunjukkan penambahan produktivitas tanaman padi varietas Mentik dengan besaran yang berbeda.
Kenaikan produktivitas akiibat penambahan pupuk trifosfat untuk:
a) 20 kg/Ha yang I meningkat sebanyak = (55 - 40) kwintal/Ha = 15 kwintal/Ha b) 20 kg/Ha yang II meningkat sebanyak = (65 - 55) kwintal/Ha = 10 kwintal/Ha c) 20 kg/Ha yang III meningkat sebanyak = (73 - 65) kwintal/Ha = 8 kwintal/Ha d) 20 kg/Ha yang IV meningkat sebanyak = (77 - 73) kwintal/Ha = 4 kwintal/Ha e) 20 kg/Ha yang V meningkat sebanyak = (78 - 77) kwintal/Ha = 1 kwintal/Ha Jadi kenaikan produktivitas akibat penambahan pupuk trifosfat untuk:
a) 20 kg/Ha yang II = 10/15 kali penambahan 20 kg/Ha yang I = 0,67 kali b) 20 kg/Ha yang III = 8/10 kali penambahan 20 kg/Ha yang II = 0,80 kali c) 20 kg/Ha yang IV = 4/8 kali penambahan 20 kg/Ha yang III = 0,50 kali d) 20 kg/Ha yang V = 1/4 kali penambahan 20 kg/Ha yang IV = 0,25 kali
Jika dihitung dengan menggunakan rumus rata-rata hitung sampel ( Y ) maka rata-rata kenaikannya adalah sebagai berikut.
Jika dihitung dengan menggunakan rata-rata ukur sampel (Y G) maka hasilnya sebagai berikut.
3. Rata-rata harmonis (harmonic mean)
Rata-rata harmonis (harmonic mean) adalah rata-rata yang diperoleh dengan cara mencari kebalikan atau invers dari datanya. Rata-rata harmonis biasa digunakan untuk mencari rata-rata dari banyak hal yang berbeda kualitasnya.
Rata-rata harmonis populasi (µH) N : banyaknya data/nilai pengamatan (ukuran populasi)
Rata-rata harmonis sampel (YH):
H N : banyaknya data/nilai pengamatan (ukuran populasi)
Coba Anda perhatikan contoh penelitian sensus di bawah ini.
Seluruh luas lahan padi di Desa Minapadi 15300 Ha. Setelah lahan dibagi menjadi 5 bagian, dan tiap bagian ditanami padi Cisadane, IR-28, VUTW, Rajalele dan Cianjur, hasilnya sebagai berikut.
Tabel 2.11.
Hasil produksi padi Desa Minapadi menurut jenisnya
Jenis padi Luas lahan
Jika rata-rata produksi padi tiap bagian dicari dengan rata-rata hitung (µ):
22.644 20.502 20.196 17.442 19.890
Jika dicari dengan rata-rata hamonis (µH):
ton/hektar
4. Rata-rata tertimbang (weighted mean)
Rata-rata tertimbang (weighted mean) adalah rata-rata yang dicari dengan mempertimbangkan tingkat pentingnya kelompok-kelompok datanya.
Rata-rata tertimbang populasi (µw)
1 1 2 2 3 3 k k i i Rata-rata tertimbang sampel (YW):
1 1 2 2 3 3 k k i i
Coba Anda perhatikan contoh penelitian sensus di bawah ini.
Produktivitas tanaman padi berdasarkan varietasnya dari seluruh lahan yang ada di Desa Minapadi adalah sebagai berikut.
Tabel 2.12.
Hasil produksi padi Desa Minapadi menurut jenisnya
Jenis padi Luas lahan
Jumlah 15.300 102.170
Kalau dihitung harga rata-rata produksi padi dengan menggunakan rata-rata hitung(µ ):
7, 4 6, 7 6, 6 5, 7 6, 5 7, 0 5, 6
6,5ton/ha 7
+ + + + + +
µ = =
Jika dihitung dengan menggunakan rata-rata tertimbang (µW):
W
W
(1.200)(7, 4 ) (4.100)(6, 7 ) (3.300)(6, 6) .... (500)(5, 6) 1.200 4.100 3.300 .... 500
6,68 ton / ha
Modus adalah data yang memiliki frekuensi pemunculan terbanyak. Oleh karena itu, cara mencari modus dilihat dari berapa kali suatu data muncul di antara seluruh data yang ada.
Agar lebih mudah melacak letak modus, data diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar atau sebaliknya. Coba Anda perhatikan contoh penelitian sampling di bawah ini.
Hasil pengukuran berat 30 ekor biri-biri yang diambil secara acak dari populasi biri-biri hasil cloning sebanyak 100 ekor adalah sebagai berikut (dalam kg):
78 89 87 69 69 60 62 72 72 72 60 97 66 66 66
78 81 78 88 68 82 84 91 82 98 89 96 82 83 86
Agar dapat dicari modusnya, data tersebut harus diurutkan dari yang terbesar ke yang terkecil. Hasilnya adalah sebagai berikut.
98 97 96 91 89 89 88 87 86 84 83 82 82 82 81
78 78 78 72 72 72 69 69 68 66 66 66 62 60 60
Data sebesar 82, 78, 72 dan 66 muncul tiga kali. Dengan demikian, sebaran data di atas memiliki empat modus yakni 82, 78, 72 dan 66. Dengan kata lain data di atas merupakan data tetramodal sehingga termasuk data multimodal.
C. MEDIAN
Median adalah suatu nilai yang membagi data yang telah diurutkan besarnya (dari yang terbesar sampai yang terkecil atau sebaliknya), menjadi dua kelompok data, yakni data kelompok atas dan data kelompok bawah dengan anggota yang sama banyaknya.
Agar lebih mudah melacak posisi median, data perlu diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar atau sebaliknya. Kemudian cari posisi atau letak median dengan rumus:
Posisi Me = (N + 1)/2 untuk data sensus atau
Posisi Me = (n + 1)/2 untuk data sampling
Setelah diperoleh posisi median, Anda akan dapat memperoleh harga mediannya.
Coba perhatikan contoh di bawah ini.
Dari hasil penelitian sampling berupa pengukuran berat terhadap 30 ekor biri-biri yang diambil secara acak dari populasi biri-biri hasil cloning sebanyak 100 ekor yang telah dihitung modusnya, sekarang carilah mediannya. Perhatikan datanya.
78 89 87 69 69 60 62 72 72 72 60 97 66 66 66
78 81 78 88 68 82 84 91 82 98 89 96 82 83 86
Setelah diurutkan dari yang terbesar ke yang terkecil terlihat sebagai berikut.
98 97 96 91 89 89 88 87 86 84 83 82 82 82 81
78 78 78 72 72 72 69 69 68 66 66 66 62 60 60
Oleh karena data sampling, berarti banyaknya data (n) = 30. Berarti posisi median (Me)
= (n + 1)/2 = 15,5. Jadi, posisi median berada di antara data ke-15 dan data ke-16. Dengan demikian, harga mediannya dapat diperoleh yakni:
Me = (81 + 78)/2 = 79,5 kg
D. KUARTIL
Kuartil adalah 3 buah nilai yang membagi data yang telah diurutkan besarnya, menjadi 4 kelompok data dengan anggota yang sama banyaknya. Oleh karena kuartil membagi menjadi 4 kelompok sama banyak maka harga kuartil kedua akan sama dengan harga median.
Untuk memperoleh harga kuartil I, kuartil II dan kuartil III, data harus diurutkan terlebih dahulu dari yang terkecil ke yang terbesar. Kemudian, dicari lebih dahulu posisi atau letak masing-masing kuartil, baru dapat diperoleh harganya.
Mula-mula cari kuartil II atau mediannya, misalkan n = 61 maka (n + 1)/2 = (61 + 1)/2
= 31. Jadi kuartil II adalah data urutan ke 31. Mengapa? Karena data urutan ke-31 membagi data menjadi dua kelompok, masing-masing beranggotakan 30 data. Kelompok I
beranggotakan data ke-1 sampai data ke 30, dan kelompok II beranggotakan data ke 32 sampai data ke-61. Posisi kuartil I akan membagi kelompok I menjadi dua kelompok yang anggotanya sama banyak. Oleh karena anggota kelompok I sebanyak 30, berarti kuartil I = (n + 1)/2 = (30 + 1)/2 = 15,5. Jadi, kuartil I berada di antara data urutan ke-15 dan data urutan ke-16. Kuartil III = (n + 1)/2 = (30 + 1)/2 = 15,5, tetapi urutan data kelompok II dimulai dari urutan ke-32 dan seterusnya sampai urutan ke-61. Oleh karena data pertama pada posisi urutan ke-32 maka posisi kuartil III pada urutan ke-15,5 berada di antara data urutan ke-46 dan data urutan ke-47.
E. DESIL
Desil adalah sembilan buah nilai yang membagi data yang telah diurutkan besarnya, menjadi sepuluh kelompok data dengan anggota yang sama banyaknya. Oleh karena itu, harga desil kelima (D5) akan sama dengan harga mediannya. Agar dapat dikelompokkan menjadi 10 kelompok maka banyaknya data juga harus kelipatan 10.
Mula-mula data dibagi dua untuk mencari desil kelima atau mediannya. Misal, banyaknya data 60. Posisi D5 = (n + 1)/2 = (60 + 1)/2 = 30,5. Dengan demikian, desil kelima berada di antara data urutan ke-30 dan data urutan ke-31. Kemudian, kelompok pertama harus dibagi lagi menjadi lima kelompok, demikian pula kelompok yang kedua.
Kelompok pertama yang beranggotakan 30 data jika dibagi menjadi lima kelompok, masing-masing akan beranggotakan enam data. Dengan demikian, desil pertama (D1) di urutan 6,5 atau antara data ke-6 dan ke-7. Desil kedua (D2) di urutan 12,5 atau antara data ke-12 dan ke-13.
Dimana posisi desil kelima? Desil kelima (D5) diurutkan 30,5 atau antara data ke-30 dan ke-31.
Demikian pula untuk kelompok kedua, jika dibagi lagi menjadi lima kelompok masing-masing juga beranggotakan enam data. Oleh karena itu, desil keenam (D6) diurutan 36,5 atau antara data ke-36 dan ke-37. Di mana posisi desil kesembilan? Desil kesembilan (D9) di urutan 54,5 atau antara data ke-54 dan ke-60.
F. PERSENTIL
Persentil adalah 99 buah nilai yang membagi data yang telah diurutkan besarnya, menjadi 100 kelompok data dengan anggota yang sama banyaknya. Dengan demikian, harga persentil ke-50 akan sama dengan harga mediannya. Agar dikelompokkan menjadi 100 kelompok tentunya data harus cukup banyak, yakni merupakan kelipatan 100.
Tugas
Cobalah hitung rata-rata, median, dan modus hasil sensus berat 15 induk ikan gurami usia 5 tahun di kolam perikanan Cangkringan berikut ini!
No Berat Induk ikan gurami (dalam kg) (Yi)
1 7,1
2 6,5
3 8,7
4 5,6
5 6,6
6 6,9
7 7,1
8 7,2
9 7,9
10 8,1
11 6,8
12 6,3
13 7,1
14 7,4
15 7,5