Nama Leonard Euler telah sering disebut dalam tulisan kita ini. Euler (1707-1783) lahir di Bassel, Swiss, dan ia belajar matematika dibawah pimpinan Johann Bernoulli. Pada tahun 1727 ia menduduki jabatan kursi ahli matematika di Akademi St. Peterburg yang baru didirikan oleh Peter yang agung. Empat belas tahun kemudian, ia menerima undangan dari Frederick yang agung untuk datang ke Berlin untuk memimpin Akademi Prussian. Sesudah 25 tahun berlalu, Euler kembali lagi ke St. Peterburg, dan ia tinggal di sana hingga kematiannya pada tahun 1783 dalam usia 76 tahun.
Euler adalah seorang matematikawan yang terkenal dan paling banyak karya tulisnya.
Karena ia adalah salah seorang matematikawan yang produktif, maka tentu saja namanya banyak disebut-sebut dalam setiap perkembangan cabang matematika. Yang paling menakjubkan tentang produktivitas karya tulisnya terjadi pada tahun 1768. pada tahun ini, Euler mengalami musibah menjadi buta secara total namun kejadian ini tidaklah menjadikan kerugian bagi dirinya dalam usaha-usahanya untuk terus menulis.
Karya-karya Euler merupakan contoh yang menarik dari formalisme abad ke-18, karena merupakan manipulasi yang tidak memperhatikan konvergensi dan keberadaan matematika, dan sekaligus rumus-rumusnya telah melibatkan proses yang tidak terbatas.
Sebagai contoh, jika teorema binomial digunakan untuk (1-2)-1 maka akan kita peroleh:
-1 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … ,
Apakah hasil yang diperoleh oleh Euler ini tidak mengagumkan? Juga dengan menjumlahkan dua deret:
𝑥 + 𝑥2 + … = 𝑥 /(1 − 𝑥) 𝑑𝑎𝑛 1 + 1/𝑥 + 1/𝑥2 + … = 𝑥/(𝑥 − 1),
Euler menemukan bahwa
… + 1/𝑥2 + 1/𝑥 + 1 + 𝑥 + 𝑥 + … = 0.
Usaha-usaha yang telah dilakukan oleh Euler pada abad ke-18 telah memberikan dorongan yang sangat kuat dalam perkembangan matematika di abad ke-19. Ia telah membawa hal-hal yang menimbulkan keanehan, di antaranya seperti yang di atas, sehingga menjadi rancangan untuk para matematikawan berikutnya.
Secara umum sumbangan Euler dalam sejarah perkembangan matematika sangatlah banyak. Namun secara khusus kita dapat memperhatikan sumbangan pemikirannya dalam bentuk-bentuk yang sangat mendasar. Kita merasa berhutang budi kepada Euler dalam hal kebiasaannya untuk menggunakan notasi-notasi berikut:
f(x) untuk notasi fungsi,
e untuk bilangan pokok logaritma natural, a, b, c untuk sisi-sisi dari sebuah segitiga ABC s untuk keliling suatu segitiga
untuk menyatakan jumlah al-jabar i untuk satuan imajiner, -1.
Euler telah pula memberikan rumus-rumus yang menakjubkan di antaranya hubungan-hubungan seperti berikut:
𝑒𝑖𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝑥 , dan untuk x = , rumus di atas menjadi:
𝑒𝑖𝜋 + 1 = 0 ,
ini adalah sebuah relasi yang menghubungkan lima buah bilangan khusus yang sangat penting dalam matematika. Selanjutnya dengan proses formal yang murni, Euler telah sampai pada sejumlah relasi yang ia ingin ketahui, seperti
𝑖𝑖 = 𝑒−𝜋 2⁄
dan ia telah pula berhasil menunjukkan bahwa untuk beberapa bilangan real yang tidak nol r mempunyai logaritma yang tidak terhingga (untuk sebuah bilangan pokok yang diberikan), semuanya imajiner jika r 0 maka semuanya imajiner kecuali r 0.
Dalam pelajaran geometri, kita menemukan garis Euler (Euler Line) dari sebuah segitiga (soal latihan). Demikian pula di perguruan tinggi dalam teori persamaan, kita kadang-kadang menggunakan metode Euler (Euler Method) untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Bahkan dalam pendidikan menengah pun, banyak kita jumpai teorema Euler (Euler theorem) dan fungsi ∅ Euler (Euler ∅-function) (latihan soal-soal).
Fungsi beta dan fungsi gama dalam kalkulus tinggi diberikan oleh Euler, meskipun ada anggapan diberikan oleh Wallis. Ia telah menggunakan idenya untuk menyatukan faktor-faktor dalam menyelesaikan persamaan diferensial. Ini adalah salah satu perkembangan yang pertama dari teori pembagian yang terus menerus. Teori ini merupakan sumbangan dalam bidang geometri diferensial dari variasi-variasi kalkulus. Selain itu teori tersebut telah pula memperluas teori bilangan.
Dalam salah satu karya tulis kecil, Euler telah mengemukakan relasi:
𝑉 − 𝐸 + 𝐹 = 2
Yang sebenarnya bentuk seperti ini pernah pula diperkenalkan oleh Descartes, yaitu suatu relasi diantara titik sudut (vertex) V, rusuk (edge) E, dan sisi permukaan (faces) F dari sembarang polyhera tertutup yang sederhana.
Dalam tulisannya yang lain, Euler menyelidiki kurva-kurva orbivorm, atau kurva yang menyerupai lingkaran, cembung bulat memanjang dengan luas yang tetap.
Beberapa tulisan lainnya mengungkapkan kembali beberapa penemuan dalam matematika, misalnya grafik-grafik unicursal dan multicursal (diilhami oleh tujuh jembatan yang ada di Konigsberg), lintasan-lintasan pada papan catur dan bujur sangkar Latin Greco.
Euler menerbitkan pula beberapa perluasan sebagai aplikasi matematika, misalnya untuk astronomi, mekanika, hidrolika, pembuatan kapal, artileri, dan teori musik.
Euler adalah penulis besar yang telah mempublikasikan tidak kurang dari 800 tulisan (± 866 tulisan). ia telah menghadiahkan sejumlah teksbuk yang penuh kejelasan, terperinci, dan lengkap. Naskahnya banyak yang terkenal dan mencapai popularitas yang lama, dan pada saat sekarang pun masih sangat menarik dan banyak keuntungannya untuk dibaca.
Tentunya kita merasa heran pada ide-ide Euler yang begitu banyak, demikian pula para matematikawan besar lainnya sesudah Euler, mereka semuanya merasa berhutang budi kepada Euler.
Claude Alexis Clairaut (1713-1765) yang lahir di Paris pada tahun 1713, dan meninggal di sana pada tahun 1765. ia mengenyam pendidikan matematika sejak usia muda, dan pada usia 11 tahun ia telah berhasil menyusun sebuah risalah tentang kurva pangkat tiga. Bertitik tolak dari tulisan yang pertamanya ini, ia telah dapat mengembangkan teori berikutnya yang luar biasa, yaitu mengenai geometri differensial dari kurva-kurva ruang.
Clairaut pernah memenangkan sebuah kedudukan di akademi sains Perancis pada usia yang belum memenuhi persyaratan, yaitu ketika ia baru berusia 18 tahun.
Pada 1736, Clairaut bersama dengan Pierre Louis Moreau de Moupertuis (1698-1759) melakukan ekspedisi ke Lapland untuk mengukur panjang satu derajat meridian bumi.
Ekspedisi ini dilakukan untuk menyelesaikan masalah perbedaan pendapat tentang bentuk permukaan bumi.
Newton dan Huygens telah menyimpulkan dalam teorinya secara matematis, bahwa bumi bentuknya pipih terhadap kutub-kutubnya. Namun sekitar tahun 1712 ahli astronomi dan matematika dari Italia, yaitu Geovanni Domenico Cassini (1625-1412) dan putranya kelahiran Perancis Jacques Casini (1677-1756) telah mengukur sebuah busur bumi yang membujur dari Dunkirk ke Perpignan. Dari hasil penelitian mereka, tampaknya mendukung anggapan yang diberikan oleh Cartesian, bahwa bumi memanjang terhadap kutubnya.
Hasil pengukuran yang telah dibuat dari Lapland tidaklah dapat disangkal, malahan memperkuat keyakinan Newton-Huygens, dan hasil yang diperolehnya Maupertouis ini dikenal dengan judul “earth flattener”.
Pada tahun 1743 sesudah kembali lagi ke Perancis, Clairaut menerbitkan sebuah tulisan Theorie de la figure de la Terre. Dalam tahun 1752 ia memenangkan sebuah hadiah dari akademi St. Petersburg untuk tulisannya Theorie de la Lune. Karyanya in merupakan sebuah penelitian secara matematis tentang pergerakan bulan, yaitu menjelaskan persoalan-persoalan yang sebelumya tidak terjawab. Ia telah menerapkan proses turunan ke dalam persamaan diferensial.
𝑦 = 𝑝𝑥 + 𝑓 (𝑝), 𝑝 = 𝑑𝑦/𝑑𝑥 ,
Yang sekarang terkenal dengan teksbuk dasar berbagai persamaan Clairaut, atau sering disebut pula persamaan Clairaut. Dari hasil penelitiannya, ia menemukan jawaban yang aneh, namun proses ini pernah pula dipergunakan sebelumnya oleh Brook Taylor.
Selanjutnya pada tahun 1759, ia telah menghitung lamanya pergerakan komet Halley, dan dari hasil perhitungannya terjadi kesalahan satu bulan dari waktu edar sebenarnya.
Clairaut mempunyai seorang saudara yang meninggal pada usia 16 tahun. Pada usia 14 tahun, saudaranya ini pernah membaca tulisan tentang geometri yang diterbitkan oleh akademi Perancis, dan pada usia 15 tahun ia telah mempublikasikan karyanya yang berhubungan dengan geometri. Ayahnya Clairaut seorang ahli matematika, seorang koresponden dari Akademi Berlin, dan iapun seorang penulis masalah geometri.
Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783) seperti halnya Clairaut lahir dan meninggal di Paris. Sebagai seorang bayi yang baru lahir, ia dibuang di dekat gereja Saint Jean Le Rond dan diketemukan oleh seorang gendarme. Selanjutnya secara terburu-buru dibaptis dan diberi nama sesuai dengan tempat dimana ia diketemukan. Kemudian untuk alasan yang tidak dikenal, ditambahkan nama d’Alembert.
Persaingan yang ada diantara para ilmuan, sering terjadi tidak ramah, demikian pula diantara d’Alembert dan clairaut.
Pada usia 24 tahun d’Alembert telah mendapat pengakuan dari Akademi Perancis.
Pada tahun 1743, ia telah menerbitkan Traite de dynamicue, yang menjadi dasar sebagian besar prinsip-prinsip kinetik, sehingga melakirkan hukum d’Alembert. Pada tahun 1744 ia telah menerapkan prinsip-prinsipnya pada sebuah risalah tentang akibat-akibat angin atau pergerakan udara. Kemudian pada tahun 1747, ia telah pula menjelaskan masalah getaran dawai. Dari masing-masing karyanya itu, telah mengarah pada persamaan diferensial parsial, dan ia telah menjadi pelopor dalam penelitian persamaan yang demikian.
Dengan bantuan prinsip-prinsipnya pula, d’Alembert telah memungkinkan untuk memperoleh jawaban lengkap tentang masalah yang mengherankan, yaitu tentang lamanya waktu yang sama antara siang hari dan malam hari.
Pada tahun 1754, d’Alembert telah membentuk usulan yang penting dari teori limit di atas dasar analisis yang kuat, tetapi para matematikawan sebayanya kurang menaruh perhatian terhadap usulannya itu.
Kemudian pada tahun 1754, d’Alembert diangkat menjadi sekretaris tetap di Akademi Perancis. Selama akhir hidupnya ia mengerjakan masalah matematika dalam Ensiklopedi
Perancis (Fench Encyclopedie). Pekerjaan yang besar ini sebelumnya telah dimulai oleh Denis Diderot bersama-sama dengan d’Alembert sendiri.