Eksponen Verteks Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Yang Bersinggungan

(1)

EKSPONEN VERTEKS DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA CYCLE YANG BERSINGGUNGAN

SKRIPSI

TAUFIK ZUHRI 050803037

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(2)

EKSPONEN VERTEKS DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA CYCLE YANG BERSINGGUNGAN

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

TAUFIK ZUHRI 050803037

MEDAN 2011

(3)

i

PERSETUJUAN

Judul : EKSPONEN VERTEKS DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA CYCLE YANG BERSINGGUNGAN

Kategori : SKRIPSI

Nama : TAUFIK ZUHRI Nomor Induk Mahasiswa : 050803037

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Medan, Mei 2011

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Pangeran Sianipar, M.S. Dr. Saib Suwilo, M.Sc. NIP. 19470208 197403 1 001 NIP. 19640109 198803 1 004

Diketahui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

(4)

ii

PERNYATAAN

EKSPONEN VERTEKS DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA CYCLE YANG SALING BERSINGGUNGAN

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Mei 2011

TAUFIK ZUHRI 050803037

(5)

iii

PENGHARGAAN

Dengan puji dan syukur kepada Allah SWT, karena berkat dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul” EKSPONEN VERTEKS DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA CYCLE YANG SALING BERSINGGUNGAN”ini dengan baik.

Dalam menyelesaikan skripsi ini penulis banyak sekali menerima bantuan dan masukan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih sebesar-besarnya kepada:

1. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku dosen pembimbing I, Drs. Pangeran Sianipar, M.S selaku dosen pembimbing II, Dra. Mardiningsih, M.Si dan Drs. Ujian Sinulingga, M.Si yang telah memberi dukungan moral, motivasi dan ilmu pengetahuan bagi penulis dalam menyelesaikan penelitian ini. 2. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.

3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si. dan Dra. Mardiningsih, M.Si., selaku Ketua dan Sekretraris Departemen Matematika di FMIPA USU Medan.

4. Seluruh Staf Pengajar Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.

5. Ayahanda Gusron Ainuddin Hasibuan dan Ibunda Meriati Lubis tercinta, abanganda Ardinal Sakti serta adik-adikku Faisal Hamdi, Kholyda Hafni, Zulfadli, dan Indra Gusti yang selalu memberikan dukungan moril dan ma-teriel maupun doa yang tiada hentinya kepada penulis.

Tidak lupa kiranya penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Astri Syafrianti, Firdaus Safran, Kiki Winarti, Fitri, bang Deni Ramadani, bang Ramidin, bang Darto Siregar, M. Haikal Lubis, Novi Yuanda Lubis, Ibnu Haris Lubis (Loebsy Community), Aghni Syahmarani yang telah menjadi sahabat dekat penulis selama menimbah ilmu di USU. Kepada guru-guru dan kawan-kawan sewaktu duduk di bangku SD, SMP, dan SMA, juga tidak lupa kiranya penulis mengucapkan terima kasih atas didikan dan persahabatan selama ini.

Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan ini, untuk itu penulis meminta saran dan kritik yang membangun dari pembaca sekalian.

(6)

iv

ABSTRAK

Andaikan D(2) adalah suatu digraph dwi-warna yang primitif atas n = 2m−2, m ≥ 3 verteks dengan dua buah cycle yang saling bersinggungan di satu verteks dengan panjang cycle masing-masing adalah m dan m − 1. Tulisan ini akan memperlihatkan pola eksponen verteks dari digraph dwi-warna D(2)_{, sehingga}

exp_D(2)(vk) = 1₂(n2−2) +⌊k₂⌋.

(7)

v

VERTEX EXPONENT OF TWO-COLORED DIGRAPHS WITH TWO CYCLES WHOSE HAVE A COMMON VERTEX

ABSTRACT

Let D(2) be a primitive two-colored digraph on n= 2m−2, m ≥3 vertices whose two cycles which has a common vertex and the lenght of each cycle is m and m−1. This paper will give the formula of vertex exponent of 2-digraph D(2) _such

(8)

vi

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN i

PERNYATAAN ii

PENGHARGAAN iii

ABSTRAK iv

ABSTRACT v

DAFTAR ISI vi

DAFTAR GAMBAR vii

BAB

1. PENDAHULUAN 1

1.1. Latar Belakang Penelitian 1

1.2. Perumusan Masalah 2

1.3. Tinjauan Pustaka 2

1.4. Tujuan Penelitian 6

1.5. Manfaat Penelitian 6

1.6. Metodologi Penelitian 6

2. LANDASAN TEORI 8

2.1. Digraph 8

2.2. Digraph Dwi-Warna 18

3. EKSPONEN VERTEKS 2-DIGRAPH DENGAN DUA CYCLE

YANG BERSINGGUNGAN 33

4. KESIMPULAN DAN RISET LANJUTAN 36

4.1. Kesimpulan 36

4.2. Riset Lanjutan 37

DAFTAR PUSTAKA 38

(9)

vii

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

2.1 Digraph dengan 6 verteks dan 8 arc 9

2.2 Digraph dengan 5 verteks dan 7 arc 10 2.3 (a) Digraph terhubung kuat (b) Digraph tidak terhubung kuat 11

2.4 Digraph primitif 11

2.6 Sebuah 2-Digraph yang terdiri dari 5 verteks dan 7 arc 19

2.7 (a) 2-Digraph terhubung kuat (b) 2-Digraph tidak terhubung

kuat 21

(10)

iv

ABSTRAK

exp_D(2)(vk) = 1₂(n2−2) +⌊k₂⌋.

(11)

v

ABSTRACT

(12)

SKRIPSI

TAUFIK ZUHRI 050803037

DEPARTEMEN MATEMATIKA

MEDAN 2011

(13)

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

TAUFIK ZUHRI 050803037

(14)

i

PERSETUJUAN

Judul : EKSPONEN VERTEKS DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA CYCLE YANG BERSINGGUNGAN

Kategori : SKRIPSI

Nama : TAUFIK ZUHRI Nomor Induk Mahasiswa : 050803037

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Medan, Mei 2011

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Pangeran Sianipar, M.S. Dr. Saib Suwilo, M.Sc. NIP. 19470208 197403 1 001 NIP. 19640109 198803 1 004

Diketahui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Dr. Tulus, M.Si NIP. 19620901 198803 1 002

(15)

ii

PERNYATAAN

EKSPONEN VERTEKS DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA CYCLE YANG SALING BERSINGGUNGAN

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Mei 2011

(16)

iii

PENGHARGAAN

Dengan puji dan syukur kepada Allah SWT, karena berkat dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul” EKSPONEN VERTEKS DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN DUA CYCLE YANG SALING BERSINGGUNGAN”ini dengan baik.

Dalam menyelesaikan skripsi ini penulis banyak sekali menerima bantuan dan masukan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih sebesar-besarnya kepada:

1. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku dosen pembimbing I, Drs. Pangeran Sianipar, M.S selaku dosen pembimbing II, Dra. Mardiningsih, M.Si dan Drs. Ujian Sinulingga, M.Si yang telah memberi dukungan moral, motivasi dan ilmu pengetahuan bagi penulis dalam menyelesaikan penelitian ini. 2. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.

3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si. dan Dra. Mardiningsih, M.Si., selaku Ketua dan Sekretraris Departemen Matematika di FMIPA USU Medan.

4. Seluruh Staf Pengajar Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.

5. Ayahanda Gusron Ainuddin Hasibuan dan Ibunda Meriati Lubis tercinta, abanganda Ardinal Sakti serta adik-adikku Faisal Hamdi, Kholyda Hafni, Zulfadli, dan Indra Gusti yang selalu memberikan dukungan moril dan ma-teriel maupun doa yang tiada hentinya kepada penulis.

Tidak lupa kiranya penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Astri Syafrianti, Firdaus Safran, Kiki Winarti, Fitri, bang Deni Ramadani, bang Ramidin, bang Darto Siregar, M. Haikal Lubis, Novi Yuanda Lubis, Ibnu Haris Lubis (Loebsy Community), Aghni Syahmarani yang telah menjadi sahabat dekat penulis selama menimbah ilmu di USU. Kepada guru-guru dan kawan-kawan sewaktu duduk di bangku SD, SMP, dan SMA, juga tidak lupa kiranya penulis mengucapkan terima kasih atas didikan dan persahabatan selama ini.

Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan ini, untuk itu penulis meminta saran dan kritik yang membangun dari pembaca sekalian.

Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih atas perhatiannya, semoga tulisan ini berguna bagi yang membutuhkan.

Medan, Mei 2011 Penulis,

(17)

iv

ABSTRAK

(18)

v

ABSTRACT

thatexpD(2)(vk) = 1₂(n2−2) +⌊k₂⌋.

(19)

vi

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN i

PERNYATAAN ii

PENGHARGAAN iii

ABSTRAK iv

ABSTRACT v

DAFTAR ISI vi

DAFTAR GAMBAR vii

BAB

1. PENDAHULUAN 1

1.1. Latar Belakang Penelitian 1

1.2. Perumusan Masalah 2

1.3. Tinjauan Pustaka 2

1.4. Tujuan Penelitian 6

1.5. Manfaat Penelitian 6

1.6. Metodologi Penelitian 6

2. LANDASAN TEORI 8

2.1. Digraph 8

2.2. Digraph Dwi-Warna 18

3. EKSPONEN VERTEKS 2-DIGRAPH DENGAN DUA CYCLE

YANG BERSINGGUNGAN 33

4. KESIMPULAN DAN RISET LANJUTAN 36

4.1. Kesimpulan 36

4.2. Riset Lanjutan 37

(20)

vii

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

2.2 Digraph dengan 5 verteks dan 7 arc 10 2.3 (a) Digraph terhubung kuat (b) Digraph tidak terhubung kuat 11

2.4 Digraph primitif 11

2.7 (a) 2-Digraph terhubung kuat (b) 2-Digraph tidak terhubung

kuat 21

2.9 Sebuah 2-Digraph dengan 3 verteks dan 4 arc 27 2.10 Sebuah 2-Digraph dengan dua cycle 32

(21)

BAB 2

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar seperti definisi dan beberapa teorema sebagai landasan dalam penelitian ini. Konsep dasar ini berkaitan dengan masalah yang dibahas dalam tulisan ini seperti digraph, keterhubungan suatu digraph, eksponen digraph, 2-digraph, dan eksponen dari 2-digraph.

2.1 Digraph

Secara sederhanagraphadalah kumpulan titik atau lingkaran kecil yang dihubung-kan oleh garis tak berarah. Jika garis penghubung diberi arah, maka graph demikian dinamakan digraph (directed graph).

2.1.1 Definisi.

Suatu digraphD adalah suatu objek Matematika yang terdiri dari dua himpunan yaitu :

1. Himpunan berhingga tak kosongV ={v0, v1,· · · , vn}. Unsur dariV disebut

verteks dari Digraph D.

2. HimpunanAyang merupakan himpunan bagian dari pasangan tak berurutan

V ×V dengan verteks-verteksnya tidak harus berbeda, dan unsur-unsurnya disebutarc dari digraph D.

Suatu α(u, v) adalah arc yang dibentuk dari verteks u ke verteks v. Suatu arc (u, v) dapat juga dinotasikan dengan u→v.

(22)

him-9

Suatu digraph dapat direpresentasikan secara grafis dengan cara setiap verteks direpresentasikan sebagai sebuah titik dan setiap arc (u, v) direpresentasikan garis berarah dari titiku kev.

Contoh 2.2Representasi grafis dari digraph pada Contoh 2.1

✈ ✈ ✈

v6

v5

v4

v1 v2 v3

✲ ✲

✛ ✲

✻ ✠ ✻ ❄

Gambar 2.1 : Digraph dengan 6 verteks dan 8 arc

Andaikan D adalah suatu digraph dan misalkan u dan v adalah verteks di digraphD. Suatu walk dengan panjangmdariukevdidefinisikan sebagai barisan arc dan dituliskan sebagai

v0 →v1 →v2 → · · · →vm−1 →vm

dengan m > 0, v0 = u, dan vm = v. Suatu walk dikatakan terbuka jika u 6=

v dan dikatakan tertutup jika sebaliknya. Suatu path adalah suatu walk tanpa perulangan verteks kecuali mungkin verteks awal dan verteks akhir. Suatu path yang memilikiv0 =vm disebutcycle.

Digraph pada Gambar 2.1 di atas memiliki walk, path, dan cycle sebagai berikut :

a. Barisan arc v1 →v2 →v3 →v4 →v5 →v2 →v6 adalah suatu walk terbuka

tetapi bukan path karena ada verteks yang berulang.

b. Barisan arc v1 → v2 → v3 → v4 → v5 → v6 disebut path karena tidak ada

verteks yang berulang.

c. Barisan arc v2 →v3 →v4→v5 disebut cycle.

(23)

10

2.1.2 Matriks Adjacency Digraph.

Keterhubungan sebuah digraph D dengan n verteks dapat dinyatakan ke dalam bentuk matriks ordon×nyang entri dari matriks tersebut adalah bilangan 1 atau 0. Matriks yang demikian disebut sebagai matriks adjacency.

Untuk setiap digraph D dengan m verteks dapat dituliskan suatu (0,1)-matriks A(D)=[aij] sebagai berikut

ai,j = 

  

  

1, jika terdapat arc dari vi ke vj

0, jika sebaliknya.

untuki, j = 1,2,· · · , m

Berikut ini diberikan contoh matriks adjacency dari sebuah digraph yang direpresentasikan secara grafis.

Contoh 2.3Representasi dari sebuah digraph

✈ ✈

✈

✈ ✈

v5 v4

v1 v2

v3

✲ ✲

❅ ❅

❅ ❅_❅ ❅

❅❅❘

✻ ✻

✒ ✠

Dari representasi digraph diatas diperoleh matriks adjacency sebagai berikut

A(D) =



     

0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0



(24)

11

2.1.3 Digraph Primitif.

Suatu digraphD dikatakan terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap pasangan verteksu dan vdi D terdapat walk dari uke vdan sebaliknya. Berikut contoh digraph terhubung kuat dan tidak terhubung kuat.

Contoh 2.4Representasi dari digraph yang terhubung kuat dan tidak terhubung kuat. t t t t t t v1 v6 v2 v5 v3 v4 ✒ ✲ ❅ ❅ ❅ ❅❅❘ ✠ ✛ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ■ t t t t t t v1 v6 v2 v5 v3 v4 ✒ ✲ ❅ ❅ ❅ ❅❅❘ ✠ ✛ ❅ ❅ ❅ ❅❅❘

Gambar 2.3 : (a) Digraph terhubung kuat (b) Digraph tidak terhubung kuat

Pada Gambar 2.3, ditunjukkan bahwa (a) adalah suatu digraph terhubung kuat karena terdapat walk dari satu verteks ke verteks lainnya, dan (b) adalah suatu digraph tidak terhubung kuat karena tidak terdapat walk dari v6 ke v1.

Suatu digraph terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat positifk sedemikian hingga untuk setiap pasangan verteks udan v di D terdapat walk dariukevdengan panjangk. Berikut ini diberikan representasi grafis digraph yang terhubung kuat dan primitif.

Contoh 2.5Digraph terhubung kuat di bawah ini adalah primitif.

t t t t v4 v1 v3 v2 ✲ ❄ ✛ ✻ ✚✚ ✚✚ ✚✚ ✚✚ ✚✚ ✚✚❃

Gambar 2.4 : Digraph primitif

Pada Gambar 2.4 di atas, D adalah digraph terhubung kuat dengan dua cycle yaitu : v1 → v2 →v3 →v4 →v1 dengan panjang 4 dan cycle v2 →v3 → v4 →v2

(25)

12

dengan panjang 3. Brualdi dan Ryser menjamin bahwa suatu digraph D adalah primitif jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari panjang-panjang cycle diD adalah 1.

Lemma berikut ini akan menjamin bahwa setiap verteks di digraphD terletak pada suatu cycle bila digraphD terhubung kuat.

Lemma 2.1 Andaikan D adalah digraph terhubung kuat maka setiap verteks v di D terletak pada cycle.

Bukti: Ambil sebarang verteks v di D. Karena D terhubung kuat, maka ada suatu arc dari verteksv ke verteks u. Karena D terhubung kuat, maka terdapat path dari verteks u ke v yang berakibat akan diperoleh suatu path tertutup di

D yang dibentuk oleh arc dari verteks u ke v dan path dari verteks v keu di D. Oleh definisi, path tertutup adalah suatu cycle danvsebarang verteks diD, maka setiap verteksv diD terletak pada suatu cycle.

2.1.4 Eksponen Digraph.

Pada bahasan sebelumnya, telah dijelaskan bahwa suatu digraph terhubung kuat dikatakan primitif bila terdapat bilangan bulat positifk sedemikian hingga untuk setiap pasangan verteksudanv diDterdapat suatu walk dari verteksuke verteks vdan sebaliknya dengan panjang k. Bilangan bulat terkecil dari semuak tersebut dikatakan sebagai eksponen digraphD, dan dinotasikan exp(D). Berikut ini akan dijelaskan hubungan antara matriks adjecency dari sebuah digraph primitif dan eksponen dari digraph tersebut.

Pada tahun 2005, Zaini dan Suwilo menyatakan bahwa verteksvi kevj diAk

(26)

13

Bukti: AndaikanA adalah suatu matriks adjacency dari digraph D, maka setiap entri (i, j) dari A menyatakan arc dari vi ke vj di digraph D. Hal ini berakibat

untukk = 1, maka setiap entria1_ij dari A1 menyatakan banyaknya walk dari vi ke

vj yang panjangnya satu.

Asumsikan setiap entri a(k)_ij dan Ak _{menyatakan banyaknya walk dari}_v i dan

vj yang panjangnya k di D, untuk k ≥1. Berikut ini diperlihatkan a(k+1)ij adalah

banyaknya walk dari vi ke vj yang panjangnya k+ 1 di D, untukk ≥1.

Perhatikan setiap walk darivi kevj di D dengan panjang k+ 1 yang terdiri

dari walk dari vi ke vj dengan panjang k untuk l = 1,2, . . . , n dan dilanjutkan

dengan arc darivikevj. Sehinggaa (k)

il aljadalah menyatakan walk yang panjangnya

k+ 1 dari vi ke vj di D, untuk k = 1,2, . . . , n. Jika tidak terdapat walk yang

panjang k dari vi ke vj diD, maka a (k)

il = 0 sehingga a (k)

il alj = 0. Hal ini berarti

tidak terdapat walk dengan panjangk+1 darivikevjyang melaluivldiDsehingga

diperoleh banyaknya walk yang panjangnya k+ 1 dari vi ke vj diD adalah

a(k)_i1 a1j+a(k)i2 a2j+· · ·+a(k)inanj = n X

i=1

a(k)_il alj

karena

Ak+1 =AkA

maka

a(k)_ij =

n X

i=1

a(k)_il alj

Hal ini berakibata(k+1)_ij adalah benar menyatakan banyaknya walk darivi ke

vj yang panjangnyak+ 1 diD. Jadi, elemen (i, j) dariAk adalah banyaknya walk

yang panjangnya k dari vi ke vj.

Berikut ini adalah matriks adjecency dari digraph yang diberikan pada Gam-bar 2.4 dan selanjutnya akan dicari eksponennya dengan menggunakan Proposisi 2.2 pada halaman sebelumnya.

(27)

14

Dari representasi grafis pada Gambar 2.4 diperoleh matriks adjacency sebagai

berikutA=

     

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0

     

, dengan Proposisi 2.2 untuk mencari banyak walk dari

verteks vi ke vj dengan panjang k adalah entri dari matriks akij dari Ak dengan

demikian nilaik adalah eksponen dari digraph. Perhatikan matriks Ak_.

a. Untuk k = 1 ; diperolehA =

     

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0

     

, maka bukan merupakan

ekspo-nen digraph, karena tidak terdapat walk dengan panjang 1 dariv1 kev1.

b. Untuk k = 2 ; diperolehA =

     

0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0

     

c. Untuk k = 3 ; diperolehA =

     

0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1

     

d. Untuk k = 4 ; diperolehA =

     

1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1

     

e. Untuk k = 5 ; diperolehA =

     

0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 2 1 0

     

(28)

15

f. Untuk k = 6 ; diperolehA =

     

0 0 1 1 1 1 0 1 1 2 1 0 0 1 2 1

     

g. Untuk k = 7 ; diperolehA =

     

1 1 0 1 1 2 1 0 0 1 2 1 1 1 1 2

     

h. Untuk k = 8 ; diperolehA =

     

1 2 1 0 0 1 2 1 1 1 1 2 2 3 1 1

     

i. Untuk k = 9 ; diperolehA =

     

0 1 2 1 1 1 1 2 2 3 1 1 1 3 3 1

     

i. Untuk k = 10 ; diperoleh A =

     

1 1 1 2 2 3 1 1 1 3 3 1 1 2 3 3

     

, karena terdapat walk dengan

panjang 10 dari tiap pasangan verteks di D, maka eksponen dari digraph pada Gambar 2.4 adalah 10.

2.1.5 Eksponen verteks digraph.

Misalkan D adalah sebuah digraph primitif dengan himpunan verteks V(D) = {v1, v2,· · · , vn}. Untuk suatu vk ∈ V(D) dan X ⊆ V(D), eksponen verteks

exp_D(vk) adalah bilangan bulat positif terkecil m sedemikian hingga terdapat

walk dengan panjang m dari vk ke setiap verteks di D, dan eksponen himpunan

(29)

16

vj di D terdapat sebuah walk dari paling sedikit satu verteks di X ke vj dengan

panjang p.

Misalkan D adalah digraph primitif dengan orde n. Jika verteks-verteks di

D adalah v1, v2,· · · , vn sedemikian hingga

exp_D(v1)≤expD(v2)≤ · · · ≤expD(vn)

maka exp_D(vk) adalah tipe pertama eksponen ke-k dari D yang digeneralisasikan.

Berikut ini diberikan contoh representasi grafis digraph yang akan dicari eksponen verteksnya dengan menggunakan Proposisi 2.2.

Contoh 2.6Digraph primitif dengan dua cycle

t

t t t

v1

v4

v3

v2

✲

❘

✒

✛ ✛

Dari representasi grafis pada Gambar 2.5 di atas diperoleh matriks adjacency

sebagai berikut A =



    

0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0



    

, dengan Proposisi 2.2 dapat dicari eksponen

verteks dari masing-masing verteks di D, yaitu dengan melihat entri matriks ak ij

dari Ak_{, dimana entri pada baris ke-}_i_{positif untuk suatu bilangan bulat} _k_.

a. Untuk k = 1 ; diperoleh A =



   

0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1



   

(30)

17

b. Untuk k = 2 ; diperoleh A =

     

0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0

     

, tidak ada baris yang seluruh

entrinya bernilai positif.

c. Untuk k = 3 ; diperoleh A =

     

1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1

     

d. Untuk k = 4 ; diperoleh A =

     

1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1

     

e. Untuk k = 5 ; diperoleh A =

     

0 1 2 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0

     

f. Untuk k = 6 ; diperoleh A =

     

1 0 1 2 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 1

     

g. Untukk= 7 ; diperoleh A=

     

2 1 1 1 1 1 1 0 0 1 2 1 1 0 1 2

     

, pada baris ke-1 seluruh entrinya

positif, maka exp(v1) = 7

h. Untukk = 8 ; diperolehA=

     

1 2 3 1 0 1 2 1 1 0 1 2 2 1 1 1

     

(31)

18

i. Untukk = 9 ; diperolehA=



    

1 1 3 3 1 0 1 2 2 1 1 1 1 2 3 1



    

j. Untukk = 10 ; diperolehA=



    

3 1 2 3 2 1 1 1 1 2 3 1 1 3 3 3



    

Karena ketiga verteks tersebut masing-masing telah memperoleh eksponen verteks, maka operasi selesai. Diperolehlah kesimpulan bahwa exp(v1) = 7, exp(v2) =

10, exp(v3) = 9, dan exp(v4) = 8.

2.2 Digraph Dwi-Warna

Suatu digraph dwi-warna D(2) _{(atau 2-}_digraph_{) adalah suatu digraph} _D _yang

setiap arcnya diwarnai merah atau biru tetapi tidak keduanya.

2.2.1 Definisi.

Suatu digraph dwi-warnaD(2)adalah suatu objek yang terdiri dari himpunanV = {v0, v1,· · · , vn} yang unsur-unsurnya disebut verteks dari D(2), bersama dengan

himpunan R ⊆ V ×V yang unsur-unsurnya disebut arc merah dan himpunan

B ⊆ V ×V yang unsur-unsurnya disebut arc biru dari D(2). Suatu arc merah (u, v) dinotasikan dengan u −→r v dan suatu arc biru (u, v) dinotasikan dengan

u−→b v.

Suatu digraph dwi-warna dapat direpresentasikan secara grafis dengan cara sebagai berikut:

(32)

19

3. Setiap arc biru direpresentasikan sebagai garis atau kurva berarah putus-putus.

Suatu (h, k)-walk dalam digraph dwi-warna D(2) _{adalah sebuah walk yang}

terdiri dariharc merah dan k arc biru. Untuk sebuah walk wdiD(2) _notasi _r₍_w₎

menyatakan banyak arc merah danb(w) menyatakan banyak arc biru. Panjang su-atu walkwadalah banyak arc merah dan arc biru yang membentuk walk tersebut, dinotasikan ℓ(w) =r(w) +b(w). Vektorhr(w)_b(w)i disebut komposisi dari w.

Suatu path adalah suatu walk dengan verteks berbeda kecuali mungkin verteks awal dan verteks akhir. Suatu cycle adalah suatu path tertutup. Berikut ini diberikan contoh representasi grafis 2-digraph.

Contoh 2.7 Himpunan verteks V = {1,2,3,4,5} bersama dengan himpunan arc merah R = {(1,2),(2,3),(2,5),(4,2),(4,3)} dan arc biru B = {(1,5),(5,4)} adalah suatu digraph dwi-warna dengan 5 verteks, 5 arc merah dan 2 arc biru. Rep-resentasi grafis dari digraph dwi-warna dari Contoh 2.2.1 adalah sebagai berikut:

t t

t

v5 v4

[image:32.612.246.393.457.573.2]

v3 v2 v1 ✲ ✒ ❅ ❅ ❅ ❅_❅ ❅ ❅❅❘ ✻ ✲ ✻ ✠

Gambar 2.6 : Sebuah 2-Digraph yang terdiri dari 5 verteks dan 7 arc

Dari Contoh 2.7 di atas dapat ditemukan beberapa walk, path, dan cycle, yaitu:

a. Walk v1 r

− →v2

r

− →v5

b

− →v4

r

− →v2

r

−

→v3 dengan komposisi "

4 1

#

b. Path v1 r

− →v2

r

− →v5

b

− →v4

r

−

3 1

#

(33)

20

c. Cycle v2 r

− →v5

b

− →v4

r

−

2 1

#

2.2.2 Matriks Adjacency Digraph Dwi-Warna.

Pada digraph dwi-warna D(2) _atas _n _{verteks, untuk menentukan (0}_,_1)-matriks

adalah sebagai berikut.

Matriksadjacency merah, R = [rij] pada D(2) adalah matriksn×n dengan

ri,j =       

1, jika terdapat arc merah

0, jika sebaliknya

Matriksadjacency biruB = [bij] pada D(2) adalah matriksn×n dengan

bi,j =       

1, jika terdapat arc biru

0, jika sebaliknya

Berikut ini akan diberikan sebuah digraph dwi-warna dan direpresentasikan ke dalam matriks adjacency-nya.

Contoh 2.8Dari Gambar 2.6 dapat kita peroleh matriks adjacency-nya yaitu:

R=         

0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0

        

adalah matriks adjacency merah ;

B =         

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0

        

adalah matriks adjacency biru.

(34)

21

dan B kali sebanyak k kali. Sebagai contoh, (R, B)(0,1) = B dan (R, B)(2,2) = R2B2+RBRB +RB2R+BRBR+BR2B +B2R2.

2.2.3 Digraph Dwi-Warna Primitif.

Suatu digraph dwi-warna D(2) dikatakan terhubung kuat strongly connectedjika untuk setiap pasangan verteksu danvdiD(2)terdapat walk dariukevdan seba-liknya, tanpa memperhitungkan komposisi yang ada. Berikut ini akan diberikan contoh digraph dwi-warna yang terhubung kuat dan yang tidak terhubung kuat.

[image:34.612.168.513.321.416.2]

Contoh 2.9Representasi dari digraph dwi-warna yang terhubung kuat dan tidak terhubung kuat t t t t t t v1 v6 v2 v5 v3 v4 ✒ ✲ ❅ ❅ ❅ ❅❅❘ ✠ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ■ _✛ t t t t t t v1 v6 v2 v5 v3 v4 ✒ ✲ ❅ ❅ ❅ ❅❅❘ ✠ ❅ ❅ ❅ ❅❅❘ ✛

Gambar 2.7 : (a) 2-Digraph terhubung kuat (b) 2-Digraph tidak terhubung kuat

Pada Gambar 2.7 ditunjukkan bahwa (a) adalah 2-digraph terhubung kuat karena terdapat walk dari satu verteks ke verteks lainnya. Sedangkan (b) adalah 2-digraph tidak terhubung kuat, karena tidak terdapat walk dariv6 kev1.

Sebuah digraph dwi-warna terhubung kuat D(2) dikatakan 2-primitif jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat tak negatifh dan k sehingga untuk setiap pasangan dua verteksu dan v di D(2) terdapat (h, k)T_{-walk dari} _u _ke _v _{dan dari}

v ke u. Andaikan D(2) adalah digraph dwi-warna terhubung kuat dan andaikan C={γ1, γ2, . . . , γt}merupakan himpunan semua cycle diD(2). Matriks cycleD(2)

adalah matriks berordo 2×t

M =

"

r(γ1) r(γ2) ... r(γt)

b(γ1) b(γ2) ... b(γt) #

dimana kolom ke-t dari M merupakan komposisi dari cycle γt dan 2 menyatakan

(35)

22

banyak warna yang di pakai. Suatu digraph dwi-warna D(2) dikatakan primitif jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari minor-minor 2×2 dari M adalah 1 (Fornasini dan Valcher, 1997).

2.2.4 Eksponen Digraph Dwi-Warna.

Pada bagian digraph warna primitif, dijelaskan bahwa suatu digraph dwi-warna D(2) terhubung kuat dikatakan 2-primitif jika dan hanya jika terdapat bi-langan bulat tak negatifhdanksedemikian hingga untuk setiap pasangan verteks

u dan v di D(2) terdapat (h, k)-walk dari u ke v dan sebaliknya. Bilangan bulat positif terkecil dari semuah+k dikatakan sebagai 2-eksponen digraph dwi-warna

D(2).

Lemma 2.3 Andaikan D(2) adalah sebuah digraph dwi-warna atas n verteks dan misalkan R dan B masing-masing adalah matriks adjacency merah dan biru dari digraph dwi-warna D(2). Maka elemen (i, j) dari (R, B)(h,k) _{adalah banyaknya}

(h, k)T_{-walk dari verteks} _v

i ke verteks vj.

Bukti. Akan dibuktikan dengan induksi pada (h+k) dan (h+k+ 1), jika h= 0 maka k = 1 atau jika h = 1 maka k = 0. jika h = 0 maka elemen (i, j) dari

(R, B)(0,1) ₌ _B _{adalah walk dengan komposisi} "

0 1

#

di digraph dwi-warna D(2).

Dengan cara yang sama, jika k = 0 maka (R, B)(1,0) ₌ _R _{adalah walk dengan}

elemen (i, j) menyatakan walk dengan komposisi

"

1 0

#

di digraph dwi-warna D(2)_.

Andaikan Lemma 2.3 benar untuk semua bilangan bulat tak negatif h′ dan

k′ dengan h′+k′ ≤ h+k akan diperlihatkan untukh+k+ 1 adalah benar dengan catatan sebagai berikut.

(R, B)(h+1,k) =R(R, B)(h,k)+B(R, B)(h+1,k−1)

(36)

23

diikuti oleh (h+ 1, k−1)-walk sedemikian hingga elemen (i, j) dari (R, B)(h+1,k) adalah jumlah (h+ 1, k)-walk dari vi ke vj. Jadi, elemen (i, j) dari (R, B)(h,k)

adalah jumlah (h, k)T_{-walk dari verteks} _v

i ke verteksvj.

Berikut ini diberikan representasi grafis 2-digraph yang selanjutnya akan di-cari eksponennya.

Contoh 2.10Digraph dwi-warna terhubung kuat di bawah ini adalah primitif.

[image:36.612.198.458.249.391.2]

t t t t v1 v2 v3 v4 ✡✡ ✡✡ ✡✡ ✡✡✡ ✡✡ ✡✡✡ ✣ ❏ ❏ ❏ ❏ ❏ ❏ ❏ ❏❏ ❏ ❏ ❏ ❏❏❫ ✛ ✲ ✛

Gambar 2.8 : Sebuah 2-Digraph yang terdiri dari 4 verteks dan 5 arc

Dari representasi grafis 2-digraph di atas, dapat dibuat dua buah matriks adjacency sebagi berikut

1. Matriks R =

     

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0

     

adalah matriks adjacency merah pada Gambar

2.8

2. MatriksB =

     

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0

     

adalah matriks adjacency biru pada Gambar 2.8

Dari Lemma 2.3, entri (i, j) dari (R, B)(h,k) _{adalah banyaknya (}_{h, k}_)-walk

(37)

24

1. Untuk h+k = 2, maka diperoleh ;

a. (R, B)(2,0)₌_R₍_{R, B}₎(1,0)₌      

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

     

b. (R, B)(0,2)=B(R, B)(0,1)=

     

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

     

c. (R, B)(1,1)₌_R₍_{R, B}₎(0,1)₊_B₍_{R, B}₎(1,0)₌      

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

     

[image:37.612.141.446.95.346.2]

Untukh+k = 2, maka bukan merupakan 2-eksponen dari 2-digraph pada Gambar 2.8 karena untuk setiap komposisi dari (R, B)(h,k) _{memuat (}_{h, k}

)-walk dengan panjang tidak sama dengan 2.

a. (R, B)(3,0)₌_R₍_{R, B}₎(2,0)₌      

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

     

b. (R, B)(0,3)₌_B₍_{R, B}₎(0,2)₌      

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

     

c. (R, B)(1,2)₌_R₍_{R, B}₎(0,2)₊_B₍_{R, B}₎(1,1)₌      

0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0

      

(38)

25

[image:38.612.137.444.232.738.2]

Untukh+k = 3, maka bukan merupakan 2-eksponen dari 2-digraph pada Gambar 2.8 karena untuk setiap komposisi dari (R, B)(h,k) _{memuat (}_{h, k}

)-walk dengan panjang tidak sama dengan 3.

Selanjutnya

a. (R, B)(10,0)₌_R₍_{R, B}₎(9,0)₌      

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

     

b. (R, B)(0,10)₌_B₍_{R, B}₎(0,9)₌      

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

     

c. (R, B)(9,1)₌_R₍_{R, B}₎(8,1)₊_B₍_{R, B}₎(9,0)₌      

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

     

d. (R, B)(1,9)₌_R₍_{R, B}₎(0,9)₊_B₍_{R, B}₎(1,8)₌      

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

     

e. (R, B)(8,2)₌_R₍_{R, B}₎(7,2)₊_B₍_{R, B}₎(8,1)₌      

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

     

f. (R, B)(2,8)₌_R₍_{R, B}₎(1,8)₊_B₍_{R, B}₎(2,7)₌      

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

     

(39)

26

g. (R, B)(6,4)₌_R₍_{R, B}₎(5,4)₊_B₍_{R, B}₎(6,3)₌ 

    

3 1 1 3 3 3 4 3 1 2 6 1 3 3 4 3



    

Karena untuk setiap pasangan verteks u dan v di 2-digraph D(2) terdapat walk dengan panjang 10 dengan 6 arc merah dan 4 arc biru, maka eksponen dari 2-digraph D(2) adalah 10.

2.2.5 Eksponen Verteks Digraph Dwi-Warna Primitif.

MisalkanD(2)adalah sebuah digraph primitif dwi-warna dengan himpunan verteks

V(D(2)) = (v1, v2,· · · , vn). Untuk suatuvk ∈V(D(2)) danX ⊆V(D(2)),eksponen

verteks expD(2)(vk) adalah bilangan bulat positif terkecil m1 +m2 sedemikian

hingga terdapat (m1, m2)-walk dari vk ke setiap verteks di D(2), dan eksponen

himpunanexpD(2)(X) adalah bilangan bulat positif terkecilp₁+p₂sehingga untuk setiap verteks vj di D(2) terdapat sebuah (p1, p2)-walk dari paling sedikit satu

verteks diX ke vj.

MisalkanD(2)adalah digraph primitif dwi-warna dengan orden. Jika verteks-verteks diD(2) adalah (v1, v2,· · · , vn) sedemikian hingga

expD(2)(v₁)≤exp_D(2)(v₂)≤ · · · ≤exp_D(2)(vn)

maka expD(2)(v_k) adalah tipe pertama eksponen ke-kdariDyang digeneralisasikan.

(40)

27

Contoh 2.11Diberikan 2-digraph di bawah ini

s v1

s v2

sv3

[image:40.612.239.392.119.213.2]

✲ ✒ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅_❅ ❅ ❅ ❅_❅_❘ ✛

Gambar 2.9 : Sebuah 2-Digraph dengan 3 verteks dan 4 arc

Contoh 2.12Dari gambar 2.9 tersebut dapat kita peroleh matriks adjacency-nya yaitu: R=    

0 1 1 0 0 1 0 0 0



  

adalah matriks adjacency merah;

B =



  

0 0 0 0 0 0 1 0 0



  

adalah matriks adjacency biru.

Selanjutnya dari Contoh 2.12 di atas dapat dicari eksponen verteks dari masing-masing verteks di D(2)_{, yaitu dengan melihat penjumlahan} _h _{arc merah}

dank arc biru pada matriks (R, B)(h,k) _{dimana entri pada baris ke-}_i_{positif untuk}

suatu bilangan bulat tak negatif terkecilh dan k.

a. untukh+k = 1

1. (R, B)(1,0) ₌ _R ₌ 

  

0 1 1 0 0 1 0 0 0



  

, tidak ada baris yang seluruh entrinya

bernilai positif.

2. (R, B)(0,1) ₌ _B ₌ 

  

0 0 0 0 0 0 1 0 0



  

bernilai positif.

(41)

28

1. (R, B)(2,0) ₌ _R2 ₌ 

  

0 0 1 0 0 0 0 0 0



  

bernilai positif.

2. (R, B)(0,2) ₌ _B2 ₌ 

  

0 0 0 0 0 0 0 0 0



  

bernilai positif.

3. (R, B)(1,1) ₌ _RB ₊ _BR ₌ 

  

1 0 0 1 0 0 0 1 1



  

c. untukh+k = 3

1. (R, B)(3,0) ₌ _R3 ₌ 

  

0 0 0 0 0 0 0 0 0



  

bernilai positif.

2. (R, B)(0,3) ₌ _B3 ₌ 

  

0 0 0 0 0 0 0 0 0



  

bernilai positif.

3. (R, B)(2,1)₌_R₍_{R, B}₎(1,1)₊_B₍_{R, B}₎(2,0)₌ 

  

1 1 1 0 1 1 0 0 1



  

, pada baris ke-1,

seluruh entrinya bernilai positif. Maka expD(2)(v₁) = 3 dengan

kompo-sisi walknya adalah

"

2 1

#

.

4. (R, B)(1,2) ₌ _R₍_{R, B}₎(0,2)₊_B₍_{R, B}₎(1,1) ₌ 

  

0 0 0 0 0 0 1 0 0



  

, tidak ada baris

yang seluruh entrinya bernilai positif.

d. untuk h+k = 4



(42)

29

2. (R, B)(0,4) ₌ _B4 ₌ 

  

0 0 0 0 0 0 0 0 0



  

bernilai positif.

3. (R, B)(3,1) ₌ _R₍_{R, B}₎(2,1)₊_B₍_{R, B}₎(3,0) ₌ 

  

0 1 2 0 0 1 0 0 0



  

, tidak ada baris

4. (R, B)(2,2)₌_R₍_{R, B}₎(1,2)₊_B₍_{R, B}₎(2,1)₌ 

  

1 0 0 1 0 0 1 1 1



  

, pada baris ke-3,

seluruh entrinya bernilai positif. Maka expD(2)(v₃) = 4 dengan

kompo-sisi walknya adalah

"

2 2

#

.

5. (R, B)(1,3) ₌ _R₍_{R, B}₎(0,3)₊_B₍_{R, B}₎(1,2) ₌ 

  

0 0 0 0 0 0 0 0 0



  

, tidak ada baris

d. untuk h+k = 5

1. (R, B)(5,0) ₌ _R5 ₌ 

  

0 0 0 0 0 0 0 0 0



  

bernilai positif.

2. (R, B)(4,1) ₌ _R₍_{R, B}₎(3,1)₊_B₍_{R, B}₎(4,0) ₌ 

  

0 0 1 0 0 0 0 0 0



  

, tidak ada baris

3. (R, B)(3,2) ₌ _R₍_{R, B}₎(2,2) ₊_B₍_{R, B}₎(3,1) ₌ 

  

2 1 1 1 1 1 0 1 2



  

, pada baris 1

dan 2, seluruh entrinya bernilai positif. Maka expD(2)(v₁) = 5 dengan

komposisi walknya adalah

"

3 2

#

.

Dari operasi di atas diperoleh kesimpulan bahwa expD(2)(v₁) = 5, exp_D(2)(v₂) = 4, dan expD(2)(v₃) = 3.

(43)

30

2.2.6 Batas Eksponen Verteks.

Pada bagian ini akan dijelaskan cara membentuk batas atas dan batas bawah eksponen verteks dari digraph dwi-warna primitif.

Proposisi 2.4 JikaD(2) adalah digraph dwi-warna primitif danvk adalah verteks

di D(2). Jika untuk beberapa bilangan bulat tak negatif s dan t dan beberapa path Pk,i dari vk ke vi, i= 1,2,· · · , n sistem persamaan

Mx+

"

r(Pk,i)

b(Pk,i) #

=

"

s t

#

memiliki solusi bilangan bulat tak negatif, sehingga γD(2)(v_k)≤s+t.

Bukti : JikaM adalah sebuah matriks cycle 2×tdiD(2)_{. Untuk setiap verteks}_v i,

i= 1,2,· · · , ndiD(2)_{diklaim bahwa terdapat (}_{s, t}_{)-walk dari}_v

k kevi. Karenax=

(x1, x2,· · ·, xt)t adalah vektor bilangan bulat tak negatif, walk yang berawal dari

vk, menuju vi melalui path pk,i dan mengelilingi cycleγj sebanyak xj kali untuk

j = 1,2,· · · , t adalah sebuah (s, t)-walk dari vk ke vi. Oleh definisi eksponen

verteks kita peroleh bahwa γ_D(2)(vk)≤s+t.

Proposisi 2.5 Andaikan D(2) adalah 2-digraph primitif atas n verteks, dan jika v adalah verteks di D(2) dengan eksponen γD(2). Untuk sembarang verteks vk,

k= 1,2,· · · , n di D(2) diperoleh bahwaγD(2)(vk)≤γD(2)(v) +d(vk, v).

Bukti : Andaikanpk,v adalah (r(pk,v), b(pk,v))-path dari vk kev dengan panjang

d(vk, v). Karena eksponen verteks v adalah γD(2)(v), terdapat (s, t)-walk dengan panjang γD(2)(v) = s+t dari v ke setiap verteksv_j, j = 1,2,· · · , n. Ini menun-jukkan bahwa untuk setiap verteks vk di D(2) terdapat sebuah (s +r(pk,v), t +

b(pk,v))-walk dari verteks vk ke setiap verteks vj, j = 1,2,· · · , n, dikatakan

(44)

31

Lemma 2.6 Andaikan D(2) adalah sebuah 2-digraph primitif terdiri atas 2 cy-cle dengan matriks cycy-cle M =

"

r(γ1) r(γ2)

b(γ1) b(γ2) #

. Andaikan vk adalah sembarang

verteks di D(2) _{dan misalkan terdapat sebuah} ₍_{s, t}₎_{-walk dari} _v

k ke setiap verteks

vi di D(2)dengan M = " s t # =M " u v #

untuk bilangan bulat tak negatif u dan v,

maka

"

u v

#

≥M−1

"

r(pki)

b(pki) #

untuk beberapa path pki dari vk ke vi.

Bukti : Andaikan pki adalah path dari vk ke vi. Karena setiap walk dapat

didekomposisikan ke dalam bentuk cycle dan path, diperoleh

"

s t

#

=Mx+

"

r(pki)

b(pki) #

untuk beberapa bilangan bulat tak negatif vektorx. KarenaD(2)adalah primitif, maka M adalah matriks yang dapat diinverskan. Mengingat bahwa

" s t # =M " u v # , diperoleh x= " u v #

−M−1

"

r(pki)

b(pki) # = " u v # − "

b(γ2)r(pki)−r(γ2)r(pki)

r(γ1)b(pki)−b(γ1)r(pki) #

≥0

Oleh karena itu Lemma memenuhi.

Akibat 2.7 Andaikan D(2) _{adalah digraph dwi-warna dengan dua cycle} _γ 1 dan

γ2. Andaikan vk di D(2) dan andaikan pk,i dan pk,j adalah path dari vk ke vi dan

path darivk ke vj dengan i6=j. Jika u0 =b(γ2)r(pk,i)−r(γ2)b(pk,i)≥0 danv0 =

r(γ1)b(pk,j)−b(γ1)r(pk,j)≥0, makaγD(2)(vk)≥(r(γ1)+b(γ1))u0+(r(γ2)+b(γ2))v0.

Bukti : Diasumsikan bahwa eksponen vk dapat diperoleh dengan sebuah (s, t

)-walk. Karena " s t # =M " u v #

untuk beberapa bilangan bulat tak negatif u dan

v. Oleh Lemma 3.3 diperoleh

" u v # ≥ "

b(γ2)r(pki)−r(γ2)r(pki)

r(γ1)b(pki)−b(γ1)r(pki) #

(45)

32

untuk sembarang path pk,i dari verteks vk ke verteks vi, i = 1,2,· · · , n. Oleh

karena itu " s t # =M " u v # ≥M " u0 v0 #

Ini menunjukkan bahwaγD(2)(v_k)≥(r(γ₁)+b(γ₁))u₀+(r(γ₂)+b(γ₂))v₀ =ℓ(γ₁)u₀+

ℓ(γ2)v0.

2.2.7 Digraph Dwi-Warna Dengan Dua Cycle Bersinggungan. AndaikanD(2) _{adalah 2-digraph atas}_n_verteks_v

1, v2,· · · , vnyang terdiri dari dua

cycle yaitu γ1 : v1 → vn → vn−2 → · · · → v2 → v1 dengan ℓ(γ1) = n+ 2

2 dan γ2 : v1 → vn−1 → vn−3 → · · · → v3 → v1 dengan ℓ(γ2) =

n

2. Digraph dwi-warna D(2) _{dikatakan primitif jika dan hanya jika}

M(D(2)) =

"

r(γ1) r(γ2)

b(γ1) b(γ2) #

=

"_n

2 n−2

2

1 1

#

Deni Ramadani(2009) memberikan batas untuk eksponen digraph dwi-warnaD(2), yaitu 1

2(n

2₊_n₎_≤_exp(_D(2)₎_≤ 1

2(2n

2₊_n₋_{2). Pada penelitiannya Deni Ramadani}

menyimpulkan bahwaD(2)memiliki eksponen tepat 1 2(2n

2₊_n₋_{2) jika dan hanya}

jikaD(2) memuat path merah dengan panjangn−1 dan path biru dengan panjang 2. Jika v1 adalah verteks persekutuan antara γ1 dan γ2, maka path biru yang

dimaksud adalah v3 →v1 →vn.

Berikut ini merupakan representasi grafis dari 2-digraph atas n verteks de-ngan expD(2) =

1 2(2n

2₊_n₋₂₎

Contoh 2.13Digraph dwi-warna dengan dua cycle yang bersinggungan

r r r ❆❑ ❆❆❑ t v4 _✲

t v6 ✁

✁✁ ✁✁ ✁✁✁✕ t v2 ❆ ❆ ❆ ❆❆ ❆ ❆❆❯ t v1 ✁✁ ✁✁✁ ✁✁✁✕ ✁✁ ✁✁☛ ✁✁ ❆❆❑ ❆❆ ❆❆ t vn−1 ✲

t vn−3

❄

r r r

[image:45.612.203.425.617.732.2]

(46)

BAB 3

EKSPONEN VERTEKS 2-DIGRAPH DENGAN DUA CYCLE YANG BERSINGGUNGAN

Pada bab ini akan diperlihatkan hasil utama dari penelitian ini. Adapun hasil utama dari tulisan ini yaitu pola eksponen verteks dari 2-digraph dengan dua cycle yang bersinggungan.

Andaikan D(2) adalah 2-digraph primitif atas n verteks v1, v2,· · · , vn yang

terdiri dari dua cycle yaitu γ1 : v1 → vn → vn−2 → · · · → v2 → v1 dengan

ℓ(γ1) =

n+ 2

2 dan γ2 : v1 → vn−1 → vn−3 → · · · → v3 → v1 dengan ℓ(γ2) = n 2. Karena D(2) _{primitif, maka matriks cycle}_D(2) _{mempunyai bentuk}

M(D(2)) =

"

r(γ1) r(γ2)

b(γ1) b(γ2) #

=

"_n

2 n−2

2

1 1

#

Teorema 3.1 AndaikanD(2) _{adalah 2-digraph primitif atas}_n _{verteks dengan}

eks-ponen 1

2(2n

2 ₊_n ₋ ₂₎_. _Jika _v

k, k = 1,2,· · · , n adalah verteks di D(2) maka

γ_D(2)(vk) =

n2−2 2 +⌊

k 2⌋.

Bukti : Pembuktian dilakukan dengan cara memperlihatkan batas bawah terlebih dahulu, yaitu akan ditunjukkan dengan menggunakan Akibat 2.7. Oleh karena itu adalah perlu didefinisikan terlebih dahulu nilai u0 dan v0. Nilai u0 dan v0 dapat

diperoleh dari path tunggal yang menghubungkan vk dengan vn dan path yang

menghubungkan vk dengan v3. Pembuktian dibagi ke dalam dua kasus, yaitu

kasus saat k ganjil dan saat k genap.

a. Kasus 1Untuk kasuskganjil, akan diperlihatkan bahwaγ_D(2)(vk)≥ n

2

−3+k

2 .

Kasus ini dibagi menjadi dua subkasus, yaitu ketikak = 1 dank = 2m−1, m= 2,3,· · · ,n

2.

(47)

34

(i) Untukk = 1 akan diperlihatkan γ_D(2)(v₁)≥ n 2

−2

2 . Mengingat terdapat

(n−2

2 ,0)-path dari v1 ke v3, diperoleh u0 =b(γ2)r(p1,3)−r(γ2)b(p1,3) =

(1)(n−2

2 )−( n−2

2 )(0) = n−2

2 , dan terdapat (0,1)-path dari v1 kevn,

dipe-rolehv0 =r(γ1)b(p1,n)−b(γ1)r(p1,n) = (n₂)(1)−(1)(0) = n₂. Oleh Akibat

2.7 diperoleh " s t # ≥ " _n 2 n−2

2

1 1

# " _n

−2 2 n 2 # =

" _n2

−2n

2

n−1

#

Oleh karena ituγD(2)(v₁)≥ n 2

−2

2 .

(ii) Untukk = 2m−1, m = 2,3,· · · ,n

2. Mengingat terdapat ( k−3

2 ,0)-path

dari vk ke v3, diperoleh u0 = b(γ2)r(pk,3)−r(γ2)b(pk,3) = (1)(k−₂3)−

(n−2

2 )(0) = k−3

2 , dan terdapat ( k−3

2 ,2)-path dari vk ke vn, diperoleh

v0 = 2n−₂k+3. Oleh Akibat 2.7 diperoleh

" s t # ≥ " _n 2 n−2

2

1 1

# " _k

−3

2 2n+3−k

2 #

=

" _n2

−2n+k−3

2

n

#

Oleh karena ituγD(2)(v_k)≥ n 2

−3+k

2 .

b. Kasus 2Untukk = 2m,m = 1,2,· · · ,n₂ akan diperlihatkan bahwaγD(2)(v_k)≥

n2−2+k

2 . Mengingat terdapat ( k

2,1)-path darivk kevn, diperolehv0 =r(γ1)(pk,n)−

b(γ1)r(pk,n) = (n₂)(1)−(1)(_nk) = n−₂k, dan terdapat (n−2+k₂ ,0)-path darivk ke

v3, diperoleh u0 =b(γ2)r(pk,3)−r(γ1)b(pk,3) = (1)(n−2+k₂ )−(n₂)(0) = n−2+k₂ .

Oleh Akibat 2.7 diperoleh

" s t # ≥ " _n 2 n−2

2

1 1

# " _n

−2+k

2 n−k

2 #

=

" _n2

−2n+k

2

n−1

#

Oleh karena ituγ_D(2)(vk)≥ n

2

−2+k

2 .

Selanjutnya pembuktian dilakukan dengan memperlihatkanγ_D(2)(vk)≤ n

2

−2

2 +⌊

k 2⌋.

Hal ini dapat dilakukan dengan memperlihatkan bahwaγ (v ) = n2 ₂

(48)

35

dari γ_D(2)(v₁). Untuk setiap i = 1,2,· · · , n, jika P_1,k adalah path dari v₁ ke vk.

Persamaan

Mx+

"

r(p1,k)

b(p1,k) #

=

" _n2

−2n

2

n−1

#

memiliki solusi

x=

"

x1

x2 #

=

" _n

−2

2 +

n−2

2 b(P1,k)−r(P1,k) n

2 − n

2b(P1,k) +r(P1,k) #

Ketikab(p1,k) = 0, terdapat path dari v1 kevk denganr(p1,k)≤0. Oleh karena itu

x1 ≥ 0. Ketika b(p1,k) = 1 maka semua path dari v1 ke vk memenuhir(p1,k)≥ 0.

Ini menunjukkan bahwa x2 ≥ 0. Oleh karena itu persamaan ini memiliki solusi

bilangan bulat tak negatif. Oleh Proposisi 2.5 terdapat n2−2n

2 , n−1

-walk dari

v1 ke vk, k= 1,2,· · · , n. Oleh karena ituγD(2)(v1)≤ n

2

−2

2 . Dengan menggunakan

batas bawah γ_D(2)(v1) disimpulkan bahwa γD(2)(v1) = n

2

−2

2

Karena untuk setiapk = 2m−1,m= 2,3,· · · ,n

2 terdapat sebuah n−2

2 , 1

-walk dengan panjang n

2 darivk kev1, maka oleh Proposisi 2.5 diperolehγD(2)(vk)≤ n2−3+k

2 .

Untuk setiap k = 2m, m = 1,2,· · · ,n₂ terdapat sebuah (k

2, 0)-walk dengan

panjang k

2 dari vk kev1, maka oleh Proposisi 2.5 diperoleh γD(2)(v_k)≤ n 2

−2n+k

2 .

(49)

BAB 4

KESIMPULAN DAN RISET LANJUTAN

Pada bab ini akan diberikan kesimpulan yang diperoleh dari hasil penelitian pada bab sebelumnya. Selanjutnya akan diberikan saran untuk penelitian lebih lanjut.

4.1 Kesimpulan

DiberikanD(2)adalah 2-digraph primitif atasnverteksv1, v2,· · ·, vndengann ≥4

dan n genap terdiri dari dua cycle, yaitu γ1 :v1 →vn−2 → · · · → v2 →v1 dengan

ℓ(γ1) =

n+ 2

2 dan γ2 : v1 → vn−1 → vn−3 → · · ·v3 → v1 dengan ℓ(γ2) = n 2 serta komposisi matriks cyclenya adalah

M =

"_n

2 n−2

2

1 1

#

Pewarnaan dilakukan dengan memberi warna biru pada path v3→v1 →vn,

sedangkan arc lainnya diberi warna merah.

Dengan pewarnaan tersebut, diperoleh bahwa eksponen verteks dari digraph dwi-warna D(2) _adalah

expD(2)(vk) =

n2−2 2 +⌊

(50)

37

4.2 Riset Lanjutan

Penelitian ini telah memberikan pola eksponen verteks dari suatu digraph dwi-warna dengan dua cycle bersinggungan yang eksponennya 1

2(2n

2₊_n₋_2).

Dibu-tuhkan penelitian lebih lanjut untuk menentukan pola eksponen verteks dari suatu digraph dwi-warna dengan dua cycle bersinggungan.

(51)

38

DAFTAR PUSTAKA

Brualdi, R. A dan Ryser, H. J. 1991. Combinatorial Matrix Theory. Cam-bridge: Cambridge University Press.

Fornasini, E. dan Valcher, M. E. (1997). Directed graphs, 2D State Models, and characteristic polinomials of irreducible matrix pairs. Linear Al-gebra Appl., 263, 275-310.

Gao, Y dan Shao, Y. 2009. Generelized exponent of primitive two-colored digraph. Linear Algebra Appl, 430, 1550-1565.

Horn, R. A dan Johnson, C. R. 1985.Matrix Analysis. Cambridge: Cambridge University Press.

Liu, B. 1993. Generalized Exponents of Primitive Simple Graphs. Linear Al-gebra Appl..9(1): hal. 37-43.

Ramadani, D. 2009. Eksponen Digraph Dwi-Warna dengan Dua Cycle yang Bersinggungan. Skripsi. Medan : Universitas Sumatera Utara.

Shader, B. L. dan Suwilo, S. 2003. Exponents of nonnegative matrix pairs.Linear Algebra Appl., 363, 275-293.

Shao, J. 1987. The exponent set of symmetric primitive matrices, Scientia sinica Ser. A XXX. 4: hal. 348-358.

Suwilo, S. 2008. 2-Eksponen of Two-Coloured Lollipop.Linear Algebra Appl.. 21(1): hal. 11 - 12

Suwilo, S.2009.Notes on Exponent of Asymmetric Two-Coloured Digraph. J.Combin.Math.Combin.Comput.71