Daftar Pustaka
PENAKSIRAN PARAMETER PROSES
TUJUAN INTRUKSIONAL
Setelah kuliah selesai mahasiswa diharapkan dapat memahami pentingnya ilmu statistic dalam kualitas
MATERI PEMBAHASAN
Statistic sebagai alat dalam Kualitas Distribusi probabilitas
Konsep dasar probabilitas
C. TUJUAN
Memahami pentingnya ilmu statistik dalam kualitas.
Memahami berbagai distribusi probabilitas (normal, eksponensial, weibull, Poisson, binomial,, dan hipergeometrik)
Memahami konsep dasar probabilitas.
Program Studi Teknik Industri UWP
74
MODUL 4
PENAKSIRAN PARAMETER PROSES
Suatu variabel random dikarakterisasi atau dilukiskan dengan distribusi probabilitasnya. Distribusi ini dilukiskan dengan parameternya. Misalnya, Mean µ dan variansi o2 distribusi normal adalah parameter-parameternya, sedangkan λ adalah parameter distribusi Poisson. Dalam pengendalian kualitas statistik, distribusi probabilitas digunakan untuk melukiskan atau model sesuatu karakteristik kualitas, seperti dimensi kritis suatu produk atau bagian cacat proses produksi. Oleh karena itu, kita ingin melakukan inferensi tentang parameter distribusi probabilitas. Karena parameter itu umumnya tidak diketahui, kita memerlukan prosedur untuk menaksirnya dari data sampel.
Kita dapat mendefinisikan suatu penaksir untuk parameter yang tidak diketahui sebagai statistik yang bersesuaian dengan parameter itu. Nilai angka suatu penaksir yang dihitung dari data sampel dinamakan taksiran. Penaksir titik adalah statistik yang menghasilkan satu nilai angka sebagai estimasi untuk parameter yang tidak diketahui. Penaksir interval adalah interval random yang dengan tingkat probabilitas tertentu nilai yang sebenarnya dari parameter itu jatuh di dalamnya. Interval random ini biasanya dinamakan interval kepercayaan.
Taksiran Titik
Variabel random x dengan distribusi probabilitas ,f(x). Andaikan bahwa mean µ dan variansi σ2 distribusi ini keduanyaa tidak diketahui. Apabila sampel random dengan n observasi diambil, maka mean sampel x dan variansi sampel S2 masing-masing adalah penaksir titik mean populasi dan variansi populasi o2. Sebagai contoh, andaikan kita ingin memperoleh taksiran titik mean dan variansi diameter dalam suatu peluru. Kita dapat mengukur diameter dalam sampel random n = 20 peluru (misalnya). Maka mean sampel dan variansi sampel dapat
dihitung. Apabila ini menghasilkan x = 1,495 dan S2 = 0,001. Maka taksiran titik µ adalah x = 1,495 dan taksiran titik 02adalah S2 = 0,001. Mean dan variansi suatu distribusi tidak selalu merupakan
parameter distribusi itu. Misalnya, parameter distribusi Poisson adalah λ, sedangkan mean dana variansinya adalah µ = λ dan λ2 (mean dan variansi keduanya adalah λ), dan parameter distribusi binomial adalah n
Program Studi Teknik Industri UWP
75
dapat menunjukkan bahwa penaksir titik yang baik untuk parameter λ suatu distribusi Poisson adalah
dan penaksir titik yang baik untuk parameter p suatu distribusi binomial adalah
untuk n tertentu. Dalam distribusi binomial observasi dalam sampel random itu [xi]adalah 0 atau 1, yang masing-masing berkaitan dengan "sukses" dan "gagal".
Ada sejumlah sifat-sifat penting yang harus dipenuhi penaksir titik yang baik. Dua yang paling penting di antara sifat-sifat ini adalah sebagai berikut:
1. Penaksir titik harus tak bias. Yakni, nilai harapan penaksir titik itu harus sama dengan parameter yang ditaksir.
2. Penaksir titik harus mempunyai variansi minimum. Setiap penaksir titik adalah variabel random. Jadi, penaksir ti ik bervariansi minimum harus mempunyai variansi yang lebih kecil dari variansi sebarang penaksir titik lain parameter itu.
Mean dan variansi s a m p e l z dan S2 masing-masing adalah penaksir tak bias untuk mean dan variansi populasi µ dan σ2. Tetapi, kita harus memcatat bahwa deviasi standar sampel S bukan penaksir tak bias deviasi standar populasi σ.
balam paragraf ini kita hanya memberikan tinjauan singkat beberapa dari hasil-hasil yang lebih bermanfaat pada taksiran titik. Ulasan yang lebih lengkap tentang penaksir titik dan pembicaraan teknis sifat-sifatnya tersedia luas.
Taksiran Interval
Taksiran interval suatu parameter adalah interval antara dua statistik yang dengan probabilitas tertentu memuat nilai yang sebenarnya parameter itu. Misalnya, untuk membentuk penaksir interval mean µ, kits harus mendapatkan dua statistik L dan U sedemikian hingga
Interval hasilnya
dinamakan interval kepercayaan 100(1 - α)% untuk mean µ yang tidak diketahui. L dan U masing-masing dinamakan batas kepercayaan bawah dan atas, dan (1 - α) dinamakan koefisien kepercayaan. Kadang-kadang setengah lebar interval U - N atau µ - L dinamakan ketepatan interval kepercayaan itu. Interpretasi suatu interval kepercayaan adalah apabila banyak kali interval semacam itu dibentuk, masing-masing hasil dari suatu sampel random,
Program Studi Teknik Industri UWP
76
maka 100(1 - α)% dari interval-interval ini akan memuat nilai sebenarnya µ. Jadi interval kepercayaan mempunyai interpretasi frekuensi.
Interval kepercayaan mungkin lebih tepat dinamakan interval kepercayaan dua-sisi, karena interval itu menyatakan batas bawah dan atas untuk µ. Kadang-kadang dalam penerapan pengendalian kualitas, mungkin lebih sesuai interval kepercayaan satu sisi. Interval kepercayaan 100(1 - a )% satu sisi bawah pada µ diberikan dengan inter val
dengan betas kepercayaan bawah L dipilih sedemikian hingga P[] = 1 – α…………..(4.6)
Interval kepercayaan 100(1 - α)% satu sisi alas pada µ adalah interval
dengan batas kepercayaan alas U dipilih sedemikian hingga
Interval Kepercayaan untuk Mean dengan Variansi Diketahui.
Pandang variabel random x, dengan mean µ yang tidak diketahui dan variansi a2 diketahui. Misalkan diambil sampel random dengan n observasi, x,1 x2, ... , xn, dan dihitung x'. Maka interval kepercayaan dua sisi 100(1 - α)% untuk µ adalah
Perhatikan bahwa menurut teorema limit pusat z mendekati distribusi N(µ;σ2/n) apapun bentuk distribusi x. Dengan demikianadalah interval kepercayaan 100(1 - α)% pendekatan untuk µ apapun distribusi x. Apabila x berdistribusi N(µ;α2), maka adalah interval kepercayaan 100(1 - α)% yang tepat. Selanjutnya, interval kepercayaan atas 100(1 - α)% untuk µ adalah
sedangkan interval kepercayaan bawah 100(1 - α)% untuk µ adalah
Interval Kepercayaan untuk Mean suatu Distribusi Normal dengan Variansi Tidak Diketahui. Misalkan x suatu variabel random normal dengan mean µ tidak diketahui dan variansi σ2 tidak diketahui. Dari sampel random dengan n observasi dihitung mean sampel x dan variansi sampel S2. Maka interval kepercayaan dua sisi 100(1 - α)% untuk mean µ adalah
Dengan menunjukan titik persentasedistribusi t dengan derajat bebas n-1 sedemikian hingga P[. Interval kepercayaan 100(1 - α)% atas dan bawah masing-masing adalah :
Program Studi Teknik Industri UWP
77
Dan
Contoh 3-1
Mean daya rentang suatu serat sintesis adalah karakteristik kualitas penting yang menjadi perhatian pengusaha, yang ingin menghitung taksiran interval keyakinan 95% untuk mean itu. Dari pengalaman yang lalu, pengusaha mau menganggap bahwa daya rentang mendekati distribusi normal, tetapi mean dan deviasi standar daya rentang itu keduanya tidak diketahui. Suatu sampel random dengan 16 jenis serat dipilih dan daya rentang serat itu ditentukan. Data sampel ditunjukkan dalam Tabel 3-1.
Tabel 4-1. Pengukuran Daya Rentang Serat Sintesis.
Program Studi Teknik Industri UWP
78
Karena = 2,132, kita peroleh interval kepercayaan dua sisi 95% untuk μ sebagai berukut :
Atau
Cara lain untuk menyatakan hasil ini adalah taksiran kita tentang mean daya rentang adalah 49,86 ± 0,88 psi dengan kepercayaan 95%.
Pengusaha mungkin hanya khawatir tentang daya rentang yang terlalu rendah, dan karena itu merasa bahwa interval kepercayaan satu sisi lebih sesuai. Interval kepercayaan bawah 95% untuk mean daya rentang diperoleh dari dengan menggunakan = 1,753
49,86 - atau
49,13 ≤ µ
Interval Kepercayaan untuk Variansi suatu Distribusi Normal.
Misalkan x suatu variabel random dengan mean µ tidak diketahui dan variansi σ2 juga tidak diketahui. Variansi sampel S2 dihitung dari sampel random dengan n observasi. Maka interval kepercayaan dua-sisi 100(1 - α)% untuk variansi adalah
Dengan menunjukan titik presentase distribusi khi-kuadrat sedemikian hingga . Apabila diizinkan interval kepercayaan satu sisi, interval-interval itu dapat diperoleh dari rumus diatas dengan hanya menggunakan batas atas (atau bawah) dengan tingkat probabilitas dinaikkan dari α/2 , menjadi α. Yakni, interval kepercayaan 100(1 - α)% atas atau bawah masing- masing adalah :
Dan
Kita dapat menggunakan data dari contoh 3-1 untuk menunjukkan perhitungan interval kepercayaan 95% (misalnya) untuk σ2. Perhatikan bahwa untuk data dalam Tabel 3-1, kita punyai S2 = 2,76., kita peroleh = 27,49 dan = 6,27. Dengan demikian, dari (4.16) kita peroleh interval kepercayaan dua sisi 95% untuk α2 adalah
atau
1,51 ≤ σ2≤ 6,60
Program Studi Teknik Industri UWP
79
Pandang dua variabel random x1 dengan mean µl dan variansi , dan x2 dengan mean µ2 dan variansi . Kita anggap bahwa µ 1 dan µ2 tidak diketahui sedangkan , dan diketahui. Diinginkan interval kepercayaan 100(1 -α)% untuk selisih yang sebenarnya antara kedua mean itu, yakni µl - µ2. Misalkan x11, x12, . . . , x1n1 adalah sampel random dengan nl observasi dari populasi yang ditunjukkan dengan xl, dan x21, x22, . . . , x2n2 suatu sampel random dengan n2 observasi dari populasi yang ditunjukkan dengan x2. Apabila l dan 2 menunjukkan mean-mean sampel itu, maka interval kepercayaan dua sisi 100(1 -α)% untuk selisih mean adalah
sedangkan interval kepercayaan satu sisi atas dan bawah masing-masing adalah
dan
Interval Kepercayaan untuk Selisih Mean Dua Distribusi Normal, Variansi Tidak Diketahui. Misalkan ada dua variabel random normal, xl ~ N(µ1;), dan x2 ~N(µ2;). Mean µ1 dan µ2,dan variansi dan keduanya tidak diketahui. Tetapi, cukup beralasan untuk menganggap bahwa kedua variansi itu sama, yakni = = σ2. Kita ingin mendapatkan interval kepercayaan 100(1 -α)% untuk selisih mean µ1 - µ2.
Misalkan sampel random sampel random berukuran n 1 dan n2 masing-masing telah diambil dari populasi satu dan dua, serta mean sampel x1 dan x2,clan variansi sampel dan dihitung. Taksiran gabungan (atau "pooled") untuk variansi bersama itu adalah
Interval kepercayaan dua sisi 100(1 -α)% untuk µ1 - µ2 adalah
……...(4.22)
Interval kepercayaan satu sisi atas dan bawah masing-masing adalah
Dan
Contoh 3-2
Suatu perusahaan minyak akan segera mengganti sebagian besar produksinya dari perumusan yang memuat timbel tetraetil ke perumusan yang bebas timbel. Satu karakteristik kualitas bensin yang penting adalah banyak kadar oktan. Apabila digunakan bensin dengan
Program Studi Teknik Industri UWP
80
banyak kadar oktan terlalu rendah untuk tekanan mesin, akan berakibat getaran yang terlalu banyak. Perusahaan telah merumuskan produk bebas-timbel sedemikian hingga banyak kadar oktannya harus identik dengan yang lama, produk yang memuat timbel. Dilakukan percobaan yang 10 observasi pada banyak kadar oktan diperoleh untuk tiap perumusan produk. Data ini disajikan dalam Tabel 3-2. Kita ingin menghitung interval kepercayaan 99% untuk selisih mean banyak kadar oktan.
Tabel 4-2. Banyak Kadar Oktan Untuk Dua Perumusan Bensin.
Untuk perumusan I (memuat timbel), kita peroleh l = 90,70 dan = 1,35; dan untuk perumusan 2 (tanpa timbel), kita peroleh 2 = 90,80 dan = 1,06. Dengan menganggap bahwa variansi banyak kadar oktan itu sama, kita peroleh taksiran variansi bersama dari (4.21) sebagai
Interval kepercayaan dua sisi 99% untuk µ1 - µ2 dihitung dengan menggunakan Persamaan (4.22) sebagai berikut
Program Studi Teknik Industri UWP
81
Perhatikan bahwa interval kepercayaan untuk selisih mean banyak kadar oktan memuat nol. Jadi tidak kita dapatkan petunjuk statistik bahwa kedua perumusan bensin itu berbeda dalam banyak kadar oktan.
Walaupun kita telah memusatkan perhatian pada kasus dengan =, tetapi banyak masalah-masalah yang kita hadapi yang kita tidak dapat membuat anggapan ini. Apabila anggapan ≠ yang cocok, maka interval kepercayaan untuk µ1 - µ2 dikembangkan dari prosedur yang diberikan dalam taksiran interval.
Interval Kepercayaan untuk Perbandingan Variansi Dua Populasi Normal. Misalkan x1 ~ N(μ1;) dan x2 ~ N(μ2;), dengan μ1, , μ2 dan tidak diketahui dan kita ingin membentuk interval kepercayaan 100(1 -α)% untuk . Jika dan masing-masing adalah variansi sampel yang dihitung dari sampel random dengan n1 dan n2 observasi maka interval kepercayaan dua sisi100(1 -α)% adalah
dengan ,adalah titik persentase distribusi F dengan deajat bebas u dan v sedemikian hingga P[≥ ]=α/2. Interval kepercayaan atas dan bawah masing-masing adalah
dan
Untuk melukiskan prosedur ini, lihat data dalam Contoh 3-2. Kita ingin membentuk interval kepercayaan dua sisi 95% untuk .. Dengan menggunakan = 1,35 dan = 1,06; n1 = n2 = 10; F0,025;9;9 = 4,06 dan. F0,975;9;9 = 0,248, kita peroleh dari (4.25) bahwa
atau
Perhatikan bahwa interval kepercayaan ini memuat satu, yang menyimpulkan bahwa data tidak bertentangan dengan pernyataan bahwa = . Jadi, anggapan kita dalam Contoh 3-2 bahwa variansi sama cukup beralasan.
Interval Kepercayaan untuk Parameter Binomial.
Program Studi Teknik Industri UWP
82
distribusi binomial. Parameter ini sering kali berkaitan dengan bagian tak sesuai suatu kumpulan benda atau proses. Biasanya dianggap bahwa parameter lain n distribusi binomial itu diketahui. Apabila sampel random dengan n observasi telah diambil dan observasi " tak sesuai" x telah didapat dalam sampel ini, maka penaksir titik tak bias untuk p adalah = x/n.
Ada beberapa pendekatan dalam pembentukan interval kepercayaan untuk p. Apabila n besar dan p ≥ 0,1 (misalnya), maka pendekatan normal untuk binomial dapat digunakan yang menghasilkan interval kepercayaan 95%
Apabila n kecil, maka tabel distribusi binomial harus digunakan guna menentukan interval kepercayaan untuk p. Apabila n besar tetapi p kecil, maka pendekatan Poisson untuk binomial berguna dalam penghitungan interval kepercayaan.
Apabila dua parameter binomial yang menarik, misalnya pl dan p2, maka mungkin
dibentuk interval kepercayaan 100(1 -α)% pendekatan untuk selisihnya, yakni pl - p2. Kepercayaan itu adalah
Hasil ini didasarkan atas pendekatan normal untuk binomial. Contoh 3-3.
Dalam suatu sampel random 80 bantalan poros mesin mobil, 15 dari bantalan itu mempunyai permukaan yang lebih kasar dari spesifikasi yang dibolehkan. Taksiran titik bagian tak sesuai dalam proses itu adalah
Dengan menganggap pendekatan normal untuk binomial cukup cocok, maka interval kepercayaan 95% untuk bagian tak sesuai proses itu diperoleh dari (4.9) sebagai
Program Studi Teknik Industri UWP
83
BAB 5