III PEMBAHASAN. untuk setiap di dan untuk setiap, dengan. (Peressini et al. 1988)

(1)

untuk setiap di dan untuk setiap ,

dengan .

(Peressini et al. 1988) Definisi 22 Teorema Deret Taylor

Nilai hampiran f di x untuk fungsi di a (atau sekitar a atau berpusat di a) didefinisikan

(Stewart 1999) 2.4 Kontrol Optimum dan Sistem Dinamik

Definisi 23 Kontrol Optimum

Kontrol optimum merupakan salah satu teknik untuk menyelesaikan masalah optimasi dinamis. Secara sederhana masalah kontrol optimum adalah memilih peubah kontrol diantara peubah kontrol yang admissible, yaitu kontrol yang membawa sistem dari state awal pada waktu kepada state akhir pada waktu akhir , sedemikian rupa sehingga memberikan nilai maksimum atau minimum bagi fungsional objektif. Fungsional objektif adalah fungsi dari beberapa fungsi lainnya untuk memaksimumkan atau meminimumkan suatu permasalahan.

(Tu 1993) Definisi 24 Sistem Dinamik

Sistem dinamik adalah suatu sistem yang berubah sesuai dengan waktu.

Sistem dinamik dinyatakan sebagai berikut:

, dengan merupakan fungsi x.

(Kreyszig 1993)

Definisi 25 Simbol

Simbol ini merupakan cara untuk membandingkan besarmya dua fungsi dan untuk menuju suatu limit .

Notasi menyatakan

bahwa terbatas, untuk .

(Serfling 1980) 2.5 Istilah-Istilah Ekonomi

Definisi 26 Aset

Aset adalah sesuatu yang memiliki nilai ekonomi dan nilai pertukaran.

(Harvey dan Gretchen 2002) Definisi 27 Aset Bebas Risiko

Aset bebas risiko adalah aset yang memiliki return yang pasti di masa depan.

(Harvey dan Gretchen 2002) Definisi 28 Aset Berisiko

Aset berisiko adalah aset yang return di masa yang akan datang tidak pasti.

(Harvey dan Gretchen 2002) Definisi 29 Portofolio

Portofolio adalah kumpulan dari beberapa aset yang digabungkan dalam suatu investasi yang didalamya termasuk beberapa investasi berisiko dan bebas risiko dengan tujuan untuk meminimalkan resiko dari masing-masing aset.

(Bodie et al. 2005) Definisi 30 Volatilitas

Volatilitas menyatakan tingkat risiko suatu aset yang ditunjukkan oleh keacakan aset.

Semakin besar nilai volatilitas, semakin tak terduga pergerakan aset. Sebaliknya semakin kecil nilai volatilitas, semakin mudah menduga aset tersebut.

(Harvey & Gretchen 2002)

III PEMBAHASAN

3.1 Asumsi

Dalam pembahasan skripsi ini akan dibahas permasalahan pemilihan portofolio dan konsumsi individu untuk model waktu kontinu dengan asumsi pendapatan individu diperoleh dari return beberapa aset yang bersifat stokastik. Selanjutnya, akan dibahas mengenai permasalahan optimalitas dari model multi-aset dengan return yang dibangkitkan dari gerak Wiener-Brownian.

Dalam kasus khusus, dibahas persamaan untuk model dua aset dengan constant relative risk aversion (CRRA).

3.2 Model Dinamik: Persamaan Anggaran Di bawah kondisi ketidakpastian, pada model waktu kontinu, persamaan anggaran berbentuk persamaan diferensial stokastik.

Untuk mendapatkan persamaan ini, memulai dari bentuk persamaan waktu diskret dan

(2)

selanjutnya menyelesaikan bentuk limitnya untuk waktu yang kontinu.

Didefinisikan:

Total kekayaan pada waktu t, Harga dari aset i pada waktu t,

,

Konsumsi per unit waktu untuk waktu t,

Proporsi total kekayaan yang dialokasikan pada aset i untuk waktu t, dengan

.

Persamaan anggaran dapat dituliskan sebagai berikut

(1) dengan dan interval waktu antar periode.

Dengan melakukan pengurangan terhadap pada kedua sisi, maka persamaan (1) dapat ditulis kembali menjadi

(2) (Lihat Lampiran 1)

dengan . Oleh karena

stokastik mengakibatkan juga stokastik, maka dipilih adalah tingkat return per unit waktu pada aset ke-i.

Untuk kondisi waktu diskret, diasumsikan bahwa ditetapkan mengikuti persamaaan (3) dimana adalah expected rate return yang bernilai konstan.

Fungsi merupakan error yang dibangkitkan oleh Gausian random-walk yang dinyatakan dalam bentuk fungsi yang memenuhi persamaan berikut

(4) dengan adalah peubah acak yang saling bebas yang menyebar normal baku,

untuk setiap t, menyatakan ragam per unit waktu dari proses , dan nilai tengah dari increment sama dengan nol.

Subtitusi pada persamaan (3) ke dalam persamaan (2), diperoleh

(5)

Dari persamaan (5), nilai harapan bersyarat di atas dengan diketahui adalah

(6) (Merton 1969)

(7)

(Merton 1969) Dengan adalah nilai harapan bersyarat dengan syarat diketahui.

Bentuk persamaan diferensial stokastik pada persamaan (4) jika , (waktu kontinu) dapat dituliskan dalam bentuk berikut.

, (8) dengan dibangkitkan proses Wiener.

Jika untuk kondisi , persamaan (5) dapat ditulis menjadi

(9) (Merton 1969) Persamaan di atas merupakan bentuk umum dari persamaan anggaran waktu

(3)

kontinu di bawah kondisi ketidakpastian.

Persamaan anggaran rata-rata dapat dihasilkan dari persamaan (5), yaitu

. (10) (Lihat Lampiran 2)

Dengan mengambil , maka

persamaan di atas menjadi rata-rata laju perubahan kekayaan.

(11)

(Lihat Lampiran 3)

3.3 Model Persamaan Anggaran Dua Aset Pada bagian ini akan dibahas lebih khusus yaitu persamaan anggaran untuk model dua aset.

Didefinisikan

adalah besarnya proporsi yang diinvestasikan pada aset berisiko,

adalah besarnya proporsi yang diinvestasikan pada aset bebas resiko,

adalah besarnya return pada aset berisiko (Var ),

adalah besarnya interest rate pada aset bebas resiko (Var ).

Dengan , maka

persamaan (5), (6), (7) dan (11) dapat dituliskan, sebagai berikut.

Permasalahan untuk memilih portofolio dan konsumsi yang optimal dirumuskan sebagai berikut,

(17) dengan kendala persamaan (15)

.

Fungsi diasumsikan merupakan fungsi utilitas yang strictly concave

adalah peubah acak yang dibentuk proses Wiener, adalah bequest valuation function (fungsi penaksiran harta waris) yang diasumsikan concave terhadap .

Untuk mendapatkan persamaan yang optimal, yang dilakukan selanjutnya adalah menulis ulang persamaan (17) ke dalam bentuk pemograman dinamik.

(18) dengan kendala yang dimiliki sama seperti pada persamaan (17), yaitu persamaan (15),

.

(4)

Jika diasumsikan

, maka dari persamaan (18) diperoleh

(19) Sehingga dalam kasus khusus, persamaan (14) dapat dituliskan menjadi

(20) Jika dan turunan parsial ketiga dari terbatas, maka dengan menggunakan teorema Taylor dan teorema nilai tengah untuk integral, persamaan (19) dapat dituliskan menjadi

,

(21) (LihatLampiran 9)

Ambil nilai harapan dari persamaan (21),

yaitu , dan

mengurangkan dengan pada

kedua sisi, serta dengan mensubtitusikan persamaan (13) dan (14) ke dalam persamaan kemudian bagi dengan h. Dengan cara mengambil limit , maka persamaan (21) menjadi

(22) Persamaan di atas disebut sebagai a continous-time version of the Bellman- Dreyfus fundamental equation of optimality (persamaan fundamental Bellman-Dreyfus yang optimal untuk waktu kontinu). Dengan penulisan singkat untuk , untuk

setiap .

Jika didefinisikan

, (23) maka persamaan (22) dapat dituliskan menjadi (24) Kondisi orde pertama untuk persamaan (24) adalah

(25)

(26) Kondisi orde kedua (syarat cukup) untuk persamaan (24) adalah

dimana .

Jika strictly concave terhadap

, maka dan

, strictly concave terhadap . Kondisi optimalitas dapat dituliskan sebagai himpunan persamaan diferensial

parsial untuk menyelesaikan

(27)

terhadap kendala batas

sehingga solusi untuk persamaan (14) menjadi solusi yang feasible.

3.4 Kasus Constan Relative Risk Aversion Untuk kasus persamaan sistem diferensial parsial tak linear pada persamaan (27) sangat sulit untuk diselesaikan secara umum. Akan tetapi, jika fungsi utilitas diasumsikan sebagai bentuk yielding constant relative risk- aversion, maka persamaan (27) dapat diselesaikan secara eksplisit. Misalkan

atau

(5)

(bentuk limit dari ) dimana

– adalah measure of

relative risk aversion. Jika pada persamaan (27) disubstitusikan besarnya nilai utilitas, maka persamaan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk kasus khusus seperti di bawah ini,

.

(30)

(Lihat Lampiran 12)

berlaku untuk ,

untuk . Dimana sebuah asumsi strategi yang sederhana akan menghasilkan bentuk khusus dari fungsi penilaian harta warisan,

Untuk menyelesaikan persamaan (22) digunakan trial solution.

. (31) Substitusi persamaan (22) ke dalam persamaan (24), syarat perlu

menjadi solusi persamaan (24) adalah yang memenuhi persamaan diferensial biasa di bawah ini.

dengan nilai batas , dan .

Hasil pengambilan keputusan pemilihan untuk konsumsi dan portofolio adalah , yang dinyatakan persamaan (33) dan persamaan (34) adalah

(33)

(34) Solusi untuk persamaan (23) adalah

(35) dengan

(Merton 1969) Syarat perlu untuk menjadi solusi untuk ( ) adalah jika

memenuhi

A. real (feasibility) B. (concavity for maximum) C. (feasibility)

Kondisi A, B, dan C yang dipenuhi jika

(36) untuk semua v dan .

Dengan mendapatkan persamaan (27), maka aturan pemilihan konsumsi dan portofolio yang optimal adalah

, .

, (37) dan

(38) Persamaan (37) dapat diintepretasikan sebagai suatu kondisi dimana besarnya anggaran yang dialokasikan untuk konsumsi bergantung pada besarnya kekayaan yang dimiliki individu. Semakin besar kekayaan, maka individu cenderung untuk semakin besar menambah jumlah proporsi untuk konsumsi.

Persamaan (38) dapat diintepretasikan sebagai suatu kondisi dimana besarnya anggaran yang dialokasikan untuk investasi tidak bergantung pada besarnya kekayaan yang dimiliki individu, . Alokasi pada investasi hanya bergantung pada besarnya nilai return dan volatilitas aset dari aset berisiko bergantung pada interest rate aset bebas risiko.

.

9 8