MicrosoftWord LATIHAN TriliusSeptalianaKR Aisyah

(1)

1 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) - Aisyah (20102512023)

LATIHAN 4.1

1. Tentukan sebuah kondisi pada − 1 yang akan menjamin bahwa : a. − 1 <

Penyelesaian:

Kita perhatikan − 1 = − 1 + 1 < , Sekarang jika − 1 < 1, maka + 1 < 3, Selanjutnya jika − 1 < , maka

− 1 = − 1 + 1 < 3 − 1 < 3 ∙1_{6 =} 1₂

b. − 1 <

Penyelesaian:

Kita perhatikan − 1 = − 1 + 1 < , Sekarang jika − 1 < 1, maka + 1 < 3, Selanjutnya jika − 1 <

∙ , maka

− 1 = − 1 + 1 < 3 − 1 < 3 ∙_{3 ∙ 10 =}1 ₁₀1

c. − 1 < , ∀ ∈ ℕ

Penyelesaian:

Kita perhatikan − 1 = − 1 + 1 < , ∀ ∈ ℕ Sekarang jika − 1 < 1, maka + 1 < 3,

Selanjutnya jika − 1 < , maka

(2)

2 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) - Aisyah (20102512023) d. − 1 < , ∀ ∈ ℕ

Penyelesaian:

Kita perhatikan − 1 = − 1 + + 1 < , ∀ ∈ ℕ Sekarang jika − 1 < 1, maka < 2,

Akibatnya, + + 1 < + + 1 < 4 + 2 + 1 = 7, Jadi, apabila − 1 < , maka

− 1 = − 1 + + 1 < 7 − 1 < 7 ∙_{7 =}1 1

3. Misalkan c sebuah titik cluster pada ⊆ ℝ dan !: → ℝ. Buktikan bahwa lim'→(!) * = +, jika dan hanya jika lim'→( !) * − + = 0.

Penyelesaian:

)⟹* lim'⟶(!) * = +, berarti ∀_/> 0 ∃ 3 > 0 ∋ 5678 0 < − 9 < 3 :878 !) * − + < ;. Karena < !) * − + − 0< = !) * − + < =, bila 0 < − 9 < 3 maka < !) * − + − 0< < ;. Jadi, karena ; > 0 sebarang, maka kita sampaikan lim_'→( !) * − + = 0.

)⟸*lim'→( !) * − + = 0 berarti ∀/> 0 ∃ 3 > 0 ∋ 5678 0 < − 9 < 3 maka

< !) * − + − 0< < ;. Karena !) * − + = < !) * − + − 0< < ;, bila 0 < − 9 < 3 maka !) * − + < =. Karena ; > 0 sebarang maka lim'→(!) * = +.

4. Misalkan !: ? → ℝ dan misalkan 9 ∈ ℝ. Tunjukkan bahwa lim_'→(!) * = + jika dan hanya jika lim_'→ !) + 9* = +.

Penyelesaian :

)⟹*lim'→(!) * = +,

(3)

3 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) - Aisyah (20102512023) Maka kita simpulkan bahwa lim_A→ B!)@ + 9*C = lim_'→(!)@ + 9* = +. )⟸*lim'→ !) + 9* = +.

Untuk ; > 0 yang diberikan ∃ 3 > 0 sedemikian sehingga jika 0 < < 3 maka !) + 9* − + < ;. Misalkan x + c = y.

Apabila 0 < < 3 maka 0 < @ − 9 < 3, sehingga !)@* − + < ;. Karena ; > 0 sebarang,

maka kita simpulkan lim_A→(!)@* = lim_'→(!) * = +.

7. Tunjukkan lim_'→( = 9 , ∀₍∈ ℝ.

Penyelesaian :

− 9 = − 9 + 9 + 9 < ;. Sekarang apabila − 9 < 9 maka + 9 + 9 < + 9 + 9 < 49 + 9 ∙ 29 + 9 = 79 .

Jadi, untuk ; > 0 yang diberikan. Pilih 3 = :6 D9E, E /

(FG,

apabila 0 < − 9 < 3,

maka = 9 = − 9 + 9 + 9 < 79 − 9 < 79 ∙ (₍_F = ;. Karena ; > 0 sebarang, maka kita simpulkan lim_'→( = 9 .

12. Misalkan fungsi !: ? → ℝ mempunyai limit L di 0, dan misalkan 8 > 0. Jika H: ? → ℝ didefinisikan oleh H) * = !)8 *, ∀_'∈ ℝ. Tunjukkan bahwa lim'⟶ H) * = +.

Bukti :

Fungsi !: ? → ℝ mempunyai limit L di 0, berarti 8 > 0 yang diberikan terdapat 3 > 0, sedemikian sehingga jika !) * < 3 maka !) * − + < ;. Sekarang misalkan x = ay, dan 3 = 83 ,

sedemikian sehingga 0 < 8@ < 3 maka !)8@* − + < ;. Kemudian pilih 3 = :6 )3 , 3 *

Selanjutnya jika 0 < @ < 3 maka H)@* − + < ;.

(4)

LATIHAN 5.4

1. Tunjukkan bahwa fungsi !) * =

' adalah kontinu seragam pada himpunan

≔ J8E, E∞*, dimana a adalah konstanta positif.

Penyelesaian :

Ambil ; > 0,

Pilih 3 = 8 ; > 0, sedemikian sehingga jika , L ∈ , − L < 3, maka !) * − !)L* = M1−1_{LM =} − L_L

≤

OF − L <_OF∙ 8 ; = ;

Karena ; > 0 sebarang, maka dapat disimpulkan bahwa !) * =

' kontinu

seragam pada A.

5. Tunjukkan bahwa jika f dan g adalah kontinu seragam pada ⊆ ℝ, maka f + g kontinu seragam pada A.

Bukti :

Ambil ; > 0,

∃3 > 0 ∋ , L ∈ , − L < 3 ⟹ !) * − !)L* <;₂

∃3 > 0 ∋ , L ∈ , − L < 3 ⟹ H) * − H)L* < ;₂

Sehingga,

∃3 > 0 ∋ , L ∈ , − L < 3 ⟹ )! + H*) * − )! + H*)L* < ;, Pilih 3 = :6 D3 , 3 P

Sedemikian sehingga ∀_',(∈ , − L < 3 maka

(5)

5 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) - Aisyah (20102512023) 6. Tunjukkan bahwa jika f dan g kontinu seragam pada ⊆ ℝ dan jika keduanya

terbatas pada A, maka hasil dari fg kontinu seragam pada A. Bukti :

Ambil ; > 0, Analisa

)!H*) * − )!H*)L* = !) *H) * − !) *H)L* + !) *H)L* − !)L*H)L* ≤ H) * − H)L* !) * + !) * − !)L* H)L* Oleh karena f dan g terbatas pada A, maka ∃ 7 > 0, Q > 0 ∋ ∀_'∈ ,

!) * ≤ 7 R8 H) * ≤ Q dengan mengambil Q ≔ SLTDU, Q P, maka )!H*) * − )!H*)L* ≤ H) * − H)L* !) * + !) * − !)L* H)L* ≤ H) * − H)L* ∙ 7 + !) * − !)L* ∙ Q ≤ Q H) * − H)L* + Q !) * − !)L* Karena f dan g kontinu seragam pada A, maka :

∃3 > 0 ∋ , L ∈ , − L < 3 ⟹ !) * − !)L* <_2Q;

∃3 > 0 ∋ , L ∈ , − L < 3 ⟹ H) * − H)L* < _2Q;

Pilih 3 = :6 D3 , 3 P

Sedemikian sehingga bila , L ∈ , − L < 3 berlaku )!H*) * − )!H*)L* ≤ Q H) * − H)L* + Q !) * − !)L* < Q ∙ /

V+ Q ∙ / V= ;

Karena ; > 0 sebarang,

(6)

6 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) - Aisyah (20102512023) 15. Jika ! ) * ≔ 1, L WL7 ∈ J0,1X, hitunglah polynomial Bernstein pertama

untuk !. Tunjukkan bahwa ! ) * ≔ 1 bertepatan pada !. Petunjuk: Teorema Binomial menyatakan bahwa

)8 + Y* = Z [7\8]_Y ] ]^

Bukti :

_ ) * = Z ! `7_{a [7\}

]^

]_{)1 − *} ]

_ ) * = Z ! `7_{a [7\}

]^

]_{)1 − *} ]

= ! [ \ B C )1 − * + ! [ \ B C )1 − * = !)0*)1 − * + !)1*

_ ) * = Z ! `7_{a [7\}

]^

]_{)1 − *} ]

= ! [ \ B C )1 − * + ! [ \ B C )1 − * + ! [ \ B C )1 − * = !)0*)1 − * + ! [ \ 2 )1 − * + !)1*

Jadi, ! ) * ≔ 1

_ ) * = 1)1 − * + 1 = 1

)8 + Y* = Z [7\8]_Y ] ]^

Jika,

(7)

6.4 DIFFERENTATION

1. Misalkan f (x) = cos ax untuk x ∈ ? dimana a 0. Tentukan !) *) * untuk n ∈ N , x ∈ ?.

Jawab: f (x) = cos ax

f ‘(x) = −8 sin ax

f ‘’(x) = −8 cos ax

f ‘’’(x) =8 sin ax

!bb_{) * = c )−1*} 8 cos 8 , Hg 8T

)−1* h 8 sin 8 , H8 56j

E

2. Misakan H) * =| | untuk x ∈ ?. Carilah H′( )R8 H′′( ) untuk x ∈ ?, dan H′′( ) untuk x 0, sedemikian hingga H′′′(0) tidak ada.

Jawab :

H( ) = | |

Hb(') _{= 3 , > 0}

−3 , < 0

Hb( ) _{= lim} '→ H( ) = 0

0 ≤ H( ) ≤ | | 0 ≤ H( ) ≤ | | Hbb_{( ) = 6 , > 0}

−6 , < 0

Hbb₍₀₎₌_lim '→ l

m_(')

' Hbb_{(0) = 0}

0 ≤ |H( )| ≤ |3 |

(8)

Hbb_{( ) = 6 , > 0}

−6 , < 0

Hbbb_{(0) = lim} '→ n

H( ) − H(0)

− 0 = lim'→ n

6 = 6

Hbbb_{(0) = lim} '→ n

H( ) − H(0)

− 0 = lim'→ n

−6 _{= −6}

Hbbb_{(0) ≠ H}bbb_{(0) → H}bbb₍₀₎_{tidak ada.}

3. Gunakan latihan sebelumnya terdahulu untuk mengaproksimasi p1,2 dan p2 . Berapa ketelitian terbaik yang dapat kamu yakinkan dengan menggunakan ketidaksamaan itu?

Jawab :

o) p1,2 1 + (0,2) − _q(0,2) ≤ p1,2 ≤ 1 + . 0,2 1 + 0,1 − 0,005 ≤ p1,2 ≤ 1 + 0,1

1,094 ≤ p1,2 ≤ 1,1 o) p2 1 + . 1 −

q . 1 ≤ p2 ≤ 1 +

1 + 0,1 − 0,005 ≤ p1,2 ≤ 1 + 0,1 1,375 ≤ p2 ≤ 1,5

Yang lebih teliti p1,2 sebab

1,1 – 0,095 = 0,005 < 1,5 – 1,375 = 0,125.

4. I himpunan bagian R adalah sebuah interval terbuka, misalkan !: s → ? diferensiabel pada I, dan andaikan f ‘’(a) ada pada a ∈ s

Tunjukan bahwa

!bb_{(8) = lim} t→

!(8 + ℎ) − 2!(8) + !(8 − ℎ) ℎ

Bukti :

(9)

= lim_t→ !bb(Oht)+ !′′(8 − ℎ)₂

= lim_t→ !bb(8 + ℎ) + lim_t→ !bb(8 − ℎ) = !bb(8).

!( ) = !b_{( )}_{pada a = 0}

LATIHAN 7.4 INTEGRAL RIEMAN

1. Misalkan f terintegralkan pada [ 0, 1]. Tuunjukkan bahwa lim _→v[ \ w ! []

]\ = x ! ]^

Bukti :

Ambil y partisi dari [0,1] = ( 0 , , , … , = 1 )

Pilih ;_] = ] , untuk setiap k = 1, 2, ... , n.

Maka jumlah Riemannya adalah 3 (y , f ) = w_]^ ! (;_]) ({_]− {_] ) = w_]^ ! ( ] )

Karena f terintegralkan pada [ 0, 1 ] , maka

x ! = lim →v3 (y , f ) = lim →v w ! ( ] ] )

Selanjutnya

L ( P, f ) ≤ S (y; !) ≤ } (y; !)

(10)

10 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) - Aisyah (20102512023) 2. Tunjukkan bahwa lim _→v[w

]F_h F

]^ \ = ~_•

Bukti :

lim_→v_{€Z 7 +} ]^

• = lim_→v `1_{a Z 7 +} ]^

= lim

→v ‚[ \ w _[ƒ

„\ F

h

]^ …

= x

†F_h R = [arc tg ] = ~

•− 0 = ~•

3. Misalkan f (x) = x untuk ∈ [0, Y] dan misalkan y = B , _,… , C partisi dari [0, Y]. Tunjukkan bahwa untuk titik antara ;_]= ( _]+ _] ) , k = 1, ... , n, bersesuaian dengan jumlah Rieman memenuhi S (y; !) = Y .

Bukti :

3 (y , f ) = w_]^ !(;])({]−{_] )

= Z ! `1_{2a ({}]+ ]^

{] ) , ( {]− {]

= Z1_{2 ( {}_]+ ]^

{_]) ( {_]− {_] )

=1_{2 Z( {}] ]^

− {] )

(11)

11 Analisis Real, 2011 Trilius Septaliana KR (20102512011) - Aisyah (20102512023) 4. Gunakan Teorema 7.4.2 or 7.4.5 untuk memberikqn pembuktian lain dari

Teorema Dasar 7.3.1. Jawab :

Ambil ; > 0.

Untu setiap P partisi dari I yang memenuhi kesimpulan 7.4.2 Misalkan y = ({ , … , { )

Dan misalkan F = I R memenuhi kondisi Teorema 7.3.1 maka untuk setiap k

Ada :_] ∈ [{_] , {_]] sedemikian hingga ‹({_]) − ‹({_] ) = ‹b(:_]) 4{_]=

!(:]) 4{]. Selanjutnya

‹(Y) − ‹(8) = ZB‹({]) − ‹({] )C = Z !(:]) 4{] ]^

= S(y; !) ]^

Oleh karena f terintegralkan, menurut teorema 7.4.2 diperoleh | S(y; !) −

x !_OŒ | < ;