Koneksi dan Kelengkungan Pada Manifold

Dalam sembarang manifold, untuk menentukan turunan suatu medan vektor dilakukan dengan membandingkan nilai medan vektor tersebut di suatu titik dengan nilainya di titik yang lain. Oleh karena itu masalahnya adalah bagaimana memband-ingkan dua vektor singgung yang hidup dalam ruang singgung yang berbeda. Diper-lukan suatu cara untuk membandingkan nilai medan vektor pada tempat yang berbeda atau secara mudahnya diperlukan suatu koneksi (connection) antara ruang singgung.

Definisi II.14 (Koneksi) Koneksi adalah suatu pemetaan

∇: T₀¹(M) × T₀¹(M) → T₀¹(M)

∇ (U, V ) = ∇_UV

sedemikian rupa sehingga memenuhi sifat - sifat : 1. ∇_UV linier atas C^∞(M) pada U

∇f U +gWV = f ∇UV + g∇WV ; f, g ∈ C^∞(M)

2. ∇UV linier atas R pada V

∇_U(aV + bW ) = a∇_UV + b∇_UW ; a, b ∈ R

3. ∇ memenuhi aturan produk

∇_Uf V = U (f )V + f ∇_UV ; f ∈ C^∞(M)

Torsi dari ∇ adalah medan tensor

(U, V ) → T or(U, V ) = ∇_UV − ∇_VU − [U, V ]

koneksi ∇ dikatakan bebas torsi jika dipenuhi T or = 0.

Biasanya ∇_UV disebut turunan kovarian V sepanjang U . Pada suatu titik p, nilai ∇_UV hanya bergantung pada nilai U di p dan nilai V di sekitar p yaitu ∇_UV |_p =

∇_UpV . Oleh karena itu dapat ditafsirkan sebagai turunan V sepanjang arah vektor singgung U_p. Dalam sistem koordinat lokal, misalkan kita nyatakan ∂/∂x_i := ∂_xi dan ∇_∂xi∂_xj := Γ^k_ij∂_xk maka suatu koneksi yang bebas torsi memenuhi sifat Γ^k_ij = Γ^k_ji. Komponen koneksi Γ^a_bcbiasa disebut simbol Christoffel. Transformasi Γ^c_abantar sistem koordinat koordinat lokal {˜xⁱ} ke {xⁱ} memenuhi

Γ^e_df = ∂x^e

Dengan memakai persamaan ini apabila diketahui suatu sistem koordinat tertentu pa-da manifold, pa-dapat selalu ditemukan sistem koordinat lokal lain dengan Γ^c_ab = 0.

Misalnya saja apabila suatu sistem koordinat lokal {˜x^a} mempunyai ˜Γ^c_ab, transformasi sistem koordinat kuadratik berbentuk ˜x^a= x^a+1/2A^a_bcx^bx^cdengan A^a_bcsimetris pada b dan c akan menyebabkan dipenuhinya persamaan Γ^c_ab = ˜Γ^c_ab+A^c_ab, dengan demikian pemiliahan A^c_ab = − ˜Γ^c_ab

akan menyebabkan Γ^c_ab = 0 pada sistem koordinat lokal {x^a}.

Sembarang medan vektor U, V akan memenuhi

∇_UV = ∇_Uⁱ_∂xi V^j∂_xj

= Uⁱ∇_∂xi V^j∂_xj

= Uⁱ

∂_xiV^j
∂_xj + V^jΓ^k_ij∂_xk

= Uⁱ∂xiV^k+ V^jΓ^k_ij ∂xk (II.19)

Menggunakan lemma karakterisasi tensor, ∇_UV dapat dipandang sebagai ∇V (U, .) dengan ∇V ∈ T₁¹(M). Oleh karena itu, ∇ merupakan pemetaan T₀¹M → T₁¹M.

Pemetaan ini disebut sebagai turunan kovarian pada medan vektor. Secara lokal,

∇V dapat dituliskan sebagai ∇V = V_;jⁱ dx^j ⊗ ∂xi dengan V_;jⁱ = ∂xiV^k + V^jΓ^k_ij. Karena ∇f = df , maka turunan kovarian pada suatu medan kovektor juga dapat

didefinisikan. Misalkan diambil ω ∈ T₁⁰ dengan ω(V ) = f , maka diperoleh ∇_Uf =

∇_Uω(V ) = ∇ω(V, U ). Ungkapan lokalnya dinyatakan dengan ∇ω = ω_i;j dxⁱ⊗ dx^j dengan ω_i;j = ∂_xiω_j + ω_kΓ^k_ij. Adanya turunan kovarian pada fungsi, medan vek-tor dan medan kovekvek-tor memungkinkan untuk mendefinisikan turunan kovarian pada sembarang medan tensor. Perluasan ∇ sebagai turunan kovarian pada sembarang medan tensor dapat dilakukan dengan memakai sifat - sifat derivasi pada catatan kaki (2)

Lemma II.4 (Tindakan koneksi atas medan tensor)

Misalkan (M, ∇) manifold dengan koneksi, akan terdapat perluasan tunggal untuk

∇ jika dikenakan pada medan tensor sembarang

∇: T_s^r(M) → T_s+1^r (M) ; ψ → ∇ψ

yang diberikan oleh

∇ψ(U, V¹, · · · , V^s, ω₁, · · · , ω_r) = ∇_Uψ(V¹, · · · , V^s, ω₁, · · · , ω_r)

Pada ruang medan forma-p, yaitu Ω^p(M

ω ∈ T_p⁰(M), Alt(ω) = ω ) dapat disusun pemetaan tunggal yang dapat digunakan untuk menaikkan indek medan for-ma. Pemetaan ini disebut turunan eksterior (exterior derivative).

d: Ω^p(M → Ω^p+1(M; ω 7→ dω

yang secara lokal dinyatakan dengan

dω = X

1≤i1<···<ip≤n

d(ω_i1···ip) ∧ dxⁱ¹ ∧ · · · ∧ dx^ip

yang memenuhi sifat 1. d ◦ d = 0,

2. d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)^pω ∧ dη untuk semua ω ∈ Ω^p(M) dan η ∈ Ω^q(M), 3. Untuk f ∈ Ω⁰(M), df berhubungan dengan differensial biasa pada fungsi 4. Komutatif terhadap pull back: F^∗(dω) = d(F^∗ω).

Dari sifat terakhir berakibat dipenuhinya hubungan L_Vdω = dL_Vω. Oleh karena itu, derivatif Lie sembarang medan forma dapat dinyatakan sebagai L_Vω = V ydω + d(V ydω). Hubungan ini memungkinkan untuk mengungkapkan turunan eksterior dalam bahasa yang bebas koordinat.

Proposisi II.1 Misalkan ω ∈ Ω^p(M) dan V0, · · · , Vp medan vektor. Maka turunan eksterior dari ω dapat dinyatakan dengan

dω(V₀, · · · , V_p) =

dimana tanda ˆ(.) menyatakan medan vektor dibuang.

Telah disebutkan di atas bahwa nilai turunan kovarian pada suatu titik hanya bergantung pada nilai medan vektor pada lingkungan titik tersebut. Dapat dilakukan pembatasan lingkungan pada medan vektor, misalnya saja pembatasan hanya pada sepanjang kurva . Pada kondisi tersebut, medan vektor yang bersesuaian dikatakan

sebagai medan vektor sepanjang kurva. selanjutnya didefinisikan turunan kovarian sepanjang kurva.

Definisi II.15 Misalkan ∇ koneksi, t → γ(t) suatu kurva dan t → V (t) medan vektor sepanjang kurva γ didefinisikan

1. Turunan kovarian V sepanjang kurva γ dinyatakan sebagai ˙V (t) = ∇_γ(t)˙ V (t) =

d

dtV^a(t) + Γ^a_bcV^c(t) ˙γ^b(t)
∂_a. Medan vektor V (t) dikatakan mengalami trans-port paralel sepanjang γ jika ∇_γ(t)˙ V (t) = 0

2. Kurva prageodesik merupakan kurva γ yang memenuhi sifat ∇γ˙˙γ || ˙γ, suatu prageodesik dikatakan geodesik apabila ∇γ˙˙γ = 0

3. Geodesik dikatakan komplit jika didefinisikan pada semua t ∈ R

Setiap prageodesik dapat dijadikan geodesik dengan mengganti parameter kur-vanya. Misalkan parameter prageodesik dinyatakan dengan t, maka dengan menggan-ti parameter menjadi t⁰ = at + b akan diperoleh geodesik. parameter pengganti ini disebut sebagai parameter affine (affine parameter). Poin 1 pada definisi di atas me-nunjukkan bahwa pada setiap medan vektor selalu bisa ditemukan suatu kurva menu-rut suatu koneksi sedemikian rupa menumenu-rut kurva tersebut medan vektor sepanjang kurva terlihat parallel.

Simpulan II.2 Geodesik merupakan kurva paling ’lurus’ menurut koneksinya.

Karena kelurusan geodesik tersebut, maka pada teori relativitas, geodesik di-gunakan untuk model lintasan gerak materi yang tidak dipercepat atau bebar dari pengaruh luar.

Secara lokal persamaan geodesik dapat dinyatakan dengan sistem persamaan orde dua ¨γ^a+ Γ^a_bc˙γ^b˙γ^c = 0, yang penyelesaiannya dapat diperoleh dengan mereduksi

persaman tersebut menjadi dua sistem persamaan differensial orde satu _dt^dγ^a= v^adan

d

dtv^a = −Γ^a_bcv^bv^c. Dengan demikian penyelesaiannya ditentukan dengan syarat batas {(p, v) |p ∈ M, v ∈ T_pM }. Hal ini berarti, pada setiap titik pada manifold dapat dibangun berkas - berkas geodesik yang secara tepat ditentukan oleh setiap vektor singgung pada titik tersebut. Masing - masing berkas geodesik ini dilambangkan γ_v dengan v menyatakan kecepatan geodesik pada titik p.

Definisi II.16 Misalkan (M, ∇) manifold dengan koneksi. Pemetaan

exp_p: T_pM → M; v 7→ exp_p(v) := γ_v(1)

disebut sebagai pemetaan eksponensial dari ∇.

Pemetaan ini bersifat licin dan homogen: exp_p(tv) = γ_tv(1) = γ_v(t). Pemetaan ini merupakan diffeomorfisme antara lingkungan terbuka pada T_pM yang memuat vektor nol dan suatu lingkungan terbuka di M. Ambil ˜U lingkungan terbuka titik 0 di TpM dan U lingkungan terbuka titik p, misalkan ˜v = _dt^d(tv) |_t=0 ∈ T₀T_pM maka

Dengan demikian (exp_p)∗ isomorfis, karena itu exp_p suatu diffeomorfisme. Jika di-ambil {e1, · · · , e_n} sebagai basis pada T_pM dan menyatakan v = vⁱe_i, dapat yang cukup kecil. Menggunakan diffeomorfisme ini, dapat didefinisikan suatu sistem koordinat x^a(q) := (exp⁻¹_p (q))^a pada B_r(p). Koordinat ini disebut sebagai sistem koordinat normal. Bersama dengan sistem koordinat normal, B_r(p) disebut sebagai lingkungan normal dari titik p. Dapat dilihat, karena ¨γ = 0 pada lingkungan normal, maka komponen simbol Christoffel Γ^a_bc = 0. Karena pada setiap titik selalu dapat

ditemukan lingkungan normalnya, maka dapat diatur suatu lingkungan yang menye-babkan setiap titiknya dihubungkan oleh geodesik tunggal yang sepenuhnya berada di dalam lingkungan tersebut. Lingkungan seperti ini disebut sebagai lingkungan normal konvek atau cukup disebut sebagai lingkungan konvek. Dalam lingkungan konvek, geodesik berperan sebagai ’garis lurus’ tunggal yang menghubungkan setiap titik dalam lingkungan tersebut dan tetap di dalamnya sehingga bersesuaian dengan ide tentang lingkungan konvek yang dikenal dalam ruang Rⁿ.

Jika didefinisikan ∇_VW = ˜∇_VW − ¹₂T or(V, W ) dengan ˜˜ ∇ koneksi sem-barang dan ˜T or adalah torsi dari ˜∇. Dapat diketahui bahwa ˜T or(W, W ) = 0 untuk semua W , sehingga ˜∇ dan ∇ mempunyai geodesik yang sama. Tapi jika kita tam-bahkan sembarang S ∈ T₂¹(M) yang anti simetris pada bagian kovariannya pada

∇, ¯T or menurut ∇ + S memenuhi T or = 2S 6= 0. Oleh karena itu dapat disim-¯ pulkan bahwa untuk setiap koneksi, selalu terdapat koneksi bebas torsi tunggal yang mempunyai geodesik yang sama dengannya.

Berikutnya didefinisikan kuantitas pada sembarang manifold yang memberikan ukuran yang membedakannya dengan ruang Rⁿ. Pada manifold Rⁿdipenuhi hubun-gan

∇_X∇_YZ − ∇_Y∇_XZ = ∇_{[X,Y ]}Z

untuk X, Y, Z sembarang medan vektor. Dengan hubungan seperti ini kita nyatakan bahwa Rⁿbersifat datar dan persamaan diatas dianggap sebagai kriteria ’kedataran’.

Secara umum tidak setiap manifold memenuhi kriteria kedataran, sehingga tidak da-pat dikatakan datar. Akan terdada-pat suatu medan tensor R: T₁⁰(M) × T₁⁰(M) × T₁⁰(M) → T₁⁰(M) yang didefinisikan sebagai

R (U, V ) W = ∇_U∇_VW − ∇_V∇_UW − ∇_{[U,V ]}W (II.20)

Medan tensor ini disebut sebagai medan tensor kelengkungan atau medan tensor Rie-mann. Medan tensor ini memenuhi sifat -sifat

1. Identitas Bianchi kedua

(∇_UR)(V, W ) + (∇_VR)(W, U ) + (∇_WR)(U, V ) = 0

2. Jika ∇ bebas torsi, maka R memenuhi pula identitas Bianchi Pertama

R(U, V )W + R(V, W )U + R(W, U )V = 0

3. Serta simetri R(U, V ) = −R(V, U )