Menjelang akhir abad ke-19, Georg Cantor (1845-1918) berusaha terus untuk mengembangkan teori himpunan. Yang menarik lagi teori himpunan telah berkembang dengan cepat, dan sampai sekarang setiap cabang matematika telah merasakan pengaruhnya.
Pemikiran tentang ruang (space), misalnya geometri ruang, secara garis besarnya telah dirubah oleh teori himpunan. Demikian pula konsep dasar dalam analisa, seperti limit, fungsi, kontinuitas, turunan dan integral akan lebih tepat jika dijelaskan dengan ide teori himpunan.
Namun yang sangat penting lagi adalah perkembangan dari matematika baru (New mathematic) yang telah berkembang sejak 50 tahun yang lampau, dan kejadiannya merupakan hal yang tidak pernah dimimpikan sebelumnya.
Sebagai akibat telah lahirnya pengertian prosedur dalam matematika baru disertai pengertian ruang (space) yang abstrak, maka terciptalah teori yang umum tentang dimensi dan berbagai kreasi dalam pengukuran. Kemudian terciptalah cabang matematika baru yang disebut Topologi (Topology) yang telah mengalami pertumbuhan secara spektakuler.
Secara singkat, di bawah pengaruh teori himpunan telah terjadi penggabungan dari matematika tradisional (traditional mathematic) dengan matematika baru (new mathematics). Prosesnya terjadi dengan kecepatan yang luar biasa.
Untuk memberikan ilustrasi dalam sejarah perkembangan konsep-konsep matematika dasar, perlu memperhatikan pemikiran tentang “ruang” dan “geometri ruang”.
Konsep-konsep ini telah banyak mengalami perubahan sejak zaman Yunani kuno.
Pada zaman Yunani, hanya ada satu konsep tentang “ruang” dan satu konsep tentang
“geometri”. Kedua konsep ini mutlak kebenarannya. “Ruang” merupakan sesuatu hal yang tidak dipikirkan sebagai himpunan dari titik-titik, tetapi lebih jauh lagi sebagai alam atau tempat kedudukan untuk obyek-obyek yang dapat bergerak secara bebas dan dapat diperbandingkan satu dengan yang lainnya. Dari titik pandangan ini, relasi dasar dalam geometri adalah kongruensi (congruence).
Dengan berkembangnya geometri analitik pada abad ke-17, masalah “ruang”
menjadi lebih diperhatikan lagi dan dianggap sebagai himpunan titik-titik. Dengan adanya kreasi dari geometri yang klasik, yaitu timbulnya Geometri Non-Euclid di abad ke-19. para ahli matematika telah menerima adanya lebih dari satu geometri. Namun demikian “ruang”
masih dipandang sebagai tempat kedudukan untuk menggambarkan perbandingan yang satu dengan yang lainnya.
Ide selanjutnya berpusat pada grup transformasi yang kongruen dari “ruang” kepada dirinya sendiri. Sedangkan geometri, lebih diperhatikan sebagai penelitian sifat-sifat dari susunan titik-titik, dan tidak berubah bila menyertakan “ruang” dalam membahas transformasi.
Kita telah melihat dalam fasal 9-8, bagaimana titik dipandang dan dikembangkan oleh Felix Klein (1849-1929) dalam bukunya Erlanger Program yang diterbitkan pada tahun 1872. Dalam karyanya ini, ia mendefinisikan geometri sebagai teori yang invarian di bawah sebuah grup transformasi. Konsep ini telah mempersatukan dan menggeneralisasikan semua konsep awal geometri. Selain itu, ia telah pula mengklasifikasikan secara tunggal dari sejumlah besar geometri-geometri yang terpenting.
Pada akhir abad ke-19 telah berkembang ide dari suatu cabang matematika yang bersifat abstrak dalam melahirkan sekumpulan postulat. Hal ini telah mengakibatkan setiap geometri mempunyai pandangan yang sama terhadap “titik”. Geometri yang bersifat seperti ini merupakan sebuah cabang yang khusus dalam matematika. Sekumpulan postulat dalam jumlah yang besar dan bervariasi dalam geometri telah dipelajari, namun Erlanger Programm tetap tidak terpengaruhi, malahan telah berkembang sebuah geometri yang mempunyai teori-teori yang sama dengan sebuah grup transformasi.
Dalam tahun 1906, Maurice Frechet (1878- ) telah membuka penelitian tentang ruang yang abstrak (abstract spaces). Sebuah “ruang” menjadi himpunan dari obyek-obyek yang biasanya disebut titik-titik. Jika titik-titik ini bersama-sama dengan sejumlah relasi yang melibatkan titik-titik tersebut, maka sebuah geometri akan menjadi suatu teori yang sederhana. Kumpulan dari relasi yang melibatkan perubahan titik-titik dinamakan struktur ruang (structure of the space). Struktur ini kadang dapat dijelaskan dan kadang-kadang tidak dapat dijelaskan dengan teori invarian dari sebuah grup transformasi. Jadi, teori himpunan telah diterima oleh geometri sebagai sebuah generalisasi yang lebih lanjut.
Ruang abstrak untuk pertama kalinya diperkenalkan secara resmi pada tahun 1906.
Pada tahun tersebut, ide geometri diperoleh dari penelitian terhadap sekumpulan titik dengan beberapa struktur yang berlapis. Keadaan ini telah dikembangkan oleh Riemann dalam kuliahnya yang terkenal pada tahun 1854. Hal yang menarik bahwa dari beberapa bagian geometri yang baru telah diketemukan pemakaian yang berharga untuk teori relatifitas Einstein, dan perkembangan lainnya untuk fisika modern.
Konsep fungsi dalam pemikiran “ruang” dan “geometri” telah mengalami evolusi.
Setiap orang yang mempelajari matematika akan menemukan berbagai macam perbaikan sebagai akibat dari evolusi itu. Hal demikian merupakan suatu kemajuan yang berarti dalam penelitian dan pendidikan di sekolah tinggi.
Sejarah “fungsi” merupakan contoh lengkap yang menarik dari kecenderungan para matematikawan untuk menggeneralisasikan dan memperluas konsep-konsep mereka.
Perkataan “fungsi” yang sama dengan bahasa Latinnya, kemungkinan diperkenalkan oleh Leibniz pada tahun 1694. Untuk pertama kalinya dipakai menunjukkan sembarang besaran yang dihubungkan dengan sebuah kurva, misalnya koordinat suatu titik yang terletak pada sebuah kurva, koefisien arah kurva, jari-jari kelengkungan kurva, dan seterusnya.
Johann Bernoulli, pada tahun 1718 telah memandang sebuah fungsi sebagai pernyataan dari sebuah variabel dan beberapa konstanta. Sedangkan Euler, agak terlambat dalam memperhatikan sebuah fungsi sebagai sembarang persamaan atau sebagai rumus yang melibatkan beberapa variabel dan konstanta. Ide yang terakhir ini merupakan pola pemikiran tentang “fungsi” yang secara formal diterima oleh para siswa dalam mempelajari matematika dasar.
Konsep fungsi dari Euler tetap berlaku tidak mengalami perubahan hingga Joseph Fourier (1768-1830) memimpin penelitian tentang arus panas). Juga masih didasarkan pada fungsi, Fourier telah membahas deret fungsi yang disebut deret trigonometri. Deret ini merupakan bentuk yang lebih umum dalam hal relasi diantara variabel-variabelnya daripada yang telah dipelajari sebelumnya.
Percobaan yang dilakukan oleh Fourier telah pula memberikan sebuah definisi tentang perluasan fungsi yang mencakup relasi-relasinya. Keadaan demikian telah mengantarkan Lejeune Dirichlet (1805-1859) sampai pada rumusannya seperti berikut :
“sebuah variabel adalah sebuah simbol yang menggambarkan satu dari sekumpulan bilangan
; jika dua buah variabel x dan y sedemikian rupa sehingga menghubungkan kapan saja sebuah nilai x dapat menggantikan nilai y secara otomatis dengan beberapa aturan atau hubungan, maka kita katakan y adalah fungsi dari x. variabel x yang dapat dipilih secara sembarang sehingga menghasilkan nilai untuk variabel y disebut variabel bebas (dependent variabel), sedangkan variabel y yang nilainya tergantung pada variabel x disebut variabel terikat (independent variable). Nilai-nilai x terletak pada daerah fungsi yang disebut domain dari definisi suatu fungsi, sedangkan nilai-nilai y terletak pada daerah yang disebut range dari satu fungsi.
Para siswa yang mempelajari matematika, biasanya menemukan definisi fungsi Dirichlet sebagai perkenalan dalam belajar kalkulus. Definisi Dirichlet ini sangatlah luas, yaitu menyatakan secara langsung relasi diantara x dan y oleh beberapa pernyataan analitik.
Sedangkan penentuan ide dasarnya merupakan sebuah relasi di antara dua himpunan bilangan.
Teori himpunan yang telah memperluas konsep fungsi, di antaranya mencakup relasi untuk sembarang dua himpunan yang unsur-unsurnya dapat berupa bilangan atau yang lainnya. Dalam teori himpunan, sebuah fungsi f didefinisikan sebagai himpunan dari beberapa pasangan unsur, sehingga jika (a1, b1) f, (a2, b2) f, dan a1 = a2, maka b1 = b2. Himpunan A beranggotakan semua unsur pertama dari setiap pasangan disebut sebagai domain fungsi, sedangkan himpunan B yang anggota-anggotanya semua unsur kedua dari setiap pasangan tadi disebut range fungsi.
Sebuah relasi yang fungsional tidaklah selamanya mempunyai arti, kecuali sebuah jenis khusus dari produk cartesian A x B. Sebuah korespondensi satu-satu adalah suatu jenis khusus dari fungsi, yaitu sebuah f sedemikian rupa, hingga untuk (a1, b1) f, (a2, b2) f, dan b1 = b2, maka a1 = a2. Jika untuk sebuah relasi fungsional f, (a, b) f, maka kita tulis b
= f(a).
Jalan pemikiran dalam fungsi telah banyak diserap oleh cabang-cabang matematika dan sain. Pada awal abad yang sekarang konsep fungsi telah mempengaruhi pola pemikiran para matematikawan. Pemakaian konsep fungsi telah berperan sebagai pemersatu prinsip dalam organisasi pengajaran matematika dasar. Konsep fungsi telah pula berperan sebagai pembentuk kebiasaan dan petunjuk yang efektif dalam menseleksi dan mengembangkan materi-materi suatu karya tulis. Tidaklah ada keragu-raguan lagi tentang keharusan seseorang mempelajari matematika untuk berkenalan sedini mungkin dengan konsep fungsi.