BAB II KAJIAN TEORITIK DAN PENGAJUAN KONSEPTUAL
A. Landasan Teoritik
2. Kemampuan Representasi Matematis
model matematika (representasi ekspresi matematika), (2) kemampuan membuat gambar untuk memperjelas masalah (representasi visual), dan (3) kemampuan mengungkapkan ide matematika dengan teks tertulis (representasi verbal).
3. Subjek dalam penelitian ini adalah siswa kelas IV MI Terpadu Nurul Iman.
4. Pokok bahasan dalam penelitian ini adalah materi bangun datar.
D. Perumusan Masalah Penelitian
Untuk memperjelas persoalan yang telah digambarkan pada latar belakang masalah, maka disusun perumusan masalah penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Bagaimana implementasi model pembelajaran treffinger dalam pembelajaran matematika di kelas IV pada konsep bangun datar?
2. Apakah model pembelajaran treffinger dapat meningkatkan kemampuan representasi matematis siswa?
3. Apakah aspek kemampuan representasi matematis yang paling meningkat dari siswa kelas IV pada konsep bangun datar dengan menggunakan model pembelajaran treffinger?
E. Tujuan Penelitian
Berdasarkan uraian latar belakang dan perumusan masalah di atas, tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Untuk mengetahui implementasi pembelajaran model pembelajaran
treffinger dalam pembelajaran matematika di kelas IV pada konsep bangun datar.
2. Untuk mengetahui adanya peningkatan kemampuan representasi matematis siswa setelah diterapkan model pembelajaran treffinger.
3. Untuk mengetahui aspek representasi yang paling meningkat dari siswa IV pada konsep bangun datar dengan menggunakan model pembelajaran
treffinger.
F. Manfaat Penelitian
Adapun beberapa manfaat yang diharapkan dari hasil penelitian ini agar dapat digunakan oleh beberapa pihak, diantaranya:
10
1. Bagi siswa
Penerapan pembelajaran matematika dengan model pembelajaran
treffinger, diharapkan dapat meningkatkan kemampuan representasi matematis siswa, sehingga diharapkan dapat menumbuhkan motivasi untuk belajar matematika.
2. Bagi guru
Guru memperoleh pengalaman dalam merancang dan melaksanakan pembelajaran matematika dengan model pembelajaran treffinger. Diharapkan nantinya guru dapat mengembangkan pembelajaran dengan model yang bervariasi dalam rangka memperbaiki kualitas pembelajaran bagi siswanya.
3. Bagi sekolah
Hasil penelitian dapat memberikan informasi bagi para pendidik tentang seberapa berpengaruhnya implementasi penggunaan model pembelajaran
treffinger terhadap kemampuan representasi matematis siswa. 4. Bagi peneliti
Menambah wawasan dan pengalaman dalam pelaksanaan tugas peneliti sebagai pendidik, serta meningkatkan profesionalisme sebagai pendidik. 5. Bagi pembaca
Sebagai tambahan referensi kepustakaan dalam dunia pendidik dan kependidik lainnya, sebagai komparasi dalam pelaksanaan tugas bagi para pendidik lainnya, serta tambahan wawasan keilmuan khususnya dalam bidang kependidikan.
11
A. Landasan Teoritik
1. Hakikat Pembelajaran Matematika
Pembelajaran matematika dijadikan bidang studi yang dipelajari oleh siswa mulai dari tingkat dasar sampai tingkat perguruan tinggi. Karena matematika merupakan salah satu dasar dari solusi memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Dalam dokumen Depdiknas menyatakan kata matematika berasal dari perkataan latin manthanein atau mathema yang
berarti “belajar atau hal yang dipelajari,” sedang dalam bahasa Belanda,
matematika disebut wiskunde atau ilmu pasti, yang kesemuanya berkaitan dengan penalaran.1 Matematika adalah cabang ilmu pengetahuan yang eksak dan terorganisasi secara sistematik.2 Matematika merupakan salah satu disiplin ilmu yang dapat meningkatkan kemampuan berpikir dan beragumentasi, memberikan kontribusi dalam penyelesaian masalah sehari-hari. Sehingga diperlukan pembelajaran matematika pada jenjang sekolah yang bertujuan untuk membentuk kemampuan berpikir siswa.
Corey memandang bahwa pembelajaran adalah suatu proses di mana lingkungan seseorang secara sengaja dikelola untuk memungkinkan ia turut menghasilkan respon terhadap situasi tertentu. Pembelajaran dalam pandangan Corey sebagai upaya menciptakan kondisi dan lingkungan belajar yang kondusif sehingga memungkinkan siswa berubah tingkah lakunya.3 Pembelajaran matematika adalah suatu proses belajar mengajar yang dibangun oleh guru untuk mengembangkan kreativitas berpikir matematik siswa yang dapat meningkatkan kemampuan mengkontruksi
1
Ahmad Susanto, Teori Belajar Pembelajaran di Sekolah Dasar, (Jakarta: Kencana, 2015), h.184.
2
A. Saepul Hamdani, dkk., Matematika I, (Surabaya: LAPIS-PGMI, 2008), edisi pertama, h. 1-7.
3
12
pengetahuan baru sebagai upaya meningkatkan penguasaan yang baik terhadap matematika.4
Dari uraian di atas terdapat beragam pendapat dalam mendefinisikan matematika. Maka dapat dipaparkan pembelajaran matematika adalah merupakan suatu bentuk kegiatan pembelajaran yang mengutamakan keterlibatan siswa untuk membangun pengetahuan matematika dengan caranya sendiri. Dalam kegiatan ini guru sebagai mediator dan fasilitator yang mempermudah siswa untuk membangun pengetahuannya sendiri.
2. Kemampuan Representasi Matematis a. Definisi Representasi Matematis
National Council of Teacher Mathematis (NCTM) menetapkan lima standar proses yang harus dimiliki siswa, yaitu pemecahan masalah
(problem solving), penalaran (reasoning and proof), komunikasi
(communication), koneksi (connection), dan representasi (representation).5
Pada awalnya representasi masih dipandang sebagai bagian dari komunikasi matematika. Namun karena disadari bahwa representasi matematika merupakan suatu hal yang selalu muncul ketika orang mempelajari matematika pada semua tingkatan pendidikan, maka representasi selanjutnya dipandang sebagai suatu komponen yang perlu mendapat penekanan dan dimunculkan dalam proses pembelajaran matematika.6
Menurut Goldin definisi representasi adalah suatu konfigurasi (bentuk atau susunan) yang dapat menggambarkan, mewakili, atau melambangkan sesuatu dengan suatu cara.7 Cai, Lane dan Jacabsin
4 Ibid. 5
National Council of Teacher of Mathematics, Principle and Standarts for School Mathematics, (USA: Association Drive, 2000). p. 29.
6 In hi Abdullah, “Peningkatan Kemampuan Representasi Matematika Siswa SMP melalui Pembelajaran Kontekstual yang Terintegrasi dengan Soft Skill”, Prosiding Seminar Nasional Pnedidikan Matematika FMIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, Yogyakarta, 10 November 2012.
7
Mustangin, “Representasi Konsep dan Peranannya dalam Pembelajaran Matematika di Sekolah”, Jurnal Pendidikan Matematika, Vol I No 1, Februari 2015, h. 16.
memandang bahwa representasi merupakan cara yang digunakan oleh seseorang untuk mengemukakan jawaban atau gagasan matematika.8 Kalathil dan Sherin menyatakan bahwa representasi adalah berbagai bentuk ungkapan siswa yang menunjukkan penalaran dan pemahamannya terhadap ide-ide matematika yang ia peroleh.9
Jones dan Kruth mengungkapkan representasi adalah model atau bentuk pengganti dari suatu situasi masalah yang digunakan untuk menemukan solusi. Sebagai contoh, suatu masalah dapat direpresentasikan dengan obyek, gambar, kata-kata, atau simbol matematika.10 Menurut Steffe, Weigel, Schulfz, Matters, Joijner, dan Reijis mengungkapkan representasi merupakan proses pengembangan mental yang sudah dimiliki seseorang, yang terungkap dan divisualisasikan dalam berbagai model matematika.11 Gagatsia dan Elia dalam karya ilmiahnya, menjabarkan representasi sebagai berikut. “A representation is defined as any configuration of characters, images, concrete objects etc., that can symbolize or “represent” something else.”12
Hal ini diartikan bahwa representasi adalah sebuah konfigurasi atau ide yang dituangkan dalam bentuk konkret untuk mewakili suatu cara. Representasi diartikan sebagai bentuk baru dari hasil translasi suatu masalah atau ide, atau translasi suatu diagram dari model fisik ke dalam simbol atau kata-kata.13
Representasi yang dimunculkan oleh siswa merupakan ungkapan-ungkapan yang ditampilkan siswa dalam upaya untuk mewakili gagasan-gagasan atau ide-ide matematika dan mengomunikasikannya dengan orang
8 Ibid.
9 Kalathil dan Sherin, “Role of Student’s Representations in the Mathematics Classroom”, dalam B. Fishman dan S. O’Connor-Divelbiss (ed), Prosiding Fourth International Conference of learning Science, (Mahwah: NJ Erlbaum, 2000), h. 27.
10 Muhammad Sabirin, “Representasi dalam Pembelajaran Matematika”, Jurnal Pendidikan Matematika IAIN Antasari, Vol. 01 No. 2, Januari – Juni 2014, h. 33.
11
Sabirin, op.cit., h. 34.
12 Gagatsia dan Ellia, “The Effect of Different Modes of Representation on Mathematical Problem Solving”, Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, University of Ciprus, Vol. 2, 2004, p. 447.
13
14
lain.14Lebih lanjut menurut NCTM, “representing involves translating a problem or an a new form, representing includes the translation of a diagram or physical model into symbol or words, representing is also used in translating or analyzing a verbal problem to make its meaning clear.15
Pada dasarnya menurut NCTM, ungkapan tersebut mempunyai makna bahwa proses representasi melibatkan penerjemahan masalah atau ide ke dalam bentuk baru, proses representasi termasuk pengubahan diagram atau model fisik ke dalam simbol-simbol atau kata-kata; dan proses representasi juga dapat digunakan dalam menerjemahkan atau menganalisis masalah verbal untuk membuat maknanya menjadi lebih jelas.
Kemampuan representasi matematis adalah kemampuan menyajikan kembali notasi, simbol, tabel, gambar, grafik, diagram, persamaan atau ekspresi matematis lainnya ke dalam bentuk lain.16 Standar representasi matematis untuk program pembelajaran dari taman kanak-kanak sampai kelas 12 yang diadopsi dari NCTM adalah bahwa harus memungkinkan siswa untuk:
1) Create and use representations to organize, record, and communicate matemathical ideas
2) Select, apply, and translate among mathematical representations to solve problem
3) Use representations to model and interpret physical, social, and mathematical phenomena.17
Standar representasi pada umumnya diantaranya: pertama, membuat dan menggunakan representasi untuk mengatur, mencatat, dan mengkomunikasikan ide-ide matematika. Kedua, memilih, menerapkan, dan menerjemahkan antar representasi matematika untuk memecahkan
14
National Council of Teacher of Mathematics, op.cit., p. 67.
15 Mokhammad Ridwan Yudhanegara, “Meningkatkan Kemampuan Representasi Beragam Matematis Siswa Melalui Pembelajaran Berbasis Masalah Terbuka”, Jurnal Ilmiah Solusi, Vol.1 No. 3, September - Nopember 2014, h. 77-78.
16
Karunia Eka Lestari, Penelitian Pendidikan Matematika, (Bandung: PT Refika Aditama, 2015), h. 83.
17
W. George Cathcart, Learning Mathematics in Elementary and Middle Schools, (USA: Prentice Hall, 2004), p. 3.
masalah. Ketiga, menggunakan representasi untuk memodelkan dan menginterpretasikan fenomena fisik dan sosial matematika.
Dari uraian di atas terdapat kesamaan dalam mendefinisikan representasi matematis, yaitu adanya penggambaran suatu ide matematika sebagai solusi dengan menggunakan bentuk tertentu. Sehingga dapat dipaparkan bahwa representasi matematis merupakan ungkapan-ungkapan, penggambaran, penerjemahan dari ide matematika yang ditampilkan siswa sebagai upaya memperoleh kejelasan makna dari masalah yang dihadapinya untuk menemukan solusi. Suatu masalah dapat direpresentasikan melalui gambar, kata-kata, benda konkret, simbol matematika atau bentuk matematika lainnya.
b. Bentuk-bentuk Representasi Matematis
Pada umunya representasi terolong menjadi tiga yaitu representasi visual, representasi ekspresi matematika dan representasi teks tertulis. Namun beberapa ahli menyatakan bentuk-bentuk representasi matematis berbeda-beda. Cai, Lane, dan Jacabcsin menyatakan bahwa ragam representasi yang sering digunakan dalam mengomunikasikan matematika antara lain berupa (1) sajian visual seperti tabel, gambar, grafik; (2) pernyataan matematika atau notasi matematika; (3) teks tertulis yang ditulis dengan bahasa sendiri baik formal maupun informal, ataupun kombinasi semuanya.18 Lesh, Post dan Behr membagi representasi yang digunakan dalam pendidikan matematika dalam lima jenis, yaitu representasi objek dunia nyata, representasi, representasi konkret, representasi simbol aritmatika, representasi bahasa lisan atau verbal dan representasi gambar atau grafik.19 Shield & Galbraith menyatakan bahwa siswa dapat mengomunikasikan penjelasan-penjelasan mereka tentang
18 Mustangin, “Representasi Konsep dan Peranannya dalam Pembelajaran Matematika Di Sekolah”, Jurnal Pendidikan Matematika Universitas Islam Malang, Vol. I No. 1, Februari 2015, h. 19.
19 Hwang, et al., “Multiple Representation Skills and Creativy Effects on Mathematical Problem Solving using a Multimedia Whiteboard System”, Journal Educational Technology & Society, Vol. 10 No 2, 2007, pp. 192.
16
strategi matematika atau solusi dalam bermacam cara, yaitu secara simbol, verbal, diagram, grafik atau dengan tabel data.20
Representasi sebenarnya bukan hanya menunjuk kepada hasil atau produk yang diwujudkan dalam konfigurasi atau konstruksi baru dan berbeda tetapi juga proses pikir dilakukan untuk dapat menangkap dan memahami konsep, operasi, dan hubungan-hubungan matematis dari suatu konfigurasi. Artinya, proses representasi matematis berlangsung dalam dua tahap yaitu secara internal dan eksternal.21
Hiebert dan Carpenter mengemukakan bahwa pada dasarnya representasi dapat dibedakan dalam dua bentuk, yakni representasi internal dan representasi eksternal. Representasi eksternal, dalam bentuk bahasa lisan, simbol tertulis, gambar atau objek fisik. Sementara untuk berpikir tentang gagasan matematika merupakan representasi internal. Representasi internal tidak bisa secara langsung diamati karena merupakan aktivitas mental dalam otaknya. Meskipun representasi internal tidak dapat dilihat secara kasat mata tetapi dapat disimpulkan atau diduga berdasarkan representasi eksternal. 22
Sama halnya yang dinyatakan oleh Janvier, Girardon, dan Morand mengenai representasi internal dan representasi eksternal. Representasi internal adalah proses abtraksi dari berbagai ide matematis atau suatu skema kognitif yang dikembangkan oleh siswa melalui pengalamannya. Sedangkan representasi berupa bilangan, persamaan aljabar, grafik, tabel, dan diagram adalah manifestasi eksternal dari berbagai konsep matematis yang menstimulus dan membantu memahami konsep-konsep tersebut.23 Dengan kata lain, suatu representasi diawali dengan proses abstraksi
20Neria & Amit, “Student Preference of Non-Algebraic Representations in Mathematical Communication”, Proceddings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematical Education, Vol. 3, 2004, pp. 409.
21 Ahmad Nizar Rangkuti, “Representasi Matematis”, Jurnal Forum Paedagogik, Vol. VI, No. 01 Januari 2014, h. 113.
22
Sabirin, loc.cit.
23 Stephen J. Pape, dan Mourat A. Tchoshanov, ”The Role of Representation(s) in Developing Mathematical Understanding”, dalam Theory into Practice, Vol. 41, No. 2, (London: Taylor & Francis, Ltd, 2001), p.119.
ide matematis dalam pikiran siwa sehingga terbentuk suatu skema kognitif, kemudian ide-ide tersebut diungkapkan baik berupa grafik, tabel, diagram, dan lain-lain. Sehingga terjadi hubungan timbal balik antara representasi internal dan eksternal dari seseorang ketika berhadapan dengan suatu masalah. Hubungan antara representasi internal dan representasi eksternal tersebut dapat dilihat pada bagan 2.1 berikut.
Gambar 2.1
Hubungan Timbal Balik antara Representasi Internal dan Eksternal
Miura menyatakan bahwa secara umum dalam pembelajaran terdapat dua macam representasi yang mempengaruhi pemahaman siswa dalam memecahkan masalah matematika. Pertama, representasi pembelajaran yang berupa definisi, contoh dan berbagai model yang digunakan guru dalam memberikan pengetahuan matematika kepada siswanya. Kedua, representasi kognitif yang dikonstruksi siswa dalam memberikan makna suatu konsep matematika dan usaha memecahkan masalah yang dihadapi.24 Kedua Representasi ini baik representasi pembelajaran ataupun representasi kognitif sangat penting dalam proses pembelajaran.
Jose L. Villeagas membagi kemampuan representasi matematis menjadi tiga tipe:
1) Verbal representation of the word problem: consisting fundamentally of the word problem as stated, whether in writting or spoken;
2) Pictorial representation: consisting of drawings, diagrams or graphs as well as any kind of related action;
3) Symbolic representation: being made up of numbers, operation and relation signs: al gebraic symbols, and any kind of action reffering to these.25
24
Mustangin, loc.cit.
25 Jose L. Villages et al, “Representations in Problem Solving: Acase Study in Optimization Problems”, Electronic Jurnal of Research in Educational Psychology, No. 17, Vol. 7 (1), 2009, p. 279-308.
Representasi Eksternal Representasi
18
Verbal
Dapat diartikan sebagai tipe representasi seperti, representasi verbal, representasi visual dan representasi simbol matematik. Representasi verbal adalah representasi berupa teks tulisan, artinya siswa dapat menyajikan suatu masalah dalam teks tertulis. Representasi visual yang berupa diagram, gambar, grafik dan lainnya, artinya siswa dapat menyajikan suatu masalah dalam bentuk diagram, gambar atau grafik. Representasi simbol matematika adalah representasi yang berupa simbol aljabar, operasi matematika dan berupa angka, artinya siswa dapat menyajikan suatu masalah dalam bentuk model matematik.
Gambar 2.2
Aspek Representasi Matematis
Sejalan dengan itu, Mudzakkir juga mengelompokkan representasi matematis kedalam tiga aspek (1) representasi visual berupa diagram, grafik, atau tabel, dan gambar; (2) persamaan atau ekspresi matematika; (3) kata-kata atau teks tertulis.26 Selanjutnya ketiga aspek representasi tersebut diuraikan ke dalam beberapa indikator kemampuan represents matematis sebagai berikut:27
26
Andri Suryana, “Kemampuan Berpikir Matematika Tingkat Lanjut (Advanced Mathematical Thinking) dalam Mata Kuliah Statistika Matematika I”, Makalah Disampaikan pada Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UNY, 10 November 2012, h. 40-41.
27 Lestari, op.cit., h.84. Ekspresi matemati ka Visual
Tabel 2.1
Indikator Representasi Matematis
Dari uraian di atas, dipaparkan bahwa pada dasarnya representasi dapat digolongkan menjadi tiga aspek di antaranya: (1) representasi visual; (2) representasi simbolik; dan (3) representasi verbal. Maka aspek dan indikator kemampuan representasi matematis yang akan digunakan dalam
No. Aspek Representasi Indikator
1. Visual :
a. Diagram, grafik atau tabel
Menyajikan kembali data atau informasi dari suatu
representasi ke representasi diagram, grafik atau tabel
Menggunakan representasi visual untuk menyelesaikan masalah
b. Gambar Membuat gambar pola-pola
geometri
Membuat gambar bangun geometri untuk memperjelas masalah dan memfasilitasi penyelesaiannya
2. Persamaan atau ekspresi matematika
Membuat persamaan atau model matematika dari representasi lain yang diberikan
Penyelesaian masalah dengan melibatkan representasi matematis
3. Teks tertulis Membuat situasi masalah
berdasarkan data atau representasi yang diberikan
Menulis interpretasi dari suatu representasi
Menuliskan langkah-langkah penyelesaian masalah
matematis dengan kata-kata
Menyusun cerita yang sesuai dengan suatu representasi yang disajikan
Menjawab soal dengan menggunakan kata-kata atau teks tertulis
20
penelitian ini merujuk pada pendapat Mudzakkir seperti yang terdapat pada tabel sebagai berikut.
Tabel 2.2
Aspek dan Indikator Representasi Matematis Aspek Representasi Indikator kemampuan representasi
Visual Menyajikan masalah ke dalam bentuk gambar
Menyelesaikan masalah ke dalam bentuk gambar Ekspresi Matematis Menyelesaikan masalah ke dalam ekspresi
matematis
Teks Tertulis Menyajikan masalah ke dalam bentuk kata-kata Menyelesaikan masalah ke dalam bentuk kata-kata
