Kiranya masih banyak persoalan yang belum dapat dituntaskan dan memer-lukan penelitian lanjutan bagi pembaca yang tertarik terjun pada bidang kajian ini diantaranya:
1. Dalam skripsi ini, sebagian kuantitas yang diteliti diasumsikan sampai ke tingkat differensiabilitas licin. Padahal hal ini tidak selalu terpenuhi. Oleh karena itu derajat differensiabilitas terendah kuantitas - kuantitas tersebut masih perlu diteliti.
2. Pembahasan pada Bab IV dan Bab V dapat dikatakan murni matematik dan membuka peluang penelitian lebih lanjut dalam matematik dan terapan fisikanya.
Diantaranya adalah penentuan distribusi titik konjugasi sepanjang geodesik da–
lam manifold Pseudo-Riemannian dan kaitannya dengan indeks Morse. Meski–
pun penelitian tentang manifold Riemannan dapat dikatakan sangat berlimpah, penelitian di bidang manifold Pseudo-Riemannian masih sangat sedikit dite-mukan. Padahal sifat-sifat manifold Riemannian tidak sepenuhnya terpenuhi dalam manifold Pseudo-Riemannan. Mengingat manifold Pseudo-Riemannan lebih umum dari Riemannan, prospek terapannya dalam berbagai bidang khusus-nya fisika tentu akan lebih luas.
3. Penelitian tentang batas singularitas – pengasumsian titik - titik singularitas se-bagai himpunan yang membentuk batas dari manifold terbuka – juga belum cukup berhasil. Sudah hampir empat puluh tahun upaya ini dilakukan melalui berbagai sudut pandang yang berbeda, diantaranya: geodesics boundary oleh Geroch (1968), bundle boundary oleh Schmidt (1971), causal boundary oleh Geroch, Kronheimer dan Penrose (1972) serta abstact boundary oleh Scott dan Szekeres (1994). Ini menunjukkan adanya peluang penelitian lebih lan-jut dalam bidang penelitian singularitas .
jamin/Cumming Publishing Company, Inc, London.
Anderson, J.L., 1967, Principle of Relativity Physics, Academic Press Inc., New York.
Bartle, R.G., 1964, The Element of Real Analysis: Second Edition, John Willey and Sons., New York.
Bergmann, P.G., 1964, Gravitational collapse, Phys. Rev. Letters 12, 139 (1964).
Bernal dan Sanchez., 2003, On Smooth Cauchy Hypersurfaces and Geroch’s Splitting Theorem, arXiv : gr-qc/0306108 v2 26 Jul 2003.
Bernal dan Sanchez., 2004, Smooth Globally Hyperbolic Splitting and Temporal Functions, arXiv : gr-qc/0404084 v1 20 Apr 2004.
Bernal dan Sanchez., 2005, Smoothness of Time Functions and Metric Splitting of Globally Hyperbolic Spacetimes, Commun. Math. Phys.(2005) Digital Object Identifier (DOI) 10.1007/s00220-005-1346-1.
Bishop, R.L dan Crittenden, R.J., 1964, Geometry of Manifold, Academic Press, New York.
Budic, Isenberg, Lindblom, Yasskin., 1978, On the Determination of Cauchy Surfaces from Intrinsic Properties, Commun. Math. Phys. 61, 87 - 93 (1978).
Carmeli, M., 1982, Classical Fields : General Relativity and Gauge Theory, John Wiley and Sons, Canada.
152
Choquet - Bruhat dan Geroch, R., 1969, Global Aspect of The Cauchy Problem in General Relativity, Commun. Math. Phys. 14, 329 - 335 (1969).
Do Carmo, M., 1993, Riemannian Geometry, Birkh¨auser, Boston.
De Felice, F dan Clarke, C.J.S., 1995, Relativity on Curved Manifold, Cambridge University Press, New York.
Einstein, A., 1950, The Meaning of Relativity, Princeton University Press, New Jer-sey.
Erkekoglu, Garcia-Rio, Kupeli ., 2003, On Level Sets of Lorentzian Distance Func-tion, General Relativity and GravitaFunc-tion, Vol 35, No 9, Sept 2003.
Fraleigh, J.B., 1994, A First Course in Abstract Algebra, 5th Edition, Addition -Wesley Pub.Com., California.
Friedman, M., 1983, Foundation of Space-time Theory: Relativistic Theory and Phi-losophy of Science, Princeton University Press, New Jersey.
Parrado, G dan Senovilla, J., 2005, Causal Structures and Causal Boundaries, arXiv:gr-qc/0501069 v1 24 jan 2005, www.xxx.land.gov .
De Sabbata,V dan Gasperini,M., 1985, Introduction to Gravitation, World Scientific Publishing Co Pte Ltd, Singapore.
Galloway, G.J., 1985, Null Geometry and the Einstein Equation, Department of Ma–
thematics University of Miami.
Hawking dan Sachs., 1974, Causally Continous Spacetimes, Commun. Math.
Phys.35, 287 - 296(1974).
Hawking, S.W dan Ellis, G.F.R., 1997, The Large Scale Structure of Spacetime, Chambridge University Press, New York.
Isham, C.J., 1999, Modern Differential Geometry for Physicics, Second Edition, World Scientific Publishing Co.Pte.Ltd., Singapore.
Kobayashi dan Nomizu, 1963, Foundations of Differential Geometry Volume 1, Inter-science Publishers, London.
Kobayashi dan Nomizu, 1969, Foundations of Differential Geometry Volume 2, Inter-science Publishers, London.
Kriele, M., 2001, Spacetime: Foundation of General Relativity and Differential Ge-ometry, Springer - Verlag, Berlin.
Lawden, D.F., 1982, An Introduction to Tensor, Relativity and Cosmology, 3-rd Edi-tion, John Wiley and Sons.Ltd., New York.
Lee, J.M., 1997, Riemannian Manifolds : An Introduction to Curvature, Springer-Verlag, Berlin.
Lee, J.M., 2000, Introduction to Smooth Manifold,
http://www.math.washington.edu/ lee.
Lerner, D., 1973, The Space of Lorentzian Metrics, Commun. Math. Phys.32, 19 - 38 (1973).
Munkres, J.R., 1975, Topology : A First Course, Prentice - Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.
Naber, G.L., 1997, Topology, Geometry and Gauge Theory : Foundations, Springer -Verlag, New York.
Naber, G.L., 2000, Topology, Geometry and Gauge Theory : Interactions, Springer -Verlag, New York.
Penrose, Roger., 1965, Gravitational Collapse and Spacetime Singularity, Phys. Rev.
Letters 14, 57 (1965).
Qoquereauex, R., 1988, Riemannian Geometry, Fibre Bundles, Kaluza-Klein Theo-ries and All That . . . , World Scientific publishing Co.Ltd, Teaneck.
Rosyid, M.F., 2002, Mekanika Kuantum: Model Matematis Bagi Fenomena Alam Mikroskopis., segera terbit.
Sanchez, Miguel., 2005, Causal Hierarchy of Spacetimes, Temporal Functions and Smoothness of Geroch’s Splitting. A Revision, arXiv : gr-qc/0411143 v2 15 Feb 2005.
Schutz, Bernard F., 1980, Geometrical Methods of Mathematical Physics, Cambridge University Press Cambridge.
Wald, Robert M., 1984, General Relativity, The Univercity of Chicago Press, Chica-go.
Warner, F.W., 1983, Foundation of Differentiable Manifold and Lie Groups, Springer - Verlag, New York
Wasserman, R.H., 1992, Tensors and Manifolds With Application to Mechanics and Relativity, Oxford University Press, Oxford.
Weinberg, S., 1972, Gravitation and Cosmology : Principles and Application of Gen-eral Theory of Relativity, John Wiley and Sons, New York.
Topologi muncul dari usaha memperumum sifat - sifat kekontinyuan fungsi pada garis riil dan ruang Eucledian. Melalui cabang matematika ini seseorang dapat mengatur sifat - sifat ruang sedemikian rupa sehingga satu dengan yang lainnya dapat dikatakan sama dan dapat saling mewakili. Berikut ini disajikan beberapa hal yang berkaitan dengan topologi, pembahasan selengkapnya dapat dilihat pada [Munkres , 1975].
1. Identifikasi Topologi dan Pemetaan Kontinyu
Definisi A.1 (Ruang Topologis)
Topologi pada himpunan X adalah himpunan τ := {U ⊂ X} yang setiap unsurnya memenuhi sifat - sifat :
1. ∅, X ∈ τ
2. Irisan berhingga unsur - unsur τ juga unsur dari τ 3. Gabungan senbarang unsur - unsur τ juga unsur dari τ
Himpunan X dilengkapi dengan τ disebut sebagai ruang topologis dan biasa di–
nyatakan dengan pasangan {X, τ }. Setiap U ∈ τ disebut sebagai subhimpunan terbuka dari X menurut τ dan V ⊂ X dikatakan subhimpunan tertutup dari X jika X − V ∈ τ .
Dapat mudah dilihat bahwa ∅, X adalah himpunan yang terbuka sekaligus tertutup menurut setiap topologi pada X. Suatu subhimpunan Ux dikatakan
seba-156
gai lingkungan terbuka dari x ∈ X jika Ux merupakan subhimpunan terbuka yang memuat x.
Pada setiap A ⊂ X dapat disusun topologi pada A yang disebut topolo-gi warisan dari X yang berbentuk τA := {A ∩ U |U ∈ τ }. Subhimpunan (A, τA) dilengkapi dengan topologi warisan disebut sebagai subruang topologis dari (X, τ ).
Misalkan (X, τX)dan (Y, τY) dua ruang topologis. Pada produk kartesis an-tara kedua ruang yang dinyatakan sebagai X × Y := {(x, y) |x ∈ X, y ∈ Y } dapat disusun topologi yang berbentuk
τX×Y :=n[
(U, V ) |(U1, V1) ∪ (U2, V2) := (U1∪ U2, V1∪ V2)o
untuk setiap U1, U2 ⊂ τX; V1, V2 ⊂ τY.
Suatu pemetaan f : (X, τX) → (Y, τY) dikatakan kontinyu jika f−1(O) :=
{x ∈ X |f (x) ∈ O } ∈ τX, untuk semua O ∈ τY. Jika f kontinyu, bijektif dan mem-punyai invers yang kontinyu, maka f dikatakan homeomorphisme antara (X, τX) dan (Y, τY). Homeomorphisme merupakan relasi ekuivalensi yang menjadi ukuran antar ruang topologis untuk dapat dikatakan saling identik.