Dengan kehadirannya Lagrange dan Gauss, analisis di abad ke-19 dapat berdiri dengan kokoh dan megah. Matematikawan di akhir abad ke-19 yang menonjol dalam karyanya adalah seorang Perancis, Augustin-Louis Chauchy (1789-1857), dan seorang Jerman Karl Weierstrass (1815-1897). Seperti telah dicatat di atas, beberapa definisi telah dihadirkan oleh Cauchy diantaranya tentang limit, kontinuitas, turunan sebagai limit dari sebuah hasil bagi yang berbeda, dan integral tertentu sebagai penjumlahan yang banyak.
Cauchy telah banyak menulis secara panjang lebar dan mendalam tentang matematika murni maupun matematika terapan. Bila diurutkan dalam jumlah karyanya Cauchy berada sesudah Euler. Sumbangannya banyak ia berikan untuk matematika tinggi, termasuk penyelidikan konvergensi dan divergensi dari deret tak hingga, teori fungsi real dan kompleks, persamaan diferensial, determinan, probabilitas, dan matematika fisika.
Nama Cauchy dijumpai pula oleh mereka yang mempelajari kalkulus dengan apa yang disebut test akar Cauchy (Cauchy root test) dan test perbandingan Cauchy (Cauchy ratio test). Kedua test ini digunakan untuk konvergensi dan divergensi dari satu deret dengan suku-suku yang positif. Bahkan dalam bagian pertama dari teori fungsi bilangan kompleks yang dipelajari oleh seseorang tentunya akan berjumpa dengan pertidaksamaan Cauchy, teorema integral Cauchy, dan dasar-dasar diferensial Cauchy-Riemann.
Motivasi yang diberikan oleh Cauchy terhadap para matematikawan lainnya untuk tidak hanya menggunakan manipulasi dan intuisi dalam analisis, sangatlah besar sekali.
Cauchy adalah seorang pendukung kuat dari Bourbons, dan sesudah revolusi tahun 1830, terpaksa ia mengorbankan jabatan guru besarnya di Politeknik Ecole. Ia telah pula dilarang untuk menjadi tenaga pengajar di lembaga pendidikan tersebut hampir selama delapan tahun. Bagian waktu ini, ia habiskan ditempat pengasingannya di Turin dan Pragua, serta mengajar di beberapa sekolah keagamaan di Paris.
Pada tahun 1848, Cauchy diizinkan kembali menduduki jabatan guru besar di Politeknik Ecole tanpa harus mengambil sumpah setia kepada pemerintah yang baru.
Seluruh hidup Cauchy telah dipergunakan untuk bekerja dengan tidak mengenal lelah. Namun sangat disesalkan memiliki kesombongan dan mengabaikan pendapat orang-orang yang lebih muda.
Menurut pemikiran umum tentang seorang matematikawan yang berhasil, haruslah dimulai mempelajari matematika pada usia yang relatif muda, dan dengan tidak mengenal bosan harus pula mempelajari sejumlah materi dasar yang banyak sekali. Namun lain lagi dengan Karl Weierstrass yang termasuk pada pengecualian dua aturan umum tadi.
Pada usia mudanya Karl Weierstrass lebih banyak mempelajari hukum dan keuangan, sehingga ia terlambat dalam memulai mempelajari matematika hingga berusia 40 tahun.
Kemudia ia melepaskan pekerjaan utamanya dan beralih menjadi seorang pengajar sampai menduduki jabatan lektor di Universitas Berlin. Pada tahun 1864, ia menduduki jabatan guru besar di salah satu Universitas, dan akhirnya ia menghabiskan seluruh waktunya untuk memajukan matematika.
Weierstrass telah banyak menulis masalah integral hiperelliptik, fungsi abelian, dan aljabar persamaan diferensial. Namun sumbangannya yang terbesar untuk matematika berhubungan dengan dasar-dasar fungsi kompleks dari deret eksponen, uraiannya ini merupakan perluasan dari bidang kompleks yang ide awalnya pernah dicoba oleh Lagrange, tetapi Weierstrass-lah yang telah berhasil menguraikan kebenarannya secara mutlak.
Weierstrass telah berhasil menunjukkan hal yang menarik dalam mendefinisikan fungsi sebagai perkalian yang tidak terbatas. Dia telah menemukan konsep konvergensi uniform yang dimulai dengan apa yang dinamakan analisis aritmetika, atau reduksi dari prinsip-prinsip analisis untuk bilangan real. Sejumlah besar penemuan matematikanya tidak
dipublikasikan secara resmi, tetapi kita dapatkan melalui pengambilan buku catatan kuliahnya. Sebagai gambaran, dalam kuliahnya pada tahun 1861 untuk pertama kalinya ia membahas contoh sebuah fungsi yang kontinu tetapi tidak diferensiabel, dan konsepnya ini baru diumumkan pada tahun 1874 oleh Paul du Bois-Reymond (1831-1889).
Weierstrass adalah salah seorang guru matematika yang sangat berpengaruh, memiliki kecermatan, dan selalu memberikan pemikiran yang positif terhadap para mahasiswanya, sehingga mereka banyak yang menjadi matematikawan ternama.
Kecermatan dan ketegaran Weierstrass searti dengan “pemikiran yang sangat seksama”. Ia adalah “suara matematika yang sempurna”, dan ia dikenal pula sebagai
“bapaknya analisis modern”.
Weierstrass meninggal pada tahun 1897, tepatnya 100 tahun sesudah dipublikasikan karya yang pertama dari Lagrange (1797), yaitu sebuah usaha untuk meletakkan dasar-dasar yang kuat dalam menegakkan kalkulus.
Selama terjadinya usaha-usaha menegakkan matematika, muncullah kecenderungan ke arah generalisasi yang abstrak. Hal seperti ini merupakan sebuah proses yang telah menjadi kenyataan dalam perkembangan matematika yang sekarang. Seorang matematikawan Jerman di abad ke-19 yaitu Georg Bernhard Riemann (1826-1866), adalah orang yang lebih banyak menaruh perhatian kepada matematika modern.
Desertasi doktornya pada tahun 1851, Riemann telah membawa konsep “permukaan Riemann” (Riemann surface) sebagai perkenalan dengan apa yang disebut pertimbangan topologi dalam analisis. Ia telah pula menjelaskan konsep integrabilitas dengan definisi seperti yang dikenal oleh kita sekarang sebagai “integral Riemann”. Konsepnya ini telah membawa ke arah generalisasi yang lebih umum pada perkembangan abad ke-20, yaitu konsep integral yang lebih lanjut yang dikenal dengan “integral Lebesque”.
Dalam kuliahnya yang diberikan pada tahun 1854 telah diperkenalkan konsep yang terkenal dengan hipotesanya tentang dasar geometris dalam membahas permukaan. Ide tentang permukaan yang diberikan oleh Riemann ini telah sampai kepada perluasannya, yaitu tentang pentingnya konsep ruang yang abstrak.
Riemann meninggal pada usia 40 tahun karena terserang tuberkolosis. Namun dalam usianya yang relatif singkat itu, ia telah meninggalkan dunia matematika dengan beberapa sumbangan pemikirannya. Tulisan Riemann merupakan pemikiran-pemikiran yang sangat berharga, dan beberapa di antaranya masih belum dapat diungkapkan penyelesaiannya oleh para matematikawan yang sekarang.
Georg Cantor (1845-1918) yang hidup pada akhir abad ke-19 dan awal abad ke-20, adalah orang ahli matematika yang perlu pula untuk kita kenal. Ia lahir di Petersburg, kemudian pindah bersama orang tuanya ke Jerman di tahun 1856, belajar di Universitas Berlin di bawah bimbingan Weierstrass dari tahun 1863 sampai tahun 1869. Kemudian ia mengajar di Universitas Halle dari tahun 1869 sampai tahun 1905, dan ia meninggal di rumah sakit jiwa pada tahun 1918.
Pada mulanya Cantor tertarik pada teori bilangan, persamaan tersamar, deret trigonometri. Dengan teori deret trigonometrinya telah memberikan inspirasi untuk melihat dasar-dasar analisis. Ia telah pula memberikan hasil-hasil pemikiran tentang bilangan rasional dengan mempergunakan konvergensi dari bilangan rasional, dan karyanya dalam geometri berbeda secara jelas dengan geometri yang diberikan oleh Dedekind. Tahun 1874, adalah awal dari revolusi karya Cantor tentang teori himpunan dan ketakberhinggaan.
Dalam karyanya yang terakhir, Cantor telah menciptakan sebuah bidang baru tentang hasil penelitian matematikanya. Dalam tulisannya itu, ia telah mengembangkan sebuah teori bilangan transfinit yang didasarkan pada percobaan tentang ketidakberhinggan. Ia telah pula menciptakan sebuah aritmetika yang analogi dengan bilangan transfinit untuk aritmetika dari bilangan yang terhingga.
Cantor adalah orang yang teguh pada ajaran agamanya, dan sebuah karyanya sebagai lanjutan dari pendapatnya mempunyai kaitan dengan paradoks zeno. Karyanya ini membahas sifat-sifat ketidak berhinggaan dan sekaligus sumbangan simpatinya terhadap pendidikan pada abad pertengahan. Pandangannya terhadap ketidak berhinggan sangatlah kontradiksi dengan pandangan yang pernah diberikan oleh Leopard Kronecker (1823-1891) dari Universitas Berlin.
Pada saat sekarang ini, konsep teori himpunan yang diberikan oleh Cantor telah merembes hampir ke setiap cabang matematika, dan telah dibuktikan secara khusus dalam topologi dan dasar-dasar teori fungsi real. Namun demikian telah timbul pula kesulitan secara logika, dan timbul pula pertentangan-pertentangan. Dalam abad ke-20 telah terjadi perbedaan pendapat di antara kelompok formalis yang dipimpin oleh David Hilbert (1826-1943) dengan kelompok instuisi yang dipimpin oleh L.E.J. Brouwer (1881-19). Pertentangan ini adalah kelanjutan dari pertentangan di antara Cantor dengan Kronecker.
Sampai di sinilah tulisan kita ini, dan tentunya kita akhiri dengan pengakuan tentang ketidakpuasan yang sebenarnya dapat dihindarkan bila beberapa dasar dan topik yang menarik tersebut tidaklah diberikan alasan-alasannya. Beberapa topik dalam sejarah perkembangan matematika ini hanyalah sebagai bekal untuk mempelajari matematika lebih lanjut. Sedangkan bagi mereka yang tertarik dapat menjadi suatu dorongan untuk mempelajari cerita lainnya sesudah memperoleh dasar matematika lebih lanjut.