MATEMATIKA HINDU DAN ARAB
1. Perhitungan Angka
Disini akan ditunjukkan beberapa cara orang Hindu menghitung. Menurut ahli sejarah Jerman H. Hankel, mereka biasa menulis pada sebuah papan tulis kecil dengan pena yang dicelupkan kedalam cat putih tipis yang mudah dihapus atau pada suatu papan yang luasnya kurang dari satu kaki persegi yang diatasnya ditaburi serbuk merah. Terlihat pada alat tersebut di atas bahwa tempat menulis adalah sempit sedangkan untuk dibaca dengan jelas dibutuhkan gambar-gambar yang besar.
Akan tetapi penghapusan dan pembetulan sangat mudah dilakukan, oleh karena itu proses perhitungan direncanakan sesuai dengan penghematan tempat menulis dengan cara menghapus suatu angka segera setelah tidak dipergunakan lagi. Penjumlahan Hindu kuno mungkin dilakukan dari kiri kekanan tidak seperti yang kita lakukan dari kanan ke kiri.
Sebagai contoh perhatikan penjumlahan dari 345 dan 488, mungkin ini disusun ke bawah seperti yang ditunjukkan pada gambar:
8 3 Penghitungan menyatakan 3 + 4 = 7
7 2 3 dan ditulis diatas kolom kiri. Selanjutnya 4 + 8 = 12
3 4 5 yang merubah 7 menjadi 8 dan diikuti oleh 2. Angka 7 dihapus dan ditulis 82. Terlihat bahwa angka 7 dicoret dang angka 8 ditulis di atasnya. Kemudian 5 + 8 = 13 yang merubah 2 menjadi 3 diikuti oleh tiga lainnya. Dan hasil terakhir dari perhitungan
1
itu adalah 833 tertera di atas papan tulis selanjutnya 345 dan 488 dapat dihapus dan sisa papan tulis itu sudah bersih, untuk pekerjaan atau perhitungan lainnya.
Dalam keterangan-keterangan yang tak tertanggal pada buku Lilavati Bhaskara didapat cara lain, dimana penjumlahan 345 dan 488 dikerjakan sebagai berikut:
Jumlah satuan 5 + 8 = 1 3 Jumlah puluhan 4 + 8 = 1 2 • Jumlah Ratusan 3 + 4 = 7 • • Jumlah total = 8 3 3
Untuk perkalian dipergunakan beberapa metode, yang sederhana misalnya 569 x 5 akan dikerjakan sebagai berikut (juga dari kiri ke kanan). Papan tulis sedikit di bawah tepi atas ditulis 569 diikuti oleh pengalinya 5, seperti terlihat pada gambar di bawah ini:
Karena 5 x 5 = 25, angka 25 di 8 4 Tulis di atasnya 569 seperti ter 2 5 0 5 Lihat pada gambar, kemudian 5 x 5 6 9 5
6 = 30 yang berubah angka 5 dari 25 menjadi 0 8 disusul dengan angka 0. Suatu penghapusan yang cepat, cocok dalam menyelesaikan perhitungan ini. Sekali lagi pada perhitungan disini bahwa angka yang seharusnya diganti/dicoret angka 5 dicoret dan angka 8 ditulis di atasnya.
Kemudian 5 x 9 = 45 yang merubah angka 0 menjadi 4 diikuti oleh 5. Angka terakhir 2.845, sekarang tertera ditepi atas dari papan perhitungan. Suatu perhitungan yang lebih sulit seperti 135 x 12 mungkin di selesaikan seperti cara pertama 135 x 4 = 540 kemudian 540 x 3
= 1.620 atau dengan menjumlahkan 135 x 10 = 1.350 dan 135 x 2 = 270. Diperoleh 1.620.
atau mungkin juga menurut Hankel, soal itu diselesaikan debagai berikut:
Sedikit di bawah atas papan penulisan ditulis 135 dan pengalinya 12 sedemikian sehingga angka satuan dari 135 terletak di bawah angka terkiri dari angka pengali. Sekarang 135 x 1
= 135 yang ditulis dibagian atas papan.
6 2
5 1
1 3 5 0
1 2
1 3 5
1 3 5
Kemudian dengan cara menghapus, 135 dipindah kekanan dan dikalikan dengan angka 2 dari 12. Dalam menyelesaikan ini kita peroleh 2 x 1 = 2 yang merubah angka 3 dari perkalian sebagian menjadi 5. Kemudian 2 x 3 = 6 yang merubah angka 5 dari perkalian yang terakhir ini menjadi 61. Akhirnya 2 x 5 = 10 yang merubah angka 1 yang terakhir menjadi 2 diikuti oleh angka 0. Hasil perkalian yang terakhir 1.520 yang tertera di atas papan perhitungan.
Cara lain untuk perkalian yang dikenal orang Arab yang mungkin didapat dari orang Hindu, sangat mirip dengan cara kita sekarang dapat dijelaskan seperti pada uraian ini.
Sebagai contoh diambil perkalian 135 x 12.
Gambar seperti di bawah ini
1 3 5
1 3 5
2 6 1 0
1 2
6 2 0
Orang-orang Arab yang kemudian mengutip beberapa proses dari orang Hindu yang ternyata tidak dapat memperbaiki cara tersebut dan mencontoh pada kertas pekerjaan dimana cara penghapusan tidak dapat dilakukan dengan mudah. Sehingga cara penghapusan diganti dengan cara mencoret angka yang sudah tidak diperlukan dan menulis angka yang baru di atas atau di bawah angka yang lama seperti yang kita lihat di atas.
Dasar-dasar ilmu hitung kita dimulai dari India mungkin di sekitar abad 10 atau 11 yang dikutip oleh orang Arab kemudian dibawa ke Eropa Barat dimana cara-cara itu diubah sehingga menjadi bentuk seperti sekarang. Hasil pekerjaan ini mendapat perhatian yang cukup besar dari penulisan ilmu hitung Eropa pada abad kelima belas.
2. Aritmetika
Orang Hindu adalah ahli matematika yang pandai dan memberikan sumbangan yang cukup berarti pada aljabar. Soal-soal matematika banyak yang diselesaikan dengan kedudukan palsu. Metode lain yang mereka senangi untuk menyelesaikan soal-soal adalah dengan inversi (pembalikan) dimana pekerjaan diselesaikan secara terbalik dari uraian yang diberikan.
Perhatikan contoh yang diberikan oleh Aryabhata pada abad ke 6 sebagai berikut:
“Wanita cantik tentu memiliki mata yang berseri-seri, katakanlah kepadaku, karena engkau memiliki cara yang benar tentang inversi, bilangan berapakah yang setelah dikalikan 3, kemudian ditambah dengan ¾ dari hasil kalinya lalu dibagi 7, dikurangi 1/3 dari hasil baginya, dikalikan dengan hasil bilangan itu sendiri, dikurang 52, diakar pangkat dua, ditambah 8 dan dibagi 10 menghasilkan angka 2 “?
Dengan cara inversi dimulai dengan angka 2 dan diselesaikan dari belakang.
[ (2) (10) – 8 ]2 + 52 =196, V 196 = 14
(14) (3/2) (7) (4/7)/3 = 28, inilah jawabannya.
Perhatikan jika dalam soal itu disuruh membagi dengan 10, maka kita mengalikan dengan 10, jika kita harus menambah 8, maka kita kurangi 8, bilamana kita harus mancari akar, maka kita mempangkatkan dengan dua dan seterusnya. Karena penggantian dari setiap operasi dengan operasi inversinya maka cara ini disebut: inversi, tentu saja ini dengan cara yang kita lakukan jika kita harus menyelesaikan dengan cara modern. Sehingga bila bilangan yang dicari x, diperoleh :
( )( )( )
2/3 7/4 3x /7 2 −52+8
/10 = 2Untuk menyelesaikan ini kita kalikan dengan 10 kemudian kedua ruas dikalikan dengan 8, lalu keduanya dikuadratkan dan seterusnya.
Bentuk soal orang Hindu biasanya dalam bentuk syair-syair serta mereka membuat tanda yang berbeda-beda dalam aljabar. Untuk menunjukkan penjumlahan kedua bilangan dijajarkan secara berurut. Pengurangan dinyatakan dengan memberi titik pada bilangan pengurangan. Perkalian dinyatakan dengan kata bha (singkat dari kata bhavita yang berarti hasil kali) dibelakang hasil pengali. Pembagian dinyatakan dengan menempatkan bilangan pembagi di bawah bilangan yang dibagi. Akar dua dinyatakan dengan kata ka (singkatan dari kata karana yang berarti irrasional) dimuka bilangan yang akan diakar duakan itu. Bilangan yang belum diketahui dinyatakan dengan kata ya (singkatan dari kata yavattavat yang berarti sebanyak seperti). Bilangan kedua yang belum diketahui dikatakan dengan kata-kata yang menyatakan warna misalnya ka (singkatan dari kata kalaka yang berarti hitam). Dan bilangan cacah yang diketahui diberi kata awal ru (singkatan dari kata rupa yang berarti bilangan
mutlak). Demikianlah dengan menggunakan ejaan latin, kita temukan bentuk hitungan beserta artinya sebagai berikut :
Ya ka 8 bha ka 10 ru 7
= (bilangan anu) (bilangan anu) kali 8 tambah akar dua dari 10 dikurangi 7 = 8 xy + 10 – 7
Orang Hindu mengenal bilangan negatif dan bilangan irrasional serta mengetahui bahwa suatu kuadrat mempunyai dua akar yang memenuhi.
Bhaskara memberikan …. identitas yang menarik:
2
Yang kadang-kadang digunakan dalam aljabar kita untuk mencari akar-akar dari bentuk binominal. Identitas ini juga terdapat pada buku X dari Euclid’s Element, tetapi hal itu diberika pada kalimat yang berbelit-belit dan sukar dimengerti.
Orang Hindu menunjukkan kepandaian yang luar biasa didalam uraian tak tentu dan mungkinn merupakan orang pertama yang mencari metode umum dalam cabang matematika ini.
3. Geometri
Orang Hindu tidak begitu pandai dalam geometri, mereka sangat tergantung pada pengalaman dan sering dihubungkan dalam perhitungan luas dan isi.
Sulvasutras kuno menunjukkan bahwa orang hindu kuno mempergunakan geometri (ilmu ukur segi tiga) untuk kontruksi dari tempat pemujaan dan dalam mengerjakan itu digunakan dalil Pythagoras. Juga terdapat tentang penyelesaian tentang bujur sangkar dimana mengambil d
= (2 + V2) s/3 dan s = 13 d/15, dengan d adalah garis tengah lingkaran sedangkan s adalah sisi dari bujur sangkar.
V2 = 1 + 1/3 +1/(3) (4) – 1/(3) (4) (34) dimana yang menarik perhatian adalah bahwa semua pecahannya adalah pecahan satuan dan persamaan itu teliti sampai 5 angka dibelakang koma.
Drahmagupta dan Mahavira keduanya tidak hanya memberikan rumus heron untuk luas segitiga tetapi juga rumus:
K = [ (s-a) (s-b) (s-c) (s-d) ] ½
Untuk luas segi empat tali busur yang sisinya: a, b, c dan d serta setengah kelilingnya s.
Sedangkan untuk rumus yang umum adalah :
K2 = (s-a) (s-b) (s-c) (s-d) – abcd Cos2 [ (A+C) / 2 ]
Dimana sudut A dan C adalah sudut yang berhadapan dari segi empat tersebut.
Dalam Geomatri Hindu, hasil paling berharga dan mungkin merupakan satu-satinya yang terbaik adalah teori Brahmagupta yang menyatakan diagonal m dan n dari suatu segi empat talibusur yang mempunyai sisi a, b,c dan d dinyatakan dengan:
m2 = (ab + cd) (ac + bd) / (ad + bc) n2 = (ac + bd) (ad + bc) / (ab + cd)
dan bahwa jika a, b, c, A, B, C adalah bilangan bulat positif sedemikian sehingga a2 + b2 = c2 dan A2 + B2 = C2, maka segi empat tali busur itu mempunyai sisi berturut-turut aC, cB, bC dan cA (disebut trapesium Bramagupta) mempunyai luas dan diagonal yang rasional dan diagonal yang saling tegak lurus. Rumus-rumus orang Hindu terdapat banyak kesalahan, seperti halnya
Aryabhata menghitung isi paramida sebagai setengah dari hasil kali alas kali tinggi dan isi bola sebagai 3/2 r3. Orang Hindu mendapat harga yang agak tepat untuk = 3 = V IO.