UNIT 2: TEGASAN RICIH
OBJEKTIF AM : Diakhir pelajaran ini pelajar dapat mempelajari,
memahami dan mencari tindakbalas daya ricih dan tegasan ricih ke atas rasuk.
OBJEKTIF KHUSUS :
Di akhir unit ini, pelajar akan dapat :
Menerangkan kesan daya ricih ke atas rasuk yang dibebankan.
Mendapatkan formula tegasan ricih bagi rasuk berkeratan segiempat Menggunakan formula tegasan ricih untuk rasuk berkeratan T, I dan L
Menentukan nilai tegasan ricih pada mana-mana bahagian keratan rasuk T, I dan L.
Melakarkan taburan tegasan ricih untuk keratan-keratan rasuk T. I dan L pada mana-mana kedudukan sepanjang rasuk.
2.0 PENGENALAN
Apabila satu rasuk dikenakan beban, ia akan menyebabkan kedua-dua momen lentur M dan daya ricih V bertindak di atas keratan rentas. Daya ricih pada setiap keratan bagi sebatang rasuk akan berubah merentasi keratan. Kewujudan tegasan ricih dalam rasuk juga akan menyebabkan pengerotan satah-satah.
Pertimbangkan sebatang rasuk julur yang berkeratan rentas segiempat tepat dikenakan satu beban sisi tertumpu F di hujung bebas seperti Rajah 2.1di bawah.
F
Rajah 2.1 : Rasuk julur dengan beban P
Jika kita potong rasuk ini di mana-mana keratan rentas, didapati terdapat daya ricih dan momen lentur untuk memastikan rasuk berada dalam keseimbangan. Momen lentur diagihkan pada keratan rentas dalam bentuk tegasan terus membujur. Daya ricih F diagihkan dalam bentuk tegasan ricih τ , yang bertindak mengikut arah tangen kepada permukaan.
INPUT 1
2.1 KESAN DAYA RICIH KE ATAS RASUK
Apabila satu rasuk dibebankan dengan daya, tegasan dalam dan terikan akan terhasil. Untuk memahami kesan daya ke atas rasuk, mari kita pertimbangkan sebatang rasuk ABC yang dibebankan dengan daya P seperti Rajah 2.2 di bawah.
X X P N
A B C
R
a=
P
2
R
c=
P
2
X N
L
Rajah 2.2 : Rasuk disokong mudah dengan beban P
Kes i: Sekarang gambarkan kita memotong rasuk di keratan rentas XX yang terletak pada jarak x dari hujung A. Pertimbangkan bahagian kiri rasuk sahaja.
X V V X
2
P
R
a=
Rajah 2.3 : Keratan pada X-X
Nilai V boleh ditentukan dengan menjumlahkan daya ke arah tegak iaitu:
+ve sebab arah -ve sebab arah daya
daya ke atas ke bawah
Ra – V = 0
Jadi V = P/2
Ra=P/2
Daya ricih V ialah daya dalaman yang berlaku dalam bahan rasuk untuk menentang daya luar supaya rasuk itu berada dalam keadaan keseimbangan. Daya ricih juga adalah jumlah aljabar kesemua daya menegak yang bertindak pada satu sisi sebarang keratan rentas rasuk tersebut.
Kes ii: Kita pertimbangkan pula keratan pada NN dengan mengambil
P N x V
2
P
R
a=
N L/2Rajah 2.4 : Keratan pada N-N
Dengan kaedah yang sama seperti kes I, mengambil jumlah daya-daya ke arah tegak; Kita dapati Ra – P – V = 0 P R V = a −
=
P
2
−
P
=
−
P
2
Kes iii:Sebaliknya jika kita pertimbangkan bahagian rasuk sebelah kanan pada
keratan XX, gambarajah jasad bebas adalah seperti rajah di bawah; P X x V
2
P
R
c=
X L/2Rajah 2.5 : Keratan pada xx
Mengambil jumlah daya didapati; V – P + Ra =0
V=P - Ra V = P – P/2 V = P/2
Dari kes I, ii dan iii didapati nilai daya ricih V adalah sama. Oleh itu daya ricih boleh ditentukan dengan mempertimbangkan daya yang bertindak ke atas gambarajah jasad bebas di sebelah kiri atau kanan keratan. Dalam unit ini kita akan mempertimbangkan keratan di sebelah kiri.
2.1.1. Tanda lazim bagi daya ricih
Kita mesti faham bahawa tanda aljibra daya ricih adalah bergantung kepada arah daya paduan di mana ia bertindak. Bagi menjelaskan konsep ini, pertimbangkan rajah 2.6 di bawah;
X X P N A B C
2
P
R
a=
X NR
c=
P
2
LRajah 2.6: Rasuk dengan arah tindakan daya
Pada keratan XX , daya ricih adalah positif X
Sebelah kiri cuba menggelongsor ke atas, oleh itu daya ricih
adalah positif
X
Rajah 2.7: Arah daya ricih Pada keratan NN, daya ricih adalah negatif
P N
R
c=
P
2
R
a=
P
2
N
Sebelah kiri cuba menggelongsor ke bawah, oleh itu daya
ricih adalah negatif
Rajah 2.8: Arah daya ricih
Kaedah lain yang digunakan ialah kelaziman tanda statik, dalam persamaan keseimbangan statik. Daya akan diambil sebagai positif apabila bertindak di dalam arah positif paksi koordinat.
2.1.2 Tegasan Ricih Dalam Rasuk
Apabila rasuk ditindakkan dengan beban, kedua-dua momen lentur M dan daya ricih V bertindak di atas keratan rentas. Dalam unit ini kita akan mengkaji taburan tegasan-tegasan ricih τ yang bergabung dengan daya ricih V.
Untuk memahami bagaimana tegasan ricih bertindak, mari kita pertimbangkan satu rasuk berkeratan rentas segiempat tepat dengan lebar b dan ketinggian h seperti Rajah 2.9 .
Rajah 2.9 a: Rasuk mudah yang dibebani V
h b
Rajah 2.9 b : Bentuk Keratan rasuk
Kita boleh anggap tegasan-tegasan ricih τ bertindak selari dengan daya ricih V, iaitu selari kepada sisi-sisi tegak keratan rentas seperti Rajah 2.9b.
2.1.3 Formula Tegasan Ricih
Pertimbangkan satu keratan rasuk seperti rajah 2.10 di bawah;
δ x z A C σ σ + δ σ O F A M y M+δ M τ y0 N y N F+δ F B D
Rajah 2.10: Rajah keratan rasuk
Ambil dua keratan yang terlalu nipis AB dan CD berjarak δ x pada satu rasuk yang berada dalam keadaan lenturan. Keratan ini ditindaki oleh daya ricih F, M dan F+δ F, M+δ M masing-masing.
Biar,
τ = tegasan ricih = F/A
yo = jarak pugak dari paksi neutral
y = jarak sentroid A dari paksi neutral
A = luas keratan
δ A = luas segmen berlorek yang terlalu nipis
σ = tegasan lentur
b = lebar keratan
δ x
(σ +δ σ )δ A
σ δ A
y
yo
Rajah 2.11 : Tegasan-tegasan normal pada unsur
Jika σ , σ +δ σ merupakan tegasan-tegasan normal pada suatu unsur seluas δ A pada kedua-dua keratan merentas lintang seperti rajah 2.11 di atas, jadi perbezaan diantara daya-daya σ δ A dan nilai –nilai ini dicampur meliputi luas A adalah seimbang dengan tegasan ricih merentas lintang τ pada satah longitud seluas bδ x, iaitu:-τ .bδ x = ∫dσ dA ---persamaan 2.1 tetapi σ = y I M σ +δ σ = (M+δ M)y/I δ σ = y I M δ ---persamaan 2.2 Menggantikan persamaan 2.2 ke dalam persamaan 2.1 didapati τ .b.δ x=(δ M/I)∫ yδ A b y A x M δ δ τ= bI y FA = τ ---persamaan 2.3 dimana F=δ M/δ x persamaan umum tegasan ricih
Contoh 2.1
Rasuk mudah AB menyokong dua beban, daya P dan momen M0 bertindak seperti
yang ditunjukkan dalam rajah 2.11 di bawah. Cari daya ricih V dalam rasuk yang terletak di keratan rentas berikut;
i. Satu jarak yang dekat dengan sebelah kiri rasuk ii. Jarak yang dekat dengan sebelah kanan rasuk
P Mo A B L/4 L/4 L/2 Rajah 2.12 Penyelesaian Ra Rb
Langkah pertama dalam analisis rasuk ini ialah menentukan tindakbalas Ra daan
Rb.
Dengan mengambil momen di A, Σ Ma =Σ Ma 0 2 + 0 − = ×L M R L P b L R M PL b = + 0 2 L M P Rb 0 2 + =
Dengan mengambil momen di B Σ Mb =Σ Mb 0 4 3 0 = + −PL M L Ra 0 4 3 M L P L Ra = − L M P R a a = − 4 3
i. Seterusnya rasuk dikerat pada keratan rentas sebelah kiri titik C dan badan bebas setengah rasuk dilukis.
P Kita memilih keratan separuh sebelah kiri M Rasuk (kanan pun boleh). Tunjukkan
Daya P dan t.b. Ra bersama-sama
V dengan daya ricih V dan momen
Ra lentur M yang tidak diketahui. Tanda
L/4 L/4 kan kuantiti yang tidak diketahui (V&M)
dengan tandaan positif. M0 tidak kelihatan
kerana pemotongan rasuk terletak di sebelah kiri titik tindakan M0.
Jumlah daya ; Σ F = 0 Ra – P – V = 0 ∴ V = -P + Ra = -P + − L M P 0 4 3 V L M P 0 4 − −
= Daya ricih negatif menunjukkan daya ricih bertindak berlawan denga arah yang dianggap di atas tadi
Dengan mengambil momen di paksi paling kanan yang merentasi keratan rentas pada keratan di atas
Σ M = 0 0 4 2 − = − L M P L Ra − = 4 2 L P L R M a − − = 4 2 4 3 0 L P L L M P M 2 8 0 M PL M = −
ii. Bagi memperolehi tegasan paduan di keratan rentas sebelah kanan titik C, kita kerat rasuk pada keratan tersebut seperti rajah di bawah.
P
M0 M
M0 sekarang bertindak
di sebelah kiri
V rasuk yang dipotong
Ra
L/4 L/4
Jumlahkan daya pada arah tegak, Jumlahkan momen
Σ F = 0 Σ M = 0 Ra – P – V = 0 0 4 2 + 0 − = − L M M P L Ra V = Ra –P 2 4 M0 L P L R M a + − =
V = − L M P 0 4 3 -P 0 0 4 2 4 3 M L P L L M P M + − − = V = -L M P 0 4 − 8 2 0 M PL M = + Contoh 2.2
Rasuk mudah AB membawa dua beban titik P mempunyai keratan rentas segi empat tepat lebar b = 100mm dan tinggi h = 150mm. Jarak a dari hujung rasuk kepada satu daripada beban ialah 0.5m. Tentukan nilai P dibenarkan jika rasuk terbina daripada kayu yang mempunyai tegasan dibenarkan dalam lenturan
σ dibenarkan = 11 Mpa dan tegasan dibenarkan dalam ricih mendatar τ dibenarkan =1.2
Mpa. Abaikan berat rasuk itu sendiri. P P
A B
a a Pada
peringkat ini sekiranya
anda masih mempunyai masalah melukis G.D.R dan G.M.L dan mencari
nilai Vmax dan Mmax,
sila buat ulangkaji
dan berjumpa pensyarah
anda Penyelesaian
P P
a a
Dapatkan daya ricih dan momen lentur maksima
G.D.R. Vmax=P
G.M.L Mmax = Pa
Dapatkan modulus keratan S bagi bentuk segiempat tepat b h S = 6 2 bh
dan luas keratan rentas A = bh
Untuk mendapatkan tegasan normal maksimum dan tegasan ricih dalam rasuk Dari persamaan maks maks M S σ = S M = σ = 6 2 bh Pa = 6 2 bh Pa …………persamaan 2.4 A V 2 3 = τ = bh P 2 3 …………persamaan 2.5
Dapatkan nilai P dari persamaan 2.4 dan 2.5 di atas (1) a bh P dibenarkan 6 2 σ = = 5 . 0 6 15 . 0 1 . 0 10 11 3 2 × × × × = 8.25 kN (2) 3 2 bh P = τdibenarkan = 3 15 . 0 1 . 0 10 2 . 1 2× × 3× × = 12.0 kN Maka nilai P yang dibenarkan ialah nilai terkecil di atas maka;
P= 8.25
INPUT 2
2.2 TEGASAN RICIH KE ATAS RASUK BERKERATAN SEGIEMPAT TEPAT
Pertimbangkan satu rasuk berkeratan segiempat tepat yang dikenakan beban. Ambil satu keratan pada mana-mana titik seperti rajah 2.13 di bawah. b A τ d y y Dari manakah persamaan ini diperolehi?
N A
Rajah 2.13
Pada jarak y dari paksi nutral bagi kawasan berlorek, A = luas kawasan berlorek
A = b (d/2 – y) − = d y y 2 2 1 z = b 12 3 bd
I = dimana I adalah momen Inersia
Dari persamaan 2.3 bI y FA = τ maka 2 12 2 2 3 + − = bd bd y d y d Fb τ − = 3 2 2 4 6 y d bd F
Tegasan ricih maksimum berlaku pada paksi nutral , y = 0 maka bd F 2 3 max = τ bd F 5 . 1 max = τ persamaan 2.6 Contoh 2.3
Rasuk mudah AB membawa dua beban tumpu P seperti Rajah 2.14 mempunyai keratan rentas segiempat tepat lebar b=100mm dan tinggi h=150mm. Jarak a dari hujung rasuk kepada satu daripada beban ialah 0.5m. Tentukan nilai P dibenarkan jika rasuk terbina daripada kayu yang mempunyai tegasan dibenarkan dalam ricih mendatar τ dibenarkan=1.2Mpa. Abaikan berat sendiri rasuk.
P P
A B
a a
Rajah 2.14
Penyelesaian
Momen lentur maksima M dan daya ricih maksima F dalam rasuk
ialah:-M=Pa F=P
Tegasan ricih maksima dalam rasuk, bentuk segiempat dari persamaan 2. bd F mak 5 . 1 = τ 5 . 1 bd F =τmak kN m m kN F 12 5 . 1 ) 15 . 0 )( 1 . 0 )( 10 2 . 1 ( 3 = × =
Maka beban yang dibenarkan ialah 12kN.
Contoh 2.4
Rasuk berkeratan rentas segi empat tepat seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 2.15 di bawah akan dibebankan dengan beban titik pada kedudukan C. Dapatkan tegasan ricih keratan pada jarak 50mm dari paksi neutral.
30kN 100mm A B 150mm 2m 8m Rajah 2.15 Penyelesaian 30kN A 50mm 150mm Ra 2m 8m Rb
Dapatkan tindak balas pada A dan B 100mm Σ Mb = 0 Σ F = 0 (Ra x 10) – (30 x 8) = 0 Ra – 30 + Rb = 0 Ra = 24kN Rb = 30 – 24 = 6kN 24kN G.D.R.. 6kN C Dari persamaan 2. bI y FA = τ dimana F=30kN A= 0.1m x 0.025m = 2.5x10-3m2 I = 12 3 bd = 12 15 . 0 1 . 0 × 3 =2.8125x10-5m4 y= +d y 2 2 1 = +0.05 2 15 . 0 2 1 = 0.0625m 5 3 10 8125 . 2 1 . 0 0625 . 0 10 5 . 2 30 − − × × × × × = τ τ = 1.67x103Kn Contoh 2.5
Kira tegasan ricih yang bertindak di titik C dalam rasuk keluli AB yang ditunjukkan dalam Rajah 2.16(a) . Rasuk disokong mudah dan mempunyai panjang rentang L=2m. Keratan rentas adalah segiempat tepat seperti Rajah 2.16 (b) dengan lebar 2.5cm dan tinggi 10cm . Berat beban teragih seragam di atas rasuk ialah 20kN/m (rasuk adalah terhalang sisi)
20kN/m 2.5cm
C 1cm
5cm
0.8m z
2m 5cm
Rajah 2.16 (a) Rajah 2.16 (b)
C3007-Mekanik Struktur
Penyelesaian
Dapatkan tindakbalas pada penyokong. V= 2 wl = 2 2 20× = 20kN Ra Rb Vc = 20x0.8 = 16kN 0.8m 20kN Dari persamaan 2.3 Ib y FA = τ dimana;
A=luas kawasan berlorek
12 3 bd I = = 12 1 . 0 025 . 0 × 3 = Diketahui formula tegasan ricih
ialah:-m kN m m x m m mx kN Ib y FA / 41 . 2592 ) 025 . 0 )( 10 083 . 2 ( ) 045 . 0 )( 025 . 0 01 . 0 )( 12 ( 4 6 = − = = − τ AKTIVITI Soalan 2.1
Rasuk mudah sepanjang L = 3m dengan dimensi keratan rentas b = 10cm dan d = 45cm menyokong beban seragam 50 kN/m termasuk berat sendiri rasuk. Kira tegasan ricih dalam rasuk (pada keratan rentas daya ricih maksima) di titik-titik yang terletak 5cm, 10.8cm ,15.2cm dan 21.4cm dari permukaan atas rasuk.
b
A B
h L
Rajah 2.17
Soalan 2.2
Rasuk julur panjangnya L = 2m menyokong beban P = 15 kN seperti Rajah 2.18. Rasuk diperbuat daripada kayu dengan dimensi keratan rentas 15 mm x 200 mm. Kira tegasan ricih disebabkan beban P di titik yang terletak 25mm, 50mm, 75mm dan100mm dari permukaan atas rasuk.
P=15kN 200mm L=2m 150mm Rajah 2.18 INPUT 3
2.3 TEGASAN RICIH ATAS RASUK BERKERATAN KENTAS
BENTUK I
Dengan menggunakan dimensi-dimensi seperti Input 2 untuk mendapatkan ungkapan Tegasan ricih dalam jasad. Pertimbangkan keratan rasuk berbentuk I seperti di bawah (Rajah
B b y τ D N A d Rajah 2.19 + − = 4 2 d D d D B y
A untuk kawasan bebibir
2 2 2 4 2 y d y d b d D d D B y A + − + + −
= untuk sebahagian daripada badan
z=b, kita
(
)
− + − = 2 2 2 2 4 2 8 y d b d D B bI F τSepertimana dengan keratan segiempat tepat, tegasan ricih merentas lintang maksima ialah pada paksi neutral.
(
)
[
2 2 2]
8bI B D d bd F − + = τPada atas badan,
(
2 2)
8bI B D d F − = τ Jadi,[
(
)
]
I d D y FA 2 / − = τ Contoh 2. 3Sebatang rasuk I 12cm x 5cm dikenakan daya ricih sebanyak 10kN. Hitung nilai tegasan ricih merentas lintang pada paksi nutral dan di atas badan , dan bandingkan dengan tegasan min dengan anggapan bahawa agihan adalah seragam meliputi keseluruhan badan. Berapakah peratusan dari daya ricih dibawa oleh badan?
Diberi, I=220cm4,, luas=9.4cm2, tebal badan = 0.35cm dan tebal
bebibir=0.55cm. Penyelesaian
(
×)
+(
−)
(
+)
= 2 45 . 5 35 . 0 45 . 5 725 . 5 55 . 0 5 y y y A =15.75 + (5.452 – y2)0.35/2 =20.95-0.175y2cm3 5 0.35 y 12 N Ad 0.55 Pada paksi nutral
2 / 2 . 27 100 220 35 . 0 95 . 2 10000 mm n = × × × = τ Di atas badan 2 / 1 . 20 220 35 . 0 75 . 15 100 mm N = × × = τ
Anggapkan bahawa semua daya ricih dibawa oleh badan dengan seragam. 2 min 26.2 / 100 9 . 10 35 . 0 10000 mm N = × × = τ Contoh 2.4
Web sebatang galang keratan I mempunyai dalam 45cm dan tebal 1cm. Tiap-tiap bebibir galang ini mempunyai lebar 22.5cm dan tebal 1.25cm. Di keratan yang tertentu galang menahan jumlah daya ricih 200kN. Kirakan tegasan ricih di bahagian atas dan di bahagian tengah web.
22.5cm 0.35 45c d 1.25cm Rajah 2.20 Penyelesaian
Momen luas kedua web di sekitar paksi sentroid ialah 1/12 (0.010)(0.45).3=0.0760 x 10-3m4
Momen luas kedua tiap-tiap bebibir di sekitar paksi sentroid ialah (0.225)(0.0125)(0.231)2=0.150x10-3m4
Jadi jumlah momen luas kedua ialah
Ix=[0.076 + 2(0.150 )]-3=0.376x10-3m4
Pada jarak y dari bahagian atas paksi neutral, dari persamaan tegasan ricih ialah:- − + = 2 2 4 1 12 bh h y F τ C3007-Mekanik Struktur
(
)
(
)
× + − × × × = − 2 2 3 3 4625 . 0 4 1 4625 . 0 225 . 0 10 376 . 0 2 10 200 yDi bahagian atas web, kita mempunyai y = 0.231m dan τ =34.6 MN/m2
Sementara di bahagian tengah web pula, dengan y = 0 kita mempunyai τ =52.2 MN/m2
AKTIVITI
Soalan 2.4
Rasuk I tak simetri seperti Rajah 2.21 mempunyai dimensi keratan rentas seperti berikut: b1 , b2 , t , h dan t1. Rasuk ditindaki daya ricih, V=
a) Kira tegasan-tegasan ricih maksimum dan minimum dalam rasuk
b) Kira tegasan ricih purata tpurata membahagi V dengan luas web, dan
seterusnya dapatkan nisbah tmak /tpurata
c) Kira daya ricih Vweb yang dibawa dalam web dan dapatkan nilai nisbah
Vweb/V b2 t1 h t1 b1 Rajah 2.21 Soalan 2.5
Sebatang galang I saiz seperti di dalam Rajah 2.22. Daya ricih di keratan ini ialah 500 kN. Pertimbang kan satu titik di keratan di bahagian atas web dan kirakan tegasan ricih.
1.25cm 60cm 2.5 cm Rajah 2.22
PENILAIAN KENDIRI
SOALAN 2.1Daya ricih di satu keratan yang diberi pada galang I binaan ialah 1000 kN dan dalam web galang ini ialah 2 m. Web disambungkan kepada bebibir galang dengan menggunakan kimpalan jalur. Tentukan tebal plat web dan juga tebal kimpalan apabila daya ricih yang dibenarkan di dalam kedua-dua web dan kimpalan ialah 75 MN/m2.
JAWAPAN : Tebal plat = 0.67 cm
Tebal kimpalan = 0.33 cm
SOALAN 2.2
Tentukan tegasan ricih maksimum dalam rasuk disokong mudah seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 2.23.
50 mm 133.5 kNm 854.4 kN/m 150 mm 1 m 1.2 m 1.2 m Jawapan : 11.82 kN/mm2 C3007-Mekanik Struktur
