Proposisi V.6 Misalkan M memenuhi syarat kausal dan p, q ∈ M dengan q ∈ J+(p), akan terdapat geodesik kausal dari p ke q yang mempunyai panjang lebih besar atau sama dengan sembarang kurva kausal dari p ke q.
Untuk membuktikannya, perlu dianalisa perilaku unsur - unsur dalam C(p, q).
Karena setiap kurva kausal selain geodesik null dapat didekati dengan himpunan kur-va bak-waktu, maka himpunan kurkur-va bak-waktu dari p ke q yang differensiable C1 yang dilambangkan dengan ˜C(p, q) dapat ditunjukkan sebagai dense bagi C(p, q).
Lemma V.15 Apabila M memenuhi syarat kausal, maka fungsional panjang L up-per semi-continous pada C(p, q) menurut topologi-C0
Bukti: Misalkan γ ∈ ˜C(p, q) dengan h ˙γ, ˙γi = −1 dan U menjadi lingkungan dari γ yang berasal dari gabungan berhingga himpunan konveks dan ˜γ menyatakan per-luasan γ pada lingkungan tersebut yang inextendible. Karena M kausal, maka γ tidak diijinkan beririsan dengan dirinya sendiri. Oleh karena itu, U dapat dipilih sim-ply connected. Diambil medan vektor basis {E0(t), · · · , En−1(t)} yang ortonormal sepanjang ˜γ dengan E0 = ˙γ. Pemetaan f : V ⊂ Rn → U , (t, x1, · · · , xn−1) 7→
exp˜γ(t) Pn−1
i=1 xiEi(t) merupakan diffeomorfisme lokal di dekat γ. U dan V dapat dipilih cukup kecil sehingga f menjadi diffeomorfisme.
Karena C(p, q) ⊂ ˜C(p, q), cukup dibuktikan fungsional panjang L upper semi-continous pada ˜C(p, q). Misalkan γ unsur dari ˜C(p, q) dan µ kurva bak-waktu yang menghubungkan p dan q dan termuat dalam lingkungan γ yang telah disebutkan sebelumnya. Karena dt( ˙µ(t)) = 1, maka ˙µ(t) = ∇t+v(t)h∇t,∇ti dengan v(t) menyatakan medan vektor yang ortogonal terhadap ∇t. Akibatnya
−gµ(t)( ˙µ, ˙µ) = − maka untuk suatu > 0 cukup kecil sehingga pada U dipenuhi −1− < g(∇t, ∇t) <
−1 + sehingga −gµ(t)( ˙µ, ˙µ) ≤ 1−1 = −1−1 gγ(t)( ˙γ, ˙γ) sehingga L(µ) ≤ 1−1 L(γ).
Karena µ ∈ ˜C(p, q) sembarang, maka L upper semi-continous pada ˜C(p, q) Bukti proposisi V.6: Ketika ˜C(p, q) = ∅ tetapi C(p, q) 6= ∅, maka p dan q akan terhubung oleh geodesik null patah dan tidak ada kurva kausal lain selain kurva geodesik null patah. Sebaliknya jika ˜C(p, q) 6= ∅, akan terdapat kurva kausal γ dari p ke q yang panjangnya lebih atau sama dengan kurva lainya. Tetapi dalam lingkungan konveks, kurva kausal berpanjang maksimal yang menghubungkan dua titik dalam lingkungan tersebut adalah suatu geodesik kausal. Karena Lipsichtzan, sepanjang γ akan selalu dapat dibangun lingkungan - lingkungan konveks. Oleh karena itu, apabi-la γ mempunyai panjang lebih dari kurva apabi-lainnya, tentuapabi-lah γ adaapabi-lah suatu geodesik.
Karena fungsi kontinyu dari sembarang ruang kompak ke R akan mempu–
nyai nilai maksimum dan minimum, maka pada rung-waktu hiperbolis global, L yang upper semi-continous akan mempunyai maksimum di C(p, q). Dalam C(Σ, q) yang dilengkapi dengan fungsional panjang L = inf {L(γ) |γ ∈ C(p, q), ∀p ∈ Σ } juga mengalami hal yang sama. Bersama dengan hasil pada bab sebelumnya yang me–
nyatakan: Secara lokal, kurva berpanjang maksimal yang menghubungkan antara suatu hypersurface dan sebuah titik adalah geodesik bak-waktu ortogonal terhadap hypersurface dan tidak mempunyai titik konjugasi antara hypersurface dan titik terse-but, maka dapat disimpulkan hal - hal berikut.
Simpulan V.7
1. Dalam ruang-waktu hiperbolis global, kurva berpanjang maksimal yang meng–
hubungkan titik - titik p, q ∈ M dengan q ∈ J+(p) adalah geodesik bak-waktu yang tidak mempunyai titik konjugasi.
2. Jika Σ permukaan Cauchy, dan q ∈ D+(Σ), maka akan terdapat geodesik bak-waktu berpanjang L yang tidak memuat titik fokal antara Σ dan q.
Kondisi yang lebih renggang diberikan pada ruang-waktu yang kausal kuat yaitu dengan mengganti permukaan Cauchy dengan sembarang hypersurface bak-ruang akronal. Karena C(p, q) tidak selalu kompak, maka kemaksimalan L tidak ditentukan oleh C(p, q).
Simpulan V.8
1. Pada ruang-waktu kausal kuat, apabila diijinkan nilai maksimal pada fung-sional panjang maka kurva geodesik bak-waktu tanpa titik konjugasi yang meng–
hubungkan p, q ∈ M dengan q ∈ J+(p) mempunyai panjang maksimal dalam C(p, q).
2. Misalkan S hypersurface bak-ruang akronal licin pada ruang-waktu kausal ku-at dan q ∈ D+(S). Apabila diijinkan nilai maksimal pada fungsional panjang maka geodesik ortogonal terhadap S menuju q yang tidak memuat titik fokal mempunyai panjang maksimal dalam C(S, q).
Karena geodesik null tanpa titik konjugasi tidak dapat mengalami deformasi menjadi kurva bak-waktu, akan dapat diperoleh kesimpulan berikut
Simpulan V.9 Misalkan (M, g) ruang-waktu hiperbolis global dan S suatu sub-manifold bak-ruang yang kompak, orientabel dan berkodimensi 2. Maka setiap p ∈
∂I+(S) dilintasi oleh geodesik null berarah ke masa depan berasal dari S dan or-togonal terhadapnya serta tidak memuat titik fokal antara S dan p.
Setelah menyiapkan sejumlah perangkat yang diperlukan pada bab - bab se-belumnya, berikut ini akan dibuktikan sejumlah teorema singularitas menurut sudut pandang ketidak-komplitan geodesik. Baik geodesik null maupun geodesik bak-waktu. Teorema- teorema ini didasarkan pada teorema - teorema singularitas yang telah ditemukan oleh Hawking dan Penrose.
Teorema pertama berikut menunjukkan bahwa jika ruang-waktu bersifat hiper-bolis global dan suatu ketika terlihat mengalami ekspansi ke segala arah, maka dapat ditunjukkan bahwa jagat raya bermula dari suatu keadaan singular pada suatu selang waktu berhingga di masa lalu.
Teorema VI.1
Misalkan (M, g) ruang-waktu yang hiperbolis global dan syarat energi kuat ter-penuhi oleh materi. Apabila pada (M, g) terdapat permukaan Cauchy Σ bak-waktu licin (paling tidak C2) dengan kelengkungan rata - rataHγ(a), ˙γ(a) := c > 0 untuk setiap geodesik bak-waktu γ dengan γ(a) ∈ Σ, maka setiap kurva bak-waktu berarah ke masa lalu dari Σ tidak komplit.
Bukti: Untuk membuktikan teorema ini, akan dikenakan kontraposisi. Semisal terda-pat kurva bak-waktu berarah ke masa lalu λ mempunyai panjang lebih besar dari 1c, dan p menyatakan titik sepanjang λ pada jarak 1c dari Σ. Menurut simpulan V.8 akan terdapat geodesik tanpa titik fokal antara Σ dan p serta panjang maksimum. Tetapi ini kontradiksi dengan proposisi IV.2 yang menyatakan γ harus mempunyai titik fokal antara Σ dan p. Oleh karena itu, seharusnya tidak ada satu kurva bak-waktu berarah ke masa lalu yang dapat mempunyai panjang yang lebih dari 1c.
136
Ide utama teorema di atas adalah adanya kontradiksi antara sifat hiperbolis global dan ekspansi kongruensi geodesik akibat dipenuhinya syarat energi kuat. Per-syaratan sifat hiperbolis global pada teorema di atas dapat saja digantikan dengan sifat kausal kuat. Hanya saja permukaan Cauchy harus dibayar dengan keberadaan hypersurface akronal yang kompak. Ini berarti, jagat raya yang secara spasial tertu–
tup dan memenuhi syarat energi kuat akan mempunyai riwayat singularitas pada masa lalunya.
Teorema VI.2
Misalkan (M, g) ruang-waktu kausal kuat yang memenuhi syarat konvergensi bak-waktu dan syarat energi kuat. Akan terdapat paling tidak sebuah geodesik bak-bak-waktu berarah ke masa lalu tidak komplit, apabila M mengandung hypersurface akronal bak-ruang S yang licin, kompak dan tanpa Bibir denganHγ(a), ˙γ(a) > 0 untuk setiap γ(a) ∈ S dan γ kongruensi geodesik bak-waktu berarah ke masa lalu normal terhadap S.
Bukti: Misalkan C := supHγ(a), ˙γ(a) dan setiap geodesik bak-waktu inex-tendible berarah ke masa lalu dari S mempunyai panjang lebih dari 1/C. Berdasarkan teorema VI.1, setiap geodesik bak-waktu tersebut harus meninggalkan int[D(S)]
karena (int[D(S)], g) bersifat hiperbolis global. Kemudian akan beririsan dengan batas masa lalu dari D(S) yaitu H−(S) sebelum mencapai panjang lebih dari 1/C.
Mi–salkan p ∈ H−(S) dan γ merupakan geodesik bak-waktu ortogonal terhadap S yang melalui p. Tentu saja akan terdapat barisan kurva {λi} ⊂ C(S, p) yang memenuhi limi→∞L(λi) = L(γ). Dipilih qi ∈ λi dengan qi 6= p sedemikian rupa {qi} konvergen ke p. Karena qi ∈ I+(p) tentunya qi ∈ int[D−(S)]. Oleh karena itu, berdasarkan simpulan V.7 akan dapat ditemukan geodesik γi ortogonal terhadap S menuju qi yang memaksimumkan panjang setiap kurva dalam C(S, qi). Misalkan ri = γi ∩ S dan pi = γi ∩ H−(S). Karena S kompak, maka {ri} akan konvergen ke
r = γ ∩ S. Kegayutan geodesik terhadap titik yang dilalui dan vektor singgungnya akan menyebabkan p menjadi titik limit dari barisan {pi}. Oleh karena itu H−(S) bersifat kompak. Misalkan {ti} menyatakan sembarang barisan dalam parameter kur-va kausal λ0(t) ⊂ H−(S). Karena H−(S) kompak, tentunya {λ0(ti)} akan mempun-yai titik akumulasi dalam H−(S). Oleh karena itu setiap kurva kausal dalam H−(S) akan bersifat extendible. Hanya saja syarat Bibir(S) = ∅ akan menyebabkan H−(S) memuat suatu geodesik null future inextendible (proposisi V.1). Dengan demikian terjadi kontradiksi dengan kekompakan dari H−(S). Dua teorema sebelumnya menunjukkan ketidak-komplitan geodesik bak-waktu dalam konteks kosmologi. Teorema berikut menunjukkan ketidak komplitan geode-sik null dalam konteks keruntuhan gravitasi. Secara historis, teorema berikut meru-pakan teorema singularitas pertama yang ditunjukkan oleh Penrose [Penrose , 1965].
Dalam masalah keruntuhan bintang, Penrose menunjukkan bahwa sekali bintang men-capai radius permukaan Schwartzschild ( permukaan r = 2m) maka selamanya tidak akan mampu membesar lagi. Meskipun permukaan Schwartzschild terdifinisi hanya pada solusi simetri speris sempurna, tetapi dapat ditunjukkan hal yang serupa da-pat terjadi pada sembarang sistem yang mempunyai kondisi awal mendekati simetri speris sempurna. permukaan Schwartzschild tersebut mewakili suatu permukaan bak-ruang tertutup berkodimensi dua yang kongruensi dua geodesik nullnya konvergen ke masa depan. Karena tidak satupun yang mempunyai kecepatan melebihi cahaya, maka materi apapun dalam permukaan tersebut selamanya akan terperangkap. Per-mukaan seperti ini akan disebut sebagai Closed trapped surface.
Definisi VI.1 Closed trapped surface adalah submanifold bak-ruang T yang licin dan kompak sedemikian rupa sehingga kedua kongruensi null-nya negatif sepanjang submanifold.
Misalkan {eA}A=1,···,n−2 basis ortogonal pada TpT dan medan vektor null
be-rarah ke masa depan {N−, N+} ortogonal sepanjang T dengan hN±, N±i = 0 dan hN−, N+i = −1. Menggunakan basis {eA, N−(p), N+(p)}, setiap vektor v ∈ TpM mengalami dekomposisi v = vAeA + v−N− + v+N+ dengan vA = hv, eAi dan v± = − hv, N∓i. Medan kelengkungan rata- rata H pada p dapat dinyatakaan dengan Hp = n−21 Pn−2
Ruang-waktu (M, g) tidak dapat mempunyai geodesik null komplit jika memenuhi:
1. Ric(w, w) ≥ 0, ∀w vektor null
2. Terdapat permukaan Cauchy tidak kompak Σ 3. Terdapat closed trapped surface T
Bukti: Misalkan C := sup {θ−, θ+} dan setiap geodesik null berarah ke masa depan dari T mempunyai panjang affine lebih dari atau sama dengan n−2C . Dapat didefin-isikan suatu pemetaan f+: T × [0,n−2C ] → M dengan mengambil f (q, a) sebagai
suatu titik pada M pada saat parameter affine t = a sepanjang kongruensi geode-sik null yang dibangkitkan oleh N+ dari T . Menggunakan cara serupa, pemetaan f−: T ×[0,n−2C ] → M yang dibangkitkan oleh N−didefinisikan. Karena T ×[0,n−2C ] kompak dan pemetaan f± kontinyu, maka bayangaan dari f± dan gabungannya yaitu A = f+T × [0,n−2C ] ∪ f−T × [0,n−2C ] juga akan kompak. Oleh proposisi IV.2 dan simpulan V.9, tentunya ∂I+(T ) ⊂ A dan karena ∂I+(T ) tertutup, maka da–
pat disimpulkan bahwa ∂I+(T ) juga kompak. Berikutnya akan ditunjukkan bahwa kekompakan ∂I+(T ) kontradiksi dengan kekompakan Σ.
Memakai medan vektor V yang membangkitkan orientasi waktu pada M, dapat diketahui bahwa setiap kurva integral yang dibangkitkan oleh V akan tepat beririsan sekali dengan Σ dan ∂I+(T ) akibat akronalitas kedua himpunan tersebut.
Oleh karena itu dapat didefinisikan pemetaan kontinyu ψ: ∂I+(T ) → M. Misalkan S := ψ[∂I+(T )], pembatasan ψ: ∂I+(T ) → S akan menjadikannya suatu homeo-morfisme. Oleh karena itu, karena ∂I+(T ) kompak, S juga akan kompak. Sebagai subset kompak dari Σ, tentu juga S bersifat tertutup. Berikutnya, karena ∂I+(T ) Lipschitzan, maka S akan menjadi subset terbuka dari Σ. Hanya saja, ruang-waktu hiperbolis global M homeomorpis terhadap R × Σ. Oleh karena itu, apabila M ter-sambung, Σ juga bersifat tersambung pula. Sehingga himpunan terbuka sekaligus tertutup pada Σ hanyalah Σ dan ∅. Ini berarti S adalah Σ sendiri yang menunjukkan kontradiksi dengan asumsi awal, karena Σ tidak kompak tetapi S kompak.
Teorema VI.4 (Hawking dan Penrose (1970))
Ruang-waktu (M, g) tidak dapat mempunyai geodesik kausal komplit jika memenuhi:
1. Syarat energi kuat dan generisitas.
2. Kondisi kronologis .
3. Terdapatnya salah satu di antara hal berikut
(a) Closed trapped surface
(b) Himpunan akronal kompak tanpa Bibir
(c) Terdapat titik p ∈ M sedemikian rupa sehingga setiap geodesik null be-rarah ke masa lalu (atau ke masa depan) dari p mempunyai ekspansi negatif sepanjang geodesik.
Teorema di atas merupakan kesimpulan dari proposisi di bawah ini Proposisi VI.1 Tiga keadaan berikut tidak mungkin terjadi secara bersamaan:
1. Setiap geodesik kausal inextendible memuat sepasang titik berkonjugasi.
2. Ruang-waktu (M, g) bersifat kausal kuat.
3. Terdapat suatu himpunan akronal S sedemikian rupa sehingga E+(S) atau E−(S) kompak
Bukti bahwa proposisi VI.1 setara dengan teorema VI.4:
Sebelumnya diasumsikan (M, g) bergeodesik kausal komplit dan kronologis.
Syarat energi kuat dan generisitas mengharuskan keberadaan sepasang titik konju-gasi pada setiap geodesik kausal inextendible, berarti tidak mungkin terdapat geode-sik kausal inextendible maksimal. Akibatnya, kausalitas kuat harus terjadi. Karena apabila tidak, maka akan terdapat geodesik null akronal inextendible pada M.
Jika (M, g) memuat Closed trapped surface T , maka himpunan E+(T ) ⊂
∂J+(T ) merupakan himpunan yang dibangkitkan oleh geodesik null. Geodesik -geodesik tersebut ortogonal terhadap T dan menurut definisi Closed trapped surface, masing - masing akan mempunyai titik fokal. Karena T kompak dan E+(T ) dibang–
kitkan oleh geodesik null tanpa titik fokal, maka E+(T ) juga akan kompak.
Jika (M, g) memuat suatu himpunan akronal S kompak tanpa Bibir, maka E+(S) = S. Ini karena E+(S) = J+(S) − I+(S) dan setiap unsur pada E+(S)
akan dilalui oleh geodesik null yang beririsan dengan Bibir(S). Oleh karena itu,
himpunan E+(S) juga kompak.
Untuk membuktikan proposisi VI.1 akan diberikan melalui alur berikut: Mi–
salkan kondisi 1, 2 dan 3 pada proposisi VI.1 terpenuhi dan tanpa mengurangi pe-rumuman akan diambil E+(S) kompak. Akan ditunjukkan bahwa H+(E+(S)) tidak kompak atau kosong. Setiap medan vektor kausal U haruslah mempunyai kurva in-tegral γ inextendile berarah ke masa depan dalam D+(E+(S)). Kurva integral ini digunakan untuk memetakan E+(S) ke H+(E+(S)) yang mengakibatkan H+(E+(S) bersifat kompak juga. cara yang sama digunakan pada masa lalu E+(S) ∩ J−(γ) un-tuk mengkonstruksi kurva kausal inextendible µ yang keseluruhannya termuat dalam D(E+(S)). Kurva tersebut kemudian dipakai untuk mengkostruksi suatu geodesik kausal maksimal inextendible yang berkontradiksi dengan 1. Untuk keperluan terse-but diperlukan pembuktian beberapa hal berikut:
1. H+(E+(S)) ⊂ H+(∂J+(S)).
2. H+(E+(S)) bersifat tidak kompak atau kosong.
3. Terdapat kurva bak-waktu inextendible berarah ke masa depan γ ⊂ D+(E+(S)).
4. Akan terdapat kurva inextendible berarah ke masa lalu λ ⊂ D−(E+(F )) dengan F := E+(S) ∩J−(γ).
5. Akan terdapat geodesik kausal inextendible tanpa titik konjugasi dalam D(E−(F )).
Lemma VI.1 Untuk setiap himpunan akronal tertutup S, dipenuhi inklusi H+(E+(S)) ⊂ H+(∂J+(S)).
Bukti: Misalkan p ∈ H+(E+(S)) − H+(∂J+(S)). Dari E+(S) ⊂ ∂J+(S) dapat diperoleh D+(E+(S)) ⊂ D+(∂J+(S)) sehingga p ∈ I−(D+(∂J+(S)). Apabila
diambil q ∈ I+(p) ∩ D+(∂J+(S)). Pertama akan ditunjukkan bawa I + (p) ∩ I−(q) tidak beririsan dengan ∂J+(S). Semisal terdapat suatu titik r ∈ ∂J+(S) ∩ I + (p) ∩ I−(q), maka himpunan terbuka I−(r) merupakan lingkungan bagi p ∈ H+(E+(S)) dan tentunya akan beririsan dengan D+(E+(S)) karena setiap kurva bak-waktu in-extendible berarah ke masa lalu dengan titik ujung masa depan di D+(E+(S)) akan beririsan dengan E+(S) ⊂ ∂J+(S). Akibatnya akan dapat ditemukan suatu titik r0 ∈ I−(r) ∩ ∂J+(S) ⊂ I−(∂J+(S)) ∩ ∂J+(S). Ini kontradiksi dengan akronal-itas ∂J+(S). Berikutnya karena I + (p) ∩ I−(q) tidak beririsan dengan ∂J+(S) dan I−(q) lingkungan terbuka bagi p ∈ H+(E+(S)), akan dapat ditemukan kur-va bak-waktu past inextendible γ yang punya titik ujung masa depan di q dan tidak beririsan dengan E+(S). Tetapi karena q ∈ D+(∂J+(S)), maka γ akan beririsan dengan D+(∂J+(S)) di suatu titik, katakanlah s. Misalkan µ merupakan pembang–
kit D+(∂J+(S)) yang mempunyai titik ujung masa depan di s, maka µ akan past inextendible atau mempunyai titik ujung di Bibir(S). Dapat ditunjukkan kedua ka-sus tersebut membawa suatu kontradiksi dengan asumsi semula. Untuk kaka-sus perta-ma, semisal µ akan past inextendible dan tidak beririsan dengan S. Karena γ bak-waktu dan mempunyai titik ujung masa depan di D+(∂J+(S)), maka akan beririsan de–ngan int[D+(∂J+(S)], sehingga γ beririsan dengan I−(∂J+(S)). Jadi µ ⊂
∂J+(S) yang menunjukkan kontradiksi dengan akronalitas ∂J+(S). Kasus berikut-nya, jika terdapat suatu titik r0 ∈ Bibir(S) yang beririsan dengan µ, Titik tersebut akan berada dalam S pula, karena S tertutup. Dengan demikian, µ termuat dalam J+(S) yang berakibat r0 ∈ J+(S) ∩ J+(S) = E+(S) yang berkontradiksi dengan
keberadaan γ.
Lemma VI.2 Misalkan S himpunan akronal tertutup sedemikian rupa sehingga J+(S) kausal kuat, maka H+(E+(S)) tidak kompak atau kosong.
Bukti: Misalkan H+(E+(S)) tidak kosong tetapi kompak. Karena J+(S) kausal
kuat, H+(E+(S)) akan diliput oleh sejumlah berhingga lingkungan koveks Ui yang berklosure kompak sedemikian rupa tak satupun Ui yang beririsan dengan kurva kausal lebih dari sekali. Misalkan r1 ∈ H+(E+(S)) dan Ui(1) menjadi salah satu lingkungan konveks dengan r1 ∈ Ui(1). Menggunakan lemma VI.1, akan terdapat suatu titik p1 ∈ J+(S) ∩ (Ui(1)− D+(∂J (S))). Berdasarkan lemma V.9, akan ter-dapat kurva bak-waktu past inextendible α1 melalui p1 yang tidak beririsan dengan D+(∂J (S))). Karena α1 tidak beririsan dengan ∂J+(S), maka akan termuat dalam int[∂J+(S)] = I+(S). Kurva α1meninggalkan Ui(1)karena kekompakannya. Akan terdapat suatu titik q1 ∈ α1− Ui(1) ⊂ I+(S). Misalkan β1 menyatakan kurva bak-waktu berarah ke masa lalu dari q1 ke S. Karena S ⊂ E+(S) dan E+(S) suatu hyper-surface akronal, maka β1 akan beririsan dengan D+(E+(S)) dan juga H+(E+(S)).
Misalkan r2 ∈ βH+(E+(S)) dan Ui(2) menyatakan salah satu lingkungan konveks yang memuat r2. Lingkungan - lingkungan konveks Ui(1)dan Ui(2) keduanya berbe-da karena r2 ∈ J−(r1) dan tidak satupun Ui dilewati kurva kausal lebih dari sekali.
Dengan induksi dapat dibangun sejumlah tak berhingga lingkungan saling asing {Ui} yang berkontradiksi dengan asumsi kekompakan H+(E+(S)). Lemma VI.3 Misalkan S himpunan akronal tertutup sedemikian rupa sehingga J+(S) kausal kuat dan semisal E+(S)) kompak. Akan terdapat kurva bak-waktu inextendible berarah ke masa depan γ yang keseluruhannya berada dalam D+(E+(S)).
Bukti: Misalkan V merupakan medan vektor pembangkit orientasi pada (M, g).
Karena E+(S) hypersurface akronal, setiap kurva bak-waktu berarah ke masa depan dengan titik ujung masa lalu di E+(S) akan berawal dalam int[D+(E+(S))]. Jika se-tiap kurva integral dari V beririsan dengan H+(E+(S)) setelah sebelumnya beririsan dengan E+(S), akan diperoleh suatu pemetaan kontinyu ϕt: E+(S) → H+(E+(S)).
Pemetaan ini bersifat surjektif karena oleh lemma V.9 setiap kurva bak-waktu past inextendible yang beririsan dengan horizon peristiwa suatu himpunan tertutup harus
beririsan dengan himpunan dengan himpunan tersebut. Karena E+(S) kompak, ma-ka H+(E+(S)) juga kompak yang kontradiksi dengan lemma VI.2. Oleh karena itu, paling tidak terdapat satu buah kurva integral γ dari V yang future inextendible dan
termuat dalam int[D+(E+(S))].
Lemma VI.4 Misalkan (M, g) ruang-waktu kausal kuat bergeodesik kausal komplit yang setiap geodesik kausal inextendible mempunyai sepasang titik konjugasi. Mi–
salkan S himpunan akronal tertutup dengan E+(S) kompak dan γ kurva bak-waktu inextendible berarah ke masa depan dalam D+(E+(S)). Akan terdapat kurva inex-tendible berarah ke masa lalu λ ⊂ D−(E−(F )) dengan F := E+(S) ∩ J−(γ).
Bukti: Pertama akan ditunjukkan suatu inklusi E−(F ) ⊂ F ∪ ∂J−(γ). Misalkan p ∈ E−(F ) − F . Jika terdapat suatu titik p0 ∈ I−(p) ∩ E+(S), maka I+(p0) akan menjadi lingkungan dari p yang beririsan dengan I−(E+(S)) yang berkontradiksi dengan akronalitas dari E+(S). Oleh karena itu mestinya I−(p) ∩ E+(S) = ∅. Jika x ∈ I−(γ) maka akan terdapat suatu titik r ∈ I−(γ) ∩ I+(p). Misalkan µ kurva bak-waktu yang menghubungkan p dan γ yang melalui r. Kurva ini harus beririsan dengan E+(S) karena γ ⊂ D+(E+(S)) dan I−(p) ∩ E+(S) = ∅. Karena titik perpotongan ini berada dalam E+(S) ∩ I−(γ) ⊂ F , dapat diperoleh p ∈ I−(F ) yang kontradiksi dengan asumsi p ∈ E−(F ). Oleh karena itu, diperoleh p ∈ J−(F ) − I−(γ) ⊂ J−(γ))−I−(γ) = ∂J−(γ) yang berakibat dipenuhinya pula E−(F ) ⊂ F ∪∂J−(γ).
Himpunan F merupakan irisan dari suatu himpunan tertutup dan suatu him-punan yang kompak, sehingga bersifat kompak. Karena γ future inextendible, semua generator bagi ∂J−(γ) haruslah juga future inextendible. Semisal βi barisan gene–
rator E−(F ). Karena F kompak, akan terdapat kurva limit future inextendible dari {βi}, katakanlah β. Asumsi semula mengatakan generator ini tidak boleh akronal, ja-di kontraja-diksi dengan akronalitas ∂J−(γ). Oleh karena itu, E−(F ) bersifat kompak
dan selanjutnya dapat diterapkan lemma VI.3.
Lemma VI.5 Misalkan C ⊂ M kompak. Jika D+(C) memuat suatu kurva bak-waktu γ yang inextendible berarah ke masa depan dan D−(C)∩J−(γ) memuat suatu kurva bak-waktu λ yang inextendible berarah ke masa lalu. Maka D(C) memuat suatu geodesik kausal inextendible tanpa titik konjugasi.
Bukti: Misalkan {qi} barisan dalam γ yang tidak mempunyai titik akumulasi sedemi–
kian rupa qi+1 ∈ I+(qi). Dipilih suatu barisan {pi} dalam λ sedemikian rupa qi ∈ I+(pi) dan pi ∈ I+(pi+1). Untuk setiap i disusun suatu kurva kausal ¯µi yang menghubungkan pi dan qi. Karena berada dalam himpunan hiperbolis global, kurva tersebut dapat digantikan segmen geodesik maksimal µi. Misalkan µ(0) ∈ C, ma-ka garis {(R+− {0}). ˙µi(0) |i ∈ N} mempunyai titik akumulasi ` dalam ruang arah kausal atas C, karena ruang tersebut kompak. Setiap geodesik inextendible µ dengan
˙
µ(0) ∈ ` merupakan kurva limit dari barisan {µi}. Karena setiap kurva limit dari geodesik maksimal juga bersifat maksimal, maka kurva µ tidak mempunyai sepasang
titik konjugasi.
Bukti proposisi VI.1: Cukup diambil C = E−(F )
1. Kesimpulan
Dari uraian - uraian yaang telah disampaikan sebelumnya, dapat disimpulkan beberapa hal berikut.
1. Model matematik untuk ruang-waktu relativitas umum adalah pasangan (M, g) dengan M menyatakan himpunan seluruh kejadian yang mungkin terjadi pa-da alam semesta. Dalam konteks ini, M merupakan manifold licin berdi-mensi empat yang Hausdorff dan tersambung serta dilengkapi medan metrik Lorentzian g. Agar dapat menampung seluruh titik regular, perlu dipersyaratkan pula (M, g) sebagai ruang-waktu yang inextendible yaitu ruang-waktu yang tidak isometris terhadap subset waktu yang lain. Isi materi dalam ruang-waktu memenuhi tiga postulat: kausalitas lokal, kelestarian energi dan mo-mentum lokal serta persamaan medan Einstein. Kiranya pembatasan dimensi tidaklah terlalu diperlukan. Oleh karena itu ruang-waktu relativitas umum da-pat diperluas menjadi manifold Lorentzian sembarang yang memenuhi syarat-syarat di atas, kecuali pembatasan dimensi.
2. Singularitas dapat terbagi dalam dua kelompok besar yaitu singularitas semu yang muncul karena kegagalan sistem koordinat yang dipakai untuk mendeskrip-sikan nilai suatu kuantitas dan singularitas sejati yang menyatakan singulari–
tas nilai kuantitas tersebut pada tataran global. Oleh karena itu, pendeskripsian singularitas yang terbaik adalah dengan menggunakan analisa global, sehing-ga singularitas semu yang hanya merupakan perilaku lokal dapat diabaikan.
Analisa singularitas menggunakan kekomplitan geodesik (g-completeness)
di-147
dasarkan pada kenyataan bahwa apabila titik - titik singularitas sejati dibuang, terbentuklah suatu manifold yang tidak komplit.
3. Hubungan antara syarat konvergensi bak-waktu dan ekspansi kongruensi geode-sik termuat dalam dua proposisi berikut:
(a) Misalkan γ: [a, b] → M geodesik kausal dan Σ hypersurface bak-ruang jika γ bak-waktu dan Σ submanifold bak-ruang berkodimensi-2 jika γ null dengan ˙γ(a) ∈ (Tγ(a)Σ)⊥. Jika Ric( ˙γ(t), ˙γ(t)) ≥ 0 untuk setiap t ∈ [a, b] dan medan vektor kelengkungan rata-rata H pada Σ memenuhi hHγa, ˙γ(a)i =: c > 0, maka akan terdapat titik fokal dari Σ sepanjang γ sebelum γ(a + 1/c).
(b) Misalkan γ geodesik kausal komplit dan Ric( ˙γ(t), ˙γ(t)) ≥ 0 untuk setiap t serta terdapat t0 sedemikian rupa sehingga pemetaan
R: ( ˙γ(t0))⊥ → ( ˙γ(t0))⊥, v 7→ Rv := R(v, ˙γ) ˙γ
tidak sama dengan nol, maka γ mengandung titik konjugasi
4. Keberadaan titik fokal atau titik konjugasi sepanjang geodesik kausal dapat ditafsirkan oleh dua proposisi berikut
(a) Jika pada geodesik null γ: [a, b] → M terdapat titik fokal pada c ∈ (a, b) maka akan terdapat kurva bak-waktu yang cukup dekat dengan γ.
(b) Jika pada geodesik bak-waktu γ: [a, b] → M terdapat titik fokal pada c ∈ (a, b) maka akan terdapat variasi pada γ yang menghasilkan kurva lebih panjang dari γ .
5. Sifat- sifat kurva berpanjang maksimum dalam ruang kausal kuat dan hiperbolis global dinyatakan dalam proposisi berikut
(a) Dalam ruang-waktu hiperbolis global, kurva berpanjang maksimal yang menghubungkan titik - titik p, q ∈ M dengan q ∈ J+(p) adalah geodesik bak-waktu yang tidak mempunyai titik konjugasi.
(b) Jika Σ permukaan Cauchy dan q ∈ D+(Σ), maka akan terdapat geodesik bak-waktu berpanjang L yang tidak memuat titik fokal antara Σ dan q.
(c) Pada ruang-waktu kausal kuat, jika fungsional panjang mengijinkan ni-lai maksimal maka kurva geodesik bak-waktu tanpa titik konjugasi yang menghubungkan p, q ∈ M dengan q ∈ J+(p) mempunyai panjang mak-simal dalam C(p, q).
(d) Misalkan S hypersurface bak-ruang akronal licin pada ruang-waktu kausal kuat dan q ∈ D+(S). Jika fungsional panjang mengijinkan nilai maksi-mal maka geodesik ortogonal terhadap S menuju q yang tidak memuat titik fokal mempunyai panjang maksimal dalam C(S, q).
6. Menggunakan beberapa proposisi yang dipaparkan pada nomor 3 dan nomor 5 di atas, dapat disusun empat buah teorema
(a) Misalkan (M, g) ruang-waktu yang hiperbolis global dan syarat energi kuat terpenuhi oleh materi. Apabila pada (M, g) terdapat permukaan Cauchy Σ bak-waktu licin (paling tidak C2) dengan kelengkungan rata - rataHγ(a), ˙γ(a) := c > 0 untuk setiap geodesik bak-waktu γ dengan γ(a) ∈ Σ, maka setiap kurva bak-waktu berarah ke masa lalu dari Σ tidak komplit.
(b) Misalkan (M, g) ruang-waktu kausal kuat yang memenuhi syarat kon-vergensi bak-waktu dan syarat energi kuat. Akan terdapat paling tidak
(b) Misalkan (M, g) ruang-waktu kausal kuat yang memenuhi syarat kon-vergensi bak-waktu dan syarat energi kuat. Akan terdapat paling tidak