OPTIMASI BICRITERIA LINEAR PROGRAMMING DENGAN KENDALA FUZZY TRIANGULAR
SKRIPSI
LINTANG GILANG PRATAMA 090803050
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
OPTIMASI BICRITERIA LINEAR PROGRAMMING DENGAN KENDALA FUZZY TRIANGULAR
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
LINTANG GILANG PRATAMA 090803050
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERSETUJUAN
Judul : Optimasi Bicriteria Linear Programming Dengan
Kendala Fuzzy Triangular
Kategori : Skripsi
Nama : Lintang Gilang Pratama
Nomor Induk Mahasiswa : 090803050
Program Studi : Sarjana (S1) Matematika
Departemen : Matematika
Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Disetujui di
Medan, Januari 2014
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2, Pembimbing 1,
Dr. Esther S. M. Nababan, M.Sc Drs. Sawaluddin, M.IT
NIP. 19610318 198711 2 001 NIP. 19591231 199802 1001
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Drs. Tulus, Vordipl.Math., M.Si. Ph.D
PERNYATAAN
OPTIMASI BICRITERIA LINEAR PROGRAMMING DENGAN KENDALA FUZZY TRIANGULAR
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri. Kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya
Medan, Januari 2014
LINTANG GILANG PRATAMA
PENGHARGAAN
Puji dan Syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT Yang Maha Esa, karena dengan limpah karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul Optimasi
Bicriteria Linear Programming Dengan Kendala Fuzzy Triangular.
Dalam Kesempatan ini, Penulis ingi mengucapkan terima kasih sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah membantu
1. Drs. Sawaluddin, M.IT selaku pembimbing I dan kepada Dr. Esther S. M. Nababan, M.Sc selaku Pembimbing II yang telah memberikan banyak bimbingan dalam penyempurnaan Tugas Akhir ini
2. Drs. Marihat Situmorang, M.Kom dan Syahriol Sitorus, S.Si, M.IT selaku komisi penguji atas masukan dan saran yang telah diberikan dalam penyempurnaan Tugas Akhir ini
3. Semua Dosen dan Pegawai Departemen Matematika FMIPA USU
4. Ayahanda Subakti Sugeng dan Ibunda Mariati yang telah banyak membatu atas doa, dukungan moril dan materi yang diberikan selama ini
5. Saudara Kandung Dimas dan Agung
6. Rekan kuliah Efendi, Dhani, Ryan, DCCM dan teman-teman seperjuangan dijurusan matematika 2009 atas kebersamaan selama ini
7. Serta Semua Pihak yang tidak dapat ditulis satu persatu
OPTIMASI BICRITERIA LINEAR PROGRAMMING DENGAN KENDALA FUZZY TRIANGULAR
ABSTRAK
Tugas akhir ini bertujuan membuat suatu langkah-langkah penyelesaian Bicriteria Linear Programming jika diketahui kendala nya merupakan suatu bilangan fuzzy triangular. Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah men-defuzzyfikasi-kan persoalan fuzzy bicriteria linear programming dengan aturan-aturan pada himpunan fuzzy dan operasi bilangan fuzzy. Menyelesaikan sub-problem dari fuzzy bicriteria linear programming dengan
Parametric Simplex Algorithm dimana setiap kendala telah menjadi bilangan tegas dan hasil efisien (optimum) yang didapat berupa nilai best efficient dan worst efficient.
OPTIMIZATION BICRITERIA LINEAR PROGRAMMING CONSTRAINT FUZZY TRIANGULAR
ABSTRACT
This final project is to make a algorithm Bicriteria Linear Programming with constraint is
triangular fuzzy number. The method used in this research is download-right defuzzyfication
bicriteria linear programming problems with fuzzy rules in fuzzy sets and fuzzy number
operations. Resolving sub-bicriteria problem of fuzzy linear programming with Parametric
Simplex Algorithm in which every constraint has become a firm number and efficient
DAFTAR ISI
2.1 Bicriteria Linear Progamming (BLP) 4
2.2 Bilangan Interval 6
2.3 Inteval Linear Programming Dengan Kendala (≤) 7
2.4 Teori Himpunan Fuzzy 9
2.5 Bilangan Fuzzy 10
2.6 Operasi Aritmatika Pada Bilangan Fuzzy 10
2.7 Bilangan Fuzzy Triangular 11
Bab 3. Pembahasan
3.2 Langkah Optimasi BLP dengan kendala Fuzzy Triangular 15
3.3 Contoh Kasus 16
Bab 4. Kesimpulan Dan Saran
4.1 Kesimpulan 31
4.3 Saran 31
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1 Daerah Feasible Terkecil dan Daerah Feasible Terbesar 7
Gambar 2.2 Fuzzy Triangualar 11
Gambar 3.1 Best Efficient dan Worst Efficient (�2) 29
OPTIMASI BICRITERIA LINEAR PROGRAMMING DENGAN KENDALA FUZZY TRIANGULAR
ABSTRAK
Tugas akhir ini bertujuan membuat suatu langkah-langkah penyelesaian Bicriteria Linear Programming jika diketahui kendala nya merupakan suatu bilangan fuzzy triangular. Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah men-defuzzyfikasi-kan persoalan fuzzy bicriteria linear programming dengan aturan-aturan pada himpunan fuzzy dan operasi bilangan fuzzy. Menyelesaikan sub-problem dari fuzzy bicriteria linear programming dengan
Parametric Simplex Algorithm dimana setiap kendala telah menjadi bilangan tegas dan hasil efisien (optimum) yang didapat berupa nilai best efficient dan worst efficient.
OPTIMIZATION BICRITERIA LINEAR PROGRAMMING CONSTRAINT FUZZY TRIANGULAR
ABSTRACT
This final project is to make a algorithm Bicriteria Linear Programming with constraint is
triangular fuzzy number. The method used in this research is download-right defuzzyfication
bicriteria linear programming problems with fuzzy rules in fuzzy sets and fuzzy number
operations. Resolving sub-bicriteria problem of fuzzy linear programming with Parametric
Simplex Algorithm in which every constraint has become a firm number and efficient
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 LATAR BELAKANG
Pengambilan keputusan dalam dunia industri merupakan hal yang sangat penting. Program Linier (linear programmnig) merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk membantu dalam pengambilan keputusan. Secara umum program linier adalah suatu alat pengalokasikan sumber daya yang seperti, tenaga kerja, bahan baku, jam kerja mesin, dan modal dengan sebaik mungkin sehingga diperoleh maksimasi yang dapat berupa maksimum keuntungan biaya atau minimasi yang dapat berupa minimum biaya dengan fungsi tujuan dan kendala yang diketahui (P Siagian, 2006).
Program linier klasik pertama kali diperkenalkan George Dantzig yang pada awalnya banyak dipakai pada bidang perencanaan militer, khususnya dalam perang dunia II oleh angkatan bersenjata Amerika Serikat dan Inggris Metode pengerjaan program linier umumnya mengunakan metode grafik dan metode simplex.
Dalam pengambilan suatu keputusan, permasalahan dalam dunia nyata memiliki lebih dari satu tujuan (multi objective). Hal ini menandakan bahwa program linier standar yang hanya mengoptimalkan satu tujuan atau satu kriteria (single criteria) tidak selalu efektif dalam pengambilan suatu keputusan.
Susilo (2006) mengemukakan bahwa jika suatu bilangan dapat lebih besar atau lebih kecil, maka hal ini disebut fuzzy triangular. Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan segitiga (triangular) jika mempunyai tiga parameter, yaitu
, , ∈ ℝ dengan < < .
Allahdadi dan Mishmat (2011) mengemukakan bahwa fungsi tujuan dan kendala pada program linier sering kali tidak dapat dinyatakan dengan formula yang tegas. Oleh karena itu, program linier tegas dikembangkan pula menjadi program linier interval (interval linier programming).
Berdasarkan uraian diatas, dalam tulisan ini akan dibahas tentang permasalahan cara optimisasi dari bicriteria linear programming dimana kendala nya merupakan bilangan fuzzy triangular. Dengan alasan tersebut tugas akhir ini diberi judul “OPTIMASI BICRITERIA LINEAR PROGRAMMING DENGAN KENDALA FUZZY TRIANGULAR”
1.2 PERUMUSAN MASALAH
Permasalahan yang akan dibahas dalam tugas akhir ini adalah penyelesaikan suatu optimisasi dari bicriteria linear programming jika kendalanya diketahui merupakan bilangan fuzzy triangular.
Bentuk umum dari Bicriteria linear programming adalah :
Minimum �
Kendala ��= ; � .
Jika diketahui kendalanya merupakan bilangan fuzzy maka bentuk umum BLP menjadi
Minimum �
1.3 BATASAN MASALAH
Batasan masalah yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah
1. Kasus optimasi bicriteria linear programming dengan pertidaksamaan kendala ( )
2. Kendala pada bicriteria linear programming merupakan bilangan fuzzy triangular.
1.4 TUJUAN PENELITIAN
Tujuan penelitian ini adalah membuat suatu langkah-langkah penyelesaian bicriteria linear programming dimana kendalanya yang merupakan bilangan fuzzy triangular.
1.5 KONTRIBUSI PENELITIAN
Menjadi rujukan dalam masalah optimisasi fuzzybicriteria linear programming.
1.6 METODOLOGI PENELITIAN
Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini sebagai berikut:
1. Men-defuzzyfikasi-kan persoalan fuzzy bicriteria linear programming dengan aturan-aturan pada himpunan fuzzy dan operasi bilangan fuzzy.
2. Menyelesaikan sub-problem dari bicriteria linear programming dengan Parametric Simplex Algorithm dimana setiap kendala telah menjadi bilangan tegas yang telah di-defuzzyfikasi-kan.
� ≔ � �+ ( − �) �
Minimum � �
Kendala ��= ; �
� adalah parameter yang bernilai 0 � 1 dan � � adalah fungsi tujuan parameter.
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1. Bicriteria Linear Programming (BLP)
Pesoalan optimisasi dengan beberapa fungsi tujuan memperhitungkan beberapa tujuan yang konflik secara simultan, secara umum Multi objective programming (MOP) memiliki bentuk umum sebagai berikut.
Minimum � � = � � ,� � ,…,�� � (2.1)
Kendala � ∈ �
dimana � ⊆ ℝ adalah himpunan layak (feasible set) dan � , = 1,2,…,� adalah fungsi bernilai riil. Persamaan (2.1) disebut multiple objective linear programming (MOLP)
Minimum � � = �� , ∀ = , ,…,� (2.2) Kendala �= {� ∈ ℝ�: �� ,� }
Dimana = 1, 2,…, � ∈ ℝ , � adalah matriks × dan = 1, 2,… ∈ ℝ , � � disebut objective space dan � disebut decision space.
Persoalan optimasi satu tujuan seperti linear programming biasaya memiliki satu penyelesaian yang disebut dengan solusi optimal. Sebaliknya persoalan optimasi kasus MOP meiliki semua penyelesaian layak (feasible solution) yang disebut dengan solusi efisien dan solusi efisien lemah.
Definisi (Solusi efisien) Solusi layak dari � ∈ � dikatakan efisien atau pareto optimal jika dan hanya jika tidak terdapat titik lain � ∈ � sehingga � (� )
Bicreteria linear programming (BLP) merupakan kasus khusus dari persamaan (2.1) dengan �= 2 yang dapat ditulis bentuk umum nya sebagai berikut
Minimum �
Kendala �= {� ∈ ℝ�: �� ,� }
dimana merupakan matriks 2 ×
Ehrgott (2005) mengemukakan solusi efisien dari BLP akan sama dengan penyelesaian optimum linear programming parametic yang memiliki bentuk umum :
� ≔ � �+ ( − �) � (2.3)
Minimum � �
Kendala ��= ; �
� adalah parameter yang bernilai 0 � 1 dan � � adalah fungsi tujuan parameter. Langkah-langkah Parametric Simplex Algorithm pada Bicriteria Linear Programming yaitu :
1. Memodelkan data �, , pada Bicriteria Linear Programming
2. Menambah slack variabel pada persamaan Bicriteria Linear Programming
3. Membuat tabel simplex, dimulai dengan �= 1
4. Mendefinisikan basis yang akan keluar (ℬ)
5. Mendefinisikan variabel yang akan masuk (�)
Dimana �= ∈ ℕ ∶ 2 < 0 , 1 0 ≠ ∅
Jika � =∅ STOP, maka penyelesaian telah efisien
9. Kembali ke tahap 5 jika hasil belum merupakan solusi efisien
2.2 Bilangan Interval
Moore (2009) Mengemukakan interval tertutup (untuk seterusnya disebut interval) dinotasikan dengan [ , ] memiliki notasi
, = {� ∈ ℝ: � }
Definisi (Degenerate Interval) Moore (2009) Andaikan �= [�,�] dan �= � maka � merupakan suatu bilangan riil � atau merupakan interval �= [�,�]
Definisi (Operasi Aritmatika dari Interval) Andaikan �= , , = , , = [ , ] dan andaikan * dinotasikan sebagai operasi aritmatika + , − , × , ÷ pada interval. Maka *
operasi dari interval dinotasikan.
� ∗
Sehingga
Operasi Penjumlahan � + = [ + , + ]
Operasi Pengurangan � − = [ − , − ]
Operasi Perkalian � × = min , , , , max , , ,
Operasi Perkalian skalar .� = ,
Operasi Pembagi ÷ =
,
× 1 , 1Sifat komutatif �+ = +� ; �× = ×�
2.3 Interval Linear Programming Dengan kendala ( )
Allahdadi dan Mishmat (2011) mengemukakan pada kendala linear programming
yang memiliki tanda ketidaksamaan lebih kecil sama dengan ( ) memiliki daerah feasible terbesar dan daerah feasible terkecil dinyatakan dalam notasi matematika
Teorema 1 Andaiakan jika terdapat suatu pertidaksamaan interval �= � ,
maka �= � merupakan daerah feasible terbesar dan �= � Merupakan
daerah feasible terkecil.
Bukti
Andaikan �= � merupakan versi tegas dari pertidaksamaan.
Untuk beberapa solusi � didapat �= � �= � oleh karena itu jika
� �
= maka memungkinkan �= � �= � sehingga titik � berada pada area feasible terbesar.
Untuk beberapa solusi � didapat �= � �= � oleh karena itu jika
� �
= maka memungkinkan �= � �= � sehingga titik � berada pada area feasible terkecil. ∎
Allahdadi dan Mishmat (2011) mengemukakan berdasarkan Teorema 1 maka didapat langkah-langkah penyelesaian Interval Linear Programming dengan kendala ( )
1. memodelkan suatu kasus Interval linear programming
Minimum = �= �
3. Menyelesaikan Worst optimum dari (2.2). Worst optimum merupakan suatu keputusan optimum terburuk yang dapat terjadi dinyatakan.
Minimum = �= ′′�
Kendala �= ′ � ; � .
4. Menarik Kesimpulan
dan merupakan batas bawah dan batas atas koefisien fungsi tujuan.
dan merupakan batas bawah dan batas atas konstanta teknologis.
dan merupakan batas bawah dan batas atas dari konstanta pembatas.
2.4 Teori Himpunan Fuzzy
Teori himpunan fuzzy yang ditemukan oleh Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965 merupakan kerangka matematis yang digunakan untuk mempresentasikan ketidakpastian, ketidakjelasan, ketidaktepatan dan kekurangan informasi.
Setiadji (2009) mengemukakan pada teori himpunan tegas (Crisp) keberadaan suatu elemen pada suatu himpunan (misal himpunan �) hanya memiliki dua kemungkinan keanggotaan yaitu anggota � atau bukan anggota �. Zadeh mengkaitkan fungsi keanggotaan atau derajat keanggotaan ke dalam suatu himpunan tertentu yaitu himpunan fuzzy.
Susilo (2006) Mengemukakan bahwa fungsi keanggotaan atau derajat keanggotaan adalah suatu nilai atau parametr yang menunjukan seberapa besar tingkat keanggotaan elemen (�) dalam suatu himpunan A yang dinotasikan dengan � � . Pada himpunan tegas hanya ada dua nilai yaitu � � = 1 untuk � menjadi anggota � dan � � = 0 untuk � bukan anggaota �.
� � =
1, � ∈ �
0, � �
Definisi (Himpunan Fuzzy) Andaikan � adalah himpunan semesta dimana elemenya dinotasikan sebagai �. Maka himpunan fuzzy � dinotasikan � dinyatakan sebagai himpunan
pasangan terurut
� = {(�, � � )|� ∈ �}
dimana � � adalah fungsi keanggotaan dari himpunan kabur � yang merupakan suatu
pemetaan dari himpunan semesta � ke selang tertutup [0,1] .
� ∶ � →[0,1]
Definisi (� − ) Bector dan Chandra (2005) Andaikan � adalah suatu himpunan fuzzy di
� dan � ∈(0,1]. Maka � − dari himpunan fuzzy � adalah himpunan tegas �� dinotasikan
2.5 Bilangan Fuzzy
Klir dan Yuan (1995) mengemukakan bilangan fuzzy didefinisikan sebagai setiap himpunan fuzzy di ℝ dimana fungsi keanggotaan sifat �(�) berikut :
1. �haruslah himpunan fuzzy normal dan convex
2. �� dalam selang tertutup untuk setiap � ∈(0,1]
3. Mempunyai pendukung yang terbatas
Suatu bilangan kabur bersifat normal, jika fungsi keanggotaan bernilai sama dengan 1 untuk �= . Pendukung yang terbatas dan �-cuts untuk � ≠0 harus dalam interval tertutup sebagai syarat untuk mendefinisikan operasi atitmatika pada bilangan fuzzy.
Definisi (Bilangan Fuzzy) Andaikan � merupakan himpunan fuzzy di ℝ. Maka � adalah suatu bilangan fuzzy jika dan hanya jika terdapat pada suatu interval tertutup , ≠ ∅
sehingga
� � =
1, � ∈ �
� , � ∈ −∞,
� � , � ∈( ,∞)
Dimana
: −∞, →[0,1] bergerak naik dan � = 0 untuk semua � ∈ −∞, 1 , 1 <
�: ,∞ →[0,1] bergerak turun dan � � = 0 untuk semua � ∈ 2,∞ , 2 <
2.6 Operasi Aritmatika Pada Bilangan Fuzzy
Bector dan Chandra (2005) mengemukakan aritmatika Fuzzy merupakan sifat dasar dari � − dimana � merupakan bilangan fuzzy dan �� berada pada suatu interval tertutup.
Definisi (Operasi dari dua bilangan fuzzy)
Bector dan Chandra (2005) Andaikan �, ,��, � dimana �� = ��, �� , � = ��, �� ,
� ∈(0,1] dan andaikan * dinotasikan sebagai operasi aritmatika + , − , × , ÷ pada bilangan fuzzy.Maka * operasi dari bilangan fuzzy dinotasikan.
� ∗ � = �� ∗ �, � ∈(0,1]
2.7 Bilangan Fuzzy Triangular
BAB 3
PEMBAHASAN
3.1. Bilangan Fuzzy Triangular Pada Kendala BLP
Andaikan terdapat interval linear programming parametic yang memiliki bentuk umum
Minimum � , � �
Kendala �,� � ,
jika � = � maka � , � = � . Sehingga berdasarkan langkah-langkah penyelesaian Interval Linear Programming dengan kendala ( ) dapat ditentukan nilai best efficient dan worst efficient dari interval linear programming parametic adalah
Best efficient
Minimum � � (3.1)
Kendala �′′�
Worst efficient
Minimum � � (3.2)
Kendala �′�
Dimana �′,�′′
�′=
� � 0
� � 0
�′′ =
� � 0
Diketahui bahwa hasil yang didapat linear programming parametic akan sama dengan
Parametric Simplex Algorithm di BLP maka bisa dituliskan � �= � dimana merupakan matriks 2 × , sehingga pers (3.1) dan (3.2) menjadi
Best efficient
Minimum � (3.3)
Kendala �′′�
Worst efficient
Minimum � (3.4)
Kendala �′�
Bentuk umum BLP jika diketahui kendalanya merupakan bilangan fuzzy triangular
dalam notasi matriks ialah
Minimum � (3.5)
Kendala ��,�,�� � �, , � ; �
dimana � adalah vektor kolom berdimensi− , � adalah matriks fuzzy triangular × menandakan koefisien teknologis fuzzy triangular ��,�,�� , dan adalah vektor kolom
fuzzy triangular berdimensi- menandakan sumber daya pembatas fuzzy triangular
�, , � . Fungsi ketidaksamaan vektor dari � menunjukan bahwa setiap komponen dari � adalah non-negatif.
Kendala fuzzy triangular pada BLP (3.5) diubah dalam bentuk interval � − , maka bentuk umum BLP menjadi
Minimum � (3.6)
Kendala
Asumsikan pers kendala pada (3.6) menjadi
Maka bentuk umum BLP dengan kendala interval fuzzy ialah
Minimum � (3.7)
Kendala ���,��� � , � ; �
Berdasarkan pers (3.3) dan pers (3.4) maka BLP dengan kendala interval fuzzy (3.7) memiliki best efficient dan worst efficient yaitu
3.2. Langkah Optimasi BLP dengan Kendala Fuzzy Triangular
Berdasarkan uraian pada Sub-bab 3.1 maka dapat disimpulkan langkah-langkah penyelesaian BLP dengan kendala fuzzy triangular adalah sebagai berikut :
1. Memodelkan data ,� , pada BLPdimana merupakan matriks 2 ×
Dimana nilai � dan merupakan bilangan fuzzy triangular
Minimum �
Kendala ��,�,�� � �, , � ; � .
2. Menegaskan nilai � dan ke dalam interval fuzzy triangular
Minimum �
Kendala ��� ,��� � , � ; � ; �
3. Menentukan nilai best efficient dan worst efficient dengan metode Parametric Simplex Algorithm
Tabel 3.1 best efficient dan worst efficient
3.3 Contoh Kasus Aplikasi
Contoh kasus diambil dari buku Kusumadewi (2010) yang dimodifikasi pada kendala.
Suatu perusahaan memiliki pabrik yang menghasilkan tiga produk. Pada satu unit produk pertama membutuhkan 2 unit �1, 3 unit �2 dan 4 unit �3. Pada satu unit produk kedua
Namun selama Proses produksi menimbulkan polusi, polusi yang timbul pada produk satu sebesar 1 satuan polusi, polusi yang timbul pada produk dua ketiga sebesar 2 satuan polusi, dan polusi yang timbul pada produk satu sebesar 2 satuan polusi. Kualitas dari �1 dan �2 tidak dapat diprediksi karena faktor cuaca
Pada cuaca baik, produk satu membutuhkan 1 unit �1 dan 1 unit �2, produk dua
Tujuan perusahaan yakni memaximumkan keuntungan dan meminimumkan polusi.
Variabel keputusan
�1 : Jumlah produk satu yang diproduksi
Memodelkan Fugsi Tujuan dan kendala
Tujuan pertama adalah Maximum keuntungan jika keuntungan produk satu sebesar $ 5/ unit, keuntungan produk kedua sebesar $10/ unit, dan keuntungan produk ketiga sebesar $ 12/unit.
Maximum 1∶ 5�1+ 10�2+ 12�3 (3.8)
Pada fungsi tujuan ke pertama di kali (-1) agar menjadi minimum maka fungsi tujuannya adalah
Minimumkan − 1 ∶ −5�1−10�2−12�3 (3.9)
Tujuan kedua adalah Minimum polusi jika diketahui produk satu menyebabkan 1 satuan polusi, pada produk dua menyebabkan 2 satuan polusi, dan pada produk tiga menyebabkan 2 satuan polusi.
Minimum 2 ∶ �1+ 2�2+ 2�3 (3.10)
Bahan baku �1 merupakan kasus fuzzy triangular. Terdapat (90,100,150) bahan baku �1. Dimana �1 membutuhkan (1,2,3)�1, �2 membutuhkan (5,8,10)�1 dan �3 membutuhkan (2,4,5)�1 , maka pers dalam bilangan fuzzy
1,2,3 �1+ 5,8,10 �2+ (2,4,5)�3 (90,100,150)
Bahan baku �2 merupakan kasus fuzzy triangular. Terdapat (40,50,90) bahan baku �1. Dimana �1 membutuhkan (1,3,4)�1, �2 membutuhkan (0.25,1,2)�1 dan �3 membutuhkan (2,4,5)�1 maka pers dalam bilangan fuzzy
1,3,4 �1+ 0.25,1,2 �2+ (2,4,5)�3 (40,50,90)
Bahan Baku �3 tersedia sebanyak 50 unit dan digunakan produk �1 sebanyak 4 unit, pada produk �3 sebanyak 3 unit
Maka persamaan BLP pada contoh kasus diatas dengan kendala fuzzy adalah
Minimum
− 1 ∶ −5�1−10�2−12�3
2 ∶ �1+ 2�2+ 2�3
Kendala
1,2,3 �1+ 5,8,10 �2+ (2,4,5)�3 (90,100,150)
1,3,4 �1+ 0.25,1,2 �2+ (2,4,5)�3 (40,50,90)
4�1+ 2�3 50
Mengubah kendala bahan baku �1 ke dalam interval � − fuzzy triangular
⟺ 2−1 �+ 1,3− 3−2 � �1+ 8−5 �+ 5,10− 10−8 � �2 + 4−2 �+ 2,5− 5−4 � �3
100−90 �+ 90,150− 150−100 �
⟺ �+ 2 �1 , (3− �)�1 + 3�+ 5 �2 , (10−2�)�2 + 2�+ 2 �3 , (5− �)�3
10�+ 90 , ( 150−50�) (3.12)
Mengubah kendala bahan baku �3 ke dalam interval � − fuzzy triangular
⟺ 3−1 �+ 1,4− 4−3 � �1+ 1−0.25 �+ 0.25,2− 2−1 � �2
+ 4−2 �+ 2,5− 5−4 � �3 50−40 �+ 40,90− 90−50 �
Tabel 3.4 Tabel Simplex iterasi 1 (�= )
Maka (3.14) jika memiliki �= 0.5 maka bentuk umum BLP menjadi
Maka Model best efficient (3.17)
Memodelkan (3.18) best ke dalam Parametric Simplex Algorithm
Tabel 3.13 Tabel Simplex iterasi 1 (�= )
Memodelkan (3.25) worst ke dalam Parametric Simplex Algorithm
Minimum 4�+ 1 �1+ −8�+ 2 �2+ −10�+ 2 �3 (3.26)
Kendala 3�1+ 10�2+ 5�3 90
4�1+ 2�2+ 5�3 40
4�1+ 2�3 100
Hasil penyelesaian kasus numerik berupa nilai best efficient dan worst efficient dimana �= {0,0.5,1} dapat disajikan dalam bentuk tabel dibawah ini
Tabel 3.17 Nilai best efficient
�1 �2 �3 1 2
� = 0 0 9 17/47 21 18/47 350 10/47 61 23/47 � = 0.5 0 12 12/19 43 8/9 647 7/19 112 2/19 � = 1 0 1 1/7 10 5/7 200 35 5/7
Tabel 3.18 Nilai worst efficient
�1 �2 �3 1 2
�= 0 0 6 2/3 7 7/9 160 28 8/9
�= 0.5 0 6 1/4 5 ½ 128 1/2 23 ½
�= 1 0 1 1/7 10 5/7 200 35 5/7
Dari perhitungan pada �= 0,� = 0.5, � = 1 didapati bahwa
Pada setiap �= 0 didapati
Best efficient dari produk satu adalah 0 dan worst efficient dari produk satu adalah 0
Best efficient dari produk dua adalah 1212
19 dan worst efficient dari produk dua adalah 6 1 4
Best efficient dari produk tiga 438
9 adalah dan worst efficient dari produk tiga adalah 5 1 2
Pada setiap �= 0.5 didapati
Best efficient dari produk satu adalah 0 dan worst efficient dari produk satu adalah 0
Best efficient dari produk dua 917
47 adalah dan worst efficient dari produk dua adalah
Best efficient dari produk tiga adalah 2118
47 dan worst efficient dari produk tiga adalah 7 7 9
Pada setiap �= 1 didapati
Best efficient dari produk satu 0 adalah dan worst efficient dari produk satu adalah 0
Best efficient dari produk dua adalah 71
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1. KESIMPULAN
Dari studi literatur ini dapat disimpulkan :
1. Hasil yang didapat berupa best efficient dan worst efficient sehingga memberikan alternatif pilihan dimana best efficient merupakan keputusan efisien terbaik yang dapat terjadi dan worst efficient merupakan keputusan efisien terburuk yang dapat terjadi.
2. Hasil perhitungan best efficient dan worst efisien sangat bergantung pada intuisi pengambil keputusan karena nilai � ditentukan secara subjectif dimana 0 � 1 dan � bernilai 0 jika bersifat sangat kabur dan benilai 1 jika bersifat tidak kabur.
4.2. SARAN
1. Penelitian yang dilakukan sebatas pada bicriteria linear programming. Bagi pembaca yang berminat mengembangkan lebih lanjut dapat mengembangkan optimasi secara
multiple objective.
DAFTAR PUSTAKA
Allahdadi, M dan Mishmat, H. 2011. Fuzzy Linear Programming With Interval Linear Programming Approach. Advanced Modeling and Optimization. Vol 13, No. 1
Bector dan Chandra. 2005. Fuzzy Mathematical Programming and Fuzzy Matrix Games. Springer. Germany
Ehrgott, Matthias. 2005. Multicriteria Optimization. second editition .Springer. Germany
Klir, G.J. dan Yuan, B. 1995. Fuzzy Sets And Logic – Theory And Aplication. first edition. Prentice Hall. New Jersey
Moore etc. 2009. Introduction to Interval Analysis.Society for Industrial and Applied Mathematics. Philadelphia
Setiadji. 2009. Himpunan & Logika Samar - Serta Aplikasinya. Cetakan Pertama. Graha Ilmu. Yogyakarta.
Siagian, P. 2006. Penelitian Operasional Teori dan Praktek. Cetakan 2006. UI Press. Jakarta.
Kusumadewi, Sri dan Purnomo, H. 2010. Aplikasi Logika Fuzzy Untuk Pendukung Keputusan. Edisi 2. Graha Ilmu. Yogyakarta
