h
t
t
p
:
/
/
m
a
t
e
m
a
t
r
i
c
k
.
b
l
o
g
s
p
o
t
.
c
o
m
1. Bentuk umum fungsi kuadrat : f ( x )=ax2 + bx + c, a ≠ 2. Grafik fungsi kuadrat berupa parabola
3. Grafik fungsi kuadrat ditinjau dari tanda ( nilai ) a dan D ( dengan D = b2 – 4.a.c )
Untuk a > 0/ a positif ( grafik selalu terbuka ke atas ) ada 3 jenis :`
Untuk a < 0 ( grafik terbuka ke bawah ) 4. Unsur – unsur grafik fungsi kuadrat :
Menentukan unsur – unsur grafik fungsi kuadrat jika diketahui persamaan grafiknya ( y = a x2 + b x + c ) atau diketahui gambarnya:
Untuk menentukan titik potong dengan sumbu X : Cari saja dua bilangan x1 dan x2 yang memenuhi
x1 + x2 =
a
b
maka titik potong dg sumbu X-nya adalah (x1 , 0 ) dan ( x2 , 0 )
Untuk menentukan persamaan sumbu simetri :
Gunakan rumus x =
a
b
2
ataux =
2
2
1
x
x
Untuk menentukan titik potong dengan sumbu Y : Lihat saja c nya pada persamaan tersebut. Sebab titik potong dengan sumbu Y adalah ( 0, c ) Contoh : y = 3 x2 + 5x + 1 ; maka titik potong dengan
sumbu Y- nya adalah ( 0,1 )
Jika y = -2 x2 +3x – 4; maka titik potong dengan sumbu Y-nya adalah ( 0, -4 )
Titik puncak/ titik balik
x
b,
y
b
a
b
x
b2
atau dapat di cari dengan xb =2
2
1
x
x
a
D
y
b4
atau subtitusikan xb ke persamaan, sehinggamenjadi
y
b
ax
b2
bx
b
c
Dan ingat
D
b
2
4
ac
( diskriminan )1. Koordinat titik ekstrem kurva dengan persamaan y = x2– +9 adalah….
a. ( -2 , 21) b. ( -2 , 9 ) c. ( 0 , 9) d. ( 2 , 9 ) e. ( 2 , 5 ) Penyelesaian :
Jelas a = 1, b= -4, c = 9
Titik ekstrim = titik balik = titik puncak
2
2
4
1
.
2
)
4
(
2
a
b
x
b5
9
8
4
9
2
.
4
2
9
4
22
b bb
x
x
y
X
a>0
D>0 a>0 D=0
a>0 D<0
Grafik terbuka ke atas dan memotong sumbu X di dua titik berbeda
Grafik terbuka ke atas dan menyinggung
sumbu X
Grafik terbuka ke atas dan
tidak memotong
ataupun menyinggung
sumbu X
X X
Jadi a>0 membuat grafik terbuka ke atas, dan D menentukan keadaan grafik memotong atau menyinggung atau tidak sama
sekali terhadap sumbu X
X Y
Titik puncak / titik balik ( pada grafik di samping berupa titik
balikmaksimum )
Titik potong dg Sumbu X, di titik
tersebut y = 0
Garis / Sumbu simetri( di tengah antara dua titik
potong dg sumbu X ) Titik potong dengan
h
t
t
p
:
/
/
m
a
t
e
m
a
t
r
i
c
k
.
b
l
o
g
s
p
o
t
.
c
o
m
( jadi untuk mencari yb dengan cara menggantikan x dengan xb pada persamaan yang diketahui ) Jadi titik ekstrimnya : ( 2, 5 ) ( E )
2. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat y = 3x2 + 7x – 6 dengan sumbu X adalah ....
a.
0
,
3
2
dan
3
,
0
d.
3
,
0
dan
,
0
2
3
b.
0
,
3
2
dan
3
,
0
e.
2
3
,
0
dan
0
,
3
c.
0
,
2
3
dan
3
,
0
Penyelesaian :
( i ). Titik potong dengan sumbu X, jelas y-nya / yang dibelakang harus 0, jadi pilihan E jelas salah.
( ii ). Kemudian cari dua bilangan di posisi x yang jumlahnya =
a
b
=3
7
, maka jawabannya ( A ) sebab3 7 3
9 2 ) 3 ( 3
2
1. Koordinat titik balik dari grafik fungsi kuadrat yang persamaannya y = (x – 6)(x + 2) adalah ....( UN 2010 )
a. (–2, 0) b. (–1, –7) c. (1, –15) d. (2, –16) e. (3, –24)
2. Koordinat titik potong kurva y = x2– 2x – 8 dengan sumbu X
adalah ….
a. (-4 , 0) dan ( -2 , 0) b. (-4 , 0) dan ( 2 , 0) c. (-2 , 0) dan (4 , 0) d. (2 , 0) dan ( 4 , 0) e. (2 , 0) dan (8 , 0)
3. Koordinat titik puncak dari grafik y = x2– 6x + 5 adalah ....
a. (6, 5) d. ( – 3,32)
b. (3, – 4) e. ( – 6,5) c. (3, – 14)
4. Nilai minimum fungsi kuadrat f( x ) = 2x2 – 2x + 6 adalah ....
a.
2
11
b.
2
9
c.
2
7
d.
2
5
e.
2
1
5. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat 2
3 2
x x
y dengan sumbu X dan sumbu Y adalah … .( UN 2010 )
a. (-1,0),
0 , 3
2 , dan (0,2)
b.
,0
3
2 , (1,0), dan (0, -2)
c.
,0
3
2 , (1,0), dan
3 2 , 0
d.
,0
3
2 , (-1,0), dan (0, -1)
e.
0 , 2
3 , (1,0), dan (0, 3)
6. Persamaan sumbu simetri grafik fungsi kuadrat
y = 5x2 -20x + 1 adalah ....( UN 2011 ) a. x = 4
h
t
t
p
:
/
/
m
a
t
e
m
a
t
r
i
c
k
.
b
l
o
g
s
p
o
t
.
c
o
m
2
1
y =f(x)
6
Ini artinya titik potong dg sumbu Y; yaitu ( 0,6 )
a.y = x2– 3x + 2 b.y = x2 + 3x + 2
c. y = 3x2 + 9x + 6
d.y = 3x2– 9x + 6
e. y = -3x2 + 9x + 6
X
Y
Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat
1. Jika diketahui titik – titk potong dengan sumbu X ( ( x1 , 0 ) dan ( x2 , 0 ) diketahui )
Persamaannya :
y
a
(
x
x
1).(
x
x
2)
Cara singkatnya : y = x2 – ( x1 + x2 ) x + x1 .x2 , kemudian
disesuaikan ( lihat contoh )
2. Jika diketahui koordinat titik puncak / titik balik (( xb , yb ) diketahui )
Persamaannya :
y
a
(
x
x
b)
2
y
b. Persa aa grafik fu gsi di bawah i i adalah ….
= -3x2 + 9x + 6
Penyelesaian :
Jelas x1 = 1 dan x2 = 2 dan memotong sumbu Y di titik ( 0, 6 ) Cara Biasa :
Y = a ( x – 1 ) . ( x – 2 ) Y = a ( x2 -3x + 2 )
Grafik memotong sumbu Y di titk ( 0, 6 ),
Artinya untuk x = 0, y = 6, maka : 6 = a ( 02 – 3.0 + 2 ) 6 = a.2
2a = 6 a = 3 Jadi Persamann fungsinya adalah :
Y = 3. ( x2 -3x + 2 )
Y = 3 x2 -9x + 6 ( pilihan D )
Cara singkat :
susun saja bentuk y = x2 – ( x1 + x2 ) x + x1 .x2
y = x2 – 3 x + 2 ( berarti a=1, b=-3, c=2 ) kemudian lihat bahwa grafik memotong sumbu y di ( 0,6 ), maka c harus 6, padahal :
pada y = x2 – 3 x + 2, c = 2 sehingga agar 2 jadi 6 kalikan saja dengan 3. maka hasilnya :
y = 3. (x2 – 3 x + 2)
y = 3x2 – 9 x + 6 ( jawaban D ).
2. Persamaan grafik fungsi kuadrat mempunyai titik ekstrim (–1, 4) dan melalui titik (0, 3) adalah ....( UN 2010 )
a. y = –x2 + 2x– 3 b. y = –x2 + 2x + 3 c. y = –x2– 2x + 3 d. y = –x2– 2x– 5 e. y = –x2– 2x + 5 Penyelesaian :
Jelas xb = -1, yb = 4, dan grafik melalui titik ( 0,3 ) Cara Biasa
(
1
)
2
4
a
x
y
1
2
4
a
x
y
Grafik melalui ( 0,3 ) berarti untuk x = 0, y = 3 , maka : 3 = a ( 0 +1 )2 + 4
3 = a .1 + 4 3 = a + 4
Maka a = -1, sehingga persamaannya : y = -1.(x+1)2 +4 Y = -1.(x2 +2x+1)+4 Y = -x2 -2x-1+4 Y = -x2 -2x +3 ( C ) Cara singkat :
Jelas bahwa grafik melalui titik ( 0,3 ) ini tidak lain titik potong dengan sumbu Y, berarti c=3, sehingga pilihan yang mungkin adalah B dan C.
Jelas xb = -1, padahal xb =
2
2
1
x
x
,
x1 + x2 =2 xb = 2.(-1)=-2 dan kita punya bahwa x1 + x2 =a b
, maka antara pilihan B dan
C pilih saja yang nilai
a b = -2.
Jadi jawabannya C.
Kesimpulan dari cara singkat adalah : pilih saja pilihan yang
memenuhi
a
b
= 2xb.1. Persamaan grafik fungsi kuadrat dibawah ini adalah ....
h
t
t
p
:
/
/
m
a
t
e
m
a
t
r
i
c
k
.
b
l
o
g
s
p
o
t
.
c
o
m
-8
2. Persamaan grafik fu gsi di bawah i i adalah ….
(0,-3)
3. Persa aa grafik di bawah i i adalah ….
4. Persa aa grafik fu gsi di bawah i i adalah …
–2 4
5. Persamaan grafik fungsi pada gambar di bawah ini adalah ....
( petunjuk : grafik menyinggung sumbu X, berarti x1 = x2 =2 atau pakai titik puncak )
6. Persamaan grafik fungsi kuadarat yang memotong sumbu X
di titik (1,0) dan (3,0) serta melalui titik ( -1,-16)adalah … . a. 2 28 6
x x y
b. 24 21
x x y
c. 24 5
x x y
d. 2 28 6
x x y
e. 2 24 10
x x
y ( UN 2011 )
Akar-Akar Persamaan Kuadrat
1. Bentuk umum Persamaan kuadrat :
R
c
b
a
a
c
bx
ax
2
0
,
0
,
,
,
2. Menentukan akar akar persamaan kuadrat Cara Biasa : - Faktorisasi
0 ) ).( (
1
0 2
n ax m ax a
c bx ax
- Melengkapkan kuadrat sempurna - Rumus abc
a ac b b x
2 4 2
2 , 1
Cara Singkat : ( jika memungkinkan )
Pakai saja rumus jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan kuadrat
a b x
x1 2
a
c
x
x
1
2
Dengan maksud : cari saja dua bilangan (
x
1 danx
2) yang memenuhi rumus jumlah dan hasil kali tersebut. Catatan : biasanya cukup dicari/ dipilih saja dua bilangan(
x
1 danx
2) yang memenuhia
b
x
x
1
2
.3. Jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan kuadrat Jika
x
1 danx
2akar – akar persamaan kuadrat, 0 2
c bx
ax maka berlaku :
a
b
x
x
1
2
a
c
x
x
1
2
4. Persamaan yang sering digunakan terkait jumlah dan hasil kali akar – akar persamaan kuadrat :
x
12
x
22
x
1
x
2
2
2
.
x
1x
2
a c a
b . 2 2
a c a b
. 2 2 2
-1 3
x
y
o
(1,-2)
a. y = x2 +3 b. y = x2 -3 c. y = -x2 +3 d. y = x2 - 2x -3 e. y = -x2 + 2x -3
9
5
Y = f(x)
2 X
Y a. y = -x2 + 4x + 5 b.y = -x2 - 4x + 5 c. y = -2x2 + x + 5 d.y = -2x2 - x + 5
e. 2
2 1 x
y + x +5
a.y = –x2 + 2x – 8 b.y = –x2 + 2x + 8 c.y = –x2– 2x + 8 d.y = –x2– 2x – 8 e.y = –x2 + x + 8
a.
2
2
2
1
2
x
x
y
b. 2 2
2
1 2
x x
y
c. 2 2
2
1 2
x x
y
d. 2 2
2
1 2
x x
y
e. 2 2
2
1 2
x x
y
dengan m + n = b; dan m.n = a.c
2
2 Y
h
t
t
p
:
/
/
m
a
t
e
m
a
t
r
i
c
k
.
b
l
o
g
s
p
o
t
.
c
o
m
c
b
a
c
a
b
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2 1
2 1
2 1
1 2
2
1
.
.
1
1
2 1
2 1 2 2 1 2 1
2 2 2 1 2
1 2 2 1 1 1 2 2 1
. . . 2 ) ( . .
. .
x x
x x x
x x x
x x x
x x x x x x x x
x
Catatan : akar persamaan kuadrat tidak selalu dinyatakan dalam
x
1 danx
2, kada g di ataka dala α da β, p dan q, dsb.5. Menyusun Persamaan Kuadrat ( PK ) Kasus 1 :
Jika diketahui akar – akarnya ( x1 dan x2 ) Maka Cara penyelesaiannya :
Cara I : pakai pola
(
x
x
1).(
x
x
2)
0
Cara II : pakai polax
2
(
x
1
x
2)
x
x
1.
x
2
0
Kasus 2 :Jika akar – akar persamaan kuadrat yang akan disusun berhubungan dengan akar – akar persamaan kuadrat yang lain
Maka Cara penyelesaiannya :
Dengan mengubah bentuk dari akar – akar tersebut agar dapat disubtitusi ke persamaan kuadrat yang lain Secara lengkapnya perhatikan uraian berikut :
Jika Diketahui persamaan kuadrat ax2 + bx + c =0, memiliki akar –akar α da β, aka :
( i ). Untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang memiliki akar – akar k
dan k,Caranya : Ganti saja x pada ax2 + bx + c =0 dengank
x, sehingga
diperoleh PK baru :
0
)
.(
)
(
2
b
c
a
kxk
x dan seterusnya...
( kali masuk jadi bagi )
( ii ). Untuk menyusun PK baru yang akar – akarnya
k
dan
k
, Caranya :
Ganti saja x pada ax2 + bx + c =0 dengan
kx
, sehingga diperoleh PK baru :a( kx )2 +b.kx + c = 0 , dan seterusnya ...
( bagi masuk jadi kali )
( iii ). Untuk menyusun PK baru yang akar- akarnya kdan k
, Caranya :
Ganti saja x pada ax2 + bx + c =0 dengan
x
k
,sehingga diperoleh PK baru :
a(x – k)2 + b.(x - k) + c = 0, dan seterusnya ...
( + masuk jadi - )
( iv ). Untuk menyusun PK baru yang akar- akarnya k
dan k, Caranya :
Ganti saja x pada ax2 + bx + c =0 dengan
x
k
,sehingga diperoleh PK baru :
a(x + k)2 + b.(x + k) + c = 0, dan seterusnya ...
( - masuk jadi + )
Catatan : cara ini dipakai untuk kasus PK baru yang
bentuk akar- akarnya simetris ( x1 dan x2 serupa ),dan
tidak berlaku untuk akar – akar yang bentuknya tidak simetris ( misalkan akan disusun PK baru yang akar – akarnya
k
dan k )
1. Akar – akar persamaan kuadrat 5x2– 6x - 8 = 0 adalah .... a.
54 dan -2b. 54 dan -2
c. 54 dan 2 d. -54 dan 2 e.
5 1
dan 2Penyelesaian :
Cara Singkat : Jelas : Nilai
5 6 5
) 6 (
a
b , maka pilih saja pada pilihan
tersebut yang jika dijumlahkan nilainya
5 6.
Sehingga jawabannya D, karena -54+ 2 =
5 6 5
10
4
2. Persamaan kuadrat 4x2 + 3x + 6 = 0 mempunyai akar – akar dan . Nilai 2 + 2 = ....
a.
4 3 5
d.
4
1
2
b.
16 7 2
e.
4 3 3
c.
16 5 2
Penyelesaian :
Jelas 2 + 2 = α + β 2 – .αβ =
4 6 . 2 4 3 2
= 3
16 9
=
16 7 2 16
39 16
48
9 ( jawaban : B )
3. Akar – akar persamaan kuadrat x2– + = adalah α
da β . Persa aa kuadrat baru a g akar –akar a α
h
t
t
p
:
/
/
m
a
t
e
m
a
t
r
i
c
k
.
b
l
o
g
s
p
o
t
.
c
o
m
a. b. c. d. e.
x2 + 3x + 3 =0 x2 - 3x + 3 =0 x2 + 3x - 3 =0 x2 - 9x + 3 =0 x2 - 9x + 9 =0
Penyelesaian :
Ganti saja x pada persamaan x2– 3x + 1 = 0 dengan
3
x
, maka
Persamaan kuadratnya adalah :
1
0
3
.
3
3
2
x
x
1
0
9
2
x
x
( x 9 )
x
2
9
x
9
0
( E )1. Akar – akar persamaan kuadrat 2x2– 9x + 7 = 0 adalah ....
a. 1 dan 7
b.
2
1
dan 7
c. 1 dan
2
1
3
d. 1 dan
-2
1
3
e. -1 dan -7
2. Akar-akar persamaan kuadrat x2–3x + 2 = 0 adalah A dan B, dengan A > B. Nilai A + 2B adalah ....
a. –5 d. 4
b. –4 e. 5
c. –1
3. Akar-akar dari 2x2– 3x– 9 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai dari x12 + x22 = ....
a.
4 1
11 d.
4 3 6
b. 4 3
6 e.
4 1 11
c. 4 1 2
4. Akar – akar persamaan kuadrat 3 x2 – + = adalah α
da β. Nilai dari α + β 2
- αβ = ....
a.
9
10
d.
3
1
b. 1 e. 0
c.
9
4
5. Diketahui akar- akar persamaan kuadrat 2x2 – 7x – 6 = 0
adalah x1 dan x2. Nilai
2 1
1
1
x
x
adalah ….( UN 2010 )a. -3
b.
6
7
c.
14
3
d.
7
4
e.
7
6
6. Persamaan kuadrat 3x2– x + 2 = 0 mempunyai akar – akar
dan . Nilai ( + )2 + 2 = ....
a.
3
1
d.
9
13
b.
9
5
e. 2
c.
9
7
7. Persamaan kuadrat 2x2 + 3x + 6 = 0 mempunyai akar – akar dan . Nilai 2 + 2 = ....
a.
4
3
5
b.
4
3
3
c.
4
3
2
d.
4
1
3
e.
4
3
3
8. Akar-akar persamaan kuadrat
x
2
4
x
2
0
adalah dan . Nilai dari
2
2
=….a. –4 b. –2 c. –1 d. 4 e. 5
9. Persamaan kuadrat x2 - 3x – 2 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Nilai dari x12 x2+ x1.x22 = ....
a.
5
7
h
t
t
p
:
/
/
m
a
t
e
m
a
t
r
i
c
k
.
b
l
o
g
s
p
o
t
.
c
o
m
b.
4
11
e. 6.
c. 3
10. Akar – akar persamaan kuadrat x2– 3x + 1 = 0adalah x1dan x2 . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya 2x1 dan 2x2 adalah ....
a. b. c. d. e.
x2 + 3x + 3 =0 x2 - 3x + 3 =0 x2 + 3x - 3 =0 x2 + 6x + 4 =0 x2 - 6x + 4 =0
11. Akar – akar persamaan kuadrat 2x2 + x + 6 = 0 adalah dan . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya
3 3
dan adalah .... a.
b. c. d. e.
6x2 + x + 2 =0 6x2 + x + 3 =0 18x2 - 3x + 6 =0 18x2 + 2x - 6 =0 18x2 + 2x + 6 =0
12. Akar – akar persamaan kuadrat x2– 3x + 1 = 0 adalah x1dan x2 . Persamaan kuadrat baru yang akar – akarnya 3x1 dan 3x2 adalah ....
a. b. c. d. e.
x2 + 3x + 3 =0 x2 - 3x + 3 =0 x2 + 3x - 3 =0 x2 - 9x + 3 =0 x2 - 9x + 9 =0
13. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan 3x 2
- x + 9 = 0, maka nilai
1 2
2 1
x
x
x
x
= ….( UN 2011 )a.
27
53
b.
27
3
c.
27
1
d.
27
3
e.
27
54
14.Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 - 13x– 7 = 0 adalah x1 dan
x2. Jika x2 > x1, maka nilai 2x1 + 3x2= ….( UN 2011 )
