KETIDAK-KOMPLITAN GEODESIK SEBAGAI INDIKATOR SINGULARITAS RUANG - WAKTU

SINGULARITAS RUANG - WAKTU

Romy Hanang Setya Budhi 99/128946/PA/07864

Departemen Pendidikan Nasional Universitas Gadjah Mada

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Yogyakarta

2005

SINGULARITAS RUANG - WAKTU

Romy Hanang Setya Budhi 99/128946/PA/07864

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh

derajat Sarjana S1 Program Studi Fisika pada Jurusan Fisika

Departemen Pendidikan Nasional Universitas Gadjah Mada

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Yogyakarta

2005

Romy Hanang Setya Budhi 99/128946/PA/07864

Dinyatakan lulus ujian skripsi oleh tim penguji pada tanggal 11 Juli 2005

Tim Penguji

Dr.rer.nat. M. Farchani Rosyid Dr. H. Karyono, SU.

Pembimbing I Penguji I

Dr. Mirza Satriawan

Penguji II

yang menjanjikan kejayaan bagi orang - orang yang berjalan di jalannya.

Juga kepada ’para sahabatku’

yang telah terbang di seberang jalan.

Hari ini kuturut langkah kalian, tapi suatu saat kelak akan kuretas jalan baru yang lebih baik dari sekarang.

iii

tinggi (derajatnya) jika kamu orang - orang yang beriman.

(Ali Imran : 138 - 139)

Hai orang - orang yang beriman, jika datang kepadamu orang fasik yang membawa berita, maka periksalah dengan teliti agar kamu tidak menimpakan suatu musibah pada suatu kaum tanpa mengetahui keadaannya yang menyebabkan kamu menyesal atas perbuatan itu.

(Al-Hujurat : 6)

iv

menciptakan dan mengatur segala sesuatu sesuai dengan kehendak-Nya. Dia lah yang menganugerahkan nikmat akal kepada manusia agar dengannya digunakan sebagai penimbang. Juga semoga kesejahteraan dan keselamatan terlimpah kepada hamba dan Rasul-Nya yaitu Rasullullah SAW dan keluarganya, beserta sahabat dan orang- orang yang mengikuti Beliau sampai akhir jaman.

Penulis patut bersyukur kepada Allah ta’ala, karena hanya atas kehendak- Nya saja tulisan ini dapat diselesaikan. Juga atas bantuan berbagai pihak yang telah memberikan dukungan kepada kami, tidak lupa penulis mengucapkan terima kasih yang sedalam-dalamnya. Ucapan terima kasih ini kami tujukan kepada:

1. Ayah dan Ibu tercinta, yang selalu memberikan kepercayaan penuh dan selalu mendukung setiap langkah kami.

2. Dr. rer. nat. M. Farchani Rosyid, yang telah dengan sabar membimbing kami sedari awal. Membukakan wacana - wacana baru dan memulihkan warna dasar yang hampir hilang pada diri kami dan memberikan ruang seluas - luasnya untuk mengekspresikan diri.

3. Dra, Dwi Satya Palupi, M.Si, yang telah banyak memberikan dorongan moril kepada kami terutama pada awal - awal penulisan.

4. Semua staf program studi fisika yang telah membimbing selama masa perkuli- ahan.

5. Teman-teman kami fisika angkatan 1999 dan teman-teman diskusi pada kelas- kelas teori dan kelas matematik yang telah berkenan berbagi pustaka dan men–

diskusikan banyak hal dengan kami.

v

6. Dan semua pihak yang belum disebutkan di atas tetapi telah terlibat dalam pro–

ses penulisan ini.

Akhirnya, penulis berharap agar tulisan ini dapat menyumbangkan sesuatu pada dunia fisika teori. Penulis menyadari bahwa tidak ada manusia yang lepas dari kealpaan, oleh karena itu kami mohon maaf atas kesalahan yang ada dalam tulisan ini.

Yogyakarta, 4 Juli 2005

Penulis

Halaman Judul i

Halaman Pengesahan ii

Halaman Persembahan iii

Halaman Motto iv

PRAKATA v

INTISARI xi

I PENDAHULUAN 1

1. Latar Belakang . . . . 1

2. Tujuan Penulisan . . . . 3

3. Ruang Lingkup Kajian . . . . 3

II ANALISIS PADA MANIFOLD LICIN 4 1. Manifold Licin . . . . 4

2. Vektor Singgung, Kovektor dan Tensor Pada Manifold . . . . 8

3. Kongruensi dan Derivatif Lie . . . . 22

4. Koneksi dan Kelengkungan Pada Manifold . . . . 24

5. Manifold Pseudo-Riemannan . . . . 32

6. Submanifold . . . . 37

7. Teorema Frobenius . . . . 41

8. Integrasi Pada Manifold . . . . 43

vii

III TEORI RELATIVITAS UMUM 48

1. Manifold Ruang-Waktu . . . . 48

2. Medan - Medan Materi . . . . 49

3. Syarat Energi . . . . 53

4. Sedikit Tentang Singularitas . . . . 53

5. Contoh Singularitas Pada Beberapa Solusi Medan Einstein . . . . 54

a. Ruang Schwarzschild . . . . 54

b. Ruang Robertson - Walker . . . . 58

6. Singularitas: Pendefinisian dan Pemecahannya . . . . 61

IV SIGNIFIKANSI KELENGKUNGAN 64 1. Variasi Geodesik . . . . 64

2. Titik - Titik Berkonjugasi Pada geodesik . . . . 67

3. Titik Fokal Submanifold Sepanjang Geodesik . . . . 80

4. Variasi Fungsional Panjang dan Energi Kurva . . . . 86

5. Titik Konjugasi Pada Geodesik Komplit . . . . 99

V STRUKTUR KAUSAL PADA RUANG-WAKTU 107 1. Orientabilitas Waktu . . . 107

2. Kondisi - Kondisi Kausalitas . . . 114

3. Wilayah Kegayutan . . . 119

4. Sifat Kausalitas Stabil Pada Ruang waktu Yang Hiperbolis Global . . 128

5. Eksistensi Geodesik Pada Ruang-waktu yang Kausal . . . 132

VI SINGULARITAS RUANG - WAKTU 136

VIIPENUTUP 147

1. Kesimpulan . . . 147

2. Saran . . . 150

A RUANG TOPOLOGIS 156 1. Identifikasi Topologi dan Pemetaan Kontinyu . . . 156

2. Interior, Klosure dan Bounderi . . . 157

3. Ruang Hausdorff . . . 158

4. Ketersambungan . . . 158

5. Kekompakan . . . 159

φ _β ◦ φ ⁻¹ _α masing - masing merupakan pemetaan licin. . . . 6 III.1 Perluasan Kruskal untuk ruang-waktu Schwarzschild . . . . 57 IV.1 Lingkaran besar (great circle) atau lingkaran yang melalui kutub -

kutub permukaan bola S ² merupakan geodesik. Geodesik - geodesik yang berasal dari suatu titik akan bertemu kembali pada kutub yang berlawanan dengannya. Oleh karena itu, kutub-kutub S ² merupakan dua titik yang saling berkonjugasi. . . . 68 IV.2 Titik γ(b) menjadi titik fokal dari submanifold Σ di bawah medan

variasi ξ . . . . 83 V.1 Sifat Lipschitzan setiap kurva kausal. . . . 112 V.2 Bidang ruang Minkowski (R ² , −dx ⁰ ⊗ dx ⁰ + dx ¹ ⊗ dx ¹ ) yang dibatasi

oleh batas-batas x ⁰ = 1 dan x ⁰ = 0 dapat mempunyai kurva bak- waktu tertutup ketika batas - batasnya saling disambung membentuk ruang-waktu S ¹ × R . . . 115 V.3 D ⁺ S dan H ⁺ (S) dari himpunan akronal S yang mengandung bagian

null dan bagian bak-ruang pada ruang Minkowski yang sebagian daer- ahnya dibuang . . . 125

x

SINGULARITAS RUANG - WAKTU

Oleh :

Romy Hanang Setya Budhi 99/128946/PA/07864

Telah dilakukan kajian singularitas pada ruang-waktu relativitas umum melalui studi ketidak-komplitan geodesik pada sembarang manifold Lorentzian. Di- tunjukkan bahwa ruang-waktu yang memenuhi syarat energi tertentu, mempunyai struktur kausalitas global yang realistis secara fisis dan mempunyai subhimpunan yang memenuhi syarat topologis tertentu akan selalu mengijinkan geodesik kausal yang tidak komplit. Kajian singularitas pada manifold Lorentzian berdimensi empat akan menghasilkan singularitas pada ruang-waktu relativitas umum.

xi

ABSTRACT

GEODESICS INCOMPLETENESS AS INDICATION OF THE SPACETIME SINGULARITY

By

Romy Hanang Setya Budhi 99/128946/PA/07864

The spacetime singularity of general relativity in the general Lorentzian

manifolds has been studied through the geodesics incompleteness concept. Every

spacetime which is required to satisfy certain energy condition, having realistic glob-

al causality structure and contain subset which is required by certain topological con-

dition will admit incomplete causal geodesics. So, the dimension restriction on the

four is just singularity in the general relativity spacetime.

1. Latar Belakang

Dalam upaya menyingkap kaidah yang dianut oleh fenomena - fenomena alamiah, kalangan fisikawan teori mengajukan berbagai macam model hukum alam berdasarkan data - data empiris yang telah dimiliki. Sejauh ini dikenal tiga macam pemodelan yaitu model fisis, model matematis dan model metafisis. Dalam prak- teknya, model - model matematis lebih operasional sehingga lebih banyak diman- faatkan dalam sains daripada model lainnya.

Model - model hukum alam sesungguhnya tidak identik dengan hukum alam sendiri. Model - model tersebut hanyalah merupakan pendekatan (aproksimasi), oleh karena itu derajat akurasi suatu model sangat berkaitan dengan kedekatannya terhadap hukum alam yang dimodelkan. Gejala alamiah mempunyai struktur yang sangat kompleks sehingga sangat sulit menyajikan gambaran fenomena - fenome- na alamiah secara utuh. Diperlukan proses eleminasi terhadap hal - hal yang tidak relefan pada fenomena alamiah yang akan dimodelkan. Proses eleminasi tersebut disebut sebagai proses idealisasi. Idealisasi suatu gejala alamiah akan menghasilkan sistem fisis, yaitu gejala alamiah yang telah mengalami pereduksian secara propor- sional. Selanjutnya yang dimaksud dengan model matematik adalah hasil penafsiran terhadap suatu sistem fisis secara matematis sebagai proses semantika matematisnya.

Kedekatan suatu model dengan gejala - gejalah alamiah yang diwakili tentu saja sa–

ngat bergantung dengan proses idealisasi yang dilakukan. Makin sedikit hal - hal yang dieleminasi, semakin akurat model tersebut. Hanya saja hal ini harus dibayar mahal dengan kompleksitas matematis (Mathematical Complexity) yang lebih abstrak, lebih

1

general dan lebih formal.

Relasi yang sangat kuat antara matematika dengan fisika dapat dilihat pada penggunaan geometri differensial pada relativitas umum, hampir - hampir antara ke- duanya tidak dapat saling dibedakan. Postulat-postulat dalam fisika dalam pemodelan dapat dianggap sebagai aksioma - aksioma dalam cabang matematika yang digunakan sebagai model [Kriele , 2001]. Hanya saja penggunaan geometri differensial dalam relativitas umum masih terlihat kurang optimal. Seperti dapat dilihat pada buku-buku teks relativitas yang ditemukan pada perpustakaan - perpustakaan di lingkungan kam- pus UGM, sebagian besar masih membatasi pada penggunaan geometri differensial berbasis koordinat atau berbahasa lokal sehingga sering melibatkan diskusi tentang efek perubahan sistem koordinat pada objek - objek tensor yang sebenarnya hanya dapat dilakukan pada saat domain antara kedua sistem koordinat saling bersesuaian yaitu saat jacobian transformasinya tidak lenyap [Isham , 1999]. Oleh karena itu, seringkali sifat-sifat global suatu model tidak dapat dilihat secara memadai. Untuk mengantisipasi masalah tersebut, diperlukan pembahasan yang tidak gayut terhadap sistem koordinat yang dipakai. Geometri diffferensial yang memakai sudut pandang ini biasa disebut sebagai geometri differensial modern atau analisa global. Analisa global, sekarang ini mempunyai lapangan aplikasi yang luas. Semisal dalam mekani- ka klasik, medan Yang - Mills, model sigma nonlinear, teori supersting, quantum gravity dan sistem medan nonlinear pada teori partikel elementer modern.

Berkaitan dengan masalah singularitas dan eksistensinya dalam teori relati–

vitas umum, Hawking dan Ellis telah mendiskusikannya secara panjang lebar dalam

bukunya: "The large scale structure of space-time". Pengaruh analisa global dalam

buku tersebut terasa sangat kental. Hanya saja, pembatasan pembahasan hanya pa-

da manifold Lorentzian berdimensi empat agak mengurangi selera pada penikmat

matematika. Oleh karena itu, dengan tetap mengikuti ide utama dalam pendefinisian

singularitas: ketidak-komplitan geodesik, penulis berusaha menyajikan ulang per- masalahan singularitas pada manifold Lorentzian berdimensi sembarang yang meme–

nuhi syarat - syarat ruang-waktu relativitas umum.

2. Tujuan Penulisan

Adapun tujuan yang hendak dicapai dalam skripsi ini adalah :

1. Merumuskan model ruang-waktu relativitas umum dalam geometri differensial global.

2. Mendiskusikan kemungkinan menunjukkan eksistensi singularitas melalui kon- sep ketidak-komplitan geodesik kausal pada ruang-waktu relativitas umum.

3. Mendiskusikan kemungkinan perluasan topik - topik bahasan ke sembarang manifold Lorentzian sehingga dengan demikian dapat diterapkan pada bidang lain yang memakai area matematik yang sama. Memakai sudut pandang ini, singularitas pada ruang-waktu relativitas umum hanyalah merupakan pemba–

tasan bidang kajian pada manifold lorentzian yang berdimensi empat.

3. Ruang Lingkup Kajian

Kajian skripsi ini dititikberatkan pada aplikasi analisa global dalam memo- delkan singularitas dalam ruang-waktu. Oleh karenanya bahasa penyampaian yang digunakan akan lebih banyak menggunakan bahasa formal matematika. Untuk be- berapa kajian yang sudah terlalu familiar dalam buku -buku teks geometri diffe–

rensial modern, pembuktian - pembuktian akan sesedikit mungkin diberikan. Perlu

ditekankan pula bahwa topik kajian ini adalah ruang-waktu yang masih diasumsikan

kontinyu dan tidak memperhitungkan efek kuantum padanya.

Pada bab ini akan dipaparkan fakta - fakta geometri differensial secukupnya yang diperlukan dalam pembahasan manifold ruang-waktu. Fakta - fakta geometris ini muncul secara alamiah sebagai akibat bahwa ruang-waktu merupakan manifold licin. Sebagian besar notasi pada bab ini diambil dari [Kriele , 2001]. Karena topik - topik ini sangat umum dijumpai pada buku - buku teks geometri differensial maka bukti - bukti sesedikit mungkin ditampilkan.

1. Manifold Licin

Sebelumnya akan diperkenalkan pemetaan proyeksi dari R ⁿ ke R yang dilam- bangkan dengan P ⁱ .

P ⁱ x ¹ , · · · , x ⁿ
:= x ⁱ (II.1)

Untuk setiap (x ¹ , · · · , x ⁿ ) ∈ R ⁿ .

Definisi II.1 ( Fungsi licin)

Pemetaan f : U ⊂ R ⁿ → R ^m dikatakan kontinyu jika f ⁱ (p) := P ⁱ ◦ f (p); i = 1, 2, · · · , m semuanya kontinyu untuk setiap p ∈ U . f dikatakan licin atau C ^∞ - differentiabel pada U jika setiap f ⁱ mempunyai turunan parsial untuk semua orde pada U terhadap sistem koordinat pada R ⁿ .

Definisi II.1 di atas sama saja dengan mengatakan bahwa f licin jika determi- nan Jacobiannya pada setiap titik p ∈ U yang didefinisikan sebagai

4

f ⁰ (p) = [D i f ^j (p)] =













D ₁ f ¹ · · · D _n f ¹ . . . . D ₁ f ^m · · · D _n f ^m













(p)

(II.2)

dengan D _i f ^j := ^∂f _∂x

^ji

, tidak lenyap untuk 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ m.

Selanjutnya C ^∞ - differentiabel akan disebut licin atau differensiabel saja.

Definisi II.2 (Manifold topologis berdimensi m )

Manifold X adalah ruang topologis yang Hausdorff, tersambung dan berbasis ter- cacah (countable basis) serta terdapat homeomorfisme φ _p : U _x → W ⊂ R ^m , ∀p ∈ X dengan U _p ⊂ X adalah lingkungan bagi p dan W subhimpunan terbuka di R ^m . Selanjutnya φ disebut pemetaan koordinat , x ⁱ = P ⁱ ◦φ(p) disebut fungsi koordinat di p dan pasangan (U p , φ p ) disebut sistem koordinat di p ∈ X

Definisi II.3 (Struktur licin)

Struktur licin (C ^∞ - structure) pada manifold topologis X adalah himpunan semua sistem koordinat U = {(U α , φ α )} sedemikian rupa memenuhi

1. U α merupakan liput (cover) bagi X , yaitu dipenuhi S

α U _α = X ,∀α ∈ A, A = 1, 2, . . .

2. Untuk setiap pasangan α, β ∈ A ,{(U _α , φ _α )} dan {(U _β , φ _β )} saling C ^∞ - rukun (C ^∞ -compatible), yaitu φ _α ◦ φ ⁻¹ _β dan φ _β ◦ φ ⁻¹ _α masing - masing merupakan pemetaan licin.

3. U maksimal menurut kriteria 2, dalam artian jika (U, φ) suatu sistem koordi-

nat pada X yang memenuhi sifat C ^∞ - rukun dengan setiap unsur di U maka

(U, φ) ∈ U

Gambar II.1: {(U α , φ _α )} dan {(U _β , φ _β )} saling C ^∞ - rukun apabila φ α ◦ φ ⁻¹ _β dan φ _β ◦ φ ⁻¹ _α masing - masing merupakan pemetaan licin.

Definisi II.4 ( Manifold licin )

Manifold licin adalah manifold topologis yang dilengkapi dengan suatu struktur licin. Selanjutnya, manifold licin akan cukup disebut sebagai manifold saja dan akan dilambangkan dengan M.

Dengan demikian suatu manifold topologis dapat mempunyai lebih dari satu manifold licin atau tidak ada sama sekali, tergantung dari seberapa banyak struktur licin yang bisa dibangun padanya. Sebagai contoh, permukaan bola di ruang R ⁿ⁺¹ yaitu S ⁿ , (ditunjukkan oleh John Milnor) mempunyai 28 struktur licin yang berbeda untuk n = 7, 2 struktur untuk n = 10 dan 992 struktur untuk n = 11 [Qoquereauex , 1988]. Berikut ini akan diberikan beberapa contoh untuk menentukan suatu him- punan adalah suatu manifold atau bukan

1. Ruang Eucledian R ⁿ dilengkapi sruktur licin U = (R ⁿ , I _d ) dengan I _d : R ⁿ →

R ⁿ pemetaan identitas adalah suatu manifold.

2. Titik - titik (x, y) di R ² yang memenuhi

y =



 

 



 

 



a x ≥ 0 0 x ≤ 0

−b x ≥ o

adalah himpunan yang bukan manifold karena tidak tersambung dan tidak Haus- dorff di x = 0.

3. Permukaan bola berjari - jari satu satuan S ^m dilengkapi dengan struktur licin {(S ^m − {n} , P _n ) , (S ^m − {s} , P _s )} dengan {n} = {(0, 0, · · · , 1)} dan {s} = {(0, 0, · · · , −1)} dan P _n , P _s masing - masing projeksi stereografik dari {n} dan {s}, merupakan manifold.

4. Permukaan kubus di R ⁿ yang dibangkitkan oleh metrik d _k = P n

i=i |x _i | bukan- lah manifold licin karena tidak terdapat homeomorfisme dengan R ^m saat diam- bil x j = d k .

5. Subhimpunan terbuka V dari M dengan struktur licin

U _V = 

V ∩ U _α , φ _α | _{V ∩U}

α

|(U _α , φ _α ) ∈ U

dengan φ α | _{V ∩U}

α

pemetaan φ α yang dibatasi pada V ∩ U α dan U adalah struktur licin pada M, merupakan manifold yang disebut submanifold terbuka dari M.

6. Grup linier umum yaitu himpunan G _l (n, R) yang beranggotakan semua ma-

triks n×n nonsingular berunsur riil merupakan manifold sebagai akibat adanya

diffeomorfisme dengan R − {0} melalui fungsi determinan.

Definisi II.5 ( Pemetaan licin)

Diandaikan M dan N manifold licin. Jika F : M → N adalah pemetaan dari mani–

fold M ke manifold N , maka wakilan lokal menurut sistem koordinat (U, φ) di M dan (V, ψ) di N adalah ψ ◦ F ◦ φ ⁻¹ : φ (U ) → ψ (V ). F dikatakan licin di p ∈ M jika terdapat wakilan lokal bagi F yang licin di p. F dikatakan licin jika F licin pada setiap titik p ∈ M.

Keberadaan struktur licin menjamin differensiabilitas pemetaan antar mani- fold terjadi secara global sebagai akibat sifat maksimal yang dimiliki oleh struktur licin pada kedua manifold. Dalam hal ini jika F licin, bijektif dan F ⁻¹ juga licin, maka F disebut diffeomorfisme dan kedua manifold dikatakan saling saling diffeo- morfis. Diffeomorfisme adalah relasi ekuivalen antar manifold, dalam artian setiap manifold yang saling diffeomorfis mempunyai struktur yang sama dan bisa saling menggantikan.

2. Vektor Singgung, Kovektor dan Tensor Pada Manifold

Konsep vektor singgung (tangent vector) erat kaitannya dengan pendefinisian

’pergeseran infinitisimal’ pada suatu titik suatu manifold. Pada permukaan di ruang R ⁿ , ruang singgung adalah subruang linier dari R ⁿ yang ortogonal dengan vektor normal permukaan. Hanya saja manifold tidak selalu ’ terbenam ’ dalam ruang R ⁿ , dengan demikian pendefinisian ruang singgung perlu mengambil esensi yang lebih dalam dari ruang vektor. Pendefinisian ini biasanya diambil dari konsep ’ turunan berarah dari suatu fungsi’ dan ’vektor kecepatan dari kurva singgung’. Dari konsep turunan berarah (directional derivative) dari fungsi bernilai riil, v dikatakan turunan berarah dari f di titik p jika dipenuhi v(f ) = ∇f (p) • v sehingga dapat dikatakan vektor singgung adalah fungsional licin bernilai riil yang bekerja pada fungsi f .

Jika M manifold, himpunan fungsi bernilai riil licin pada M hendak ditu–

liskan sebagai C ^∞ (M). Dilengkapi perkalian dan penjumlahan fungsi yaitu f + g (p) := f (p) + g(p) dan f · g(p) := f (p)g(p), C ^∞ (M) membentuk aljabar komu- tatif di atas lapangan riil. C ^∞ (M) bisa dipersempit menjadi C ^∞ (p) yaitu himpunan semua kelas ekuivalensi dari C ^∞ (M) di suatu lingkungan p yaitu U _p melalui relasi ekuivalen f ∼ = g ⇐⇒ f (q) = g(q), ∀q ∈ U p . Kelas - kelas ekuivalensi ini biasa disebut sebagai benih ( germ ).

Definisi II.6 ( Vektor singgung )

Jika M manifold dan p ∈ M , yang disebut sebagai vektor singgung pada p adalah fungsional bernilai riil v: C ^∞ (p) → R sedemikian rupa memenuhi sifat

1. ( Linieritas) v(af + bg) = av(f ) + bv(g) 2. (Leibnizan) v(f g)(p) = v(f )g(p) + f (p)v(g)

∀a, b ∈ R; ∀f, g ∈ C ^∞ (p)

Vektor singgung pada p ∈ M membentuk ruang vektor di atas lapangan riil dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang didefinisikan sebagai (v + w)(f ) = v(f ) + w(f ), (av)(f ) = av(f ); ∀a ∈ R, f ∈ C ^∞ (p). Selanjutnya ruang vektor singgung pada p akan ditulis sebagai T _p M.

Definisi II.7 Misalkan I adalah interval terbuka pada R. Pemetaan licin α: I → M disebut kurva licin pada M . Jika diambil t ∈ I dan p ∈ α(t ₀ ) dapat didefinisikan pemetaan ˙ α(t ₀ ): C ^∞ (p) → R sebagai ˙α(t 0 )(f ) := _dt ^d (f ◦ α)(t ₀ ); ∀f ∈ C ^∞ (p). ˙ α(t ₀ ) menyatakan vektor kecepatan α di t ₀ atau vektor singgung kurva α di titik t ₀ .

Karena ˙ α(t ₀ ) memenuhi syarat Leibnizan dan linearitas terhadap aljabar C ^∞ (p)

maka jelas bahwa α ⁰ (t ₀ ) ∈ T _p M

Teorema II.1 Jika (U, φ) adalah sistem koordinat pada p ∈ M, dengan fungsi ko- ordinat x ⁱ = P ⁱ ◦ φ; i = 1, 2, · · · , m maka {∂/∂x _i } | _p yang didefinisikan sebagai

∂/∂x _i | _p (f ) = ∂/∂x _i (f ◦ φ ⁻¹ )(φ(p)) merupakan basis bagi T _p M, sehingga dimensi T _p M = dimensi M. Basis ruang singgung yang berhubungan sistem koordinat ini disebut sebagai basis Gaussan.

Selanjutnya dapat difahami bahwa ruang singgung yang dibangun oleh derivatif pada aljabar C ^∞ (p) dan vektor singgung kurva - kurva licin di suatu titik tak bisa dibedakan melalui kaitan isomorfisme v(f )(p) := d/dt(f ◦ α) | _t=t

₀

= ˙ α(to)(f )

Teorema II.2 Jika F pemetaan licin dari manifold M dan N maka dapat diim- bas suatu pemetaan F ∗p : T p M → T _{F (p)} N yang didefinisikan oleh F ∗p (v)(g) :=

v(g ◦ F ); g ∈ C ^∞ (F (p)) dan merupakan isomorfisme jika dan hanya jika dapat dite- mukan diffeomorfisme lokal antara lingkungan p dan lingkungan F (p). Pemetaan yang diimbas ini biasa disebut sebagai differensial dari pemetaan F di p atau push forward. Jika kemudian terdapat pemetaan licin G dari manifold N ke manifold O maka akan dipenuhi aturan komposisi atau dalil rantai (G ◦ F ) _∗p = G ∗F (p) ◦ F ∗p

Tentu saja apabila terdapat diffeomorfisme diantara M dan N , differensial pemetaan F akan menyebabkan ruang singgung pada M diimpor keseluruhan ke N sehingga yang mungkin adalah bahwa jika dua manifold saling diffeomorfis maka dimensi keduanya sama tetapi tidak selalu sebaliknya.

Misalkan pada titik p ∈ M ditemukan sistem koordinat (U, φ) dan (V, ψ), berdasarkan teorema II.1 dapat disusun basis pada T _p M yang berbentuk {∂/∂x _i } menurut (U, φ) dan ∂/∂x ⁰ _j menurut (V, ψ). Untuk setiap v ∈ T _p M dapat di–

nyatakan sebagai kombinasi linier kedua basis

v =

m

X

i=1

v ⁱ ∂/∂x i =

m

X

j=1

v ^0j ∂/∂x ⁰ _j (II.3)

Dengan menganggap ψ ◦ φ ⁻¹ sebagai pemetaan antar manifold, maka dapat ditun- jukkan adanya aturan transformasi komponen vektor singgung yang berbentuk

v ^0j =

m

X

i=1

v ⁱ ∂x ⁰ _j /∂x i (II.4)

Vektor singgung dalam buku - buku teks fisika biasa disebut sebagai vektor kontrava–

rian.

Jika f ∈ C ^∞ (p) maka dengan menggunakan teorema II.2 dapat disusun pemetaan

f _∗p : T _p M → T _{f (p)} R, v 7→ f _∗p (v)

yang diberikan oleh

f ∗p (v)(x) = v(x ◦ f ) (II.5)

∀v ∈ T _p M. Karena T _{f (p)} R dibentang oleh basis tunggal ∂/∂x| f (p) diperoleh

f ∗p (v) = v(f ) ∂/∂x| _{f (p)} (II.6)

Melalui pemetaan ini dapat disusun fungsional linier yang bekerja pada T _p M

df _p : T _p M → R

df _p (v) := v(f ); ∀v ∈ T _p M yang linier pada T _p M .

Definisi II.8 Kovektor atau vektor kovarian adalah suatu pemetaan linier ω: T _p M →

R. Himpunan semua kovektor pada p merupakan ruang jodoh (dual space) dari T p M

dan dinyatakan dengan T _p ^∗ M.

Dapat mudah dilihat bahwa df adalah unsur dari T _p ^∗ M. Jika df dan dg elemen T _p ^∗ M, maka dapat didefinisikan operasi (αdf + βdg) (v) := αv(f ) + βv(g); α, β ∈ R; v ∈ T p M. Dalam suatu sistem koordinat lokal {x ¹ , . . . , x ⁿ }, dapat ditemukan

∂/∂x _i | _p ∈ T _p M yang tindakannya terhadap x _j dinyatakan sebagai ∂/∂x _i | _p (x _j ) = dx ⁱ 

∂/∂x _i | _p 

= δ _i ^j . Hal ini menunjukkan bahwa dx ⁱ | _p membentuk basis pada T _p ^∗ M yang disebut basis jodoh (dual basis) bagi basis ∂/∂x _i | _p .

Simpulan II.1 T _p ^∗ M merupakan ruang vektor riil dengan basis pada suatu koordi- nat lokal {x ¹ , . . . , x ⁿ }, mempunyai basis n

dx ⁱ | _p o

. Dengan demikian dimensi (T p M)

= dimensi T _p ^∗ M
= dimensi(M).

Perilaku unsur - unsur di T _p ^∗ M yang diimbas oleh pemetaan kontinyu antar manifold dinyatakan oleh teorema berikut

Teorema II.3 Jika F : M → N suatu pemetaan licin, dapat diimbas suatu pemetaan F _{f (p)} ^∗ : T _{f (p)} ^∗ N → T _p ^∗ M yang disebut pull back berikut

F _{f (p)} ^∗ (θ) (v)| _p := θ (F ∗p v)| _{F (p)}

∀θ ∈ T _{f (p)} ^∗ N ; v ∈ T _p M. Apabila G: N → O licin, maka pemetaan licin G ◦ F mengimbas komposisi

(G ◦ F ) ^∗ _{G◦F (p)} = F _{F (p)} ^∗ ◦ G ^∗ _{G◦F (p)}

Seperti halnya pada sembarang ruang vektor V yang bersama ruang vektor

jodohnya dapat disusun ruang tensor pada ruang vektor tersebut, maka pada T _p M

dapat disusun ruang tensor padanya. Berikut ini didefinisikan tensor pada sembarang

ruang vektor V , jadi untuk mengetahui tensor pada p ∈ M cukup dilakukan pergan-

tian V = T p M.

Definisi II.9 (Tensor)

Misalkan V ruang vektor di atas lapangan K dan V ^∗ menyatakan ruang vektor jodohnya. Tensor - (s, r) pada ruang vektor V adalah suatu pemetaan

θ: V × . . . × V

| {z }

s − f aktor

× V ^∗ × . . . × V ^∗

| {z }

r − f aktor

→ K

yang linier pada setiap argumennya. θ disebut sebagai tensor tipe (s, r) atau tensor r kontravarian dan s kovarian. Ruang yang beranggotakan semua tensor (s, r) di–

nyatakan sebagai T _s ^r (V ). Didefinisikan untuk kondisi khusus T ₀ ⁰ (V ) := K.

Sebagai contoh ruang tensor adalah T ₁ ⁰ (V ) = V ^∗ dan T ₀ ¹ (V ) = V . Oleh karena itu dalam konteks ruang tensor, kadang ruang singgung dan jodohnya masing - masing biasa dinyatakan dengan T ₁ ⁰ (V ) dan T ₀ ¹ (V ). Di antara dua tensor dengan tipe berbeda mungkin untuk dikombinasikan menjadi tensor tipe yang lebih tinggi melalui operasi produk tensor

Definisi II.10 (Produk tensor)

Andaikan θ ∈ T _s ^r (V ) dan ψ ∈ T _p ^q (V ). Produk tensor θ ⊗ ψ adalah tensor θ ⊗ ψ ∈ T _s+p ^r+q (V ) yang memenuhi

θ ⊗ ψ v ₁ , . . . , v _s , w ₁ , . . . , w _p , υ ¹ , . . . , υ ^r , ω ¹ , . . . , ω ^q

:= θ v ₁ , . . . , v _s , υ ¹ , . . . , υ ^r
ψ w ₁ , . . . , w _p , ω ¹ , . . . , ω ^q

untuk semua v, w ∈ V dan υ, ω ∈ V ^∗ . Dapat dibuktikan bahwa produk tensor ini bersifat assosiatif.

Berbekal operasi perkalian terhadap skalar

(aθ) v ₁ , . . . , v _s , υ ¹ , . . . , υ ^r
:= a.θ v 1 , . . . , v _s , υ ¹ , . . . , υ ^r

serta jumlahan

θ+ψ v ₁ , . . . , v _s , υ ¹ , . . . , υ ^r
:= θ v ₁ , . . . , v _s , υ ¹ , . . . , υ ^r
+ψ v ₁ , . . . , v _s , υ ¹ , . . . , υ ^r

maka jelas bahwa T _s ^r (V ) merupakan ruang vektor diatas lapangan K. Jika {e ₁ , . . . , e _n } basis pada V dan {θ ¹ , . . . , θ ⁿ } basis jodohnya, maka basis pada T _s ^r (V ) dapat di- ungkapkan sebagai

θ ⁱ

¹

⊗ . . . ⊗ θ ⁱ

^s

⊗ e _j

₁

⊗ . . . ⊗ ej _r

(II.7)

∀i 1 , . . . , i s , j 1 , . . . , j r ∈ {1, . . . , n} ; n = dimensi(V )

Setiap unsur ψ ∈ T _s ^r (v) dapat dinyatakan dalam jumlahan linier basis di atas

ψ = ψ ^j _i

¹

^...j

^r

1

...j

s

θ ⁱ

¹

⊗ . . . ⊗ θ ⁱ

^s

⊗ e _j

₁

⊗ . . . ⊗ ej _r (II.8) dengan

ψ _i ^j

¹

^...j

^r

1

...j

s

:= ψ e _i

₁

, . . . , e _i

_s

, θ ^j

¹

, . . . , θ ^j

^r

(II.9) Hal ini berarti T _s ^r (V ) merupakan ruang vektor di atas K dengan dimensi n ^r+s . Ungka- pan pada persamaan II.9 biasa disebut sebagai komponen tensor menurut basis II.7.

Berikut ini didefinisikan beberapa operasi penting pada tensor

1. Kontraksi

Misalkan ψ ∈ T _s ^r (V ) dan {e ₁ , . . . , e _n },{θ ¹ , . . . , θ ⁿ } pasangan basis, dapat didefinisikan operasi kontraksi antara ˆ r kontravarian dan ˆ s kovarian pada ψ sebagai

C _{ˆ s} ^{ˆ r} ψ v 1 , . . . , v s−1 , υ ¹ , . . . , υ ^r−1

:= ψ



v ₁ , . . . , e _i

|{z}

argumen ke−ˆ s

, . . . , v _s−1 , υ ¹ , . . . , θ ⁱ

|{z}

argumen ke−ˆ r

, . . . , υ ^r−1



 (II.10) Operasi ini bebas terhadap pemilihan basis. Dapat dilihat, aksi operasi kon- traksi pada suatu tensor adalah menurunkan indeks atas dan indeks bawahnya masing - masing satu. Misalkan φ ∈ T _s ^r (V ) dan ψ ∈ T _q ^p (V ), terhadap produk tensor kontraksi bersifat

C _{s ˆ} ^{ˆ r} φ
⊗ ψ = C _{s ˆ} ^{ˆ r} (φ ⊗ ψ)

φ ⊗  C _{q ˆ} ^{p ˆ} ψ 

= C _s+ˆ ^{r+ ˆ} _q ^p (φ ⊗ ψ)

2. Simetrisasi dan antisimetrisasi

Misalkan ψ ∈ T _p ⁰ (V ) sembarang permutasi ¹ σ _p ∈ S _p didefinisikan

σ _p ψ (v ₁ , . . . , v _p ) := ψ v _σ

_p

₍₁₎ , . . . , v _σ

_p

_(p)

kemudian

(a) Simetrisasi dari T _p ⁰ (V ) dinyatakan sebagai

Sym: T _p ⁰ (V ) → T _p ⁰ (V )

1 Permutasi merupakan pemetaan σ p : {i ₁ , . . . , i _p } → {i 1 , . . . , i _p };

σ _p {i ₁ , . . . , i _p } = i σ

_p

(1) , . . . , i _σ

_p

_(p) . himpunan semua permutasi seperti ini membentuk struktur grup S _p yang homeomorfis dengan grup ({−1, 1} , .) melalui

Sign(σ p ) = 1 untuk permutasi genap dan

Sign(σ p ) = −1

untuk permutasi ganjil

Sym(ψ) = 1/p! X

σ

p

∈S

_p

σ _p ψ (II.11)

(b) Antisimetrisasidari T _p ⁰ (V ) dinyatakan sebagai

Alt: T _p ⁰ (V ) → T _p ⁰ (V )

Alt(ψ) = 1/p! X

σ

p

∈S

p

Sign(σ _p )σ _p ψ (II.12)

Tensor ψ ∈ T _p ⁰ (V ) dikatakan simetris jika ψ = Symψ dan antisimetris jika ψ = Altψ. Pendefinisian yang sama dapat dilakukan untuk simetrisasi dan antisimetrisasi pada ψ ∈ T ₀ ^p . Simetrisasi ψ ∈ T _p ⁰ bila diungkapkan dalam kom- ponen basis dinyatakan dengan lambang ψ _(i

₁

_,...,i

_p

₎ dan untuk antrisimetrisasinya dinyatakan dengan ψ [i

1

,...,i

p

] . Jika diinginkan beberapa suku tidak diikutkan dalam permutasi, bisa diberikan tanda || pada suku tersebut. Cacah permu- tasinya berkurang menurut beberapa banyak suku tetap tersebut. Sebagai con- toh misalkan ψ ∈ T ₄ ⁰ maka ψ (i,|j|,|k|,l) = 1/2! [ψ _ijkl + ψ _ljki ] .

Ruang tensor T _p ⁰ (V ) antisimetris memegang peranan penting dalam analisis manifold licin, di antaranya dalam teori integrasi dan teori sistem differensial.

Definisi II.11 (Forma-p)

Tensor ψ ∈ T _p ⁰ (V ) dengan sifat Altψ = ψ akan disebut dengan forma-p. Ruang vek- tor yang beranggotakan semua forma-p dinyatakan dengan Λ ^p (V ) = Alt T _p ⁰ (V )
.

Produk tensor ⊗ mengimbas produk ∧ yang disebut sebagai produk eksterior ( wedge product)

∧: Λ ^p (V ) × Λ ^q (V ) → Λ ^p+q (V )

(ω, η) 7→ ω ∧ η := (p + q)!

p!q! Alt (ω ⊗ η)

yang bersifat bilinear assosiatif dan antisimetris. Dengan memakai produk eksterior dimungkinkan untuk menyusun basis pada ruang Λ ^p (V ) menggunakan unsur - un- sur V ^∗ . Berikut ini disajikan lemma yang memudahkan pengungkapan unsur ruang Λ ^p (V ) dalam basisnya.

Lemma II.1 Misalkan ω ¹ , · · · , ω ^p ∈ V ^∗ dan σ p ∈ S _p 1. ω ¹ ∧ · · · ∧ ω ^p = sign(σ _p )ω ^σ

^p

⁽¹⁾ ∧ · · · ∧ ω ^σ

^p

^(p) 2. ω ¹ ∧ · · · ∧ ω ^p = P

σ

p

∈S

p

sign(σ _p )ω ^σ

^p

⁽¹⁾ ⊗ · · · ⊗ ω ^σ

^p

^(p)

3. ω ¹ ∧ · · · ∧ ω ^p = 0 jika dan hanya jika ω ¹ , · · · , ω ^p gayut linier.

Teorema II.4 Jika {e ₁ , · · · , e _n } , {θ ¹ , · · · , θ ⁿ } pasangan basis jodoh maka himpunan

θ ⁱ

¹

∧ · · · ∧ θ ⁱ

^p

1≤i

1

<···<i

p

≤n

membentuk basis pada ruang Λ ^p (V ). Dengan demikian dimensi Λ ^p (V ) = ⁿ _p

=

n!

(n−p)!p!

Di samping produk eksterior yang berguna untuk mengkombinasikan bebera- pa forma, dapat disusun operasi yang menurunkan indeks jenisnya. Operasi ini dise- but produk interior (interior product) yang merupakan pemetaan

y: V × Λ ^p (V ) → Λ ^p−1 (V )

(v, ω) 7→ vyω : (ω 1 , · · · , ω _p−1 ) 7→ ω(v, ω ₁ , · · · , ω _p−1 ) dan didefinisikan untuk p = 0, v yω = 0.

Kemudian akan dikenalkan medan tensor pada manifold yaitu suatu pemetaan

yang bernilai tensor. Berbagai struktur geometris dan fisis dapat memakai konsep ini

sebagai model.

Definisi II.12 (Medan tensor)

Ruang vektor yang beranggotakan semua pemetaan licin

φ: M → [

p∈M

T _s ^r (T _p M)

dengan φ(p) ∈ T _s ^r (T p M) ; ∀p ∈ M disebut sebagai medan tensor - (r, s) dan akan dinyatakan dengan T _s ^r (M).

Suatu medan tensor T ₀ ¹ (M) biasa disebut sebagai medan vektor karena perti- tiknya berhubungan dengan vektor singgung, kemudian medan tensor T ₁ ⁰ (M) biasa disebut sebagai medan kovektor karena pertitiknya berhubungan dengan kovektor, sedangkan medan tensor T _p ⁰ (M) yang antisimetris pada setiap pertukaran indeksnya biasa disebut sebagai forma differensial tipe-p atau cukup disebut forma-p, dengan forma-0 sebagai fungsi pada manifold dan forma-1 sebagai medan kovektor. Suatu U ⊂ M yang berhubungan dengan sistem koordinat {x ⁱ } menyebabkan ruang tensor T _s ^r (T _p M) dibentang oleh basis yang diperoleh dari produk tensor {∂/∂x _i } dan {dx ⁱ } pada setiap p ∈ U . Dengan demikian jelas dapat dibentuk medan vektor basis yang dihasilkan dari sistem koordinat Gaussan pada U . Misalkan φ suatu medan tensor, maka ungkapannya dalam sistem koordinat lokal dapat dituliskan sebagai

φ(p) = φ ⁱ _j

¹₁

^...i _...j

^r_s

(p)dx ^j

¹

⊗ . . . ⊗ dx ^j

^s

⊗ ∂/∂x _i

₁

⊗ . . . ⊗ ∂/∂x _i

_r

(II.13)

Berikut ini disajikan lemma yang memudahkan identifikasi medan tensor pada mani- fold [Lee , 1997]

Lemma II.2 (Lemma karakterisasi medan tensor)

Suatu pemetaan

φ: T ₀ ¹ (M) × . . . × T ₀ ¹ (M)

| {z }

s−f aktor

× T ₁ ⁰ (M) × . . . × T ₁ ⁰ (M)

| {z }

r−f aktor

→ C ^∞ (M)

merupakan medan tensor anggota T _s ^r (M) jika dan hanya jika multilinier atas C ^∞ (M).

Juga pemetaan

φ: T ₀ ¹ (M) × . . . × T ₀ ¹ (M)

| {z }

s−f aktor

× T ₁ ⁰ (M) × . . . × T ₁ ⁰ (M)

| {z }

r−f aktor

→ T ₀ ¹ (M)

diimbas oleh medan tensor anggota T _s ^r+1 (M) jika dan hanya jika multilinier atas C ^∞ (M)

Teorema II.2 dan II.3 dapat diperluas pemakaiannya pada tensor sembarang.

Misalkan g: M → N suatu diffeomorfisme lokal dan ψ ∈ T _s ^r (N ), didefinisikan pemetaan pull back yang memetakan setiap elemen T _s ^r (N ) ke T _s ^r (M) sebagai

g ^∗ ψ(v 1 , . . . , v s , ω ¹ , . . . , ω ^s ) := ψ (g ∗ (v 1 )), . . . , (g ∗ (v s )), (g ⁻¹ ) ^∗ (ω ¹ ), . . . , (g ⁻¹ ) ^∗ (ω ^s )
(II.14) sedangkan push forward pada ˆ ψ ∈ T _s ^r (M) untuk dibawa ke T _s ^r (N ) didefinisikan sebagai

g ∗ ψ = g ˆ ⁻¹
∗ ψ ˆ (II.15)

Lemma II.3 Untuk setiap diffeomorfisme lokal g: M → N dan semua medan tensor φ, ψ ∈ T _s ^r (M) dipenuhi sifat

g ^∗ (αψ + βφ) = αg ^∗ ψ + βg ^∗ φ

g ^∗ (φ ⊗ ψ) = g ^∗ φ ⊗ g ^∗ ψ

g ^∗ C _s ^r _ˆ ^ˆ ψ = C _{s ˆ} ^{ˆ r} g ^∗ ψ

Misalkan M manifold licin berdimensi-n, himpunan T _s ^r M = S

p∈M T _s ^r (T _p M) secara alamiah membawa struktur licin yang diimbas dari M. Andaikan (U _α , ϕ _α ) sitim koordinat pada titik p, dapat didefinisikan pemetaan

ψ _α : [

p∈M

T _s ^r (T _p M) → ϕ _α (U ) × R ⁿ

^r

ⁿ

^s

φ _p 7−→ (ϕ _α (p), (φ ⁱ _(α)j

¹

^,···,i

^r

1

,···,j

s

)) di mana φ ⁱ _(α)j

¹

^,···,i

^r

1

,···,j

s

merupakan komponen tensor φ _p menurut ϕ _α (p). Jelas bahwa se- tiap ψ _q ∈ T _s ^r (T _q M) berada pada paling sedikit satu di antara himpunan - himpunan T _s ^r U = S

p∈U

α

T _s ^r (T p M). Apabila sistem koordinat (U α , ϕ α ) dinyatakan dengan (x ¹ , · · · , x ⁿ ) dan (U β , ϕ β ) dengan (y ¹ , · · · , y ⁿ ), setiap vektor singgung v ∈ T p M da- pat dituliskan dengan v = P n

i=1 v _α ⁱ ∂ _x ⁱ = P n

i=1 v _β ⁱ ∂ _y ⁱ dengan transformasi antar kom- ponen kooardinat v ^j _α = P n

i=1 v _β ^{i ∂(ϕ}

^α

^◦(ϕ _∂

i^β

⁾

⁻¹

⁾

^j

y

atau dengan kata lain v _α = Dϕ _αβ (v _β ) dengan Dϕ _αβ menyatakan (ϕ _α ◦ (ϕ _β ) ⁻¹ ) ^∗ . Begitu juga dengan forma-1 ω, komponen - komponennya akan terhubung melalui ω ^α = ω _β D(ϕ _αβ ) ⁻¹ . Dengan argumentasi yang sama, komponen komponen tensor φ ⁱ _(α)j

¹

^,···,i

^r

1

,···,j

s

dan φ ⁱ _(β)j

¹

^,···,i

^r

1

,···,j

s

terhubung melalui φ ^k _(α)l

¹

^,···,k

^r

1

,···,l

s

= X

1≤i1,···,ir≤n 1≤j1,···,js≤n

φ ⁱ _(β)j

¹

^,···,i

^r

1

,···,j

s

(Dϕ _αβ ) ^k _i

¹

1

· · · (Dϕ _αβ ) ^k _i

^r

r

× (D(ϕ _αβ ) ⁻¹ ) ^j _l

¹

1

· · · (D(ϕ _αβ ) ⁻¹ ) ^j _l

^s

s

Oleh karena itu komponen - komponen φ α dan φ β dari tensor φ p menurut (U α , ϕ α ) dan (U β , ϕ _β ) terhubung oleh isomorphisme linier D _αβ . Dengan demikian pemetaan

ψ _α ◦ ψ _β ⁻¹ : ψ _β (T _s ^r U _α ∩ T _s ^r U _β ) → ψ _α (T _s ^r U _α ∩ T _s ^r U _β )

(y, (φ _β )) 7−→ ψ _α ◦ ψ _β ⁻¹ (y, (φ _β )) = (ϕ _αβ (y), D _αβ (ϕ _β ))

merupakan diffeomorfisme. Hal ini berarti himpunan T _s ^r M secara alamiah meru- pakan manifold licin berdimensi n ^r+s . Manifold ini biasa disebut sebagai bundel tensor (tensor bundle). Bundel tensor T M = T ₀ ¹ M disebut sebagai bundel singgung (tangent bundle), sedangkan bundel tensor T ^∗ M = T ₁ ⁰ M disebut sebagai bundel kotangen (cotangent bundle).

Bundel tensor adalah salah satu contoh dari suatu bundel vektor atas suatu manifold, yaitu manifold licin E bersama dengan pemetaan surjektif licin π: E → M yang memenuhi:

1. Untuk setiap p ∈ M, himpunan E p = π ⁻¹ (p) ⊂ E (disebut fiber E atas p) memiliki suatu struktur ruang vektor riil.

2. Untuk setiap p ∈ M, terdapat lingkungan U dari p di M dan suatu diffeo- morfisme Φ: π ⁻¹ (U ) → U × R ^k sedemikian rupa sehingga diagram berikut komutatif:

U π ⁻¹ (U ) Φ

U × R ^k

π π 1

-







  + Q

Q Q

Q Q s

dengan π 1 menyatakan proyeksi ke faktor pertama π 1 (p, v) = p. Pembatasan Φ atas E p merupakan isomorfisme linier dari E p ke {p} × R ^k ∼ = R ^k

Manifold E biasa disebut sebagai ruang total dari bundel, M sebagai basis

dan π sebagai proyeksinya. Untuk lebih ringkasnya, bundel vektor E atas basis M

dengan proyeksi π akan dilambangkan dengan (E, π, M). Setiap pemetaan Φ seper-

ti yang terdefinisi diatas disebut sebagai trivialisasi lokal atas U , Jika terdapat suatu

trivialisasi lokal yang terdefinisi pada seluruh manifold basis M (disebut trivialisasi

global), dikatakan E menjadi bundel trivial. Jika U ⊂ M terbuka, dapat dibuktikan pembatasan proyeksi E |U = π ⁻¹ (U ) juga merupakan bundel vektor. Pemetaan kon- tinyu σ: M → E sedemikian rupa sehingga π ◦ σ = Id M disebut sebagai section dari E. Zero section merupakan ζ: M → E yang didefinisikan oleh ζ(p) = 0 ∈ E _p untuk setiap p ∈ M. Sebagai suatu pemetaan, support dari section σ didefinisikan sebagai klosure dari himpunan {p ∈ M |σ(p) 6= 0 }. Pada bundel tensor, section merupakan bahasa lain untuk mengungkapkan medan tensor pada manifold basis. Himpunan section {σ ₁ , · · · , σ _k } sedemikian rupa sehingga span {σ ₁ (p), · · · , σ _k (p)} = E _p untuk setiap p ∈ U ⊂ M dikatakan sebagai suatu kerangka (frame) pada E.

3. Kongruensi dan Derivatif Lie

Pada setiap kurva licin, dapat selalu dibangun medan vektor sepanjang kur- va dengan nilai - nilainya pada titik sepanjang kurva berupa vektor singgung. Hal sebaliknya apakah bisa terjadi?. Teorema berikut menjamin keberadaannya [Kriele , 2001].

Teorema II.5 Misalkan M manifold licin, V medan vektor pada M. Pada setiap p ∈ M terdapat suatu I ⊂ R dan kurva licin γ p : I → M yang memenuhi kondisi γ _p (0) = p dan ˙γ(t) = V _γ(t)

Jika V _p 6= 0 maka terdapat suatu lingkungan U dari (0, p) ∈ R×M sedemikian rupa sehingga pemetaan F : U → M; (t, q) → F _t (q) = γ _q (t) dapat didefinisikan dengan baik.

Pemetaan q → F t (q) merupakan suatu diffeomorfisme lokal untuk setiap t dengan inverse diberikan oleh F −t .

Jika t, s cukup kecil akan dipenuhi F _t ◦ F _s = F _t◦s .

Kurva γ seperti di atas disebut sebagai kurva integral dari medan vektor

V , sedangkan F _t disebut sebagai aliran (flow) atau kongruensi dari V . Dengan

demikian, dapat dikatakan bahwa setiap medan vektor dapat selalu membangkitkan kongruansi atau himpunan kurva licin yang tidak saling beririsan dan melalui setiap titik pada lingkungan lokal tertentu.

Diffeomorphime lokal pada aliran suatu medan vektor dapat digunakan untuk membangun derivasi suatu medan tensor ² .

Definisi II.13 ( Derivatif Lie)

Misalkan p ∈ M, ψ medan tensor, U medan vektor dan F _t aliran dari U , derivatif Lie ψ oleh U dinyatakan dalam

L _U ψ(x) :=  d dt



t=0

F _t ^∗ ψ

 (p)

dengan (d/dt) _t=0 menyatakan derivatif biasa .

Derivatif lie berguna dalam mengukur perubahan ψ sepanjang U . Dengan memakai lemma II.3 dapat mudah dibuktikan bahwa derivatif lie merupakan suatu derivasi. Apabila diterapkan pada fungsi licin f dan medan vektor V diperoleh

L _U f = U (f ) (II.16)

2 Derivasi adalah suatu pemetaan D yang memetakan medan - medan tensor ke medan - medan tensor dengan sifat - sifat

• D (T _s ^r (M)) ⊂ T _s ^r (M)

• D (φ ⊗ ψ) = D (φ) ⊗ ψ + φ ⊗ D (ψ)

• D komut terhadap kontraksi.

Dua derivasi dikatakan bersesuaian jika mereka bersesuaian terhadap medan - medan vektor dan fungsi. Jika D, ˜ D, ˆ D derivasi maka komutator

h D, ˆ D i

:= D ◦ ˆ D − ˆ D ◦ D juga merupakan derivasi. Dipenuhi pula identitas Jacobi

h

D, h ˆ D, ˜ D ii

+ h ˜ D, h D, ˆ D ii

+ h ˆ D, h ˜ D, D ii

= 0

(L _U V )(f ) = U ◦ V (f )f − V ◦ U (f ) (II.17)

Mengingat medan vektor dapat dipandang sebagai derivasi di atas fungsi licin, maka persamaan II.17 bisa dipandang sebagai komutator pada medan vektor. Kita nyatakan [U, V ] = L _U V . Identitas Jacobi pada medan vektor berakibat dipenuhinya relasi L _{[U,V ]} = [L _U , L _V ]. Dua medan vektor U dan V dikatakan rukun jika derivatif lie-nya lenyap, secara geometri dapat ditafsirkan bahwa aliran antara keduanya saling rukun.

Sebagai contoh, medan basis koordinat yaitu himpunan medan vektor yang menjadi basis ortogonal bagi sembarang medan vektor pada suatu lingkungan, merupakan salah satu himpunan medan vektor yang saling rukun. Pada teori fisika konsep tentang derivatif Lie berguna untuk menyatakan konsep tentang invariansi medan tensor di bawah aksi medan vektor tertentu [Schutz , 1980]. Medan tensor ψ invarian di bawah U jika L _U ψ = 0 yaitu saat F _t ^∗ ψ = ψ. Yang menarik di sini, himpunan semua medan vektor yang menyebabkan medan tensor ψ ternyata membentuk aljabar Lie yaitu ruang vektor yang tunduk di bawah operasi komutasi. Kita bisa memilih unsur-unsur pada aljabar Lie tersebut yang saling bebas linier. Karena pada setiap aljabar Lie dapat ditemukan subset medan koordinat Gaussan yang membentangnya, maka penentuan medan vektor bebas linier dari aljabar Lie tersebut sama saja dengan menentukan sistem koordinat yang medan basis koordinatnya membuat ψ invarian.

4. Koneksi dan Kelengkungan Pada Manifold

Dalam sembarang manifold, untuk menentukan turunan suatu medan vektor

dilakukan dengan membandingkan nilai medan vektor tersebut di suatu titik dengan

nilainya di titik yang lain. Oleh karena itu masalahnya adalah bagaimana memband-

ingkan dua vektor singgung yang hidup dalam ruang singgung yang berbeda. Diper-

lukan suatu cara untuk membandingkan nilai medan vektor pada tempat yang berbeda

atau secara mudahnya diperlukan suatu koneksi (connection) antara ruang singgung.

Definisi II.14 (Koneksi) Koneksi adalah suatu pemetaan

∇: T ₀ ¹ (M) × T ₀ ¹ (M) → T ₀ ¹ (M)

∇ (U, V ) = ∇ _U V

sedemikian rupa sehingga memenuhi sifat - sifat : 1. ∇ _U V linier atas C ^∞ (M) pada U

∇ f U +gW V = f ∇ U V + g∇ W V ; f, g ∈ C ^∞ (M)

2. ∇ U V linier atas R pada V

∇ _U (aV + bW ) = a∇ _U V + b∇ _U W ; a, b ∈ R

3. ∇ memenuhi aturan produk

∇ _U f V = U (f )V + f ∇ _U V ; f ∈ C ^∞ (M)

Torsi dari ∇ adalah medan tensor

(U, V ) → T or(U, V ) = ∇ _U V − ∇ _V U − [U, V ]

koneksi ∇ dikatakan bebas torsi jika dipenuhi T or = 0.

Biasanya ∇ _U V disebut turunan kovarian V sepanjang U . Pada suatu titik p,

nilai ∇ _U V hanya bergantung pada nilai U di p dan nilai V di sekitar p yaitu ∇ _U V | _p =

∇ _U

_p

V . Oleh karena itu dapat ditafsirkan sebagai turunan V sepanjang arah vektor singgung U _p . Dalam sistem koordinat lokal, misalkan kita nyatakan ∂/∂x _i := ∂ _x

_i

dan ∇ _∂

_xi

∂ _x

_j

:= Γ ^k _ij ∂ _x

_k

maka suatu koneksi yang bebas torsi memenuhi sifat Γ ^k _ij = Γ ^k _ji . Komponen koneksi Γ ^a _bc biasa disebut simbol Christoffel. Transformasi Γ ^c _ab antar sistem koordinat koordinat lokal {˜ x ⁱ } ke {x ⁱ } memenuhi

Γ ^e _df = ∂x ^e

∂ ˜ x ^h

∂ ² x ˜ ^h

∂x ^f ∂x ^d + ∂x ^e

∂ ˜ x ^h

∂ ˜ x ^a

∂x ^d

∂ ˜ x ^b

∂x ^f

Γ ˜ ^c _ab (II.18)

Dengan memakai persamaan ini apabila diketahui suatu sistem koordinat tertentu pa- da manifold, dapat selalu ditemukan sistem koordinat lokal lain dengan Γ ^c _ab = 0.

Misalnya saja apabila suatu sistem koordinat lokal {˜ x ^a } mempunyai ˜ Γ ^c _ab , transformasi sistem koordinat kuadratik berbentuk ˜ x ^a = x ^a +1/2A ^a _bc x ^b x ^c dengan A ^a _bc simetris pada b dan c akan menyebabkan dipenuhinya persamaan Γ ^c _ab = ˜ Γ ^c _ab +A ^c _ab , dengan demikian pemiliahan A ^c _ab = −  ˜ Γ ^c _ab 

akan menyebabkan Γ ^c _ab = 0 pada sistem koordinat lokal {x ^a }.

Sembarang medan vektor U, V akan memenuhi

∇ _U V = ∇ _U

ⁱ

_∂

_xi

V ^j ∂ _x

_j

= U ⁱ ∇ _∂

_xi

V ^j ∂ _x

_j

= U ⁱ 

∂ _x

_i

V ^j
∂ _x

_j

+ V ^j Γ ^k _ij ∂ _x

_k



= U ⁱ ∂ x

i

V ^k + V ^j Γ ^k _ij  ∂ x

k

(II.19)

Menggunakan lemma karakterisasi tensor, ∇ _U V dapat dipandang sebagai ∇V (U, .) dengan ∇V ∈ T ₁ ¹ (M). Oleh karena itu, ∇ merupakan pemetaan T ₀ ¹ M → T ₁ ¹ M.

Pemetaan ini disebut sebagai turunan kovarian pada medan vektor. Secara lokal,

∇V dapat dituliskan sebagai ∇V = V _;j ⁱ dx ^j ⊗ ∂ x

i

dengan V _;j ⁱ = ∂ x

i

V ^k + V ^j Γ ^k _ij .

Karena ∇f = df , maka turunan kovarian pada suatu medan kovektor juga dapat

didefinisikan. Misalkan diambil ω ∈ T ₁ ⁰ dengan ω(V ) = f , maka diperoleh ∇ _U f =

∇ _U ω(V ) = ∇ω(V, U ). Ungkapan lokalnya dinyatakan dengan ∇ω = ω _i;j dx ⁱ ⊗ dx ^j dengan ω _i;j = ∂ _x

_i

ω _j + ω _k Γ ^k _ij . Adanya turunan kovarian pada fungsi, medan vek- tor dan medan kovektor memungkinkan untuk mendefinisikan turunan kovarian pada sembarang medan tensor. Perluasan ∇ sebagai turunan kovarian pada sembarang medan tensor dapat dilakukan dengan memakai sifat - sifat derivasi pada catatan kaki (2)

Lemma II.4 (Tindakan koneksi atas medan tensor)

Misalkan (M, ∇) manifold dengan koneksi, akan terdapat perluasan tunggal untuk

∇ jika dikenakan pada medan tensor sembarang

∇: T _s ^r (M) → T _s+1 ^r (M) ; ψ → ∇ψ

yang diberikan oleh

∇ψ(U, V ¹ , · · · , V ^s , ω ₁ , · · · , ω _r ) = ∇ _U ψ(V ¹ , · · · , V ^s , ω ₁ , · · · , ω _r )

Pada ruang medan forma-p, yaitu Ω ^p (M 

ω ∈ T _p ⁰ (M), Alt(ω) = ω ) dapat disusun pemetaan tunggal yang dapat digunakan untuk menaikkan indek medan for- ma. Pemetaan ini disebut turunan eksterior (exterior derivative).

d: Ω ^p (M → Ω ^p+1 (M; ω 7→ dω

yang secara lokal dinyatakan dengan

dω = X

1≤i

1

<···<i

p

≤n

d(ω _i

₁

···i

p

) ∧ dx ⁱ

¹

∧ · · · ∧ dx ⁱ

^p

yang memenuhi sifat 1. d ◦ d = 0,

2. d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1) ^p ω ∧ dη untuk semua ω ∈ Ω ^p (M) dan η ∈ Ω ^q (M), 3. Untuk f ∈ Ω ⁰ (M), df berhubungan dengan differensial biasa pada fungsi 4. Komutatif terhadap pull back: F ^∗ (dω) = d(F ^∗ ω).

Dari sifat terakhir berakibat dipenuhinya hubungan L _V dω = dL _V ω. Oleh karena itu, derivatif Lie sembarang medan forma dapat dinyatakan sebagai L _V ω = V ydω + d(V ydω). Hubungan ini memungkinkan untuk mengungkapkan turunan eksterior dalam bahasa yang bebas koordinat.

Proposisi II.1 Misalkan ω ∈ Ω ^p (M) dan V 0 , · · · , V p medan vektor. Maka turunan eksterior dari ω dapat dinyatakan dengan

dω(V ₀ , · · · , V _p ) =

p

X

i=0

(−1) ⁱ L _V

_i

(ω(V ₀ , · · · , ˆ V _i , · · · , V _p ))

+ X

0≤i<j≤p

(−1) ^i+j ω(L _V

_i

V _j , V ₀ , ˆ V _i , · · · , ˆ V _j , · · · , V _p )

=

p

X

i=0

(−1) ⁱ V _i (ω(V ₀ , · · · , ˆ V _i , · · · , V _p ))

+ X

0≤i<j≤p

(−1) ^i+j ω([V _i , V _j ], V ₀ , ˆ V _i , · · · , ˆ V _j , · · · , V _p )

dimana tanda ˆ (.) menyatakan medan vektor dibuang.

Telah disebutkan di atas bahwa nilai turunan kovarian pada suatu titik hanya

bergantung pada nilai medan vektor pada lingkungan titik tersebut. Dapat dilakukan

pembatasan lingkungan pada medan vektor, misalnya saja pembatasan hanya pada

sepanjang kurva . Pada kondisi tersebut, medan vektor yang bersesuaian dikatakan

sebagai medan vektor sepanjang kurva. selanjutnya didefinisikan turunan kovarian sepanjang kurva.

Definisi II.15 Misalkan ∇ koneksi, t → γ(t) suatu kurva dan t → V (t) medan vektor sepanjang kurva γ didefinisikan

1. Turunan kovarian V sepanjang kurva γ dinyatakan sebagai ˙ V (t) = ∇ _{γ(t) ˙} V (t) =

d

dt V ^a (t) + Γ ^a _bc V ^c (t) ˙γ ^b (t)
∂ _a . Medan vektor V (t) dikatakan mengalami trans- port paralel sepanjang γ jika ∇ _{γ(t) ˙} V (t) = 0

2. Kurva prageodesik merupakan kurva γ yang memenuhi sifat ∇ γ ˙ ˙γ || ˙γ, suatu prageodesik dikatakan geodesik apabila ∇ γ ˙ ˙γ = 0

3. Geodesik dikatakan komplit jika didefinisikan pada semua t ∈ R

Setiap prageodesik dapat dijadikan geodesik dengan mengganti parameter kur- vanya. Misalkan parameter prageodesik dinyatakan dengan t, maka dengan menggan- ti parameter menjadi t ⁰ = at + b akan diperoleh geodesik. parameter pengganti ini disebut sebagai parameter affine (affine parameter). Poin 1 pada definisi di atas me- nunjukkan bahwa pada setiap medan vektor selalu bisa ditemukan suatu kurva menu- rut suatu koneksi sedemikian rupa menurut kurva tersebut medan vektor sepanjang kurva terlihat parallel.

Simpulan II.2 Geodesik merupakan kurva paling ’lurus’ menurut koneksinya.

Karena kelurusan geodesik tersebut, maka pada teori relativitas, geodesik di- gunakan untuk model lintasan gerak materi yang tidak dipercepat atau bebar dari pengaruh luar.

Secara lokal persamaan geodesik dapat dinyatakan dengan sistem persamaan

orde dua ¨ γ ^a + Γ ^a _bc ˙γ ^b ˙γ ^c = 0, yang penyelesaiannya dapat diperoleh dengan mereduksi