Menggunakan kekompakan himpunan kurva kontinyu yang inextensible, da–
pat ditunjukkan bahwa ruang - waktu yang hiperbolis global memenuhi kondisi kausal-itas stabil.
Lemma V.13 Misalkan (M, g) hiperbolis global, maka (M, g) kausal kuat.
Bukti: jika (M, g) hiperbolis global dengan permukaan Cauchy Σ, maka keberadaan kurva kausal tertutup akan mengiris Σ lebih dari sekali, oleh karena akronalitas Σ akan disalahi. Dengan demikian setiap ruang-waktu yang hiperbolis global akan memenuhi kondisi kausalitas. Berikutnya, semisal pada titik p ∈ I+(Σ) kondisi kausal kuat disalahi sedangkan p merupakan titik limit dari barisan titik {pi}, ma-ka ama-kan terdapat lingkungan konveks U ⊂ I+(Σ) dari p dan himpunan lingkungan {Oα ⊂ U |Oα lingkungan dari pα ∈ U } sedemikian rupa sehingga untuk setiap Oα dapat ditemukan kurva bak-waktu berarah ke masa depan λα yang bermula di Oα, meninggalkan U dan berakhir di Oα. Lemma V.4 mengakibatkan dapat ditemukannya kurva kausal λ yang melalui p. Meskipun λα extendible, tetapi λ akan inextendible atau tertutup. Agar akronalitas Σ tidak disalahi, tidak ada satupun λαyang memasuki I−(Σ), begitu juga λ. Tetapi ini bertentangan dengan lemma V.12, oleh klarena itu kausalitas kuat tidak mungkin disalahi di p ∈ I+(Σ). Pada kasus p ∈ I−(Σ) dan p ∈ Σ diberikan dengan cara serupa. Terakhir, karena ruang-waktu yang hiperbolis global memenuhi M = I+(Σ) ∪ Σ ∪ I−(Σ), maka tentulah M kausal kuat Apabila C(p, q) menyatakan himpunan kurva kausal kontinyu berarah ke masa depan yang berasal dari p menuju q, disusun topologi warisan pada C(p, q) dari topologi-C0yang dikemukakan sebelumnya. Basis topologi pada topologi warisan ini berbentuk O(U ) ⊂ C(p, q) yang didefinisikan oleh O(U ) := {λ ∈ C(p, q) |λ ⊂ U } untuk setiap U subhimpunan terbuka yang mengandung titik p dan q. Pembatasan
(M, g) yang kausal akan menyebabkan C(p, q) bersifat Hausdorff dan second count-able.
Lemma V.14 Misalkan (M, g) hiperbolis global dan p, q ∈ M, maka C(p, q) kom-pak
Bukti: Karena C(p, q) second countable maka cukup dibuktikan bahwa setiap barisan kurva {λn} dalam C(p, q) mempunyai kluster kurva. Misalkan Σ adalah permukaan cauchy bagi M, apabila diambil p, q ∈ D−(Σ), akan terdapat kurva future inex-tendible λ yang menjadi kuva kluster dari {λn} pada M − q. Karena tidak satupun λi yang memasuki I+(Σ), maka λ juga tidak mungkin memasukinya. Oleh karena itu, q akan menjadi titik ujung masa depan dari λ atau λ akan tetap inextensible. Tetapi jika λ akan tetap inextensible, λ haruslah beririsan dengan Σ dan I+(Σ). Ini berarti λ tidak mungkin inextensible. Dengan demikian λ dengan q sebagai titik ujungnya merupakan kurva kluster dari {λn}. Argumentasi yang sama dapat diterapkan pada p, q ∈ D+(Σ). Apabila q ∈ I+(Σ) dan p ∈ D−(Σ), barisan kurva {λn} dalam C(p, q) akan mempunyai λ kurva kluster yang melalui p berarah ke masa depan dan beririsan dengan I+(Σ). Apabila dipilih suatu titik r ∈ λ ∩ I+(Σ) dan mengekstraksi subbarisannˆλno
dari {λn} yang konvergen pada kurva λ
[p,r], pembuangan p akan menyebakan barisannˆλno
menjadi past inextensible di M − p. oleh karena itu akan terdapat kurva ˆλ yang melalui q dan memasuki I−(Σ) serta menjadi kurva kluster dari nˆλno
. ˆλ haruslah melewati r karena r merupakan titik konvergensi darinˆλno , juga agar ˆλ tidak selalu berada dalam I+(r) ⊂ I+(Σ). Dengan demikian penyambungan segment kurva λ dari p ke r dan kurva ˆλ dari r ke q akan menjadi kurva kluster dari
barisan kurva {λn}
Menggunakan kekompakan C(p, q), dapat ditunjukkan berlaku hal berikut Proposisi V.3 Misalkan (M, g) ruang-waktu yang hiperbolis global dan p, q ∈ M, maka J+(p) ∩ J−(q) kompak.
Bukti: Cukup ditunjukkan setiap barisan {ri} dalam J+(p) ∩ J−(q) mempunyai titik kluster. Misalkan {λj} barisan kurva dalam C(p, q) yang setiap λi-nya melalui salah satu titik ri. Karena C(p, q), akan terdapat kurva λ yang menjadi kurva kluster dari {λj}. Tentu saja λ kompak karena merupakan bayangan dari interval tertutup pada R. Dapat ditemukan suatu lingkungan U dari λ sedemikian rupa U kompak. Dalam U , akan terdapat N sedemikian rupa sehingga λn ⊂ U untuk setiap n > N . Dengan demikian dalam U akan terdapat subbarisan {ˆrn}. Karena U kompak, akan terdapat titik kluster r ∈ U dari {ˆrn}. Jika r /∈ λ, ini kontradiksi dengan asumsi awal λ sebagai kluster kurva dari {ˆrn}. Oleh karena itu r ∈ λ ⊂ J+(p) ∩ J−(q). Pembatasan p hanya pada sepanjang Σ saja akan menyebabkan dipenuhinya proposisi di bawah ini
Proposisi V.4 Misalkan (M, g) hiperbolis global dengan permukaan Cauchy Σ. Apa-bila q ∈ D+(Σ), maka J+(Σ) ∩ J−(q) kompak.
Puncak dari hubungan antara sifat hiperbolis global dengan kausalitas stabil dinyatakan oleh proposisi di bawah ini.
Proposisi V.5 (Geroch (1970))
Ruang-waktu hiperbolis global (M, g) akan bersifat kausal stabil. Selanjutnya dapat dipilih suatu fungsi waktu f sedemikian rupa sehingga saat f konstan merupakan suatu permukaan Cauchy Σ. Oleh karena itu M akan homeomorfis dengan R × Σ.
Bukti: Untuk membuktikan (M, g) akan bersifat kausal stabil, cukup ditunjukkan eksistensi fungsi waktu pada (M, g) (simpulan V.4). Seperti bukti pada lemma V.6, diambil suatu ukuran µ pada M yang berhingga. Untuk setiap p ∈ M didefinisikan t+(p) := µ[J+(p)] yang akan mempunyai nilai makin turun sepanjang kurva kausal berarah ke masa depan. Akan ditunjukkan sifat hiperbolis global menyebabkan t+(p) kontinyu pada M sehingga tidak perlu direrata seperti pada lemma V.6.
Diambil suatu kurva kausal λ pada M. semisal r ∈ λ dan xn menjadi barisan tak berhingga pada λ yang berada pada masa lalu r dan didefinisikan F := ∩nJ+(xn).
Apabila diasumsikan t+(p) tidak upper semi-continous pada λ di r, tentu akan terda-pat suatu titik q ∈ F − J+(r) sehingga r /∈ J−(q). Tetapi setiap xn ∈ J−(q) sehingga r ∈ J−(q), yang berarti bahwa J−(q) tidak tertutup. Padahal dalam ruang-waktu hiperbolis global J+(p) ∩ J−(q) akan tertutup ∀p, q ∈ M, karena merupakan subset kompak dalam ruang yang Hausdorff. Misalkan dapat ditemukan suatu titik s ∈ J+(p) tetapi s /∈ J+(p). Apabila dipilih q ∈ I+(s), maka ten-tunya s ∈ J+(p) ∩ J−(q) tetapi s /∈ J+(p) ∩ J−(q). Ini kontrasiksi dengan sifat J+(p) ∩ J−(q) yang seharusnya tertutup. Ini berarti untuk setiap p ∈ M yang hiperbolis global, J+(p) akan selalu tertutup. Begitu juga himpunan J−(p). Hanya saja, telah dibuktikan apabila t+(p) tidak upper semi-continous pada λ di r maka J−(q) tidak tertutup untuk suatu titik q ∈ F − J+(r). Kontradiksi ini menun-jukkan t+(p) merupakan fungsi yang upper semi-continous sepanjang kurva kausal berarah ke masa depan. Sifat lower semi-continous pada fungsi tersebut dapat di-tentukan dengan cara serupa. Oleh karena itu, t+(p) merupakan fungsi yang kon-tinyu. Dengan cara serupa didefinisikan fungsi kontinyu t−(p) := µ[J−(p)]. Ke-dua fungsi tersebut memenuhi lims→at−(γ(s)) = 0 dan lims→bt+(γ(s)) = 0 sep-anjang kurva kausal inextendible γ: (a, b) → M. Ini berarti, setiap kurva kausal inextendible akan beririsan dengan himpunan akronal saat suatu fungsi yang didefi–
nisikan dengan t(p) = tt−+(p)(p) konstan. t(p) konstan merupakan permukaan Cauchy, karena merupakan hypersurface Lipschitzan pula.Apabila diambil medan vektor bak-waktu V yang membangkitkan orientasi bak-waktu, dapat didefinisikan suatu pemetaan β: tkonstan → M yang menjodohkan titik - titik pada M dengan titik saat tkonstan menggunakan kurva integral dari V . Sehingga dapat didefinisikan suatu homeomor-fisme ψ: M → R × S, p → (log t(p), β(p)) dengan S menyatakan permukaan
Cauchy saat tkonstan. Homeomorfisme ruang-waktu hiperbolis global (M, g) dengan produk karte-sis antara R dengan permukaan Cauchy pada propokarte-sisi di atas ternyata dapat di–
tingkatkan lagi menjadi diffeomorfis. Upaya ini telah dilakukan oleh Bernal dan Sanchez dengan membuat prosedur memperlicin fungsi waktu pada M. Oleh kare-na itu pada ruang-waktu yang hiperbolis global dapat dinyatakan sebagai slice dari permukaan Cauchy licin dan mengijinkan dekomposisi licin pada medan metriknya [Sanchez , 2005].