ANALISIS SISTEM DINAMIK LALU LINTAS DENGAN
MODEL MOBIL PENGIKUT
PENI FITRIA RAHARJANTI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Analisis Sistem Dinamik Lalu Lintas dengan Model Mobil Pengikut adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Maret 2015
Peni Fitria Raharjanti
ABSTRAK
PENI FITRIA RAHARJANTI. Analisis Sistem Dinamik Lalu Lintas dengan Model Mobil Pengikut. Dibimbing oleh ENDAR HASAFAH NUGRAHANI dan ALI KUSNANTO.
Suatu model matematika dapat dibuat untuk memelajari dan menyelesaikan masalah nyata yang terjadi dalam kehidupan, seperti pada permasalahan lalu lintas. Karya ilmiah ini menyajikan sebuah model taklinear mobil pengikut dengan reaksi waktu tunda pada sebuah jalan lingkar. Model tersebut dianalisis dan diuji kestabilan linearnya. Setelah itu, akan diperiksa persamaan karakteristik pada keadaaan setimbang. Berdasarkan arus solusi seragam, ditentukan batas dari bifurkasi Hopf yang mungkin terjadi, berupa bilangan kompleks. Selanjutnya dilakukan simulasi dinamika lalu lintas. Hasil simulasi memerlihatkan adanya perubahan kestabilan ketika terjadi perubahan parameter sensitivitas.
Kata kunci: analisis kestabilan, bifurkasi Hopf, model mobil pengikut, waktu tunda.
ABSTRACT
PENI FITRIA RAHARJANTI. Analysis of Dynamical Traffic System with Car-Following Model. Supervised by ENDAR HASAFAH NUGRAHANI and ALI KUSNANTO.
A mathematical model can be formulated to study and solve certain real problem, such as traffic problem. In this manuscript, a nonlinear car-following model that includes a reaction-time delay of drivers in a circular road was discussed and the analysis of its linear stability was performed. Moreover, the characteristic equation on equilibrium state was investigated. Based on the uniformly flow solution, boundaries of Hopf bifurcations were determined in the complex parameter space. Furthermore, a simulation on traffic dynamics was also performed. The simulation result shows that there exists a slight change of linear stability, when the sensitivity parameter changes.
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
ANALISIS SISTEM DINAMIK LALU LINTAS DENGAN
MODEL MOBIL PENGIKUT
PENI FITRIA RAHARJANTI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul Skripsi : Analisis Sistem Dinamik Lalu Lintas dengan Model Mobil Pengikut
Nama : Peni Fitria Raharjanti NIM : G54100049
Disetujui oleh
Dr Ir Endar Hasafah Nugrahani, MS Pembimbing I
Drs Ali Kusnanto, MSi Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Analisis Sitem Dinamik Lalu Lintas dengan Model Mobil Pengikut berhasil diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Dr Ir Endar Hasafah Nugrahani, MS dan Drs Ali Kusnanto, MSi selaku pembimbing, serta Dr Paian Sianturi selaku penguji. Terimakasih juga kepada seluruh dosen matematika atas ilmu yang diberikan dan staf TU matematika yang telah membantu dalam kelancaran belajar. Penghargaan penulis sampaikan kepada Bapak, Ibu, Murobbi, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Serta terimakasih buat seluruh teman seperjuangan Math 47, teman Lolipop, keluarga Al-Iffah, sahabat TDP 2 B3/20 yang selalu memotivasi dan menemani perjuangan ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Maret 2015
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR vii
DAFTAR LAMPIRAN vii
PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Tujuan Penelitian 1
TINJAUAN PUSTAKA 2
HASIL DAN PEMBAHASAN 6
Model Mobil Pengikut 6
Analisis Sistem Dinamik Model Mobil Pengikut 8
Simulasi Model 12
SIMPULAN 16
DAFTAR PUSTAKA 16
LAMPIRAN 18
DAFTAR GAMBAR
1 Model mobil pengikut 6
2 Fungsi kecepatan optimal (a) dan Turunan fungsi kecepatan optimal
(b) 8
3 Grafik hubungan posisi kendaraan dengan waktu 13 4 Grafik hubungan parameter sensitivitas � dengan turunan fungsi
kecepatan optimal (percepatan) ′(ℎ∗) 14
5 Grafik hubungan parameter sensitivitas � dengan rata-rata headway
ℎ∗ 15
DAFTAR LAMPIRAN
1 Ekspansi Taylor 18
2 Persamaan karakteristik 20
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Lalu lintas jalan merupakan salah satu sarana masyarakat yang memiliki peranan penting dalam kehidupan sehari-hari. Ada tiga komponen pembentuk lalu lintas, yaitu manusia sebagai pengguna, kendaraan, dan jalan. Ketiganya saling berinteraksi antara satu dengan yang lainnya. Berbagai perjalanan akan menghasilkan pola rumit pembentuk arus lalu lintas. Antara kendaraan yang satu dengan yang lain tidak mungkin berjalan secara seragam karena ketidaksamaan keterampilan dan pengambilan keputusan oleh pengemudi. Akibatnya, muncul permasalahan lalu lintas. Diantaranya ketidaktertiban pengguna jalan dan pelanggaran rambu lalu lintas. Hal ini bisa mengakibatkan kemacetan lalu lintas bahkan bisa berakibat fatal yaitu munculnya kecelakaan lalu lintas. Oleh karena itu, pentingnya mengetahui pemodelan lalu lintas dalam upaya menjaga keselamatan bertransportasi maupun dapat digunakan untuk pembuatan kebijakan transportasi.
Pandangan umum mengatakan bahwa pemodelan matematika adalah salah satu tahap dari pemecahan masalah matematika. Seiring perkembangan matematika, sebagai alat analisis berbagai masalah nyata, arus lalu lintas pun dapat diformulasikan membentuk suatu model. Di mana proses membangun suatu model matematika digunakan untuk menggambarkan dinamika suatu sistem. Pembahasan pemodelan lalu lintas mencakup banyak hal sesuai dengan kerumitan dari lalu lintas tersebut. Diantaranya jalan yang digunakan dalam pemodelan lalu lintas bisa meliputi jalan lurus, jalan lingkar, atau persimpangan jalan. Suatu jalan lurus pun bisa terdiri dari satu atau dua jalur. Bahkan masing-masing jalur bisa terdiri satu atau lebih lajur yang digunakan. Sehingga karya ilmiah ini mengkhususkan pembahasan pemodelan lalu lintas hanya menggunakan jalan lingkar dan jumlah kendaraan yang digunakan dibatasi.
Berdasarkan jurnal Stépán dan Orosz (2006), dalam karya ilmiah ini akan dikaji bifurkasi Hopf dengan waktu tunda pada model mobil pengikut. Tulisan tersebut membahas model mikroskopis atau sering disebut model mobil pengikut (car-following), yaitu model yang mengacu pada perilaku pengemudi dalam berinteraksi dengan kendaraan lain di depannya pada suatu jalan lalu lintas. Parameter yang digunakan adalah posisi, kecepatan, dan percepatan yang bergantung pada waktu. Model ini diberikan waktu tunda (time delay) yang menyatakan faktor keterlambatan respons output pengemudi terhadap input yang muncul. Kemudian dilakukan analisis sistem dinamik untuk mengetahui perubahan dari kestabilan.
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bagian ini akan diuraikan beberapa definisi dan teori tentang pemodelan lalu lintas yang menunjang dalam pembahasan selanjutnya.
Model Mobil Pengikut
Berdasarkan Arovas (2006), model mobil pengikut didefinisikan sebagai persamaan dari gerak kendaraan individu di mana (�) adalah posisi dari kendaraan ke- pada suatu waktu dan jalan tertentu, dengan < +1. Jadi, posisi kendaraan pertama ( = 1) berada paling terakhir. Terdapat tiga model mobil pengikut.
1 Traditional Car-Following Model (TCFM)
TCFM merupakan model di mana percepatan atau perlambatan kendaraan merupakan selisih dari dua kecepatan kendaraan dikalikan dengan parameter sensitivitas �. Percepatan dan perlambatan kendaraan tersebut dilakukan agar tidak terjadi tabrakan antara suatu kendaraan dengan kendaraan di depannya, dengan percepatan tersebut diberikan waktu tunda � −1. Sedangkan parameter sensitivitas berupa konstanta sebagai pengali. Persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut 2 Optimal Velocity Model (OVM)
OVM adalah model di mana pengemudi memberikan percepatan dalam rangka mengatur selisih dari dua komponen dikalikan dengan parameter sensitivitas. Komponen pertama merupakan sebuah kecepatan optimal yang disesuaikan dengan jarak mobil di depannya. Dalam pemodelan lalu lintas, jarak pada mobil berikutnya diketahui sebagai headway. Sedangkan komponen kedua merupakan kecepatan kendaraan ke- tersebut. Persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut
=� +1 − − ,
dengan +1− fungsi kecepatan optimum dari jarak kendaraan ke- ( ) dan kendaraan di depannya ( +1).
3 Optimal Headway Model (OHM)
3
Komponen pertama merupakan fungsi headway yang optimal pada kecepatan kendaraan, sedangkan komponen kedua merupakan jarak antara dua kendaraan atau kendaraan ke- dengan kendaraan di depannya. Persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut
=� − +1 − ,
dengan fungsi headway optimal adalah invers dari fungsi kecepatan optimal OVM = −1.
Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan diferensial biasa (PDB) orde dikatakan linear jika dapat ditulis dalam bentuk jika (�) ≠0. Persamaan yang tidak memenuhi persamaan (1) disebut persamaan diferensial taklinear (Farlow 1994).
Sistem Persamaan Diferensial
Bentuk umum dari sistem persamaan diferensial orde-1 adalah
� = � � � +� � ; 0 = 0, (2)
di mana � adalah matriks koefisien × dan adalah vektor konstanta. Persamaan (2) disebut homogen jika = 0, sehingga solusi dari sistem adalah semua yang memenuhi persamaan =� (Tu 1994).
Persamaan Diferensial Tundaan
4
Titik Kesetimbangan
Diberikan sistem persamaan diferensial
= 1, 2,…, , 1, 2,…, ,
titik ∗ disebut titik tetap atau titik kritis atau disebut juga titik kesetimbangan dari sistem jika ∗ = 0 (Verhulst 1990).
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Misalkan � adalah matriks × . Skalar � disebut nilai eigen atau nilai karakteristik dari � jika terdapat suatu vektor tak nol , sehingga � =� . Vektor disebut vektor eigen atau vektor karakteristik yang berpadanan dengan nilai eigen �. Persamaan � =� dapat dituliskan dalam bentuk
� − � = 0. (3)
Persamaan (3) akan mempunyai penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika � − � singular atau secara ekivalen persamaan karakteristik dituliskan
det � − � = 0. (4)
Jika determinan pada persamaan (4) diuraikan maka didapatkan suatu polinomial berderajat dalam peubah �
� � = det � − � . (5)
Polinomial ini disebut polinomial karakteristik dan persamaan (5) disebut persamaan karakteristik untuk matriks � (Leon 2001).
Analisis Kestabilan
Misalkan diberikan matriks A berukuran × sebagai berikut
� = maka diperoleh nilai eigen dari matriks tersebut. Analisis kestabilan titik kesetimbangan dilakukan untuk setiap nilai eigen yang diperoleh, maka akan ada empat kasus sebagai berikut.
1 Jika nilai eigennya real dan berbeda tanda, maka titik kesetimbangan bersifat sadel.
2 Jika semua nilai eigennya real dan bertanda sama maka titik kesetimbangannya merupakan simpul tak sejati (nodes). Jika bertanda positif maka nodes tak stabil. Jika bertanda negatif, maka nodes stabil.
5
4 Jika nilai eigen merupakan imajiner murni, maka titik kesetimbangan bersifat
center yang selalu stabil (Huntley dan Johnson 1983).
Secara umum, kestabilan titik kesetimbangan memiliki perilaku sebagai berikut.
1 Stabil, jika
a. Setiap nilai eigen real adalah negatif (� < 0, untuk setiap ).
b. Setiap komponen bagian real dari nilai eigen kompleks lebih kecil atau sama dengan nol dan minimal ada satu yang lebih kecil dari nol (Re � 0 untuk setiap dan ada yang Re � < 0).
2 Tidak stabil, jika
a. Ada nilai eigen real yang postif (� > 0, untuk suatu ).
b. Ada komponen bagian real dari nilai eigen kompleks lebih besar dari nol, (Re � > 0 untuk suatu ).
3 Sadel, jika ada perkalian dua buah nilai eigen bernilai negatif � � < 0 untuk suatu dan (Tu 1994).
Untuk suatu SPD taklinear, analisis kestabilan dilakukan melalui pelinearan. Misalkan diberikan SDP taklinear sebagai berikut
= : ⊂ → . (6)
Dengan menggunakan ekspansi Taylor untuk suatu titik kesetimbangan ∗, maka persamaan (6) dapat ditulis sebagai berikut
=� +� . (7)
Persamaan (7) tersebut merupakan SPD taklinear dengan A adalah matriks Jacobi �= � ∗ =� ( ) = ∗
6
Bifurkasi terjadi pada penyelesaian titik kesetimbangan yang mempunyai paling sedikit satu nilai eigen sama dengan nol pada bagian realnya.
Menurut Strogatz (1994) ada 4 jenis bifurkasi. 1 Bifurkasi Saddle-node.
2 Bifurkasi Transkritikal. 3 Bifurkasi Pitchfork. 4 Bifurkasi Hopf.
Pada karya ilmiah ini, akan membahas tentang bifurkasi Hopf. Bifurkasi Hopf adalah berubahnya jenis kestabilan suatu titik kesetimbangan suatu persamaan diferensial dikarenakan munculnya sepasang nilai eigen yang bernilai imajiner murni.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Mobil Pengikut
Permasalahan dalam karya ilmiah ini berupa model mobil pengikut yang dikonstruksi dari jurnal Stépán dan Orosz (2006). Model mobil pengikut merupakan model yang mengacu pada perilaku pengemudi dalam berinteraksi dengan kendaraan lain di depannya pada suatu jalan lalu lintas. Model tersebut diberikan waktu tunda dan akan dianalisis untuk mengetahui dinamika suatu sistem. Dalam Gambar 1 berikut digambarkan permasalahan model mobil pengikut yang dimaksud.
Gambar 1 Model mobil pengikut.
Asumsi-asumsi yang digunakan dalam menganalisis model mobil pengikut, yaitu:
1 Jalan yang digunakan dalam pemodelan lalu lintas ini merupakan jalan lingkar (ring road).
2 Jumlah kendaraan yang melintasi jalan hanya ada tiga ( = 3).
3 Setiap kendaraan berjalan beriringan, di mana kendaraan pertama 1 mengikuti kendaraan kedua 2, kendaraan kedua 2 mengikuti kendaraan ketiga 3, dan kendaraan ketiga 3 mengikuti kendaraan pertama 1.
7
5 Setiap kendaraan hanya melintasi jalan lingkar sebanyak satu kali putaran ( = 1).
Permasalahan di atas dapat dituliskan dengan sistem persamaan diferensial sebagai berikut: kecepatan kendaraan ke-i, i=1,2,3, percepatan kendaraan ke-i, i=1,2,3,
� waktu, Komponen pertama merupakan perkalian antara parameter sensitivitas � dengan fungsi kecepatan optimal dari jarak antar dua kendaraan pada waktu tunda � −1. Komponen kedua merupakan perkalian antara parameter sensitivitas � dengan kecepatan kendaraan ke- . Waktu tunda � −1 menyatakan faktor keterlambatan respons output pengemudi terhadap input yang muncul dalam rentang waktu satu satuan waktu sebelumnya.
Persamaan (9) menunjukkan kecepatan setiap pengemudi menuju sebuah kecepatan yang optimal , dengan sebuah karakteristik waktu istirahat 1
�> 0. Pada waktu itu, setiap pengemudi bereaksi terhadap jarak antar kendaraan (headway) dengan waktu tunda 1. Berdasarkan Stépán dan Orosz (2006), untuk
Parameter �0 merupakan kecepatan yang diinginkan, didefinisikan dengan �0 = max (ℎ) > 0.
8
Gambar 2 Fungsi kecepatan optimal (a) dan turunan fungsi kecepatan optimal (b). Gambar 2(a) merupakan grafik hubungan antara rasio fungsi kecepatan optimal terhadap kecepatan yang diinginkan
�0 dan headway h, sedangkan Gambar 2(b) merupakan grafik hubungan antara rasio turunan fungsi kecepatan optimal terhadap kecepatan yang diinginkan ′
�0 dan headway h. Pada grafik ini dapat dijelaskan tiga sifat, yaitu:
1 Ketika 0 ℎ 1, headway menunjukkan nilai 1 maka terjadi kemacetan lalu lintas, sedangkan jika headway kurang dari 1 maka kendaraan tersebut harus diusahakan berhenti.
2 Ketika headway lebih besar dari 1 maka fungsi kecepatan optimal (ℎ) merupakan fungsi kontinu, taknegatif, dan monoton naik. Secara khusus, mobil-mobil cenderung bergerak lebih cepat ketika jarak antar kendaraan semakin longgar.
3 Ketika headway menuju nilai takhingga, hal ini berhubungan dengan kecepatan arus bebas yang tinggi dari pengemudi ketika lalu lintas sedang lengang.
Analisis Sistem Dinamik Model Mobil Pengikut
Langkah-langkah untuk analisis dinamika pada model mobil pengikut dilakukan dengan cara menentukan titik kesetimbangan, mempelajari dan menganalisis gangguan (perturbation)yang terjadi, serta mengevaluasi kestabilan. Titik Kesetimbangan
Titik kesetimbangan dalam model mobil pengikut dari sistem persamaan (9) diperoleh dari
(�) = 0, = 1,2,3.
9
Kecepatan kesetimbangan untuk kendaraan ke- ekivalen dengan fungsi kecepatan optimal �∗. Sehingga diperoleh titik kesetimbangan berikut
� � = �∗ � , = 1,2,3
� =�∗�+ ∗,
dengan ∗ merupakan konstanta yang menunjukkan posisi kendaraan ke- .
Jarak antara kendaraan awal dengan kendaraan di depannya bernilai sama yaitu nilai jarak rata-rata yang diperoleh dari panjang lintasan jalan lingkar dibagi banyaknya kendaraan
2∗− 1∗ = 3∗− 2∗ = 1∗− 3∗+�= �
3 ≔ ℎ
∗,
sehingga titik kesetimbangan terpenuhi dengan syarat
�∗ = ℎ∗ < �0.
Gangguan (Perturbation) Arus Seragam
Mempelajari pemodelan lalu lintas tentu tidak lepas dari gangguan (perturbation) dalam lalu lintas itu sendiri. Jika terjadi gangguan pada satu kendaraan maka akan berpengaruh terhadap kendaraan yang lainnya. Gangguan dari titik kesetimbangan didefinisikan sebagai berikut
� ≔ � − � , = 1,2,3. (11)
Persamaan tersebut menjelaskan terjadinya gangguan kendaraan ke- merupakan selisih dari posisi kendaraan ke- terhadap posisi kesetimbangan kendaraan ke- itu sendiri.
10
Penjelasan lebih lanjut diberikan pada Lampiran 1.
Persamaan (11) dapat dituliskan menjadi persamaan baru yaitu
11 tinggi. Selanjutnya dilakukan pelinearan dari persamaan (12) akan diperoleh
� =� � + ℎ∗ � −1 . (14)
Matriks �+ ℎ∗ pengganti dari matriks Jacobi. Persamaan (14) diperoleh ketika terjadi kesetimbangan, di mana dari persamaan (13) selisih jarak antara dua kendaraan pada � � −1 ;ℎ∗ bernilai nol sehingga � � −1 ;ℎ∗ bernilai nol juga. Hal ini dikarenakan posisi kendaraan pada keadaan setimbang bernilai sama. Analisis Kestabilan
Analisis kestabilan (steady state) diperoleh dengan memisalkan � = ��, ∈ ℂ6, dan � ∈ ℂ maka diperoleh
� =� ��. (15)
Selanjutnya persamaan (15) disubstitusikan ke persamaan (14) menjadi � =� � + ℎ∗ � −1
Penjelasan lebih lanjut diberikan pada Lampiran 2.
12
1 ℎ∗ = ′(ℎ∗) dan ℎ∗ =ℎ∗ . Hal ini akan menunjukkan terjadinya bifurkasi Hopf apabila
� ℎ∗ = ± , ℝ+.
Untuk mengetahui batas bifurkasi Hopf dalam parameter ruang maka menyubstitusikan �= ke dalam persamaan karakteristik (16). Berdasarkan jurnal Orosz et al. (2005), pemisahan bagian real dan imajiner diberikan sebagai berikut jalan lingkar hanya satu kali putaran ( = 1), sehingga
′ ℎ∗ =
3 . Selanjutnya akan diperoleh garis asimtot vertikal konvergen menuju
′ ℎ∗ = 3
9 � ≅0.604. (18)
Simulasi Model
Pada bagian ini akan diberikan simulasi menggunakan program
13
Selanjutnya persamaan (19) disubstitusikan ke persamaan (9), sehingga dapat dituliskan menjadi
1 � = � ℎ∗ − 1 �
2 � =� ℎ∗ − 2 �
3 � =� ℎ∗ − 3 � .
Diberikan nilai awal untuk 1 0 = 0, 2 0 = 0, 3 0 = 0, 1 0 = 0, 2 0 = 30, dan 3 0 = 60 untuk parameter sensitivitas �1 = 0.1 , �2 = 0.7 dan waktu perjalanan � ∈(0,12). Berikut adalah gambar grafik hubungan antara posisi kendaraan dengan waktu. Untuk mendapatkan Gambar 3 dapat dilihat pada Lampiran 3.
Gambar 3 Grafik hubungan posisi kendaraan dengan waktu. Keterangan gambar:
Posisi kendaraan ke-1 ( 1) dengan �= 0.1 Posisi kendaraan ke-2 ( 2) dengan � = 0.1 Posisi kendaraan ke-3 ( 3) dengan � = 0.1 Posisi kendaraan ke-1 ( 1) dengan �= 0.2 Posisi kendaraan ke-2 ( 2) dengan � = 0.2 Posisi kendaraan ke-3 ( 3) dengan � = 0.2
14
Hubungan Percepatan dengan Parameter Sensitivitas
Berdasarkan sistem persamaan (17) yang merupakan anggota bilangan kompleks. Persamaan tersebut dipisahkan menjadi bagian real ′ ℎ∗ dan imajiner �. Oleh karena itu, bagian ini bertujuan untuk mengetahui hubungan keduanya. Untuk mendapatkan Gambar 4 dapat dilihat pada Lampiran 4.
Gambar 4 Grafik hubungan parameter sensitivitas � dengan turunan fungsi kecepatan optimal (percepatan) ′ ℎ∗ .
Gambar 4 menunjukkan hubungan parameter sensitivitas � sebagai fungsi kemiringan dari turunan fungsi kecepatan optimal yang bergantung terhadap rata-rata headway ′ ℎ∗ . Berdasarkan persamaan (18), grafik ini memiliki bentuk monoton dengan sebuah garis asimtot vertikal ′max= � 3
9 ≅ 0.604. Turunan
15
Hubungan Headway dengan Parameter Sensitivitas
Berdasarkan persamaan (10) akan ditunjukkan hubungan parameter sensitivitas � dengan rata-rata headway ℎ∗. Hal ini dipengaruhi oleh kecepatan yang diinginkan �0, dengan nilai yang diberikan �0 = 0.5 ; 1. Untuk mendapatkan Gambar 5 dapat dilihat pada Lampiran 5. Berikut adalah grafik (ℎ∗,�) yang diperoleh.
Gambar 5 Grafik hubungan parameter sensitivitas � dengan rata-rata
headway ℎ∗
1 Kasus pertama ditunjukkan pada Gambar 5 dengan �0 = 0.5. Nilai maksimum ′
max terdapat pada Gambar 4 bagian sebelah kiri garis asimtot. Hal ini sesuai dengan �0 < 3�
632≅ 0.7198. Pada kasus ini ada parameter sensitivitas kritis �∗, sehingga untuk �> �∗ menunjukkan kesetimbangan aliran seragam stabil untuk semua nilai rata-rata headway ℎ∗.Untuk � <�∗, dibatasi interval rata-rata headway ℎ∗ merupakan kesetimbangan tidak stabil.
16
sesuai dengan �0 3�
632≅0.7198. Pada kasus ini, untuk beberapa nilai � ada interval tidak stabil dari rata-rata headway ℎ∗.Hal ini tidak memungkinkan untuk membuat stabil semua aliran seragam dengan meningkatkan nilai parameter sensitivitas �.
Kasus di atas menunjukkan bahwa dengan menaikkan nilai kecepatan yang diinginkan �0 dan parameter sensitivitas � menurun, hanya akan memperluas area tidak stabil dari interval rata-rata headwayℎ∗.
SIMPULAN
Sistem dinamik model mobil pengikut terdiri dari tiga persamaan diferensial taklinear homogen orde dua. Masing-masing persamaan dipengaruhi oleh fungsi kecepatan optimal, waktu tunda � −1, dan parameter sensitivitas �. Sistem tersebut dianalisis dengan cara menentukan titik kesetimbangan, menentukan gangguan arus seragam, dan mengevaluasi kestabilan.
Hubungan posisi kendaraan terhadap waktu dengan dipengaruhi parameter sensitivitas � dapat diketahui bahwa kendaraan dapat berjalan secara seragam ketika kecepatan kecepatan kendaraan tersebut konstan. Apabila parameter sensitivitas � meningkat maka waktu yang dibutuhkan kendaraan untuk berpindah posisi semakin sedikit. Hubungan percepatan kendaraan dengan parameter sensitivitas � ditunjukkan dengan semakin meningkatnya percepatan kendaraan maka parameter sensitivitas � semakin meningkat pula. Namun, pada optimal batas atas kecepatan, semakin meningkatnya nilai parameter sensitivitas � tidak akan mempengaruhi percepatan kendaraan tersebut. Pada bagian ini dapat diketahui perubahan kestabilan atau terjadinya bifurkasi Hopf. Selanjutnya hubungan rata-rata jarak antar kendaraan dengan parameter sensitivitas menunjukkan bahwa dengan menaikkan nilai kecepatan yang diinginkan �0 dan parameter sensitivitas � menurun, hanya akan memperluas area tidak stabil dari interval rata-rata jarak antar kendaraan.
DAFTAR PUSTAKA
Arovas D. 2006. Lecture Notes on Nonlinear Dynamics. San Diego (US): University of California.
Farlow SJ. 1994. An Introduction to Differential Equations and Their Applications.
New York (US): Mc Graw-Hill.
Huntley ID, Johnson RM. 1983. Linear and Nonlinear Differential Equations.
Chichester : Ellis Horwood Ltd.
Kuang Y. 1993. Delay Differential Equation with Application in Population Dynamics. Boston (US): Academic Press.
17
Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Bondan A, penerjemah; Hardani HW, editor. Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with Applications. Ed ke-5.
Orosz G, Krauskopf B, Wilson RE. 2005. Bifurcation and Multiple Traffic Jams in Car-Following Model with Reaction-Time Delay. Physica D 211: 277-293. doi: 10.1016/j.physd.2005.09.004.
Stépán G, Orosz G. 2006. Hopf calculation in delayed car-following models.
Proceedings of the 6th IFAC Workshop on Time Delay Systems C. Manes and P. Pepe eds.6:193-198. doi:10.3182/20060710-3-IT-4901.00032.
Strogatz SH.1994. Nonlinear Dynamics and Chaos with Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Massachusetts (US): Addison-Wesley Publishing Company.
Tu PNV. 1994. Dynamical System, An Introduction with Application in Economics and Biology. Heidelberg (DE): Springer-Verlag.
Verhulst F. 1990. Nonlinear Differential Equation and Dynamical System.
18
Lampiran 1 Ekspansi Taylor
19
20
+�
=2,3 (ℎ∗) 2 � −1 − 1 � −1 (ℎ∗) 3 � −1 − 2 � −1 =2,3
(ℎ∗) 1 � −1 − 3 � −1 =2,3
0 0 0
.
Menjadi persamaan baru
� = � � + ℎ∗ � −1 +� � −1 ;ℎ∗ .
Lampiran 2 Persamaan karakteristik
22
� �; 1 ℎ∗ = det � − � − ℎ∗ −�
= −2�� �+� [3 1 ℎ∗ 2�2+ 3 1 ℎ∗ ��� �+� + 2��2 �+� 2] = �2+�� [3 1 ℎ∗ 2�2 −2�+ 3 1 ℎ∗ � −� �2+�� + �2+�� 2] = �2+�� [ �2+�� 2+ 3 1 ℎ∗ � −� �2+�� + 3 1 ℎ∗ 2�2 −2�] = �2+��+ 1 ℎ∗ � −�− 1 ℎ∗ � −� [ �2+�� 2+ 2 1 ℎ∗ � −� �2+��
+ 1 ℎ∗ � −� 2+ 1 ℎ∗ � −� �2+�� + 1 ℎ∗ � −� 2
+ 1 ℎ∗ � −� 2
= �2+��+ 1 ℎ∗ � −�− 1 ℎ∗ � −� [ �2+��+� 1 ℎ∗ −� 2
+ �2+��+� 1 ℎ∗ −� 1 ℎ∗ � −� + 1 ℎ∗ � −� 2]
= (�2+��+� 1 ℎ∗ −�)3−(� 1 ℎ∗ −�)3 = 0.
24
25
26
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kudus pada tanggal 4 Mei 1992 dari pasangan Bapak Arif Suharyono dan Ibu Waryati. Penulis merupakan anak pertama dari dua bersaudara. Tahun 2010 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Kudus dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Ujian Seleksi Masuk IPB (USMI) dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
