BAB IV HUKUM DASAR MEKANIKA FLUIDA

63

BAB IV

HUKUM DASAR MEKANIKA FLUIDA

A.

PENDAHULUAN

Materi pembelajaran pada bab ini menguraikan tentang Hukum Dasar Mekanika Fluida. Materi ini menjelaskan Kekekalan Massa-Kontinuitas, Hukum kedua Newton-Persamaan Momentum Linier dan momen Momentum, Hukum pertama - Persamaan Energi. Penguasaan materi ini akan membantu mahasiswa dalam menyelesaikan masalah pada matakuliah lanjutan seperti Sistem Instalasi

Perpipaan, Tahanan dan Propulsi kapal, Perpindahan Panas, Pengaturan Udara,

Permesinan Kapal, sehingga dituntut kemampuan menyelesaikan masalah-masalah

Mekanika fluida . Untuk mencapai kemampuan mahasiswa yang efektif/efisien akan

dirancang proses pembelajaran yang inovatif bernuansa learning.

Sasaran pembelajaran pada bab ini , mahasiswa mampu menjabarkan dan

mengkomunikasikan hukum dasar mekanika fluida pada penerapannya dilapangan

dan Menyusun poster yang memuat jenis-jenis hukum dasar makanika fluida.

Bentuk pembelajaran dalam bentuk kuliah dibarengi dengan pemberian tugas

kelompok dan dipresentasikan (Small group discussion), di mana sebagai

pendahuluan mahasiswa perlu dijelaskan materi pembelajaran agar sasaran

pembelajaran secara keseluruhan tercapai setelah mempelajari matakuliah ini.

B.

MATERI PEMBELAJARAN

Banyak persoalan praktis di bidang mekanika fluida yang membutuhkan

analisis perilaku dari isi sebuah daerah terhingga (sebuah volume atur). Misalnya;

menghitung gaya penahan yang dibutuhkan untuk menahan mesin jet pada

tempatnya selama suatu pengujian, memperkirakan berapa besar daya yang

diperlukan untuk memindahkan air dari satu tempat ke tempat lainnya yang lebih

tinggi dan berjarak beberapa mil jauhnya. Dasar-dasar dari metode analisis ini adalah

64 gerak dan hukum pertama dan kedua Termodinamika. Jadi seperti yang bisa

diperkirakan, teknik-teknik gabungan tersebut sangat berdaya guna dan dapat

diterapkan pada berbagai macam kondisi mekanika fluida yang memerlukan

penilaian keteknikan.

I.

KEKEKALAN MASSA-PERSAMAAN KONTINUITAS

1. Penurunan Persamaan Kontinuitas

Sebuah sistem didefinisikan sebagai kumpulan dari isi yang tidak berubah, maka

prinsip kekelan massa untuk sebuah sistem dinyatakan secara sederhana sebagai

Laju perubahan terhadap waktu dari massa sistem = 0

atau

= 0 ………. (4-1)

di mana massa sistem, Msys, lebih umum dinyatakan sebagai

Msys = sys ……… (4-2)

dan pengintegralan meliputi seluruh volume sistem. Dengan kata-kata, persamaan

(4-2) menyatakan bahwa massa sistem sama dengan jumlah dari seluruh perkalian

kecepatan – unsur volume dari isi sistemnya.

Untuk sebuah sistem dan sebuah volume atur tetap dan tidak berdeformasi

65 Gambar 4.1: Sistem dan volume atur pada waktu yang berbeda. (a) Sistem dan

volume atur pada t – . (b) Sistem dan volume atur pada waktu t, kondisi yang berimpit (c) Sistem dan volume atur pada t + .

Pada persamaan (4-3), dinyatakan bahwa laju perubahan terhadap waktu dari massa

sistem adalah jumlah dari dua kuantitas volume atur, yaitu laju perubahan terhadap

waktu dari massa kandungan volume atur

cv

dan laju netto massa aliran melalui permukaan atur

cs

Apabila sebuah aliran tunak, maka seluruh sifat medan (yaitu sifat dari suatu titik

tertentu), termasuk kerapatan tetap konstan terhadap waktu, dan laju perubahan

terhadap waktu dari massa kandungan volume atur adalah nol. Artinya,

cv = 0

Integral, , dalam integral laju aliran massa menyatakan perkalian dari

komponen kecepatan V, yangtegak lurus terhadap suatu bagian kecil permukaan atur

dan bidang diferensial dA. Jadi, , adalah laju aliran volmue melalui dA dan

. adalah laju aliran massa melalui dA. Lebih lanjut lagi, tanda dari perkalian titik, adalah “+” untuk aliran keluar dari volume atur dan “-“ untuk aliran ke

dalam volume atur karena n di anggap positif apabila menunjuk keluar dari volume

atur. Jika seluruh kualitas diferensial . , dijumlahkan pada seluruh permukaan

atur, seperti yang ditunjukkan oleh integral

cs

66 cs = mkeluar - mke dalam ……….. (4-4)

di mana adalah laju aliran massa (slug/s atau kg/s). Jika integral pada persamaan

(4-4) adalah positif, aliran netto mengarah keluar dari volume atur, jika integral

negatif, aliran netto mengarah ke dalam volume atur.

Pernyataan volume atur untuk kekekalan massa, yang biasanya disebut persamaan kontinuitas, untuk volume atur yang tetap dan tidak berdeformasi diperoleh dengan mengkombinasikan persamaan (4-1), (4-2), dan (4-3) yang menghasilkan

cv + cs = 0 ………. (4-5)

Dengan kata-kata, persamaan (4-5) menyatakan bahwa untuk menjaga kekekalan

massa, laju perubahan terhadap waktu dari massa kandungan volume atur ditambah

dengan laju netto aliran massa melalui permukaan atur harus sama dengan nol.

Sesungguhnya, hasil yang sama mungkin dapat diperoleh secara lebih langsung

dengan menyamakan laju aliran massa ke dalam dan keluar volume atur dengan

penumpukan atau pengurangan massa di dalam volume atur. Namun demikian, fakta

bahwa teorema transport Reynolds berlaku dalam kasus sederhana yang mudah

dimengerti ini kembali menambah keyakinan kita. Keyakinan ini akan sangat

membantu kita dalam mengembangkan pernyataan volume atur untuk prinsip-prinsip

penting lainnya.

Pernyataan yang sering digunakan untuk laju aliran massa, melalui sebuah bagian

dari permukaan atur dengan luas A adalah

= = ………. (4-6)

di mana adalah kerapatan fluida, Q adalah laju aliran volume (ft3/s atau m3/s), dan V adalah komponen kecepatan fluida yang tegak lurus bidang A. Karena

= A

Penetapan dari persamaan (4-6) menyangkut penggunaan nilai perwakilan atau

rata-rata dari kerapatan fluida, , dan kecepatan fluida, V. Untuk aliran tak mampu-mampat, , terdistribusi secara seragam di seluruh bidang A. Untuk aliran mampu-mampat kita biasanya mengasumsikan suatu kerapatan fluida yang terdistribusi

secara seragam pada bagian aliran dan hanya memperbolehkan kerapatan berubah

67 adalah nilai rata-rata dari komponen kecepatan yang normal terhadap bagian bidang

yang terlibat. Nilai rata-rata ini, V, didefinisikan sebagai

=

……… (4-7)

Jika kecepatan dianggap terdistribusi secara seragam (aliran satu dimensi) di seluruh

bagian bidang, A, maka

=

……….. (4-8)

tanda notasi garis diatas tidak diperlukan (seperti dalam contoh 5.1). apabila

alirannya tidak terdistribusi secara seragam di seluruh penampang bidang aliran,

notasi garis di atas mengingatkan kita mengenai digunakannya suatu kecepatan

rata-rata .

2. VOLUME ATUR TETAP, TIDAK BERDEFORMASI

Pada banyak penerapan mekanika fluida, suatu volume atur yang tepat untuk

digunakan adalah yang tetap dan tidak berdeformasi. Berikut ini ditampilkan

beberapa contoh soal yang melibatkan persamaan kontinuitas untuk volume atur

yang tetap dan tidak berdeformasi.

CONTOH 4.1

Air laut mengalir secara tunak melalui sebuah nossel berbentuk kerucut

sederhana pada ujung sebuah selang pemadam kebakaran seperti yang diilustrasikan

pada gambar C4.1. Jika kecepatan keluar nossel tersebut harus sekurang-kurangnya

20 m/s, tentukan kapasitas pemompaan minimum yang dibutuhkan, dalam m3/s.

68

Penyelesaian:

Kapasitas pemompaan yang dicari adalah laju aliran volume yang dialirkan oleh

pompa pemadam kebakaran menuju selang dan nossel. Karena kita menginginkan

pengetahuan mengenai laju aliran debit pompa dan kita mempunyai informasi

mengenai laju aliran keluar nossel, kita menghubungkan kedua laju aliran ini dengan

volume atur yang ditunjukkan dengan garis putus-putus pada Gambar C.4.1. Volume

atur ini berisi, pada setiap saat, air laut yang berada di dalam selang dan nossel dari

keluaran pompa menuju bidang keluaran nossel.

Persamaan (4-5). diterapkan pada isi volume atur ini untuk memberikan

cv + cs = 0 (1)

Karena alirannya tunak maka laju perubahan terhadap waktu dari massa kandungan

volume atur ini adalah nol. Dari persamaan (4-4), kita lihat bahwa integral

permukaan atur di dalam persamaan (1) melibatkan laju aliran massa pada keluaran

pompa di bagian (1) dan pada sisi keluar nossel di bagian (2) atau

cs = 2– 1 = 0

Sehingga

2 = 1 (2)

karena laju aliran massa sama dengan perkalian dari kerapatan fluida, , dan laju

aliran volume, Q, (lihat persamaan 4-6) dari persamaan (2) kita memperoleh

2Q2 = 1Q1 (3)

Cairan yang mengalir dengan kecepatan rendah, seperti dalam contoh ini, dapat

dianggap tidak mampu-mampat. Oleh karena itu 1 = 2 dan persamaan (3)

Q1= Q2 (4)

Kapasitas pemompaan sama dengan laju aliran volume di sisi keluar nossel. Jika

untuk penyederhanaan distribusi kecepatan di bidang keluaran nossel, bagian (2),

dianggap seragam (satu dimensi), maka dari Persamaan (4), (4-6) dan (4-8)

Q1 =Q2 = V2A2

= V2 = (20m/s) 2= 0,0251 m3/s ………… (jawaban) Contoh soal sebelumnya mengilustrasikan beberapa hasil penting dalam menerapkan

prinsip kekekalan massa pada kandungan sebuah volume atur yang tetap dan tak

69 dan “-“ untuk aliran ke dalam volume atur. Jadi, laju aliran massa keluar dari volume atur adalah “+’ dan laju aliran massa ke dalam adalah ”-“, apabila alirannya tunak, maka laju perubahan terhadap waktu dari massa kandungan volume atur

cv

adalah nol dan oleh karena itu laju aliran massa netto, m, melalui permukaan atur, juga nol.

keluar - ke dalam= 0 ………. (4-9)

Jika aliran tunak tersebut juga tidak mampu-mampat, maka laju aliran volume netto,

Q, melalui permukaan atur juga nol:

Qkeluar - Qke dalam= 0

……… (4-10)

Suatu aliran siklis yang tak-tunak dapat dianggap aliran tunak berdasarkan waktu

rata-rata. Apabila aliran tidak tunak, laju perubahan terhadap waktu sesaat dari

massa kandungan volume atur tidak selalu nol dan mungkin merupakan variabel

yang penting. Apabila nilai

cv

adalah “+”, maka massa dari kandungan volume atur meningkat. Apabila nilainya “ -“, maka massa dari kandungan volume atur berkurang.

Apabila aliran terdistribusi secara seragam di seluruh bukaan di permukaan atur

(aliran satu dimensi),

=

di mana V adalah nilai seragam dari komponen kecepatan yang normal terhadap luas

penampang A. Apabila kecepatan terdistribusi tidak secara seragam pada bukaan permukaan atur,

m = ……….. (4-11)

di mana adalah nilai rata-rata dari komponen kecepatan normal terhadap luas

penampang A, sebagaimana didefinisikan oleh persamaan (4-7)

Untuk aliran tunak yang melibatkan hanya satu arus fluida tertentu yang

mengalir melalui volume atur pada bagian (1) dan (2)

= 1A1V1 = 2A2V2 ………. (4-12) dan untuk aliran tak mampu-mampat

70 Untuk aliran tunak yang melibatkan lebih dari satu arus fluida tertentu atau lebih

dari satu jenis fluida yang tepat bahwa volume atur tetap yang tak berdeformasi luas

penerapannya dan banyak gunanya.

3. VOLUME ATUR BERGERAK, TAK BERDEFORMASI

Kadang-kadang kita perlu menggunakan volume atur yang diletakkan pada

sebuah kerangka acuan yang bergerak. Contoh-contohnya antara lain adalah volume

atur yang memuat mesin turbin gas pada pesawat yang sedang terbang, cerobong asap pada kapal laut yang berlayar, tangki bensin dari mobil yang berjalan, dan sebagainya.

Apabila yang digunakan volume atur bergerak, maka kecepatan fluida relatif

terhadap volume aturnya (kecepatan relatifnya) adalah sebuah variabel medan aliran

yang penting. Kecepatan relatif, W, adalah kecepatan fluida dilihat oleh seorang

pengamat yang bergerak bersama volume atur. Kecepatan volume atur,

V

cv, adalah

kecepatan dari volume atur sebagaimana dilihat dari sebuah sistem koordinat yang

tetap. Kecepatan mutlak, V, adalah kecepatan fluida yang dilihat oleh seorang

pengamat yang diam di dalam sebuah sistem koordinat yang diam.

Kecepatan-kecepatan ini dihubungkan satu sama lainnya oleh persamaan vektor

V = W + Vcv ……… (4-14)

Untuk sebuah sistem dan sebuah volume atur bergerak dan tidak berdeformasi

yang berimpit pada suatu saat tertentu. Teorema transport Reynolds untuk sebuah

volume atur yang bergerak menghasilkan

=

cv

+

cs ………….. (4-15)

Dari Persamaan (4-1) dan (4-15), kita dapat memperoleh pernyataan volume atur

untuk kekekalan massa (persamaan kontinuitas) untuk sebuah volume atur yang

bergerak dan tidak berdeformasi sebagai

cv + cs = 0 ……… (4-16)

71

CONTOH 4.2

Sebuah pesawat terbang bergerak maju dengan kecepatan 971 km/jam seperti

ditunjukkan pada gambar C4.2. Luas penampang muka dari sisi masuk mesin jetnya

adalah 0,80 m2 dan kerapatan udara masuk adalah 0,736 kg/m3. Seorang pengamat

diam menentukan bahwa relatif terhadap bumi, gas buang mesin jet keluar menjauhi

mesin dengan kecepatan 1050 km/jam. Luas penampang sisi buang mesin adalah

0,558 m2, dan kerapatan gas buang adalah

Penyelesaian:

Volume atur yang bergerak bersama pesawat terbang (lihat gambar C4.2)

,mengelilingi mesin dan isinya dan mencakup pada fluida yang terlibat pada suatu

saat. Penerapan persamaan (4-16) terhadap kandungan volume atur ini menghasilkan

0

cv + cs = 0 (1)

Dengan mengasumsikan bahwa aliran satu dimensi, kita evaluasi integral permukaan

pada persamaan (1) dan kita dapatkan bahwa

- bahan bakar masuk - 1A1W1+ 2A2W2= 0 atau

bahan bakar masuk = 2A2W2 - 1A1W1 (2)

72 Kita tinjau bahwa kecepatan masuk, W1, relatif terhadap volume atur yang bergerak, sama dengan besar kecepatan dari pesawat terbang, 971 km/jam. Kecepatan gas

buang, W2, juga perlu di ukur relatif terhadap volume atur yang bergerak tersebut. Karena seorang pengamat yang diam memperhatikan bahwa gas buang keluar

menjauhi mesin dengan kecepatan 1050 km/jam, maka kecepatan gas buang relatif

terhadap volume atur yang bergerak, W2, ditentukan dengan menggunakan Persamaan (4-14) sebagai berikut,

V2 = W2 + Vpesawat

atau

W2= V2- Vpesawat= 1050 km/jam +971 km/jam = 2021 km/jam

Dan tunjukkan pada gambar C4.2b

Dari persamaan (2)

bahan bakar masuk= (0,515 kg/m3)(0,558 m2)(2021 km/jam)(1000m/km)

– (0,736 kg/m3)(0,80 m2)(971 km/jam)(1000m/km)

= (580,800 – 571,700) kg/jam

bahan bakar masuk= 9100 kg/jam (jawaban)

Perhatikan bahwa laju aliran bahan bakar diperoleh sebagai perbedaan dari dua

bilangan besar yang hampir sama. Nilai-nilai W1 dan W2 diperlukan untuk memperoleh nilai bahan bakar masuk yang cukup akurat.

Apabila sebuah volume atur bergerak dan tak berdeformasi digunakan, maka tanda

perkalian titik yang digunakan sebelumnya untuk penerapan volume atur yang tetap

dan tak berdeformasi masih berlaku. Demikian pula, jika aliran di dalam volume atur yang bergerak adalah tunak, atau tak-tunak berdasarkan rata-rata waktu, laju perubahan terhadap waktu dari massa kandungan volume atur adalah nol. Kecepatan yang dilihat dari kerangka acuan volume atur (kecepatan relatif) harus

digunakan dalam persamaan kontinuitas. Kecepatan-kecepatan relatif dan mutlak

dihubungkan oleh sebuah persamaan vektor (persamaan 4-14), yang juga melibatkan

73

II.

HUKUM

KEDUA

NEWTON-

PERSAMAAN-PERSAMAN

MOMENTUM LINIER

1. PENURUNAN PERSAMAAN MOMENTUM LINIER

Hukum kedua Newton dari gerak sebuah sistem adalah

Karena momentum adalah massa dikalikan dengan kecepatan, maka

momentum dari sebuah partikel kecil adalah V . Jadi, momentum dari

seluruh sistem adalah sys dan hukum Newton menjadi

sys V = Fsys ……… (4-17)

Sistem koordinat atau acuan apapun di mana pernyataan ini berlaku disebut

inersial. Sebuah sistem koordinat yang tetap adalah inersial. Sebuah koordinat

sistem yang bergerak dalam sebuah garis lurus dengan kecepatan konstan, (tanpa

percepatan), juga inersial. Kita selanjutnya mengembangkan rumus untuk volume

atur bagi hukum yang penting ini. Apabila sebuah volume atur berimpit dengan

sebuah sistem pada suatu saat, gaya-gaya yang bekerja pada sistem tersebut dan

gaya-gaya yang bekerja pada kandungan dari volume atur yang berimpit (lihat

gambar 4.2) dalam sesaat menjadi identik, artinya

F

sys

= F

kandungan volume atur yang berimpit ……….. (4-18)

Lebih lanjut lagi, untuk sebuah sistem dan kandungan volume atur yang berimpit

yang tetap dan tidak berdeformasi, teorema transport Reynolds memungkinkan

74 Persamaan (4-19) menyatakan bahwa laju perubahan terhadap waktu dari

momentum linier sistem dinyatakan sebagai jumlah dari dua kuantitas volume

atur; laju perubahan terhadap waktu dari momentum linier kandungan volume atur, dan laju netto aliran momentum linier melewati permukaan atur. Ketika partikel-partikel massa bergerak masuk atau keluar dari sebuah volume atur

melewati permukaan atur, partikel-partikel tersebut membawa momentum linier

masuk atau keluar. Jadi, aliran momentum kelihatannya tidak terlalu berbeda

dengan aliran massa.

Untuk volume atur yang tetap (yang inersial) dan tidak berdeformasi,

persamaan (4-19), (4-20) dan (4-21) menunjukkan bahwa pernyataan matematika

yang tepat untuk hukum kedua newton tentang gerak adalah

cv + cs = Fkandungan volume atur ……… (4-20)

Kita menyebut Persamaan (4-20) sebagai persamaan momentum linier.

Dalam penerapan persamaan momentum linier, untuk mudahnya

mula-mula kita membatasi diri pada volume atur tetap yang tak berdeformasi.

Selanjutnya, kita membahas penggunaan dari volume atur tak berdeformasi yang

bergerak namun inersial. Kita tidak meninjau dahulu volume atur yang

berdeformasi dan mengalami percepatan (tidak inersial). Jika sebuah volume atur

tidak inersial, komponen percepatan yang terlibat (misalnya, percepatan translasi,

percepatan Coriolis dan percepatan sentrifugal) perlu dipertimbangkan.

Gaya-gaya yang terlibat dalam persamaan (4-20) adalah gaya-gaya badan

dan permukaan yang bekerja pada apa yang terkandung dalam volume atur.

Satu-satunya gaya badan yang dipertimbangkan dalam bab ini adalah gaya yang

berkaitan dengan aksi gravitasi. Kita mengalami gaya badan ini sebagai berat.

Gaya-gaya permukaan pada dasarnya dikenakan pada kandungan volume atur

oleh materi di luar volume atur yang bersentuhan dengan materi di dalam volume

atur pada antarmuka bersama, yang biasanya adalah bukaan pada permukaan atur

yang dilalui oleh fluida yang mengalir. Sebuah benda yang terendam dapat

75 Suku momentum linier pada persamaan momentum memerlukan penjelasan

yang sangat cermat. Di sini akan di perjelas arti penting fisiknya dalam

subbab-subbab berikutnya.

Gambar 4.2 : Gaya-gaya luar yang bekerja pada system dan volume atur

2. PENERAPAN PERSAMAAN MOMENTUM LINIER

Persamaan momentum linier untuk volume atur inersial adalah sebuah

persamaan vektor (persamaan 4-22). dalam penerapan keteknikan,

komponen-komponen dari vektor ini, yang diuraikan sepanjang sumbu-sumbu koordinat,

misalnya x, y dan z (sitem koordinat ruang) atau r, , x (sistem koordinat silinder)

biasanya adalah yang akan digunakan. Mula-mula satu contoh sederhana yang

melibatkan aliran tunak tak mampu-mampat akan ditinjau.

CONTOH 4.4

Seperti yang ditunjukkan pada gambar C4.4a, sebuah jet air horizontal keluar dari

sebuah nossel dengan kecepatan seragam sebesar V1 = 10 ft/s, menumbuk sebuah

sudut, dan berbelok dengan sudu . Tentukan gaya penahan yang dibutuhkan

76

Penyelesaian:

Kita memilih sebuah volume atur yang memuat sudu dan sebagaian air (lihat

gambar C4.4b,c) dan menerapkan persamaan momentum linier terhadap volume

atur yang tetap ini. Komponen-komponen x dan z dari persamaan (4-22) menjadi

cv + cs = Fx (1)

Dan

cv + cs = Fz (2)

di mana V = u i + w k dan Fx dan Fz adalah komponen – konponen netto x dan

z

dari gaya yang bekerja pada kandungan volume atur.

Air masuk dan keluar dari volume atur sebagai jet bebas pada tekanan

atmosfer. Jadi, terdapat tekanan atmosfer yang mengelilingi seluruh volume atur,

dan gaya tekan netto pada permukaan atur adalah nol. Jika kita mengabaikan berat

77 komponen-komponen horizontal dan vertikal dari gaya-gaya penahan, yaitu FAx

dan FAz .

Bagian-bagian pada permukaan atur yang dilintasi aliran fluida adalah

bagian (1) (sisi masuk) di mana V . n = - V1 dan bagian (2) (sisi keluar), di mana

V . n = +V2 (ingat bahwa vektor normal satuan mengarah keluar dari permukaan

atur). Demikian pula, dengan efek-efek gravitasi dan viskos yang dapat diabaikan,

dan karena p1 = p2, maka kecepatan fluida tetap konstan, sehingga V1 = V2 =

Perhatikan bahwa karena aliran seragam melintasi sisi masuk dan keluar, bentuk

integral menjadi sederhana, berupa perkalian-perkalian. Persamaan (3) dan (4)

dapat disederhanakan dengan menggunakan kekekalan massa, yang menyatakan

bahwa untuk aliran tak mampu-mampat ini A1V1 = A2V2, atau A1 = A2 karena

78 maka FAx = -11,64 1b dan FAz = 11,64 1b. Diperlukan dorongan pada sudu dan

dengan demikian sudu perlu mendorong arah aliran air) ke arah kiri (FAx negatif)

dan ke atas, untuk mengubah arah aliran air dari horizontal menjadi vertikal.

Perubahan momentum membutuhkan sebuah gaya. Jika = 180º, jet air akan

diputar balik pada dirinya sendiri. Hal ini tidak membutuhkan gaya vertikal (FAz =

0), namun gaya horizontal (FAx = -23,3 1b) besarnya dua kali yang dibutuhkan jika

= 90º. Gaya ini harus menghilangkan momentum fluida masuk dan membentuk

momentum keluar.

Perhatikan bahwa gaya penahan (persamaan 4-6) dapat ditulis dalam

suku-suku laju aliran massa = A1V1 , sebagai FAz = - V1 (1 - cos )

dan

FAz = V1 sin

Pada contoh ini, diperlukan gaya penahan untuk menghasilkan laju aliran

momentum (laju aliran massa dikalikan perubahan komponen x dan z dari kecepatan) netto tidak nol melintasi permukaan atur.

III.

HUKUM PERTAMA TERMODINAMIKA - PERSAMAAN

ENERGI

1. PENURUNAN PERSAMAAN ENERGI

Hukum Pertama termodinamika untuk sebuah sistem dinyatakan dengan kata-kata adalah

.

Dalam bentuk simbolik, pernyataan ini menjadi :

79 Beberapa dari variabel ini memerlukan penjelasan ringkas sebelum kita menuju

ke pembahasan yang lebih lanjut lagi. Energi tersimpan total per satuan massa

dari setiap partikel di dalam sistem, e, dihubungkan dengan energi dalam per satuan massa, , energi kinetik per satuan massa V2/2, dan energi potensial per

satuan massa, gz, menurut persamaan

e = + + gz ……….. (4-22)

Laju netto dari perpindahan kalor ke dalam sistem dinyatakan dengan Qke dalam netto

, laju netto perpindahan kerja ke dalam sistem dinyatakan dengan Wke dalam netto .

Perpindahan kalor dan perpindahan kerja dianggap “+” jika berlangsung ke dalam sistem dan “-“ jika ke luar sistem.

Persamaan (4-5) berlaku untuk sistem acuan inersial maupun tak inersial.

Kita akan mengembangkan pernyataan volume atur untuk hukum pertama

termodinamika. Untuk volume atur yang berimpit dengan sistem tersebut pada

suatu saat

(Qke dalam netto + Wke dalam netto )sistem = (Qke dalam netto + Wke dalam netto )volume kontrol berimpit

……… (4-23)

Lebih lanjut lagi, untuk sistem dan kandungan volume atur berimpit yang tetap

dan tak berdeformasi, teorema transport Reynolds, memungkinkan kita untuk

menyimpulkan bahwa

sistem = cv + cs ……… (4-24)

Atau dengan kata-kata,

Dengan mengkombinasikan persamaan (4-21), (4-23) dan (4-24), kita dapatkan

rumus volume atur untuk hukum pertama termodinamika sebagai:

80 cv + cs = (Qke dalam netto + Wke dalam netto )cv (4-25)

Total energi tersimpan per satuan massa, e, dalam persamaan (4-25) adalah untuk

partikel-partikel fluida yang masuk, keluar, dan yang berada di dalam volume

atur. Penjelasan lebih lanjut mengenai perpindahan kalor dan perpindahan kerja

yang terlibat dalam persamaan ini adalah sebagai berikut.

Laju perpindahan kalor Q, mewakili seluruh cara dengan mana energi dipertukarkan antara kandungan volume atur dengan lingkungan sekitarnya akibat

perbedaan temperatur. Jadi, radiasi, konduksi dan/atau konveksi merupakan

cara-cara yang mungkin terjadi . Perpindahan kalor ke dalam volume atur dianggap

positif, perpindahan ke luar volume atur dianggap negatif. Dalam banyak

penerapan keteknikan, proses adalah adiabatik; laju perpindahan kalor, Q, adalah nol. Laju netto perpindahan kalor, Q ke dalam netto, dapat juga menjadi nol apabila

ke dalam - keluar = 0.

Laju perpindahan kerja , W, disebut juga daya, adalah positif jika kerja dilakukan oleh lingkungan sekitar pada kandungan volume atur. Jika sebaliknya,

kerja dianggap negatif. Kerja dapat dipindahkan melintasi permukaan atur dengan

beberapa cara. Dalam paragraf-paragraf berikut, kita meninjau beberapa bentuk

yang penting dari perpindahan kerja.

Dalam banyak kasus, kerja dipindahkan melintasi permukaan atur melalui

sebuah poros yang bergerak. Dalam peralatan yang berputar seperti turbin, kipas,

dan baling-baling, sebuah poros yang berputar memindahkan kerja melintasi

bagian permukaan atur yang mengiris poros tersebut. Bahkan di dalam mesin

bolak-balik seperti kompresor dan motor pembakaran dalam tipe perpindahan

positif yang menggunakan susunan piston-silinder, digunakan sebuah engkol

poros yang berputar. Karena kerja adalah hasil perkalian titik dari gaya dengan

perpindahan yang berkaitan, laju kerja (atau daya) adalah hasil perkalian titik dari

gaya dengan perpindahan per satuan waktu yang berkaitan. Untuk sebuah poros

berotasi, perpindahan daya, W poros, berkaitan dengan torsi poros yang

menyebabkan putaran, T poros, dan kecepatan angular dari poros, , dengan hubungan

81 Ketika permukaan atur memotong material poros, torsi poros diberikan oleh

material poros pada permukaan atur. Untuk memungkinkan pertimbangan

terhadap persoalan yang melibatkan lebih dari satu poros, kita gunakan notasi

W

poros kedalam netto

=

poros ke dalam

-

poros keluar …….. (4-26)

Perpindahan kerja juga dapat terjadi pada permukaan atur apabila sebuah gaya

yang berkaitan dengan tegangan normal fluida bekerja pada suatu jarak. Tinjaulah

sebuah aliran pipa seperti yang diilustrasikan pada gambar 4.3 dan volume atur

yang ditunjukkan. Untuk situasi ini, tegangan normal fluida, , sama dengan nilai

negatif dari tekanan fluida, p, dalam semua arah; artinya,

=

-p

……….. (4-27)

Hubungan tersebut dapat digunakan dengan berbagai perkiraan untuk banyak

persoalan keteknikan. Yang bekerja pada sebuah partikel

Perpindahan daya yang berkaitan dengan tegangan-tegangan normal yang bekerja

pada sebuah partikel fluida tunggal, dWtegangan normal, dapat dievaluasi sebagai

perkalian titik antara gaya tegangan normal, δFtegangan normal dan kecepatan partikel

fluida, V, sebagai

δ tegangan normal = δFtegangan normal. V

Jika gaya tegangan normal dinyatakan sebagai perkalian dari tegangan normal

local,

=

-p

dan luaspermukaan partikel fluida, δA maka hasilnya adalah

Perhatikan bahwa nilai tegangan normal untuk partikel-partikel permukaan dalam

pipa yang terbasahi adalah nol karena disana V . adalah nol. Jadi tegangan normal

dapat tidak nol hanya di tempat fluida masuk dan keluar dari volume atur.

Perpindahan kerja dapat juga terjadi pada permukaan atur akibat gaya tegang

tangensial. Kerja poros yang berputar dipindahkan melalui tegangan tangensial

82 δ tegangan normal dapat dievaluasi sebagai perkalian titik dari gaya tegang

tangensial, δFtangensial stress dan kecepatan partikel fluida, V, artinya; δ tegangan normal = δFtangensial stress . V

Untuk volume atur pada gambar 4.3 kecepatan partikel fluida adalah nol,

diseluruh permukaan dalam pipa yang terbasahi. Jadi, tidak terdapat kerja

tegangan tangensial yang dipindahkan melintasi bagian dari permukaan atur

tersebut. Secara umum, kita memilih volume atur seperti yang ditunjukkan pada

gambar 4.3 dan menganggap perpindahan daya tegangan tangensial sangat kecil

dan dapat diabaikan.

Dengan menggunakan informasi yang telah kita kembangkan mengenai daya,

kita dapat menyatakan hokum pertama termodinamika untuk kandungan volume

atur dengan mengkombinasikan persamaan (4-26), (4-27), (4-28) untuk

mendapatkan

+ = ke dlm netto + poros ked lm netto -

……… (4-29)

Apabila persamaan untuk energy tersimpan total (persamaan 4-22) ditinjau

dengan persamaan (4-29), kita mendapatkan persamaan energy;

+ dA = ke dlm netto + poros ke dlm netto

………. (4-30)

Gambar 4.3 : Aliran pipa sederhana yang berkembang penuh

2. PENERAPAN PERSAMAAN ENERGI

Pada persamaan (4-32) suku mewakili laju perubahan terhadap

83 apabila alirannya tunak. Suku ini juga nol secara rata-rata apabila aliran tunak

secara rata-rata (siklis).

Pada persamaan (4-32), integran dari

dA

Dapat menjadi tidak nol hanya di tempat fluida melintasi permukaan atur (

). Sebaliknya adalah nol dan integran juga nol untuk bagian dari

permukaan atur tersebut. Jika sifat di dalam kurung, semua

diasumsikan terdistribusi seragam diseluruh bidang penampang aliran yang

terlibat, pengintegralan menjadi sederhana dan menghasilkan

dA =

- ……. (4-31)

Lebih jauh lagi, jika hanya terdapat satu aliran masuk dan keluar volume atur,

maka

dA = keluar keluar

- masuk masuk

……….. (4-32)

Aliran seragam sebagaimana yang digambarkan di atas akan terjadi di dalam

tabung arus (streamtube) yang berdiameter sangat kecil seperti diilustrasikan pada

gambar 4.4.

84 Apabila kerja poros terlibat, aliran pasti taktunak, setidaknya secara local.

Aliran di dalam mesin fluida apapun yang melibatkan kerja poros adalah taktunak

didalam mesin tersebut. Sebagai contoh, kecepatan dan tekanan pada lokasi yang

tetap di dekat sudu yang berotasi dari sebuah kipas bersifat aliran taktunak.

Namun dihulu dan dihilir mesin tersebut, alirannya mungkin tunak. Kerap kali,

kerja poros dikaitkan dengan aliran yang taktunak secara berulang atau secara

siklis. Berdasarkan rata-rata waktu untuk aliran yang satu dimensi, siklis dan

melibatkan hanya satu arus fluida masuk dan keluar volume atur, persamaan

(4-30) dapat disederhanakan dengan bantuan persamaan (4-9) dan (4-32) menyusun

keluar– kedalam + ( )keluar - ( )kedalam + + g(zkeluar – zkedalam) =

kedalam netto + shaft kedalam netto ……… (4-33)

Persamaan (4-33) disebut Persamaan energy satu dimensi untuk aliran yang tunak secara rata-rata. Persamaan ini berlaku untuk aliran-aliran tak mampu-mampat dan mampu-mampu-mampat. Sering kali sifat fluida yang disebut entalpi ,

dimana

= +

... (4-34)

Digunakan dalam persamaan (4-33). Dengan entalpi, persamaan energy satu

dimensi untuk aliran yang tunak secara rata-rata. Persamaan (4-33) menjadi

keluar – kedalam + ( )keluar - ( )kedalam + + g(zkeluar – zkedalam) =

kedalam netto + shaft kedalam netto …… (4-35)

Persamaan (4-34) sering digunakan untuk menyelesaikan persoalan aliran

mampu-mampat.

C. PENUTUP

85

TUGAS LATIHAN

Tugas latihan ini dibagi menjadi empat kelompok dan setiap kelompok membuat

poster dan menjelaskan pemakaian hukum dasar mekanika fluida dari tugas yang

dikerjakan dan dipresentasikan .

3.1. Air pada suhhu 200C dan tekanan 1 atm mengalir melalui pipa bergaris tengah 6

inci dengan kecepatan rata-rata 20 ft/s. Hitunglah (a) debitnya dalam meter

perkubik, (b) debitnya dalam galon per menit ( 1 gal Amerika = 231 inci kubik )

dan (c) fluks-beratnya dalam pound gay per sekon.

3.2. Air mengalir dengan tunak melalui sebuah kotak di tiga tampang seperti pada

gambar dibawah ini. Tampang 1 bergaris tengah 3 inci dan aliran masuknya

berdebit 1 ft3/s. Tampang 2 bergaris tengah 2 inci dan aliran keuarnya

mempunyai kecepatan rata-rata 30ft/s. Hitunglah kecepatan rata-rata dan debit di

tampang 3 kalau D3 = 1 inci. Masuk atau keluarkah aliran di tampang 3?

3.3. Tangki air dalam gambar dibawah sedang diisi melalui tampang 1 dengan

kecepatan V1 = 10 ft/s dan melalui tampang 3 dengan debit 0,5 ft3/s. Kalau tinggi

permukaan air h itu tetap., tentukan kecepatan alitan keluar V2 dalam kaki per

86

3.4. Air mengalir dengan tunak melalui cerat dalam gambar dibawah dengan fluks

massa 50 kg/s. Garis tengahnya ialah D1 = 20 cm dan D2 = 6 cm. Hitunglah

kecepatan rata-rata di tampang 1 dan tampang 2 dalam meter per sekon.

3.5. Sebuah pompa bensin mengisi tagki berkapasitas 75 liter dalam waktu 1 menit

lebih 10 sekon. Kalau garis tengah ujung pompa itu 3 cm, berapakah kecepatan

rata-rata keluarnya aliran pompa itu dalam sentimeter per sekon?

3.6. Sebuah tangki yang berisi udara dengan suhu 200C dan tekanan 100 kPa akan

dikosongkan dengan pompa penghisap. Volume tangki itu 1 m3, dan pompa

tersebut menyedot udara dengan debit 80 liter/menit, berapa pun tekanannya.

Kalau udara itu dianggap sebagai gas sempurna dan prosesnya dianggap

isotermal. Tentukan waktu dalam satuan menit yang diperlukan untuk

mengurangi tekanan udara dalam tangki itu sampai tinggal 1 kPa. Petunjuk : soal

87 3.7. Air mengalir melalui kanal yang lebar dan rata dengan profil kecepatan bergolak u ≈ U0 (z/z0)1/7, seperti tampak pada gambar dibawah. Kalau U0 = 2,8 ft/s dan z0 = 8 ft, hitunglah debit dan fluks berat dalam kanal itu persatuan lebarnya (ke

dalam kertas)

3.8. Dua fluida tercampurkan yang BJnya berbeda masuk melalui tampang 1 dan

tampang 2, seperti pada gambar dibawah. Kalau alirannya tunak dan

pencampurannya sempurna sebelum keluar, hitunglah kecepatan rata-rata, fluks

massa, dan bobot jenis campuran itu ketika melalui tampang 3.

3.9. Pompa semburan air dalam gambar dibawah menyemprotkan air dengan

kecepatan U1 = 100 ft/s melalui pipa berdiameter 3 inci dan bergabung dengan

aliran air yang kedua yang kecepatannya U2 = 10 ft/s di daerah cincin di

sekeliling pipa kecil itu. Kedua aliran itu menjadi tercampur sungguh-sungguh

pada daerah hilir, tempat U3 kira-kira tetap. Kalau aliran itu tunak dan

88 3.10.Semburan air pada gambar dibawah mengenai lempeng yang letaknya tetap

pada arah normal. Abaikan gravitasi dan gesekan, dan tentukan gaya F yang

perlu untung mempertahankan posisi lempeng itu, dalam Newton.

3.11. Cerat mendatar pada gambar dibawah mempunyai garis tengah D1 = 8 inci dan

D2 = 4 inci. Tekanan pada tampang masuknya p1 = 50 lbf/in2 mutlak, dan

kecepatan di tampang keluarnya V2 = 72 ft/s. Tentukan gaya yang diberikan

oleh baut karahnya untuk mempertahankan cerat itu pada selang. Anggaplah

alirannya tunak dan takmampu-mampat.

3.12.Aliran pada gambar dibawah adalah minyak (BJ=0,86) yang kecepatannya di

89 110 kPa, sedang gaya gesekannya di antara 1 dan 2 terukur 15 N. Berapa

tekanan p2 dalam kilopascal?

DAFTAR PUSTAKA

1. White,F,M., 1996, Fluid Mechanics, Mcgraw-Hill, New York

2. Fogiel, M, 1986, The Fluid Mechanics and Dinamics Problem Solver, REA, New York 3. Munson Bruce, 2002, Fundamental of Fluid Mechanics fourth edition, John Willey

and Sons, Inc