TUGAS 8 ANREK RATRI

(1)

CASE 9-14

Hardrock Concrete’s owner has decided to increase the capacity at his smallest plant (see Problem 9-13). Instead of producing 30 loads of concrete per day at plant 3, that plant’s capacity is doubled to 60 loads. Find the new optimal solution using the northwest corner rule and stepping-stone method. How has changing the third plant’s capacity altered the optimal shipping assignment? Discuss the concepts of degeneracy and multiple optimal solutions with regard to this problem.

Answer :

Dalam penyelesaian soal ini, dibutuhkan dummy karena adanya perubahan kapasitas di plant 3 sebagai berikut :

a.) Northwest Corner Solution

ROUTE CONCRETE

PRODUCED

PER-UNIT COST ($)

TOTAL COST ($)

FROM TO

PLANT 1 PROJECT A 40 $10 $400

PLANT 1 PROJECT B 30 $4 $120

PLANT 2 PROJECT C 30 $8 $240

PLANT 3 PROJECT C 30 $6 $180

PLANT 3 DUMMY 30 $0 $0

(2)

b.) Penggunaan Stepping Stone Method (with dummy) dalam pengecekan daerah kosong dengan adanya indikasi perubahannya adalah,

ROUTE STEPING STONE METHOD

NILAI IMPROVEMENT

INDEX

PLANT1 → PROJECT C

+$11-$4+$5-$8 = +$4

PLANT2→ PROJECT A

$12-$5+$4-$10 = $1

PLANT3→ PROJECT A

(3)

PLANT3 → PROJECT B

$7-$6+$8-$5 = +$4

PLANT1 → DUMMY

+$0-$4+$5-$8+$6-$0 = -1

PLANT2 → DUMMY

+$0-$8+$6-$0 = -2

(nilai minus terbesar, sehingga perlu

diubah)

(4)

Maka, perubahan Total Cost yang terjadi adalah :

ROUTE CONCRETE

PRODUCED

PER-UNIT COST ($)

TOTAL COST ($)

FROM TO

PLANT 1 PROJECT A 40 $10 $400

PLANT 2 PROJECT C 30 $8 $0

PLANT 3 PROJECT C 60 $6 $360

PLANT 3 DUMMY 0 $0 $0

TOTAL $980

Perlu dilakukan iterasi kembali dengan Stepping Stone untuk mengetahui apakah solusi tersebut mampu memberikan hasil yang optimal. Apabila nilai Improvement Index lebih kecil dari 0 maka hasil tersebut berarti sudah optimal,

NILAI IMPROVEMENT

(5)

PLANT1 → PROJECT

C

+$11-$4+$5-$0+$0-$6 = +$6

PLANT2→ PROJECT

A

$12-$5+$4-$10 = $1

PLANT3→ PROJECT

A

$9-$0+$0-$5+$4-$10 =

(6)

PLANT3 → PROJECT

B

$7-$0+$0-$5 = +$2

PLANT1 → DUMMY

+$7-$0+$0-$50 = +$1

PLANT2 → PROJECT

C

+$8-$0+$0-$6 = +$2

(7)

- Berdasarkan perhitungan di atas, maka hasil optimal didapatkan dengan adanya penambahan kapasitas pada pabrik 3 yang dapat menghasilkan total cost yang lebih murah.

- Pada kasus ini terjadi degeneracy karena terdapat 5 kotak yang diisi setelah iterasi pertama dilakukan, sedangkan dengan menggunakan Stepping Stone Method terdapat 6 (4+3-1=6) kotak yang harus diisi. Sehingga, solusi optimal untuk total cost yang didapat adalah $980 dengan penurunan sebanyak $60 dari awal total cost yang ada.

CASE 9-15

Formulate the Hardrock Concrete Company transportation problem in Problem 9-13 as a linear program and solve using computer software. What would change in the linear program if the change in Problem 9-14 were implemented?

Answer : Known,

X1 = PLANT 1 - PROJECT A X2 = PLANT 1 - PROJECT B X3 = PLANT 1 - PROJECT C X4 = PLANT 2 - PROJECT A X5 = PLANT 2 - PROJECT B X6 = PLANT 2 - PROJECT C X7 = PLANT 3 - PROJECT A X8 = PLANT 3 - PROJECT B X9 = PLANT 3 - PROJECT C

a. Minimize Total Cost,

F(x) = 10X1 + 4X2 + 11X3 + 12X4 + 5X5 + 8X6 + 9X7 + 7X8 + 6X9 Constraint,

(8)

b. Terdapat perubahan pada kapasitas Plant 3 Minimize Total Cost,

F(x) = 10X1 + 4X2 + 11X3 + 12X4 + 5X5 + 8X6 + 9X7 + 7X8 + 6X9 Constraint,

X1 + X2 + X3 <= 70 X4 + X5 + X6 <= 50 X7 + X8 + X9 <= 60 X1 + X4 + X7 = 40 X2 + X5 + X8 = 50 X3 + X6 + X9 = 60

Dari hasil perhitungan menggunakan QM Excel maka didapatkan hasil perhitungan dengan total cost $980 yaitu sama dengan total cost pada perhitungan CASE 9-14.

CASE 9-21

(9)

The available supplies are 120 units from Reno, 200 from Denver, and 160 from Pittsburgh. Phoenix has a demand of 140 units, Cleveland has a demand of 160 units, and Chicago has a demand of 180 units. How many units should be shipped from each manufacturing facility to each of the retail stores if cost is to be minimized? What is the total cost?

Answer :

a.) Northern Corner Solution

Total Cost Solution,

ROUTE CONCRETE

PRODUCED

PER-UNIT COST ($)

TOTAL COST ($)

FROM TO

RENO PHOENIX 120 $10 $1200

DENVER PHOENIX 20 $12 $240

DENVER CLEVELAND 160 $14 $2240

DENVER CHICAGO 20 $13 $260

PITTSBURG CHICAGO 160 $12 $1920

(10)

b.) Perhitungan dengan Stepping Stone Method,

NILAI IMPROVEMENT

INDEX

RENO → CLEVELAND

+$16-$10+$12-$14 = +$4

RENO → CHICAGO

$19-$10+$12-$13 = +$8

PITTSBURG → PHOENIX

(11)

PITTSBURG → CLEVELAND

+$12-$12+$13-$14 = -1 (masi terdapat nilai minimum, perlu dilakukan iterasi lagi)

Hasil perhitungan di atas masi terdapat nilai minus (-1), berarti pengiriman dari Pittsburg ke Cleveland hanya mengurangi total cost $1. Shingga, total cost masih dapat di optimalkan lagi untuk mendapatkan total cost yang lebih murah. Dengan cara perubahan rute menjadi :

(12)

Iterasi 1,

ROUTE STEPING STONE METHOD

NILAI IMPROVEMENT

INDEX

RENO → CLEVELAND

+$16-$10+$12-$13+$12-$12 =

+$5

RENO → CHICAGO

$19-$10+$12-$13 = +$8

PITTSBURG → PHOENIX

(13)

PITTSBURG → CLEVELAND

+$14-$13+$12-$12 = +$1

Hasil di atas memiliki total cost positif maka tidak perlu dilakukan perubahan rute dan iterasi 1 memiliki hasil yang paling optimal.

- Berdasarkan perubahan rute pengiriman, maka berikut table total cost optimal yang harus dihasilkan untuk mendapatkan harga paling minimal,

Table di atas menunjukkan bahwa dengan adanya perubahan rute maka dapat menghasilkan total cost yang optimal yaitu $160 lebih murah disbanding dengan total cost sebelumnya.

- Yang dimaksud dengan total cost adalah biaya total yang digunakan untuk mendapatkan output tertentu baik yang tetap ataupun bersifat variable dengan cara,

Total Cost = Unit Shipped x Cost Per Unit

CASE 9-22

Finnish Furniture has experienced a decrease in the demand for tables in Chicago; the demand has fallen

to 150 units (see Problem 9-21). What special condition would exist? What is the minimum-cost

(14)

Answer :

Berdasarkan Problem 9-21, pada soal ini permintaan di Chicago mengalami penurunan menjadi 150,

sehingga memerlukan dummy untuk mengakomodasi supply dari Pittsburgh sebagai berikut:

a. Northwest corner Solution

TO

FROM PHOENIX CLEVELAND CHICAGO DUMMY

TABLE SUPPLIES

RENO

120 120

DENVER

20 160 20 200

PITTSBURGH 130 30 160

PROJECT

REQUIREMENTS 140 160 150 30 480

Total cost of Solution

ROUTE TABLE

SHIPPED

PER-UNIT COST

($) TOTAL COST ($)

FROM TO

RENO PHOENIX 120 $10 $1200

DENVER PHOENIX 20 $12 $ 240

DENVER CLEVELAND 160 $14 $2240

DENVER CHICAGO 20 $13 $ 260

PITTSBURGH CHICAGO 130 $12 $1560

PITTSBURGH DUMMY 30 $0 $ 0

TOTAL COST $5500

b. Pengecekan daerah kosong dengan menggunakan Stepping Stone Method. Indikasi perubahan

adalah sebagai berikut:

Rute Stepping Stone Method Improvement Nilai

Index

Keterangan

Reno 

Cleveland

+$16-$10+$12-$14

= +$4

$10 $16 _$19

$12 $14 _$13

[image:14.612.71.530.146.328.2]

(15)

Reno  Chicago +$19-$10+$12-$13 = +$8 Reno  Dummy +$0-$10+$12-$13+$12-$0 = +$1

Denver 

Dummy +$0-$13+$12-$0 = -$1 Nilai minus terbesar, sehingga perlu diubah Pittsburgh  Phoenix +$18-$12+$13-$12 = +$7 Pittsburgh  Cleveland +$12-$12+$13-$14

= -1

Nilai minus terbesar, sehingga perlu diubah

(16)

TO

FROM PHOENIX CLEVELAND CHICAGO DUMMY

TABLE SUPPLIES

RENO

120 120

DENVER

20 160 20 200

PROJECT

REQUIREMENTS 140 160 150 30 480

Lakukan pengecekan kembali dari hasil tersebut dengan menggunakan Stepping Stone untuk

mengetahui keoptimalan solusi baru, apabila nilai Improvement Index tidak ada yang lebih kecil dari nol (<0), maka hasil tersebut sudah paling optimal.

Iterasi ke-1

Rute Stepping Stone Method Improvement Nilai

Index

Keterangan

Reno 

Cleveland

+$16-$10+$12-$14

= +$4

Reno 

Chicago +$19- $10+$12-$0+$0-$12 = +$9 Reno  Dummy +$0-$10+$12-$0 = +$2

$10 $16 _$19

$12 $14 _$13

(17)

Denver  Dummy +$0-$13+$12-$0 = -$1 Pittsburgh  Phoenix +$18-$0+$0-$12 = +$6 Pittsburgh  Cleveland +$12-$0+$0-$14 = -$2

Berdasarkan perhitungan pada Stepping Stone Method di atas diperoleh bahwa pada saat dilakukan

satu pengiriman dari Pittsburgh ke Cleveland mengurangi total cost sebesar $2. Oleh sebab itu masih

perlu dilakukan perubahan pengiriman barang menjadi:

TO

FROM PHOENIX CLEVELAND CHICAGO DUMMY

TABLE SUPPLIES

RENO

120 120

DENVER

20 150 30 200

PROJECT

REQUIREMENTS 140 160 150 30 480

$10 $16 _$19

$12 $14 _$13

(18)

Iterasi ke-2

Rute Stepping Stone Method _ImprovementNilai

Index

Keterangan

Reno 

Cleveland

+$16-$10+$12-$14

= +$4

Reno 

Chicago

+$19- $10+$12-$14+$12-$12

= +$7

Reno 

Dummy

+$0-$10+$12-$0 = +$2

Denver 

Chicago

+$13-$14+$12-$12

= -$1

Pittsburgh  Phoenix

+$18-$12+$14-$12

(19)

Pittsburgh  Dummy

+$0-$12+$14-$0 = +$2

Berdasarkan perhitungan pada Stepping Stone Method di atas diperoleh bahwa pada saat dilakukan

satu pengiriman dari Denver ke Chicago mengurangi total cost sebesar $1. Oleh sebab itu masih perlu

dilakukan perubahan pengiriman barang lagi menjadi:

TO

FROM PHOENIX CLEVELAND CHICAGO DUMMY

TABLE SUPPLIES

RENO

120 120

DENVER

20 150 30 200

PROJECT

REQUIREMENTS 140 160 150 30 480

Iterasi ke-3

Rute Stepping Stone Method _ImprovementNilai

Index

Keterangan

Reno 

Cleveland

+$16- $10+$12-$13+$12-$12

= +$5

Reno 

Chicago

+$19-$10+$12-$13

= +$8

$10 $16 _$19

$12 $14 _$13

(20)

Reno  Dummy

+$0-$10+$12-$0 = +$2

Denver 

Cleveland

+$14-$13+$12-$12

= +$1

Pittsburgh  Phoenix

+$18-$12+$13-$12

= +$7

Pittsburgh  Dummy

+$0-$12+$13-$0 = +$1

Berdasarkan perhitungan pada Stepping Stone Method di atas diperoleh bahwa seluruh pengiriman

memiliki total cost yang bernilai positif. Oleh sebab itu tidak perlu lagi dilakukan perubahan pengiriman

barang, karena hasil dari Iterasi ke-3 (tiga) merupakan hasil yang paling optimal.

- Pada kasus permasalahan Finnish Furniture terjadi unbalanced transportation, dimana nilai

demand jumlahnya lebih kecil dibandingkan dengan nilai supply yang tersedia. Untuk mengatasi

special condition tersebut, maka dibuat sebuah kolom dummy yang berfungsi untuk

menyempurnakan demand sehingga menjadi balanced transportation. Biaya per unit pada

(21)

- Minimum-cost solution adalah biaya yang paling optimal untuk dipilih agar dapat

meminimalisasi pengeluaran. Berdasarkan perubahan metode pengiriman barang, berikut merupakan tabel jumlah optimal yang harus dihasilkan agar dapat meminimalisasi harga:

ROUTE TABLE

SHIPPED

PER-UNIT COST ($)

TOTAL COST ($)

FROM TO

RENO PHOENIX 120 $10 $1200

DENVER PHOENIX 20 $12 $ 240

DENVER CHICAGO 150 $13 $1950

DENVER DUMMY 30 $0 $ 0

PITTSBURGH CLEVELAND 160 $12 $1920

PITTSBURGH CHICAGO 0 $12 $ 0

TOTAL COST $5310

Berdasarkan tabel di atas, diketahui bahwa hasil yang optimal dapat diperoleh dengan adanya

perubahan beberapa rute maka dapat menghasilkan total cost yang lebih murah, yaitu $190 lebih

murah dari total cost sebelumnya.

- Karena jumlah demand lebih kecil dibandingkan jumlah supply, maka terdapat sebanyak 30 unit

meja dari Denver tidak dikirim.

CASE 9-35

(22)

Answer :

Case di atas jika diselesaikan dengan QM Excel adalah sebagai berikut,

Dari table di atas maka berdasarkan pada tranasportation cost yang paling optima dapat disimpulkan bahwa,

- Untuk memenuhi demand dari Blue Earth (sebesar 250), maka di supply dari Decatur (sebesar 50) dan Minneapolis (sebesar 200).

(23)

- Untuk memenuhi demand dari Des Miones (sebesar 350), maka di supply dari Decatur (sebesar 200) dan Carbondale (sebesar 150).

Dengan adanya nilai Supply > Demand (1150 >800) maka perlu diperhatikan di tempat penumpukan barang produksi yang memeberikan cost paling murah yaitu,

Total Cost,

Blue Earth = ($20 x 50) + ($22 x 200) = $ 5,400

Ciro = ($17 x 200) = $ 3,400