SKL I Memahami pernyataan dan ingkaranny 002

h

t

t

p

:

/

/

m

a

t

e

m

a

t

r

i

c

k

.

b

l

o

g

s

p

o

t

.

c

o

m

1. Bentuk umum fungsi kuadrat : f ( x )=ax2 + bx + c, a ≠ 2. Grafik fungsi kuadrat berupa parabola

3. Grafik fungsi kuadrat ditinjau dari tanda ( nilai ) a dan D ( dengan D = b2 – 4.a.c )

 Untuk a > 0/ a positif ( grafik selalu terbuka ke atas ) ada 3 jenis :`

 Untuk a < 0 ( grafik terbuka ke bawah ) 4. Unsur – unsur grafik fungsi kuadrat :

Menentukan unsur – unsur grafik fungsi kuadrat jika diketahui persamaan grafiknya ( y = a x2 + b x + c ) atau diketahui gambarnya:

 Untuk menentukan titik potong dengan sumbu X : Cari saja dua bilangan x1 dan x2 yang memenuhi

x1 + x2 =

a

b



maka titik potong dg sumbu X-nya adalah (x1 , 0 ) dan ( x2 , 0 )

 Untuk menentukan persamaan sumbu simetri :

Gunakan rumus x =

a

b

2



atau

x =

2

2

1

x

x



 Untuk menentukan titik potong dengan sumbu Y : Lihat saja c nya pada persamaan tersebut. Sebab titik potong dengan sumbu Y adalah ( 0, c ) Contoh : y = 3 x2 + 5x + 1 ; maka titik potong dengan

sumbu Y- nya adalah ( 0,1 )

Jika y = -2 x2 +3x – 4; maka titik potong dengan sumbu Y-nya adalah ( 0, -4 )

 Titik puncak/ titik balik



x

_b

,

y

_b



a

b

x

_b

2





atau dapat di cari dengan xb =

2

2

1

x

x



a

D

y

b

4





atau subtitusikan xb ke persamaan, sehingga

menjadi

y

_b



ax

_b2



bx

_b



c

Dan ingat

D



b

2



4

ac

( diskriminan )

1. Koordinat titik ekstrem kurva dengan persamaan y = x2– +9 adalah….

a. ( -2 , 21) b. ( -2 , 9 ) c. ( 0 , 9) d. ( 2 , 9 ) e. ( 2 , 5 ) Penyelesaian :

Jelas a = 1, b= -4, c = 9

Titik ekstrim = titik balik = titik puncak

2

2

4

1

.

2

)

4

(

2















a

b

x

_b

5

9

8

4

9

2

.

4

2

9

4

2

2





















_{b b}

b

x

x

y

X

a>0

D>0 a>0 D=0

a>0 D<0

Grafik terbuka ke atas dan memotong sumbu X di dua titik berbeda

Grafik terbuka ke atas dan menyinggung

sumbu X

Grafik terbuka ke atas dan

tidak memotong

ataupun menyinggung

sumbu X

X X

Jadi a>0 membuat grafik terbuka ke atas, dan D menentukan keadaan grafik memotong atau menyinggung atau tidak sama

sekali terhadap sumbu X

X Y

Titik puncak / titik balik ( pada grafik di samping berupa titik

balikmaksimum )

Titik potong dg Sumbu X, di titik

tersebut y = 0

Garis / Sumbu simetri( di tengah antara dua titik

potong dg sumbu X ) Titik potong dengan

h

t

t

p

:

/

/

m

a

t

e

m

a

t

r

i

c

k

.

b

l

o

g

s

p

o

t

.

c

o

m

( jadi untuk mencari yb dengan cara menggantikan x dengan xb pada persamaan yang diketahui ) Jadi titik ekstrimnya : ( 2, 5 ) ( E )

2. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat y = 3x2 + 7x – 6 dengan sumbu X adalah ....

a.













0

,

3

2

dan





3

,

0



d.





3

,

0



dan













,

0

2

3

b.













0

,

3

2

dan

 

3

,

0

e.













2

3

,

0

dan



0

,



3



c.













0

,

2

3

dan





3

,

0



Penyelesaian :

( i ). Titik potong dengan sumbu X, jelas y-nya / yang dibelakang harus 0, jadi pilihan E jelas salah.

( ii ). Kemudian cari dua bilangan di posisi x yang jumlahnya =

a

b



=

3

7



, maka jawabannya ( A ) sebab

3 7 3

9 2 ) 3 ( 3

2_{  }  _

1. Koordinat titik balik dari grafik fungsi kuadrat yang persamaannya y = (x – 6)(x + 2) adalah ....( UN 2010 )

a. (–2, 0) b. (–1, –7) c. (1, –15) d. (2, –16) e. (3, –24)

2. Koordinat titik potong kurva y = x2– 2x – 8 dengan sumbu X

adalah ….

a. (-4 , 0) dan ( -2 , 0) b. (-4 , 0) dan ( 2 , 0) c. (-2 , 0) dan (4 , 0) d. (2 , 0) dan ( 4 , 0) e. (2 , 0) dan (8 , 0)

3. Koordinat titik puncak dari grafik y = x2– 6x + 5 adalah ....

a. (6, 5) d. ( – 3,32)

b. (3, – 4) e. ( – 6,5) c. (3, – 14)

4. Nilai minimum fungsi kuadrat f( x ) = 2x2 – 2x + 6 adalah ....

a.

2

11

b.

2

9

c.

2

7

d.

2

5

e.

2

1

5. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat 2

3 2 

 x x

y dengan sumbu X dan sumbu Y adalah … .( UN 2010 )

a. (-1,0), _

    

0 , 3

2 _{, dan (0,2)}

b. _

     ,0

3

2 _{, (1,0), dan (0, -2)}

c. _

     ,0

3

2 _{, (1,0), dan}

      

3 2 , 0

d. _

     ,0

3

2 _{, (-1,0), dan (0, -1)}

e. _

    

0 , 2

3 _{, (1,0), dan (0, 3)}

6. Persamaan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat

y = 5x2 -20x + 1 adalah ....( UN 2011 ) a. x = 4

h

t

t

p

:

/

/

m

a

t

e

m

a

t

r

i

c

k

.

b

l

o

g

s

p

o

t

.

c

o

m

2

1

y =f(x)

6

Ini artinya titik potong dg sumbu Y; yaitu ( 0,6 )

a.y = x2– 3x + 2 b.y = x2 + 3x + 2

c. y = 3x2 + 9x + 6

d.y = 3x2– 9x + 6

e. y = -3x2 + 9x + 6

X

Y

Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat

1. Jika diketahui titik – titk potong dengan sumbu X ( ( x1 , 0 ) dan ( x2 , 0 ) diketahui )

Persamaannya :

y



a

(

x



x

₁

).(

x



x

₂

)

Cara singkatnya : y = x2 – ( x1 + x2 ) x + x1 .x2 , kemudian

disesuaikan ( lihat contoh )

2. Jika diketahui koordinat titik puncak / titik balik (( xb , yb ) diketahui )

Persamaannya :

y



a

(

x



x

_b

)

2



y

_b

. Persa aa grafik fu gsi di bawah i i adalah ….

= -3x2 + 9x + 6

Penyelesaian :

Jelas x1 = 1 dan x2 = 2 dan memotong sumbu Y di titik ( 0, 6 ) Cara Biasa :

Y = a ( x – 1 ) . ( x – 2 ) Y = a ( x2 -3x + 2 )

Grafik memotong sumbu Y di titk ( 0, 6 ),

Artinya untuk x = 0, y = 6, maka : 6 = a ( 02 – 3.0 + 2 ) 6 = a.2

2a = 6 a = 3 Jadi Persamann fungsinya adalah :

Y = 3. ( x2 -3x + 2 )

Y = 3 x2 -9x + 6 ( pilihan D )

Cara singkat :

susun saja bentuk y = x2 – ( x1 + x2 ) x + x1 .x2

y = x2 – 3 x + 2 ( berarti a=1, b=-3, c=2 ) kemudian lihat bahwa grafik memotong sumbu y di ( 0,6 ), maka c harus 6, padahal :

pada y = x2 – 3 x + 2, c = 2 sehingga agar 2 jadi 6 kalikan saja dengan 3. maka hasilnya :

y = 3. (x2 – 3 x + 2)

y = 3x2 – 9 x + 6 ( jawaban D ).

2. Persamaan grafik fungsi kuadrat mempunyai titik ekstrim (–1, 4) dan melalui titik (0, 3) adalah ....( UN 2010 )

a. y = –x2 + 2x– 3 b. y = –x2 + 2x + 3 c. y = –x2– 2x + 3 d. y = –x2– 2x– 5 e. y = –x2– 2x + 5 Penyelesaian :

Jelas xb = -1, yb = 4, dan grafik melalui titik ( 0,3 ) Cara Biasa





(



1

)



2



4



a

x

y





1



2



4



a

x

y

Grafik melalui ( 0,3 ) berarti untuk x = 0, y = 3 , maka : 3 = a ( 0 +1 )2 + 4

3 = a .1 + 4 3 = a + 4

Maka a = -1, sehingga persamaannya : y = -1.(x+1)2 +4 Y = -1.(x2 +2x+1)+4 Y = -x2 -2x-1+4 Y = -x2 -2x +3 ( C ) Cara singkat :

Jelas bahwa grafik melalui titik ( 0,3 ) ini tidak lain titik potong dengan sumbu Y, berarti c=3, sehingga pilihan yang mungkin adalah B dan C.

Jelas xb = -1, padahal xb =

2

2

1

x

x



,



x1 + x2 =2 xb = 2.(-1)=-2 dan kita punya bahwa x1 + x2 =

a b

 , maka antara pilihan B dan

C pilih saja yang nilai

a b  = -2.

Jadi jawabannya C.

Kesimpulan dari cara singkat adalah : pilih saja pilihan yang

memenuhi

a

b



= 2xb.

1. Persamaan grafik fungsi kuadrat dibawah ini adalah ....

h

t

t

p

:

/

/

m

a

t

e

m

a

t

r

i

c

k

.

b

l

o

g

s

p

o

t

.

c

o

m

-8

2. Persamaan grafik fu gsi di bawah i i adalah ….

(0,-3)

3. Persa aa grafik di bawah i i adalah ….

4. Persa aa grafik fu gsi di bawah i i adalah …

–2 4

5. Persamaan grafik fungsi pada gambar di bawah ini adalah ....

( petunjuk : grafik menyinggung sumbu X, berarti x1 = x2 =2 atau pakai titik puncak )

6. Persamaan grafik fungsi kuadarat yang memotong sumbu X

di titik (1,0) dan (3,0) serta melalui titik ( -1,-16)adalah … . a. ₂ 2₈ ₆

x x y

b.  2₄ ₂₁

x x y

c.  2₄ ₅

x x y

d. _2 2_8 _6

x x y

e. _2 2_4 _10

x x

y ( UN 2011 )

Akar-Akar Persamaan Kuadrat

1. Bentuk umum Persamaan kuadrat :

R

c

b

a

a

c

bx

ax

2







0

,



0

,

,

,



2. Menentukan akar akar persamaan kuadrat Cara Biasa : - Faktorisasi

0 ) ).( (

1

0 2

  

  

n ax m ax a

c bx ax

- Melengkapkan kuadrat sempurna - Rumus abc

a ac b b x

2 4 2

2 , 1

   

Cara Singkat : ( jika memungkinkan )

Pakai saja rumus jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan kuadrat



a b x

x₁ ₂ 



a

c

x

x

1



2



Dengan maksud : cari saja dua bilangan (

x

₁ dan

x

₂) yang memenuhi rumus jumlah dan hasil kali tersebut. Catatan : biasanya cukup dicari/ dipilih saja dua bilangan

(

x

₁ dan

x

₂) yang memenuhi

a

b

x

x

₁



₂





.

3. Jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan kuadrat Jika

x

₁ dan

x

₂akar – akar persamaan kuadrat

, 0 2 _{  }

c bx

ax maka berlaku :

a

b

x

x

₁



₂





a

c

x

x

₁



₂



4. Persamaan yang sering digunakan terkait jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan kuadrat :



x

₁2



x

₂2





x

₁



x

₂



2



2

.

x

₁

x

₂

a c a

b . 2 2

       

a c a b

. 2 2 2

 

-1 3

x

y

o

(1,-2)

a. y = x2 +3 b. y = x2 -3 c. y = -x2 +3 d. y = x2 - 2x -3 e. y = -x2 + 2x -3

9

5

Y = f(x)

2 X

Y a. y = -x2 + 4x + 5 b.y = -x2 - 4x + 5 c. y = -2x2 + x + 5 d.y = -2x2 - x + 5

e. 2

2 1 x

y + x +5

a.y = –x2 + 2x – 8 b.y = –x2 + 2x + 8 c.y = –x2– 2x + 8 d.y = –x2– 2x – 8 e.y = –x2 + x + 8

a.

2

2

2

1

2







x

x

y

b. _{2 2}

2

1 2_{ }

 x x

y

c. _{2 2}

2

1 2_{ }

 x x

y

d. _{2 2}

2

1 2 



 x x

y

e. _{2 2}

2

1 2_{ }



 x x

y

dengan m + n = b; dan m.n = a.c

2

2 Y

h

t

t

p

:

/

/

m

a

t

e

m

a

t

r

i

c

k

.

b

l

o

g

s

p

o

t

.

c

o

m



c

b

a

c

a

b

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x



















2 1

2 1

2 1

1 2

2

1

.

.

1

1



2 1

2 1 2 2 1 2 1

2 2 2 1 2

1 2 2 1 1 1 2 2 1

. . . 2 ) ( . .

. .

x x

x x x

x x x

x x x

x x x x x x x x

x  

     

Catatan : akar persamaan kuadrat tidak selalu dinyatakan dalam

x

₁ dan

x

₂, kada g di ataka dala α da β, p dan q, dsb.

5. Menyusun Persamaan Kuadrat ( PK ) Kasus 1 :

Jika diketahui akar – akarnya ( x1 dan x2 ) Maka Cara penyelesaiannya :

Cara I : pakai pola

(

x



x

₁

).(

x



x

₂

)



0

Cara II : pakai pola

x

2



(

x

₁



x

₂

)

x



x

₁

.

x

₂



0

Kasus 2 :

Jika akar – akar persamaan kuadrat yang akan disusun berhubungan dengan akar – akar persamaan kuadrat yang lain

Maka Cara penyelesaiannya :

Dengan mengubah bentuk dari akar – akar tersebut agar dapat disubtitusi ke persamaan kuadrat yang lain Secara lengkapnya perhatikan uraian berikut :

Jika Diketahui persamaan kuadrat ax2 + bx + c =0, memiliki akar –akar α da β, aka :

( i ). Untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang memiliki akar – akar k



dan _k,Caranya : Ganti saja x pada ax2 + bx + c =0 dengan

k

x_{, sehingga}

diperoleh PK baru :

0

)

.(

)

(

2



b



c



a

_kx

k

x _{dan seterusnya...}

( kali masuk jadi bagi )

( ii ). Untuk menyusun PK baru yang akar – akarnya

k

 _dan

k

 _{, Caranya :}

Ganti saja x pada ax2 + bx + c =0 dengan

kx

, sehingga diperoleh PK baru :

a( kx )2 +b.kx + c = 0 , dan seterusnya ...

( bagi masuk jadi kali )

( iii ). Untuk menyusun PK baru yang akar- akarnya kdan k



 , Caranya :

Ganti saja x pada ax2 + bx + c =0 dengan

x



k

,

sehingga diperoleh PK baru :

a(x – k)2 + b.(x - k) + c = 0, dan seterusnya ...

( + masuk jadi - )

( iv ). Untuk menyusun PK baru yang akar- akarnya k



 dan k, Caranya :

Ganti saja x pada ax2 + bx + c =0 dengan

x



k

,

sehingga diperoleh PK baru :

a(x + k)2 + b.(x + k) + c = 0, dan seterusnya ...

( - masuk jadi + )

Catatan : cara ini dipakai untuk kasus PK baru yang

bentuk akar- akarnya simetris ( x1 dan x2 serupa ),dan

tidak berlaku untuk akar – akar yang bentuknya tidak simetris ( misalkan akan disusun PK baru yang akar – akarnya

k

 _{dan k )}

1. Akar – akar persamaan kuadrat 5x2– 6x - 8 = 0 adalah .... a.



₅4 dan -2

b. ₅4 dan -2

c. ₅4 dan 2 d. -₅4 dan 2 e.

5 1



dan 2

Penyelesaian :

Cara Singkat : Jelas : Nilai

5 6 5

) 6 ( _   

a

b _{, maka pilih saja pada pilihan}

tersebut yang jika dijumlahkan nilainya

5 6_.

Sehingga jawabannya D, karena -₅4+ 2 =

5 6 5

10

4 _



2. Persamaan kuadrat 4x2 + 3x + 6 = 0 mempunyai akar – akar  dan . Nilai 2 + 2 = ....

a.

4 3 5

 d.

4

1

2

b.

16 7 2

 e.

4 3 3

c.

16 5 2



Penyelesaian :

Jelas 2 + 2 = α + β 2 – .αβ =

4 6 . 2 4 3 2_

     

= ₃

16 9 _

=

16 7 2 16

39 16

48

9 _  _{ ( jawaban : B )}

3. Akar – akar persamaan kuadrat x2– + = adalah α

da β . Persa aa kuadrat baru a g akar –akar a α

h

t

t

p

:

/

/

m

a

t

e

m

a

t

r

i

c

k

.

b

l

o

g

s

p

o

t

.

c

o

m

a. b. c. d. e.

x2 + 3x + 3 =0 x2 - 3x + 3 =0 x2 + 3x - 3 =0 x2 - 9x + 3 =0 x2 - 9x + 9 =0

Penyelesaian :

Ganti saja x pada persamaan x2– 3x + 1 = 0 dengan

3

x

, maka

Persamaan kuadratnya adalah :

1

0

3

.

3

3

2



















x

x

1

0

9

2







x

x

( x 9 )

x

2



9

x



9



0

( E )

1. Akar – akar persamaan kuadrat 2x2– 9x + 7 = 0 adalah ....

a. 1 dan 7

b.

2

1

dan 7

c. 1 dan

2

1

3

d. 1 dan

-2

1

3

e. -1 dan -7

2. Akar-akar persamaan kuadrat x2–3x + 2 = 0 adalah A dan B, dengan A > B. Nilai A + 2B adalah ....

a. –5 d. 4

b. –4 e. 5

c. –1

3. Akar-akar dari 2x2– 3x– 9 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai dari x12 + x22 = ....

a.

4 1

11 d.

4 3 6 

b. 4 3

6 e.

4 1 11 

c. 4 1 2

4. Akar – akar persamaan kuadrat 3 x2 – + = adalah α

da β. Nilai dari α + β 2

- αβ = ....

a.

9

10

d.

3

1

b. 1 e. 0

c.

9

4

5. Diketahui akar- akar persamaan kuadrat 2x2 – 7x – 6 = 0

adalah x1 dan x2. Nilai

2 1

1

1

x

x



adalah ….( UN 2010 )

a. -3

b.

6

7



c.

14

3

d.

7

4

e.

7

6

6. Persamaan kuadrat 3x2– x + 2 = 0 mempunyai akar – akar

 dan . Nilai (  +  )2 + 2 = ....

a.

3

1

d.

9

13

b.

9

5

e. 2

c.

9

7

7. Persamaan kuadrat 2x2 + 3x + 6 = 0 mempunyai akar – akar  dan . Nilai 2 + 2 = ....

a.

4

3

5



b.

4

3

3



c.

4

3

2



d.

4

1

3

e.

4

3

3

8. Akar-akar persamaan kuadrat

x

2



4

x



2



0

adalah 

dan . Nilai dari





2

2



=….

a. –4 b. –2 c. –1 d. 4 e. 5

9. Persamaan kuadrat x2 - 3x – 2 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Nilai dari x12 x2+ x1.x22 = ....

a.

5

7

h

t

t

p

:

/

/

m

a

t

e

m

a

t

r

i

c

k

.

b

l

o

g

s

p

o

t

.

c

o

m

b.

4

11

e. 6.

c. 3

10. Akar – akar persamaan kuadrat x2– 3x + 1 = 0adalah x₁dan x₂ . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya 2x₁ dan 2x2 adalah ....

a. b. c. d. e.

x2 + 3x + 3 =0 x2 - 3x + 3 =0 x2 + 3x - 3 =0 x2 + 6x + 4 =0 x2 - 6x + 4 =0

11. Akar – akar persamaan kuadrat 2x2 + x + 6 = 0 adalah  dan . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya

3 3





dan adalah .... a.

b. c. d. e.

6x2 + x + 2 =0 6x2 + x + 3 =0 18x2 - 3x + 6 =0 18x2 + 2x - 6 =0 18x2 + 2x + 6 =0

12. Akar – akar persamaan kuadrat x2– 3x + 1 = 0 adalah x1dan x2 . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya 3x1 dan 3x2 adalah ....

a. b. c. d. e.

x2 + 3x + 3 =0 x2 - 3x + 3 =0 x2 + 3x - 3 =0 x2 - 9x + 3 =0 x2 - 9x + 9 =0

13. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan 3x 2

- x + 9 = 0, maka nilai

1 2

2 1

x

x

x

x



= ….( UN 2011 )

a.

27

53



b.

27

3



c.

27

1

d.

27

3

e.

27

54

14.Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 - 13x– 7 = 0 adalah x1 dan

x2. Jika x2 > x1, maka nilai 2x1 + 3x2= ….( UN 2011 )