COMPLETELY RANDOMIZED DESIGN (CRD)

CRD



Tidak ada kriteria pengelompokan

:

○ Lingkungan homogen

○ Bahan homogen (perbedaan diantara experimental units yang memperoleh perlakuan yang sama dalam CRD disebut

sebagai experimental error)

○ Alat homogen



Keuntungan

:

○ Fleksibel

○ Tata letak percobaan (lay out the design) paling mudah

○ Analisis mudah

○ Derajad bebas sesatan paling besar

CRD



Kerugian:

○ Hanya dapat diterapkan pada perlakuan yang dicobakan tidak terlalu banyak dan bahan

percobaan harus seragam (homogen)

○ Rancangan yang paling tidak efisien jika ada kriteria pengelompokan:

- Lingkungan heterogen

- Bahan tidak seragam

- Alat terbatas dan bisa jadi tidak seragam

- Waktu pengamatan tidak bisa dilakukan

bersamaan

Model linear:

X

_ij

= µ +

τ

_i

+ e

_ij

X_ij= Data perlakuan ke-i, ulangan ke-j µ = rerata umum

τ

_i = pengaruh perlakuan ke-i

e_ij= pengaruh sesatan dari perlakuan ke-i pada ulangan ke-j

i = perlakuan ke-i j = ulangan ke-j i = 1, 2, 3, ……., t j = 1, 2, 3, ……, r



Y

_ij

= µ + τ

_i

+ ε

_ij 

ε

_ij

= Y

_ij

- µ - τ

_i



Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Methods) :

atau

∑∑

= = − = t i n j

ij Q adalah sekecil kecilya

1 1 2 ) (

ε

∑∑

= = − = − − t i n j i

ij Q adalah sekecil kecilya

Y

1 1

2

)

10/15/2012

7



Untuk menduga nilai parameter : µ , τ , dan ε

0 ) ( 2 ... 0 1 1 = − − − =

∑∑

= = t i n j i ij Q Y µ τ δ δ µ .. 1 1 1 1 1 1 1 ˆ ... ˆ ... ... 0 Y tn Y tn Y tn Y t i n j ij t i n j ij t i n j t i i ij = = = = − −

∑∑

∑∑

∑∑

∑

= = = = = = = µ µ µ τ µ

menduga parameter τ :

.. . 1 1 1 1

ˆ

...

...

ˆ

...

0

0

)

(

2

...

0

Y

Y

n

Y

n

n

Y

n

n

Y

Y

i i n j ij i n j i ij n j i ij n j i ij Q i

−

=

−

=

+

=

=

−

−

=

−

−

−

=

∑

∑

∑

∑

= = = =

τ

µ

τ

τ

µ

τ

µ

τ

µ

δ

δ

τ

ε

_ij

_{= Y}

_ij

_{- µ - τ}

_I 10/15/2012 9

= Y

_ij

- Y

_..

- (Y

_i.

-Y

_..

)

= Y

_ij

- Y

_..

- Y

_i.

+ Y

_..

= Y

_ij

- Y

_i. Y_ij = µ + τ_i + ε_ij Y_ij - µ = τ_i + ε_ij Y_ij - Y_.. = (Y_i. - Y_..) + ( Y_ij - Y_i.)

∑

∑∑

∑∑

∑∑

= = = = = = = − + − = − + − = − t 1 i t 1 i n 1 j 2 . i ij 2 .. . i 2 . i ij t 1 i n 1 j .. . i 2 t 1 i n 1 j .. ij ) Y Y ( ) Y Y ( n )} Y Y ( ) Y Y {( ) Y Y (

Rekap CRD

P E R L A K U A N

Ul

1

2

…..

r

X

_i.

Rerata

_τ

_i

1

X

₁₁

X

₁₂

…. X

_1r

X

₁

.

X

₁

.

_τ

₁

2

X

₂₁

X

₂₂

…. X

_2r

X

₂

.

X

₂

.

_τ

₂

3

X

₃₁

X

₃₂

…. X

_3r

X

₃

.

X

₃

.

_τ

₃

..

.

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

t

X

_t1

X

_t2

…. X

_tr

X

_t

.

X

_t

.

_τ

_t

Σ Σ

_X

_=X..

_X..

X

_ij

=µ + τ

_i

+ e

_ij

X_ij - µ = τ_i + e_ij, τ_I & e_ij independen

Σ Σ (X_ij - µ)2 ₌ Σ Σ ( τ

i + eij)2

Σ Σ (X_ij - µ)2 = Σ Σ τ

i2 + Σ Σ eij2

JK total JK perlakuan JK sesatan Σ Σ (X_ij - µ)2= Σ Σ X ij2 + trµ2 – 2trµ2 = Σ Σ X_ij2 - trµ2 = Σ Σ X_ij2 – tr(Σ Σ Xij)2_/(tr)2 = Σ Σ X_ij2 – (Σ Σ Xij)2_/tr

∑∑

∑∑

= = = =      − = t i r j t i r j tr Xij Xij JKtotal 1 1 2 1 1 2 10/15/2012 11

JK perlakuan

JK plk =r

Σ

τ

_i2

∑

−

=

2

..)

(

X

X

r

i 2 2 2 . . . ) ( 2 _       + − =

∑

∑∑

∑∑

r t X t r r t X r Xi ij i_j 2 1 1 1 2

.

.

r

t

X

r

X

JKplk

t i r j ij t i i













−

=

∑

=

∑∑

= = JK sst = JK total – JK perlakuan



db

_plk

= t-1



db

_total

= t.r-1



db

_sesatan

= db

_total

– db

_perlakuan

= (r-1)t



MS perlakuan = Jk plk/db plk



MS sesatan = JK sesatan/ db sesatan

○

F hit = MS plk/MS sst

○

F tabel = F[(1-α);(db

_plk

, db

_sst

)]

Langkah perhitungan



Kelompokan data menurut perlakuan dan

hitung jumlah dari masing-masing

perlakuan



Hitunglah db, JK untuk sumber ragam yang

ada



Buat kerangka anova



_{Hitung KT (MS) sumber ragam yang ada}



Hitung F hitung dan bandingkan F tabel

TATA LETAK CRD

A=15 B=10 A=12 D=11 D=11 B=10 C=7 A=14 C=8 A=15 B=7 C=8 B=5 C=9 D=10 D=8 Plk/Ul 1 2 3 4 A 15 15 12 14 B 5 10 7 10 C 8 7 9 8 D 11 11 10 8 10/15/2012 15

Penghitungan jumlah kuadrat dengan mengurai komponen model linear i j Xij µ τ_i e_ij 1 1 15 10 4 1 1 2 15 10 4 1 1 3 12 10 4 -2 1 4 14 10 4 0 2 1 10 10 -2 2 2 2 10 10 -2 2 2 3 5 10 -2 -3 2 4 7 10 -2 -1 3 1 8 10 -2 0 3 2 9 10 -2 1 3 3 7 10 -2 -1 3 4 8 10 -2 0 4 1 11 10 0 1 4 2 11 10 0 1 4 3 10 10 0 0 4 4 8 10 0 -2 ( ….) 160 160 0 0

Anova CRD

Sumber

ragam

db JK

KT

F hit F tabel

_α

_=5%

Perlakuan 3

96

32

12* 3,49

Sesatan

12 32

2,78

Total

15 128

F hitung > F tabel:

Kesimpulan: Ho ditolak dan menerima Ha atau

berbeda nyata antar perlakuan

CV (Coefficient of Variation)



Menunjukkan tingkat presisi dari

perlakuan yang dibandingkan



Menunjukkan tingkat kepercayaan dari

percobaan yang dilakukan



Menunjukkan proporsi dari experimental

error (ditunjukkan oleh nilai MS error)

terhadap rerata umumnya (grand mean

= µ) yang dinyatakan sebagai nilai

Besarnya nilai CV

√MS Error

CV = x 100%

Grand Mean

Model linear:

X

_ij

= µ +

τ

_i

+ e

_ij

X_ij= Data perlakuan ke-i, ulangan ke-j µ = rerata umum

τ

_i = pengaruh perlakuan ke-i

e_ij= pengaruh sesatan dari perlakuan ke-i pada ulangan ke-j

i = perlakuan ke-i j = ulangan ke-j i = 1, 2, 3, ……., t j = 1, 2, 3, ……, r

CRD Ulangan tidak sama

P E R L A K U A N

Ul

1

2

…..

r

_i

X

_i.

Rerata

_τ

i

1

X

₁₁

X

₁₂

….

X

_1r1

X

₁

.

X

₁

.

_τ

1

2

X

₂₁

X

₂₂

….

X

_2r2

X

₂

.

X

₂

.

_τ

2

3

X

₃₁

X

₃₂

….

X

_3r3

X

₃

.

X

₃

.

_τ

3

..

.

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

..

t

X

_t1

X

_t2

….

X

_trt

X

_t

.

X

_t

.

_τ

t

Σ Σ

_X

_ij

_=X..

_X..

10/15/2012 21

X

_ij

=µ + τ

_i

+ e

_ij

X_ij - µ = τ_i + e_ij, τ_{I & eij independen}

Σ Σ (X_ij - µ)2_{= Σ Σ (τ}

i + eij)2

Σ Σ (X_ij - µ)2_{= Σ Σ τ}

i2 + Σ Σ eij2

JK total JK perlakuan JK sesatan

Σ Σ (X_ij - µ)2_{= Σ Σ X} ij2 + ∑riµ2 – 2 ∑ri µ2 = Σ Σ X_ij2 _{- ∑r} i µ2 = Σ Σ X_ij2 _{– ∑r} i(Σ Σ Xij)2/(∑ri)2 = Σ Σ X_ij2 _{– (Σ Σ Xij)}2_{/ ∑r} i

∑∑

  t r 2

∑

∑∑

= = = = _t i i t i r j ij r X 1 1 1 µ

JK perlakuan

JK plk = ri

Σ

τ

_i2

∑

−

=

2

..)

(

X

X

r

_i i 2 2 2 _{( )} 2 _       + − =

∑

∑∑

∑

∑

∑∑

∑

i j i i i j i i i r X r r X r X 10/15/2012 23 JK sst = JK total – JK perlakuan 2 1 1 1 2 . 1 . i t i t i r j ij i i t i r X r X JKplk

∑

∑∑

∑

= = = =       − =



db

_plk

= t - 1



db

_total

=

∑r

_i

- 1



db

_sesatan

= db

_total

– db

_perlakuan



MS perlakuan =Jk plk/db plk



MS sesatan = JK sesatan/ db sesatan

○

F hit = MS plk/MS sst

Contoh CRD ulangan tidak sama

i j Xij µ

τ

i eij A 1 12 10 2 0 A 2 11 10 2 -1 A 3 11 10 2 -1 A 4 14 10 2 2 B 1 8 10 -2 0 B 2 9 10 -2 1 B 3 7 10 -2 -1 C 1 9 10 -1 0 C 2 9 10 -1 0 Σ (..) 90 90 0 0 Σ (..)2 _{938 900 30 8} Ul PLK A B C 1 12 8 9 2 11 9 9 3 11 7 . 4 14 . . 48 24 18 12 8 9

τ

i 2 -2 -1 Xi. . Xi 10/15/2012 25

Ulangan tidak sama

38

)

900

(

)

9

....

11

12

(

2

+

2

+

+

2

−

=

=

JKtotal

30

900

2

18

3

24

4

48

2

₊

2

₊

2

₋

₌

=

n

JKperlakua

900

9

8100

2

3

4

90

2

₌

2

₌

+

+

=

FK

Anova

•

db plk = 3-1=2

•

db total = 9-1=8

•

db sesatan=8-2=6

•

MS plk atau KT plk= 30/2=15

•

MS sesatan atau KT sst=8/6=1,33

•

F hit=15/1,3=11,25

Sumber ragam db JK KT F hit Fα=5% Perlakuan 2 30 15 11,25 ? Sesatan 6 8 1,3

Total 8 38

10/15/2012

27

Model linear:

X

_ijk

= µ +

τ

_i

+ e

_ij

+

ε

_ijk

X_ijk= Data perlakuan ke-i, ulangan ke-j, sampel ke-k

µ = rerata umum

ζi = pengaruh perlakuan ke-i

eij = pengaruh ulangan ke-j pada perlakuan ke-i

εijk = pengaruh sesatan ke-k pada perlakuan ke-i dan

ulangan ke-j i = perlakuan ke-i j = ulangan ke-j k = sampel ke-k i = 1, 2, 3, ……., t

CRD dg beberapa pengamatan

tiap experimental unit

Perlakuan 1 Perlakuan 2 Ul 1 Ul 2 Ul 3 Ul 1 Ul 2 Ul 3 Sample 1

X

111

X

121

X

131

X

211

X

221

X

231 Sample 2

X

112

X

122

X

132

X

212

X

222

X

232 Sample 3

X

113

X

123

X

133

X

213

X

223

X

233 Sample 4

X

114

X

124

X

134

X

214

X

224

X

234

X

_11.

X

_12.

X

_13.

X

_21.

X

_22.

X

_23.

X

_1..

X

_2..

X…

10/15/2012 29

X

_ijk

=µ + τ

_i

+ e

_ij

+ ε

_ijk

X_ijk - µ = ζ_i + e_ij, + ε_ijk τ_{I, eij & εijk independen}

Σ Σ Σ (X_ijk - µ)2_{= Σ Σ Σ (τ}

i + eij+ εijk)2

Σ Σ Σ (X_ijk - µ)2_{= Σ Σ Σ τ}

i2 + Σ Σ Σ eij2 + Σ Σ Σ εijk2

JK total JK perlakuan JK ul/perl JK samp/ul/perl

Σ Σ Σ(X_ijk - µ)2_{= Σ Σ Σ X} ijk2 + trs µ2 – 2trs µ2 = Σ Σ Σ X_ijk2 _{– trs µ}2 = Σ Σ Σ X_ijk2 _{– trs (Σ Σ Σ X} ijk)2/(trs)2 = Σ Σ Σ X_ijk2 _{– (Σ Σ Σ X} ijk)2/trs

JK perlakuan

JK plk = r s

Σ

τ

_i2

∑

−

=

2 ..

...)

(

.

s

X

X

r

i 2 2 2 . . . . . . ) ( 2 . ..         + − =

∑

∑ ∑

∑

∑ ∑

∑

s r t X t s r s r t X s r X_{i i jk i jk} 2 1 1 1 1 2

.

.

.

..

s

r

t

X

s

r

X

JKplk

t i r j s k ijk t i i













−

=

∑

=

∑∑∑

= = = 10/15/2012 31

Jk ulangan/perlakuan = Jk experimental error

= s

_j

∑ ∑ e

_ij2 2 1 1 1 2

..

.

/

X

X

perl

JKul

t i i t i r j ij













−

=

∑∑

= =

∑

=

∑

∑

−

=

2

..)

.

(

i _j i j

X

X

s

2 2 2 . .. . . ..) ( 2 .         + − =

∑

∑

∑

∑

s r X r s s r X s X_{i j i i}

10/15/2012 33

JK samp/ul/perl = JK pooled error

= Jk Total – Jk Perlakuan – Jk ul/perl

∑∑

∑

∑∑

= = = = =













−

=

t i r j t i r j s k

s

Xij

Xijk

perl

ul

JKsamp

1 1 2 1 1 2 1

.

/

/



db

_plk

= t - 1



db

_total

= s.r.t - 1



db

_ul/perlk

= (r-1)t



db

_sesatan

= db samp/ul/perlk



=db

_total

– db

_perlakuan

- db

_ul/perl

= (s-1)rt



MS perlakuan =Jk plk/db plk



MS ul/perl = Jk ul/perl : db ul/perlk



MS sesatan = JK sesatan/ db sesatan

○

F hit = MS plk/MS sst

○

F hit = MS ul/perlk : MS sst

Model linear:

X

_ijk

= µ + τ

_i

+ e

_ij

+

ε

_ijk

X_ijk= Data perlakuan ke-i, ulangan ke-j, sampel ke-k µ = rerata umum

τ_i = pengaruh perlakuan ke-i

eij = pengaruh ulangan ke-j pada perlakuan ke-i

εijk = pengaruh sesatan ke-k pada perlakuan ke-i dan ulangan ke-j i = perlakuan ke-i j = ulangan ke-j k = sampel ke-k i = 1, 2, 3, ……., t j = 1, 2, 3, ……, ri k = 1, 2, 3, ……. , sij

X

_ijk

=µ + τ

_i

+ e

_ij

+ ε

_ijk

X_ijk - µ = τ_i + e_ij, + ε_ijk τ_{I, eij & εijk independen}

Σ Σ Σ (X_ijk - µ)2_{= Σ Σ Σ (ζ}

i + eij + εijk)2

Σ Σ Σ (X_ijk - µ)2_{= Σ Σ Σ ζ}

i2 + Σ Σ Σ eij2 + Σ Σ Σ εijk2

JK total JK perlakuan JK ul/perl JK samp/ul/perl

Σ Σ Σ(X_ijk - µ)2_{= Σ Σ Σ X} ijk2 + ∑∑sij µ2 – 2 ∑∑sij µ2 = Σ Σ Σ X_ijk2 _{– ∑∑s} ij µ2 = Σ Σ Σ X_ijk2 _{– ∑∑s} ij (Σ Σ Σ Xij)2/(∑∑sij)2 = Σ Σ Σ X_ijk2 _{– (Σ Σ Σ X} ij)2/ ∑∑sij   2

JK perlakuan

JK plk =

∑ s_ij Σ τ_i2

∑

∑

− = 2 .. ...) (X X s i ij 2 2 2 _{( )} 2 ..         + − =

∑∑

∑ ∑

∑

∑∑

∑∑

∑ ∑

∑

∑

∑

ij jk i ij ij jk i ij i s X s s X s X 2 1 1 1 1 1 1 2 1

..

ij t i ri j t i ri j sij k ijk ri j ij i t i

s

X

s

X

JKplk

∑∑

∑∑∑

∑

∑

= = = = = = =













−

=

10/15/2012 37

Jk ulangan/perlakuan = Jk experimental error

= s

_ij

∑ ∑ e

_ij2 2 1 2 1 1

..

.

/

∑

∑

∑∑

= = =

−

=

_ri i t i ij ij t i ri j

s

X

s

X

perl

JKul

∑

∑

−

=

2

..)

.

(

i _j i ij

X

X

s

2 2 2 .. .. 2 .

∑

∑

∑

∑

∑∑

− + = ij i ij i ij ij s X s X s X

10/15/2012 39

JK samp/ul/perl = JK pooled error

= Jk Total – Jk Perlakuan – Jk ul/perl

∑∑

∑

∑∑

= = = = =

−

=

t i ri j _ij ij t i ri j sij k

s

X

Xijk

perl

ul

JKsamp

1 1 2 1 1 2 1

.

/

/

•

db

_plk

= t - 1

•

db

_total

= ∑∑s

_ij

- 1

•

db

_ul/perlk

= ∑(r

_i

-1)t

•

db

_sesatan

= db samp/ul/perlk =db

_total

– db

_perlakuan

– db

_ul/perlk



MS perlakuan =Jk plk/db plk



MS ul/perl = JK ul/perl : db ul/perl



MS sesatan = JK sesatan/ db sesatan

•

F hit = MS plk/MS sst

•

F hit = MS ul/perl : MS sst

Soal Latihan

Data hasil percobaan pengaruh macam media perkecambahan terhadap panjang hypocotyl (cm) kecambah kacang hijau pada saat umur 6 minggu adalah sebagai berikut:

Keterangan: A : media air di petridish; B : media kapas; C : media kertas saring

a.Ujilah apakah perbedaan macam media perkecambahan menyebabkan perbedaan panjang hypocotyl kecambah kacang hijau (α = 5%)

b.Hitunglah nilai CV-nya

10/15/2012 41 Perlakuan _{A B C} Ulangan _{1 2 3 4 1 2 3 1 2} Sampel 1 _{16 14 15 16 17 18 17 24 23} Sampel 2 _{15 13 16 15 19 17 19 22 21} Sampel 3 _{15 14 15 16 18 18 19 22 23}