Panjang kurva γ: [a, b] → M pada sembarang manifold pseudo-Riemann dinyatakan dengan
L(γ) :=
Z b a
p|g( ˙γ(t), ˙γ(t))| dt
Oleh karena itu pada manifold Riemann selalu dapat ditentukan kurva terpendek tung-gal antara dua titik yang ternyata adalah geodesik. Akan tetapi ketika indek metriknya tidak nol, tidak ada kurva terpendek ataupun kurva terpanjang yang menghubungkan dua titik karena selalu dapat ditemukan kurva null antara dua titik tersebut selalu dapat ditemukan pula kurva bak-ruang dengan panjang sembarang. Dibatasi pada manifold Lorentzian, pada subbab ini akan ditunjukkan adanya kurva berpanjang maksimum pada kelas kurva kausal kemudian akan dicari hubungannya dengan keberadaan titik fokal dari suatu submanifold sepanjang geodesik kausal. Pembahasan subbab ini juga berguna untuk memberikan penafsiran terhadap keberadaan titik konjugasi atau titik fokal sepanjang geodesik.
Untuk keperluan ini akan dipelajari masalah pengekstriman panjang pada
him-punan kurva berparameter satu f (s, t): (−, ) × [a, b] → M, (s, t) 7−→ f (s, t) yang titik - titik ujungnya diperumum dengan dibatasi submanifold tanpa batas Σ1, Σ2. Syarat batas yang harus dipenuhi adalah f (s, a) ∈ Σ1 dan f (s, b) ∈ Σ2 untuk semua s. Agar lebih umum, variasi yang dilakukan menggunakan variasi kontinyu dan licin sepotong - sepotong dalam artian sebagian besar bagian kurva kurva variasi yang di-hasilkan bersifat licin tetapi pada beberapa tempat dimana kurva gagal untuk licin akan diberi kelonggaran untuk minimal bersifat kontinyu.
Definisi IV.8 Misalkan γ: [a, b] → M kurva yang menghubungkan submanifold ter-buka Σ1, Σ2.
Variasi kontinyu, f (s, t): (−, ) × [a, b] → M, (s, t) 7−→ f (s, t) dikatakan licin sepotong - sepotong jika terdapat t1, . . . , tk ∈ (a, b) sedemikian rupa sehingga segmen kurva f ||(−,)×[t
i,ti+1] bersifat licin. Untuk mudahnya variasi ini akan cukup disebut variasi kontinyu, sedangkan medan vektor variasi licin sepotong - sepotong ξ(t) := (fs)|s=0 sepanjang γ akan cukup disebut sebagai medan vektor variasi.
Pada sembarang medan vektor V sepanjang γ dan t0 ∈ [a, b] kita definisikan
∆V (t0) := lim
t→t0,t>t0
V (t) − lim
t→t0,t<t0
V (t)
V dikatakan kontinyu di t0jika dan hanya jika ∆V (t0) = 0.
Untuk melihat keekstriman kurva diperlukan perhitungan pada turunan perta-ma dan kedua L(f (s, .)) terhadap s.
Lemma IV.12 (Variasi Fungsional Panjang I)
Misalkan γ: [a, b] → M kurva licin sepotong - sepotong dengan t1, . . . , tk ∈ (a, b) menyatakan titik - titik dimana γ gagal untuk licin, η = sign(h ˙γ, ˙γi) dan f (s, t)
sebagai variasi kontinyu pada γ. Maka derivatif L menurut s diberikan oleh Bukti: Hal ini dapat diperoleh karena dipenuhi
d
Tetapi karena pada setiap interval [ti−1, ti] dipenuhi
Z ti
Pengambilan ke seluruh interval [a, b] dengan t0 = a dan tk+1 = b akan memberikan
hasil sesuai dengan lemma.
Sebagaimana dapat dilihat, variasi ini mengandung faktorpη h ˙γ, ˙γi sebagai
penyebut. Oleh karena itu tidak mungkin menggunakan variasi fungsional panjang untuk sembarang kurva dengan medan vektor singgung mengandung vektor null pa-da salah satu titiknya. Disamping itu kondisi dsdL(f (s, .))
|s=0 = 0 tercapai jika dan hanya jika γ merupakan kurva prageodesik yang licin dan ortogonal terhadap ke–
dua submanifold. Ini berarti, syarat perlu agar kurva menjadi kurva terpanjang yang menghubungkan Σ1 dan Σ2 adalah kurva prageodesik licin dan ortogonal terhadap submanifold Σ1, Σ2. Karena fungsional panjang bebas terhadap reparametrisasi kur-va, parameter kurva dapat diambil sembarang. Lebih mudahnya diambil parameter sedemikian rupa η ∈ {−1, 1}. Menggunakan parameter ini, syarat perlu sebagai kurva prageodesik dapat digantikan dengan syarat perlu sebagai kurva geodesik.
Apabila komplemen ortogonal sembarang medan vektor V sepanjang pra-geodesik γ sepanjang γ dinyatakan sebagai V⊥, akan dipemenuhi
(∇γ˙V )⊥= ∇γ˙(V⊥) (IV.19)
menggunakan persamaan ini, dapat diturunkan turunan kedua fungsional panjang berikut
Lemma IV.13 (Variasi Fungsinal Panjang II)
Misalkan γ geodesik bak-ruang atau geodesik bak-waktu dengan variasi kontinyu f (s, t). Apabila η = h ˙γ, ˙γi ∈ {−1, 1} dan t1, . . . , tk ∈ (a, b) menyatakan titik - titik dimana f (s, .) gagal untuk licin . Maka derivatif kedua L menurut s diberikan oleh
d2
− η
Untuk kurva - kurva null, ekstrimasi kurva dapat dilakukan melalui fungsional energi E(γ) :=Ra
b 1
2h ˙γ(t), ˙γ(t)i dt yang gayut terhadap parametrisasi kurva. Apabila diambil g =ph ˙γ(t), ˙γ(t)i dan f = 1 dengan menggunakan pertidaksamaan Schwarz diperoleh
Oleh karena itu berlaku L(γ)2 ≤ 2tE(γ). Persamaan dipenuhi jika dan hanya jika g konstan atau jika dan hanya jika t sebanding dengan fungsional panjang. Dengan demikian kurva - kurva dengan kecepatan konstan akan mempunyai karakter variasi yang identik jika ditinjau dari fungsional panjang ataupun dengan fungsional ener-gi. Hubungan antara E(γ) dan L(γ) di atas menunjukkan ekuivalensi analisa kurva dengan menggunakan kedua bentuk tersebut.
Lemma IV.14 (Variasi Fungsional Energi I)
Misalkan γ: [a, b] → M kurva licin sepotong - sepotong dengan t1, . . . , tk ∈ (a, b) titik - titik dimana γ gagal untuk licin dan f (s, t) sebagai variasi kontinyu pada γ dengan medan variasi ξ. Maka derivatif E menurut s diberikan oleh
d
|s=0 = 0 jika dan hanya jika γ merupakan kurva geodesik licin dan ortogonal terhadap kedua submanifold. Hal ini menunjukkan kurva yang mengekstrimkan energi tentu juga mengekstrimkan fungsional panjang,
tetapi tidak sebaliknya.
Lemma IV.15 (Variasi Fungsional Energi II)
Misalkan γ: [a, b] → M geodesik. f (s, t) variasi kontinyu pada geodesik dengan t1, . . . , tk ∈ (a, b) menyatakan titik - titik dimana f (s, .) gagal untuk licin, maka turunan kedua E terhadap s diberikan oleh
d2 ruang semua medan variasi sepanjang geodesik. Kedua bentuk kuadratik ini dapat dikaitkan dengan bentuk - bentuk bilinier simetris pada ruang TΣ1,Σ2γ yaitu ruang se-mua medan vektor licin sepotong - sepotong sepanjang geodesik yang menyinggung Σ1di a dan menyinggung Σ2 di b. Didefinisikan
1. Bentuk indeks energi sebagai IΣE,γ1,Σ2: TΣ1,Σ2γ × TΣ1,Σ2γ → R
2. Bentuk indeks panjang sebagai IΣL,γ1,Σ2: TΣ1,Σ2γ × TΣ1,Σ2γ → R
Untuk geodesik bak-ruang dan bak-waktu dengan η = h ˙γ, ˙γi ∈ {−1, 1}
Berkaitan dengan titik fokal submanifold sepanjang geodesik, salah satu sub-manifold dapat direduksi menjadi titik ujung geodesik. Selanjutnya, geodesik yang akan dibahas akan dibatasi pada geodesik bak-waktu dan geodesik null saja.
Dapat dilihat bahwa bentuk indeks panjang hanya gayut dengan komponen normal TΣ,γ(b)γ sepanjang geodesik. Misalkan γ geodesik bak-waktu tanpa titik kon-jugasi, sepanjang γ dapat disusun medan vektor basis {ji|i = 1, · · · , n − 1 } pada ru-ang ˙γ⊥(t) yang masing - masing merupakan medan Jacobi. Apabila terdapat medan Jacobi V dan W ∈ TΣ,γ(b)γ, ungkapannya menurut basis {ji} dapat dinyatakan seba-gai V = aiji dengan ai konstan dan W = fiji dengan f fungsi sepanjang geodesik.
Bentuk indek panjang kedua medan vektor ini memenuhi
IΣ,γ(b)L,γ (V, V ) = η
dt. Karena {ji} bak-ruang sepanjang geodesik, maka suku terakhir persamaan akan bertanda non-positif. Dengan demikian dapat diperoleh hubungan
IΣ,γ(b)L,γ (W, W ) ≤ IΣ,γ(b)L,γ (V, V ). Persamaan dipenuhi jika dan hanya jika ˙fi = 0. kare-na ˙fi = 0 dan fi(b) = ai berimplikasi f (t) = a untuk semua t, ini setara dengan V = W . Dengan demikian dapat disusun lemma berikut
Lemma IV.16 Misalkan pada γ: [a, b] → M geodesik bak-waktu ortogonal ter-hadap submanifold Σ di γ(a) yang tidak mempunyai titik fokal dari Σ. Setiap medan Jacobi V dan medan vektor licin sepotong - sepotong W yang masing - masing meny-inggung Σ di γ(a) dan dipenuhi V (b) = W (b) maka dipenuhi
IΣ,γ(b)L,γ (W, W ) ≤ IΣ,γ(b)L,γ (V, V )
Persamaan terjadi jika dan hanya V = W .
Tanpa melibatkan medan Jacobi V pada lemma di atas, Dapat dilihat bahwa sem-barang medan vektor licin sepotong - sepotong sepanjang geodesik W yang lenyap pada titik γ(b) akan negatif semi-definite. Hal yang sama terjadi jika γ(b) merupakan titik fokal dari Σ.
Simpulan IV.4 Misalkan pada γ: [a, b] → M geodesik bak-waktu ortogonal ter-hadap submanifold Σ di γ(a), Jika γ tidak mempunyai titik fokal atau hanya mempun-yai titik fokal pada γ(b) maka untuk setiap W ∈ TΣ,γ(b)γ memenuhi IΣ,γ(b)L,γ (W, W ) ≤ 0.
Proposisi IV.3 Misalkan γ: [a, b] → M geodesik bak-waktu yang ortogonal ter-hadap submanifold Σ di γ(a), maka Σ mempunyai titik fokal pertama di c ∈ (a, b) jika dan hanya jika bentuk indeks IΣL,γ
1,{γ(b)}gagal untuk menjadi semi - definite.
Bukti: Menggunakan kesimpulan IV.4, maka kegagalan IΣL,γ
1,{γ(b)}menjadi semi-definite merupakan suatu indikasi bagi keberadaan titik fokal pada interval (a, b). Seba-liknya jika terdapat titik fokal pertama dari Σ di c ∈ (a, b). Akan terdapat medan
Jacobi J yang menyinggung Σ di γ(a) dan lenyap di γ(c). Karena J ditentukan melalui syarat batas {J, ∇γ˙J } pada suatu titik sepanjang geodesik, maka tentulah limt→c∇γ˙J (t) 6= 0. Didefinisikan medan vektor licin sepotong - sepotong
V (t) = Pengambilan δ > 0 yang cukup kecil akan mengakibatkan sign(IΣL,γ
1,{γ(b)}(V +δW, V + δW ) = sign(−ηδ). Karena W dapat digantikan dengan −W , maka dapat ditun-jukkan IΣL,γ
1,{γ(b)}gagal menjadi semi-definite.
Mengingat IΣE,γ
1,{γ(b)} mempunyai bentuk yang serupa dengan IΣL,γ
1,{γ(b)} pada bagian normal medan vektor sepanjang geodesik, maka dapat dibuat proposisi yang lebih luas dari proposisi di atas
Proposisi IV.4 Misalkan IΣE,γ,⊥
1,{γ(b)}menyatakan bentuk bilinier IΣE,γ
1,{γ(b)}yang dibatasi pada ˙γ⊥ dengan γ: [a, b] → M geodesik kausal yang ortogonal terhadap submani-fold Σ di γ(a), maka Σ mempunyai titik fokal pertama di c ∈ (a, b) jika dan hanya
jika bentuk indeks IΣE,γ,⊥
1,{γ(b)}gagal untuk menjadi semi - definite.
Bukti: Seperti sebelumnya, jika sepanjang γ tidak terdapat titik fokal tentulah ter-dapat himpunan medan Jacobi bebas linier {ji|i = 1, · · · , n } sepanjang geodesik.
Pemilihan {ji|i = 1, · · · , n } saling ortogonal dengan jn = ˙γ untuk geodesik bak-waktu serta {ji|i = 1, · · · , n − 2 } saling ortogonal dengan jn = ˙γ yang memenuhi hjn−1, jni = −1, hjn−1, jn−1i = hjn, jni = 0 untuk geodesik null, memungkinkan untuk menulis setiap medan Jacobi V dan medan vektor W yang licin sepotong-potong sepanjang geodesik sebagai Y = aijidengan aikonstan dan X = fijidengan fifungsi sepanjang geodesik. Pengambilan V (b) = W (b) mengakibatkan
IΣE,γ,⊥
dt. Karena {ji} bak-ruang sepanjang geodesik bak-waktu serta bak-ruang atau null sepanjang geodesik null, maka suku terakhir persamaan akan bertanda non-positif. Dengan demikian dapat diperoleh hubungan IΣE,γ,⊥
1,{γ(b)}(W, W ) ≥ IΣE,γ,⊥
1,{γ(b)}(V, V ). Persamaan dipenuhi jika dan hanya jika V = W . Dengan demikian jika titik fokal yang ada sepanjang geodesik hanya pada γ(b) atau tidak ada sama sekali akan menyebabkan dipenuhinya bentuk indeks IΣE,γ,⊥
1,{γ(b)} ≥ 0.
Bukti sebaliknya sama dengan proposisi sebelumnya. Indeks panjang dan energi beserta variasinya berguna untuk menemukan jenis
variasi kurva yang diinginkan berikut perbandingan panjang dengan kurva sebelum-nya. Salah satu contohnya adalah kemungkinan menemukan kurva variasi berjenis bak-waktu yang sedekat mungkin dari geodesik null jika geodesik null tersebut mem-punyai titik fokal.
Untuk menemukan jenis kurva tersebut, cukup dicari medan vektor variasinya.
Jika terdapat titik fokal pada c ∈ (a, b), indeks IΣE,γ,⊥
1,{γ(b)} akan gagal menjadi semi-definite. Ekspansi Taylor terhadap E(fs, .) mengharuskan dsd22E(fs, .) |s=0 < 0 agar diperoleh kurva bak-waktu. Apabila dinyatakan fs(0, t) = ξ dan (∇fsfs)|s=0 = A, salah satu yang mungkin adalah dengan memilih h∇γ˙∇γ˙ξ + R(ξ, ˙γ) ˙γ, ξi) > 0 dan h∇γ˙ξ, ξi.+ h∇γ˙A, ˙γi < 0. A tidak bisa dipilih secara bebas karena di γ(a) dipenuhi A⊥ = II(ξ, ξ). Karena setiap medan Jacobi J pada geodesik null bersifat bak-ruang maka pada interval [a, c + δ] dengan δ ∈ (0, b − c), akan terdapat medan vektor bak-ruang U (t) satu satuan dan fungsi ϕ: [a, b] → R yang positif pada interval (a, c) dan negatif pada interval (c, c + δ) sedemikian rupa J (t) = ϕ(t)U (t). ξ dapat dipilih berbentuk ξ = (ψ + ϕ)U dengan ψ: [a, c + δ] → R fungsi positif. Dari
h∇γ˙∇γ˙ξ + R(ξ, ˙γ) ˙γ, ξi) = (ψ + ϕ)( ¨ψ + ψ(h∇γ˙∇γ˙U + R(U, ˙γ) ˙γ, U i)
pada t ∈ [a, c+δ], pemilihan λ1 > 0 sedemikian rupa sehingga ψ(t) = λ1(eλ2t−eλ2a) mengakibatkan
ψ + ψ(h∇¨ γ˙∇γ˙U + R(U, ˙γ) ˙γ, U i = ψ((λ2)2+ (h∇γ˙∇γ˙U + R(U, ˙γ) ˙γ, U i) + λ1(λ2)2eλ2a
Jika λ2 > 0 dan memenuhi ((λ2)2+ (h∇γ˙∇γ˙U + R(U, ˙γ) ˙γ, U i) > 0 maka
h∇γ˙∇γ˙ξ + R(ξ, ˙γ) ˙γ, ξi) = (ψ + ϕ)( ¨ψ + ψ(h∇γ˙∇γ˙U + R(U, ˙γ) ˙γ, U i)
≥ λ1(λ2)2eλ2a > 0
Dengan menyatakan λ1 = (eλ2(c+δ)−ϕ(c+δ)−eλ2a) dapat diperoleh beberapa kondisi berikut:
ψ(a) = 0, ϕ + ψ(c + δ) = 0 dan ϕ + ψ(t) > 0 untuk semua t ∈ [a, c]. Dengan demikian medan variasi ξ memenuhi beberapa kondisi: ξ(a) = J (a), ξ(c + δ) = 0 dan h∇γ˙∇γ˙ξ + R(ξ, ˙γ) ˙γ, ξi) > 0 untuk semua t ∈ (a, c + δ).
Untuk menentukan A, perlu dilihat syarat batas pada γ(a) ∈ Σ. Akan terdapat basis e1, · · · , en−1 pada ( ˙γ(a))⊥sedemikian rupa dapat dinyatakan II(ξ(a), ξ(a)) =Pn
k=dim(Σ)+1Ξkek. Apabila diambil
= −hII(ξ(a), ξ(a)), ˙γ(a)i +ξ(a), ∇γ(a)˙ ξ
c + δ − a − ∇γ˙ξ(t), ∇γ(t)˙ ξ
Dengan demikian
h∇γ˙A, ˙γi + ∇γ˙h∇γ˙ξ, ξi = −hII(ξ(a), ξ(a)), ˙γ(a)i +ξ(a), ∇γ(a)˙ ξ c + δ − a
Karena suku
hII(ξ(a), ξ(a)), ˙γ(a)i +ξ(a), ∇γ(a)˙ ξ
= h∇fsfs, fti |(a,0)+ξ(a), ∇γ(a)˙ ξ
= − hft, ∇ftfsi |(a,0)+ξ(a), ∇γ(a)˙ ξ
= −ϕ(a) ˙ϕ(a) + ϕ(a)( ˙ψ(a) + ˙ϕ(a))
= ϕ(a) ˙ψ(a) ≥ 0
tentu h∇γ˙A, ˙γi + ∇γ˙h∇γ˙ξ, ξi < 0. keberadaan ξ dan A sepanjang geodesik null sesuai dengan syarat - syarat di atas cukup untuk membangkitkan variasi kurva bak-waktu.
Simpulan IV.5 Jika pada geodesik null γ: [a, b] → M terdapat titik fokal pada c ∈ (a, b) maka akan terdapat kurva bak-waktu yang cukup dekat dengan γ.
Simpulan IV.6 Jika pada geodesik bak-waktu γ: [a, b] → M terdapat titik fokal pa-da c ∈ (a, b) maka akan terpa-dapat variasi papa-da γ yang menghasilkan kurva lebih panjang dari γ .
Bukti: Keberadaan titik fokal pada γ dicirikan oleh kesemi-definitan indeks panjang IΣL,γ
1,{γ(b)}. Misalkan ξ−, ξ+medan variasi yang memenuhi hubungan IΣL,γ
1,{γ(b)}(ξ+, ξ+) >
0 dan IΣL,γ
1,{γ(b)}(ξ−, ξ−) < 0. Dapat dibangkitkan variasi f±pada γ oleh medan vektor variasi ξ±. Ekspansi Taylornya L(f±(s, .)) = L(γ) + 1/2s2IΣL,γ
1,{γ(b)}(ξ±, ξ±) + O(s2).
Oleh karena itu, dapat ditemukan variasi yang menghasilkan kurva yang lebih
pan-jang dan yang lebih pendek dari kurva γ.