Sebagaimana yang telah diuraikan pada fasal sebelumnya (fasal 10-3), kita dapat melihat awal abad ke-18 sebagai awal dari geometri analitik yang merupakan hasil kerja dari Antoine Parent dan Alexis Clairaut.
Pada tahun pertama pertengahan abad ke-18 terlihat pula hasil kerja yang penting dari Girolamo Saccheri sebagai pelopor yang membahas tentang geometri Non Euclid (lihat fasal 5-7). Di akhir abad ke-18 masalah ini disebutkan kembali dalam hasil kerja Lambert, pada abad ke-19 telah pula ditemukan geometri Non Euclid oleh Lobachevsky, Janos Bolyai dan Gauss. Namun sebagian materi dari matematika pada abad ke-18 pertemuannya terjadi karena masalah mekanika dan astronomi. Demikian pula sampai abad ke-19, bahwa penelitian yang dilakukan dalam matematika umumnya banyak ditempuh dari pandangan mekanika dan astronomi.
Sumbangan pemikiran atas prinsip-prinsip matematika di abad ke-18 telah banyak diberikan oleh anggota keluarga besar Bernoulli, Abraham De Moivre, Brook Taylor, Leonhard Euler, Alexis Claude Clairaut, Jean-le-Rond d’Alembert, Johann Heinrich Lambert, Joseph Louis Lagrange, dan Gaspard Monge.
Salah satu keluarga yang sangat terkemuka dalam sejarah matematika dan sain adalah keluarga Bernoulli dari Swiss. Sejak akhir abad ke-17 keluarga ini telah banyak memberikan ahli-ahli matematika dan ahli-ahli sain.
Tercatat dalam sejarah, bahwa pada mulanya keluarga Bernoulli ini dipelopori oleh dua saudara, yaitu Jakob Bernoulli (1654-1705) dan Johann Bernoulli (1667-1748). Seperti
telah kita sebutkan dalam uraian fasal terdahulu bahwa kedua bersaudara ini telah banyak melakukan penyempurnaan konsep-konsep matematika. Kedua orang ini telah memberikan rangsangan yang menarik dengan berbagai pembahasannya tentang matematika, sehingga menjadikan matematikawan Leibniz menulis buku Acta Eruditorum.
Kedua bersaudara Bernoulli bersama-sama dengan Leibniz termasuk diantara matematikawan yang mempunyai keyakinan akan kemampuan kalkulus. Mereka yakin bahwa kalkulus akan dapat digunakan untuk memecahkan berbagai masalah, baik dalam matematika maupun dalam aplikasinya dalam masalah-masalah lain.
Dari tahun 1687 hingga kematiannya, Jakob Menduduki jabatannya sebagai ahli matematika di Universitas Basel. Kemudian pada tahun 1697, Johann diangkat menjadi Profesor matematika di Universitas Groningen. Pada tahun 1705, Jakob meninggal dunia dan Johann menggantikan jabatan ahli matematika di Universitas Basel, kemudian ia tinggal disana sampai akhir hayatnya.
Dua bersaudara Bernoulli ini telah bersaing secara positif, dan mereka telah biasa melakukan pertukaran pikiran. Selain di antara mereka, sering pula bertukar pikiran dengan Leibniz dan para matematikawan lainnya.
Diantaranya sumbangan yang telah diberikan oleh Jakob Bernaoulli terhadap matematika adalah pengenalan tentang penggunaan koordinat polar atau koordinat kutub (sudah diuraikan pada fasal 10-3). Dalam koordinat polar dan koordinat kartesius diuraikan tentang turunan untuk rumus jari-jari lengkungan dari sebuah kurva datar. Salah satu penelitiannya adalah tentang garis rantai (catenary) beserta perluasannya, yaitu masalah kaitan diantara variabel dengan tali penghubung dari sebuah gaya sentral. Dilanjutkan pula dengan penelitian terhadap sejumlah kurva datar berpangkat tinggi yang disebut isochrone yaitu kurva yang berhubungan dengan kecepatan yang sama.
Jakob Bernoulli telah pula mengusulkan dan membicarakan masalah-masalah gambar-gambar isoperimetric, dan orang pertama yang bekeja dengan berbagai variasi dalam kalkulus. Ia juga (seperti telah diuraikan dalam fasal 10-5) adalah orang pertama sebagai kelanjutan dari matematikawan probabilitas Huygens. Bukunya dalam bidang ini adalah Ars conjectandi yang diterbitkan pada tahun 1713.
Ada pula beberapa konsep dalam matematika yang ditunjang oleh nama Jakob Bernoulli, diantaranya distribusi Bernoulli dan berbagai teorema Bernoulli dalam statistika dan probabilitas. Persamaan Bernoulli yang dijumpai oleh setiap pelajar didahului oleh persamaan-persamaan differensial, bilangan-bilangan Bernoulli dan polinom-polinom Bernoulli dari teori bilangan serta Lemnisca te Bernoulli yang dijumpai dalam pelajaran kalkulus.
Penyelesaian yang diberikan oleh Jakob Bernoulli terhadap masalah kurva Isochrone dimuat dalam Acta eruditorum yang diterbitkan pada tahun 1690. Dalam buku ini, kita menemukan kata “Integral” dalam kalkulus untuk pertama kalinya. Di lain pihak, Leibniz telah pula meyebut kalkulus integral dengan istilah “calculus summatorius”. Kemudian dalam tahun 1696 Leibniz dan Johann Bernoulli sepakat untuk meyebutnya “caculus integralis”.
Jakob Bernolli telah pula menemukan spiral equiangural yang ditemukannya sendiri dari bermacam-macam transformasi sebagai tiruan dari Archimedes. Spiralnya digambar pada batu kapur sepanjang tulisan “Eadem Mutate Resurgo” (“saya akan muncul dengan cara yang sama meskipun ada perubahan”).
Johann Bernoulli telah memberikan sumbangan pemikiran yang lebih melimpah terhadap matematika daripada saudaranya Jakob Bernoulli. Meskipun ia seorang pecemburu dan orang yang suka bertengakar, namun ia adalah seorang guru yang paling berhasil pada masanya. Ia orang yang telah memperkaya kalkulus dan orang yang sangat berpengaruh dalam membicarakan pembaharuan di Benua Eropa.
Telah kita lihat pula dalam fasal sebelumnya (fasal 11-10), bahwa Marquis de I’Hospital (1661-1704) di bawah perjanjian keuangan yang ganjil dengan gurunya Johann telah dapat menerbitkan teksbuk kalkulus yang pertama. Buku kalkulus ini diterbitkan pada tahun 1696 yang berisikan materi pelajaran yang diberikan oleh Johann Bernoulli. Dalam buku tersebut dimuat metode yang terkenal tentang penilaian keadaan yang tidak menentu untuk pecahan yang pembilang dan penyebutnya mendekati nol. Dalam buku-buku kalkulus, metode seperti ini dikenal sebagai teorema I’Hospital.
Johann Bernoulli telah pula menulis bermacam-macam topik, diantaranya fenomena optik yang berhubungan dengan pemantulan dan pembiasan. Penentuan kurva yang mempunyai lintasan orthogonal, perbaikan kurva drajat dua, trigonometri analitis, kalkulus eksponensial, dan masih banyak topik lainnya.
Salah satu diantara tulisan Johann Bernoulli yang paling mendapat perhatian ialah sumbangan hasil kerjanya dalam masalah “brachystochrone”, yaitu menentukan kurva yang paling cepat dari sebuah partikel yang mempunyai berat dan bergerak diantara dua titik yag diberikan dalam suatu daerah gravitasi. Kurva yang dihasilkannya merupakan sebuah busur yang menyerupai kurva sikloida (cycloid). Masalah ini pernah pula dibicarakan oleh Jakob Bernoulli.
Kurva sikloida merupakan jawaban terhadap masalah “tautochroune”, yaitu menetukan kurva sepanjang partikel yang mempunyai berat yang sampai di suatu titik tertentu dalam interval waktu yang sama, sedangkan titik awal kurva tersebut dipersoalkan.
Secara lebih umum lagi, persoalan seperti ini selain dibicarakan oleh Jakob Bernoulli juga dibicarakan oleh Johann Bernoulli, Euler, dan Lagrange. Namun persoalan seperti ini sebelumnya telah pula dipecahkan oleh Huygens (1673) dan Newton (1687). Seperti telah kita ketahui dalam bab X, Huygens telah menggunakan persoalan ini dalam membahas cara-cara pembuatan bandul jam.
Johann Bernoulli mempunyai tiga orang putera yaitu yang pertama Nicolaus (1659-1726), Daniel (1700-1782), dan yang terakhir Johann (II) (1710-1790). Kesemuanya ini mempunyai nama yang termashur sebagai matematikawan dan saintis di abad ke-18.
Nicolaus Bernoulli nampaknya paling berbakat dalam bidang matematika seperti yang diutarakan oleh Akademi St. Petersburg. Ia telah menulis masalah kurva, persamaan differensial, dan probabilitas. Diantaranya ada sebuah persoalan probabilitas yang pernah diajukan di St. Petersburg yang kemudian dikenal sebagai paradoks St. Petersburg. Persoalan
ini berhubungan dengan pengetossan (pelemparan) kepingan uang logam, yaitu A akan menerima satu sen dolar jika yang muncul kepala (muka) dari hasil pengetosan uang pertama, akan menerima dua sen dolar jika tidak muncul kepala (muncul ekor atau muka baru) pada pengetosanyang kedua, akan menerima empat sen dolar jika tidak muncul kepala pada pengetosan ketiga, dan seterusnya, berapakah nilai ekspetasi A (nilai harapan A)?
menurut teorema yang berlaku dalam matematika menunjukkan bahwa nilai ekspetasi A tidak berhingga, dan ini adalah sebuah hasil yang bersifat paradoks.
Untuk selanjutnya, persoalan paradoks St. Petersburg diselidiki oleh Daniel Bernoulli, dan ia pula yang menggantikan Nicolaus Bernaulli di Akademi St. Petersburg.
Daniel Bernoulli adalah yang paling terkenal diantara tiga putera Johann Bernoulli.
Ia telah banyak memberikan sumbangannya dalam masalah probabilitas, astronomi, fisika, dan hidrodinamika. Dalam probabilitas, Daniel telah megemukakan konsep “Ekspetasi moral” (Moral Exspetation). Kemudian pada tahun 1738 ia telah mengemukakan prinsip-prinsip hidrodinamika, sehingga namanya tercantum dalam setiap buku pelajaran Fisika dasar. Selain dari itu, ia telah pula menulis teori kinetis (kinetic) untuk gas, kemudian mempelajari getaran dawai, dan dianggap sebagai pelopor dari persamaan diferensial parsial.
Johann Bernoulli (II), putera yang paling muda dari tiga bersaudara, pada mulanya mempelajari masalah hukum, namun beberapa tahun menjelang akhir hidupnya ia menjadi Profesor matematika di Universitas Basel. Dalam matematika, Johann (II) secara khusus lebih tertarik dalam masalah panas dan cahaya yang berkaitan dengan teori-teori matematika.
Adapula seorang keponakan Jakob dan Johann I yang bernama Nicolaus II (1687-1759) yang telah pula mencapai kemasyuran dalam bidang matematika. Nicolaus Bernaulli II pernah menduduki kursi ahli matematika di Padua, dan kedudukan ini pernah dipegang oleh Galileo untuk selama satu periode. Nicolaus II telah pula menulis Geometri dan persamaan diferensial secara panjang lebar. Pada akhir hidupnya, Nicolaus II memberikan kuliah logika dan hukum.
Johann Bernoulli II mempunyai tiga orang putera, satu diantaranya bernama Johann Bernoulli III, (1744-1807). Selain namanya sama seperti ayahnya, ia sama seperti ayahnya mempelajari bidang hukum dulu, kemudian akhirnya kembali kepada matematika. Ketika ia berumur 14 tahun, ia dipanggil sebagai seorang professor matematika di Akademik Berlin.
Johann III menulis masalah astronomi, doktrin peluang (doctrine of chanche), pecahan bersusun, dan persamaan tersamar.
Dua orang putera Johann Bernoulli II lainnya kurang mendapat perhatian, yaitu Daniel Bernoulli II (1751-1834) dan Jakob Bernoulli II (1759-1789). Keluarga Bernoulli yang lainnya adalah putera Daniel Bernoulli II yang bernama Crhistoph Bernoulli (1782-1863). Crhistoph mempunyai seorang putera yang bernama Johann Gustav (1811-1863).