LANDASAN TEORI DAN HIPOTESIS
G. Teorema Pythagoras
1. Kuadarat dan Akar kuadrat suatu Bilangan a. Kuadrat suatu bilangan
Kuadrat suatu bilangan adalah perkalian suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri.
a2 dibaca “a pangkat dua” atau dibaca “a kuadrat”. Jadi, a2 =a x a
b. Akar kuadrat suatu bilangan
Hasil akar kuadrat dari bilangan a, dapat ditentukan dengan sifat berikut :
a b jika b2 = a, dengan b 0 (b adalah bilangan positif atau nol) ( M. Cholik Adinawan dan Sugijono, 1999:12)
Contoh Soal : 1. 172 = 17 x 17 = 289 2. (-7)2 = -7 x (-7) = 49 3. 4. 12,25 = 50 = (3,5) 2 = 3,5 25x2 = 25 2 = 5 2 2. Luas Daerah Persegi Dan Segitiga Siku-Siku
a. Persegi
Perhatikan persegi ABCD di samping.
D C
Jika panjang sisi persegi ABCD adalah a, maka luas
A B
daerah persegi ABCD dirumuskan sebagai berikut : Gb. (3)
Contoh Soal :
Hitunglah luas daaerah persegi yang panjang sisinya 0,4 m Penyelesaian:
Luas daerah persegi = s2( s = sisi) = 0,42 = 0,4 x 0,4 = 0,016 Jadi luas daerah persegi adalah 0,016 m2
b. Segitiga siku-siku
C
Luas daerah segitiga siku-siku = 1
2 x panjang
sisi siku-siku x
A B panjang sisi
siku-Gb. (4)
Contoh Soal :
Perhatikan gambar di bawah ini
C Hitunglah luas daerah segitiga ABC jika panjang
AC= 2,5 cm dan panjang AB= 4cm!
A
Gb. (5) B
Penyelesaian:
Panjang AC = t = 2,5 cm Panjang AB = a = 4 cm Luas daerah ∆ ABC = 1
2 a t = 1
2 4 2,5 = 5 cm2 3. Teorema Pythagoras
Pada setiap segitiga siku-siku, luas daerah persegi pada sisi miring sama dengan jumlah luas daerah persegi-persegi pada dua sisi yang lain. Pernyataan ini dinamakan Teorema Pythagoras.
c2
b
2a
cb2
4. Pembuktian Teorema Pythagoras
c 2 (a b) (a b) 4. .ab c (a b) 2ab a 2 b 2 (a b) (a b) 4. .ab a b (a b) 2ab E c F a B c2 c
DalamABC siku-siku
a a2 a c D di C berlaku AB2 = BC2 + AC2 b c c2 = a2 + b2 G a C A b b2 b Gb. (6) H I b
Untuk membuktikan teorema Pythagoras, perhatikan gambar di bawah ini
D b a C D a b C a c c b b b
c
2 b c c a a a A a b B A a b B Gb. (7) Gb. (8)Luas daerah yang tidak diarsir pada gambar (7) adalah luas daerah persegi ABCD – (4 luas daerah yang diarsir).
1 2 2 2
Luas daerah yang tidak diarsir pada gambar (8) adalah luas daerah persegi ABCD – (4 luas daerah yang diarsir).
1 2 2 2 2
Dari gambar (5) : c (a b) 2ab
Dari gambar (6): a b (a b) 2ab
Ternyata dari kedua gambar tersebut daerah yang tidak diarsir memiliki luas daerah yang sama, yaitu:
2 2
A
2 2 2 b c Jadi c 2 a 2 b 2 .C
aB
Gb. (9)5. Menggunakan Teorema Pythagoras Untuk Menghitung Panjang Salah Satu Sisi Segitiga Siku-Siku Jika Sisi-Sisi Lainnya Diketahui
Teorema Pythagoras dapat digunakan untuk menghitung panjang salah satu sisi pada segitiga siku-siku, jika dua sisi lainnya diketahui.
Contoh Soal :
Diketahui segitiga ABC siku-siku di C , AC= 18 cm, dan BC = 24 cm Hitunglah panjang hipotenusa (sisi miring)!
Penyelesaian:
B Menurut teorema Pythagoras
24 AB2 = AC2 + BC2 = 182 + 242 C 18 A = 324 + 576 = 900 Gb. (10) AB = 900 = 30
Jadi panjang AB adalah 30 cm
6. Menghitung Perbandingan Sisi-Sisi Segitiga Siku-Siku Khusus (Salah Satu Sudutnya 300, 450, Dan 600)
a. Perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya 300 atau 600
Gambar (11) adalahABC sama sisi dan CD adalah garis tinggi, maka: AB = BC = AC
BAC =ABC =ACB = 600
ACD =BCD = 300. 1 AD = BD = AB, atau 2 C AD = BD = 1 2AC, sebab AB = AC A D B Gb. (11) AD = BD = 1 2BC, sebab AB = BC.
Jika dalam Gambar (12),ADC digambar terpisah, maka menjadi seperti gambar (11) :
ACD = 300 danDAC = 600. C AD = 1
2AC.
A
Gb. (12)
D
KarenaACD menghadap sisi AD dan sisi AC sebagai sisi miring atau hipotenusa, maka dapat dinyatakan hal berikut :
Dalam setiap segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya 300, panjang sisi di hadapan sudut 300 adalah
miring).
1
2 hipotenusa (sisi
C
DalamABC seperti gambar di samping, ACB = 300 ,ABC = 600, dan panjang BC = 2
Gb. (13) AB = = 1 2 1 2 .BC .2 BC2 = AB2 + AC2 22 = 12 + AC2 AC2 = 4 – 1 = 3 AC = 3 =1 Jadi, AC = 3 satuan. Jadi, panjang AB = 1 satuan.
Dari hasil di atas dapat dibuat perbandingan sebagai berikut : C
Perbandingan antara sisi di hadapan sudut 1
600 2
300
900, sisi di hadapan 600, dan sisi di hadapan 300 adalah 2 :
3 : 1. Atau
A 3 B BC : AB : AC = 2 : 3 : 1.
Gb. 13
Contoh Soal :
Segitiga ABC siku-siku di A dan panjang BC = 6 cm, ABC = 300 hitunglah panjang : a. AB Penyelesaian: C BC : AB = 2 : 3 6 : AB = 2 : 3 A 6 cm B 6 AB 2 3 Gb. (14) 6 3 = 2 AB AB = 6 3 2 = 3 3 Jadi panjang AB adalah 3 3 cm.
b. Perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya 450
C
Gambar (13) adalahABC siku-siku sama kaki, sehingga : AB = AC,ABC =ACB = 450 Jika, AB = 1 satuan, maka :
xliii
= 12 + 12 = 1 +1
Berdasarkan hasil di atas, dapat dibuat perbandingan sebagai berikut :
C Perbandingan antara sisi di hadapan sudut 900, dan sisi di hadapan 450 adalah 2 : 1.
BC : AB = BC : AC = 2 : 1 , atau 2 : 1 , atau 450 A Contoh Soal : B BC : AB : AC = 2 : 1 : 1.
Diketahui PQR siku-siku di Q dengan panjang PR = 10 QPR = 450 Hitunglah panjang QR ! Penyelesaian : 2 cm dan P PR : QR = 10 2 : QR = 2:1 2:1 10 cm 2 10 2 QR 2 1 Q R 10 2 = 2 QR Gb. (16) QR = 10 2 2 = 10 Jadi panjang QR adalah 10 cm.
7. Menggunakan Teorema Pythagoras Pada Bangun Datar Dan Bangun Ruang Contoh soal:
a Gunakan teorema Pythagoras untuk menyelesaikan soal bangun datar di bawah!
Perhatikan gambar di samping ! D A 15 cm 17 cm Gb. (17) C B
Hitunglah panjang sisi AD dan luas daerah persegi panjang ABCD.
Penyelesaian :
Perhatikan ABD , AB = CD = 15 cm D
17
Menurut teorema Pythagoras AD2 = BD 2 - AB 2
= 172 - 15 2
A 15 B = 289 - 225
= 64 BC = 64 = 8
Jadi panjang BC adalah 8 cm. Luas daerah persegi panjang ABCD = Panjang x Lebar
= AB x AD = 15 x 8 = 120 cm2 Jadi luas daerah persegi panjang ABCD adalah 120 cm2
b Menggunakan teorema Pythagoras untuk menyelesaikan soal bangun ruang Pada balok ABCD.EFGH berikut ini panjang AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan CG = 15 cm.. Hitunglah panjang AC dan AG !
Penyelesaian:
H G a. Perhatikan ABC siku-siku di
E A A D Gb. (18) F B C titik B, maka: AC2 = AB2 + BC2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100 AC = 100 = 10 Jadi panjang AC = 10 cm b. Lihat ACG siku-siku di titik C
AG2 = AC2 + CG2 = 102 +152 = 100 + 225 = 325. AG = 325 = 5 13 Jadi panjang AG = 5 13 cm
8. Kebalikan Teorema Pythagoras Dan Tripel Pythagoras a Kebalikan teorema Pythagoras
B
Menurut teorema kebalikan Pythagoras bahwa dalam
c a segitiga siku-siku kuadrat panjang hipotenusa sama
A b
Gb. (19)
C dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi siku-sikunya. Teorema Pythagoras dalamABC siku-siku di C dirumuskan sebagai : c 2 a 2 b 2 .
Sedangkan kebalikan teorema Pythagoras adalah :
Apabila dalamABC berlaku hubungan : c 2 a 2 b 2 , makaC adalah siku-siku atauC = 900.
Contoh Soal :
Sebuah segitiga memiliki sisi-sisi dengan panjang 5 cm, 12 cm, dan 13 cm. Periksalah apakah segitiga itu siku-siku !
Penyelesaian:
Misalkan sisi terpanjang segitiga adalah a, dan sisi yang lainnya b dan c,
Maka : a = 13 dan a2 = 16 b = 12 dan b2 = 144 c = 5, dan c2 = 25 diperoleh 169 = 144 + 25 132 = 122 + 52 a2 = b2 + c2
karena panjang sisi segitiga memenuhi a2 = b2 + c2 , maka menurut
kebalikan teorema Pythagoras bahwa segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku, dengan siku-siku di A.
b Tripel Pythagoras
Dalam perhitungan yang menggunakan teorema Pythagoras selalu
memerlukan tiga buah bilangan untuk menyatakan panjang hipotenusa (sisi miring) dan panjang kedua siku-sikunya. Tiga bilangan yang memenuhi teorema Pythagoras itu dinamakan Tripel Pythagoras.
1. Apakah tripel bilangan berikut merupakan tripel Phytagoras a. 4, 4 3 , dan 8 b. 13, 14, dan 15 Penyelesaian; a. 4, 4 3 , dan 8 Misalkan a = 8, b= 4 3 , dan c =4 a2 = b2 + c2 82 = (4 3 )2 + 42
64 = 48 + 16 (Pernyataan yang bernilai benar)
Oleh karena bilangan 4, 4 3 , dan 8 memenuhi hubungan a2 = b2 + c2
maka bilangan-bilangan itu adalah tripel Pythagoras. b. 13, 14, dan 15
Misalkan a = 15, b= 14, dan c =13 a2 = b2 + c2
152 = 142 + 132
225 = 196 +169 (Pernyataan yang bernilai salah)
Oleh karena bilangan13,14 ,dan 15 tidak memenuhi hubungan a2 = b2 + c2
maka bilangan-bilangan itu bukan Tripel Pythagoras.
9. Menentukan Jenis Segitiga Jika Diketahui Panjang Sisi-Sisinya
B
Jika dalamABC berlaku hubungan c 2 a 2 b 2 , makaABC adalah siku-siku di C ).c a
Jika dalamABC berlaku hubungan c2 〉 a2 + b2, makaABC merupakan segitiga tumpul.
A
Contoh Soal :
Segitiga ABC berikut merupakan segitiga siku-siku, lancip, atau tumpul? a. AB =10 cm, BC = 6 cm, Dan AC =8 cm b. AB = 6 cm, BC = 5 cm, Dan AC =3 cm Penyelessaian: a. AB =10 cm, BC = 6 cm, Dan AC =8 cm AB2 = BC2 + AC2 10 2 = 62 + 82
100 = 36 + 64 ( Pernyataan yang bernilai benar) Ternyata : AB2 = BC2 + AC2
Jadi Segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku. b. AB = 6 cm, BC = 5 cm, Dan AC =3 cm
AB2 = BC2 + AC2 6 2 = 52 + 32
36 = 25 + 9 ( Pernyataan yang bernilai salah) Ternyata : AB2 > BC2 + AC2
Jadi Segitiga tersebut merupakan segitiga tumpul.
10. Menyelesaikan soal cerita yang menggunakan teorema pythagoras
Dalam kehidupan sehari-hari, terdapat banyak masalah yang berhubungan dengan teorema Pythagoras. Untuk menyelesaikan soal cerita menggunakan teorema Pythagoras lebih mudah jika dilukiskan dengan sketsa.
= AB + BC AC
Contoh Soal :
a. Sebuah tiang listrik tinggi 4m. Agar tiang listrik tersebut dapat berdiri dengan tegak, maka harus ditahan oleh tali kawat baja. Jika jarak tiang listrik dari patok pengikat adalah 5 m, maka panjang tali kawat baja minimal yang dibutuhkan adalah ….
Penyelesaian: C
Menurut teorema Pythagoras : 2 2 2
= 52 + 42
tali kawat baja Tiang listrik 4m
= 25 + 16 = 41 A 5m B
AC = 41 Gb. (20)
b. Gambar di bawah menunjukkan tembok bagian samping sebuah rumah. Panjang AB = 8 m, BC= 4 m, dan CD = 10 m. Jika tembok itu dicat dengan biaya Rp 500,00 per meter persegi, hitunglah biaya yang diperlukan ! D C Gb. (21) A Penyelesaian : B Perhatikan gambar di bawah
ED2 = CD2 - EC2 D 10 cm = 102 - 82 = 100 - 64 E C = 36 4 cm ED = 36
= 6
AD = AE + ED AD = 4 + 6 AD = 10 Luas Trapesium ABCD = (AD + BC) x EC
2 (10 4 ) 8
2 = 56 Luas Trapesium ABCD
Jadi Biaya Pengecatan
= 56 m2
= 56 x Rp 500,00 = Rp 28000,00