BAB VI - akhir a5

BAB VI

UKURAN PENYEBARAN

A. PENDAHULUAN

Telah dikemukakan, bahwa penyajian data statistik dalam berbagai bentuk table distribusi frekuensi dan grafik, sedikit banyak telah membantu berbagai pihak misalnya saja seorang peneliti. Dalam rangka mengenal dan mengetahui ciri atau sifat yang terkandung dalam sekumpulan bahan keterangan (data) yang berupa angka maka ia sangat membutuhkan statistika.

Namun demikian, yang harus diingat ialah, kegiatan menganalisis data yang hanya dengan mengetahui frekuensi dan nilai rata-ratanya saja dipandang belum “tajam” dan “teliti”, sebab masih terdapat banyak hal yang berada di luar jangkauan pengetahuan seorang peneliti dari keterangan tersebut. Karena sekalipun distribusi frekuensi dan nilai rata-ratanya telah diketahui, tetapi bagaimana penyebaran/ pemencaran/ variansi/ disperse/ variabilitas data itu sebenarnya belum terlihat secara jelas oleh peneliti.

Jadi menggambarkan karakteristik sekelompok data ternyata tidak cukup dengan hanya melihat ukuran pemusatannya, karena ukuran pemusatan hanya memberikan informasi tunggal tentang dimana data mengumpul, tanpa mengetahui bagaimana pola distribusi data secara keseluruhan. Untuk tujuan yang terakhir disebutkan ini, yaitu untuk mengetahui bagaimana pola distribusi data secara keseluruhan, digunakan ukuran penyebaran. Ukuran penyebaran memberikan informasi tentang bagaimana pola data

menyebar, atau seberapa luas data menyebar disekitar rata-ratanya. Semakin besar nilai pada ukuran penyebaran menunjukkan semakin luas sebaran data, yang berarti variasi antara satu data dengan data lainnya semakin besar dan berarti pula datanya semakin heterogen.

Ukuran penyebaran sangat berguna untuk membandingkan sifat homogenitas atau kesamaan variasi antara dua populasi. Perhatikan dua himpunan data tentang jumlah nilai pada raport siswa kelas VA dan kelas VB MI berikut ini:

Nilai kelas VA: 115 110 86 82 97 100 82 95 89 54 Nilai kelas VB: 96 95 88 96 79 86 93 88 88 91 Jika kedua kelompok data di atas dihitung rata-ratanya maka akan diperoleh rata-rata yang sama, yaitu 90, tetapi apakah kedua kelompok data mempunyai nilai-nilai data yang sama? Nilai raport pada kelas VA lebih bervariasi atau heterogen dibandingkan dengan kelas VB, dengan range yang lebih lebar yaitu antara 54 sampai dengan 115. Sedangkan kelas VB, nilai raport anak hampir sama, rangenya lebih sempit dan nilai-nilainya lebih dekat dengan nilai rata-ratanya. Secara kasar, dapat dianalisis bahwa di kelas VA terdapat anak dengan kemampuan yang sangat tinggi dan juga berkemampuan sangat rendah, sedang di kelas VB kemampuan anak relatif sama. Informasi sederhana ini dapat menjadi dasar bagi guru dalam menerapkan metode pengajaran yang tepat untuk kelas dengan materi yang berbeda.

Sehubungan dengan hal-hal yang telah dikemukakan di atas, maka agar dapat dicapai tingkat “ ketajaman analisis”, disamping mengetahui distribusi frekuensi dan mengetahui nilai rata-rata dari data yang sedang kita teliti, maka untuk analisis lebih lanjut terhadap data tersebut perlu ditentukan ukuran yang dapat digunakan untuk mengetahui variabilitas atau penyebarannya. Sebuah nilai untuk mengukur seberapa besar data menyebar relatif

terhadap rata-rata inilah yang disebut dengan nama Ukuran Variabilitas Data (Measures of Variabilitas) atau Ukuran Penyebaran Data (Measures of Dispersion).

Pengertian ukuran penyebaran data pada dasarnya ada bermacam-macam diantaranya adalah ukuran penyebaran data merupakan berbagai macam ukuran statistik yang dapat digunakan untuk mengetahui luas penyebaran data, atau variasi data, homogenitas data, dan stabilitas data. Dalam statistika dikenal beberapa macam ukuran penyebaran data yaitu dari ukuran yang paling sederhana (kasar) sampai dengan ukuran yang dipandang memiliki kadar ketelitian yang tinggi. Ada beberapa ukuran penyebaran yang dapat digunakan, yaitu: (1) Jangkauan/Range, (2) Deviasi / Simpangan (yaitu Deviasi Kuartil, Deviasi Rata-rata dan Deviasi Standart), (3) Ragam / Variance. Sebagaimana dalam ukuran pemusatan, ukuran penyebaran dapat dihitung pada data tunggal ataupun data kelompok.

B. JANGKAUAN (RANGE)

Range dikenal sebagai ukuran penyebaran data yang paling sederhana dan karena itu range sering juga disebut sebagai ukuran penyebaran data yang paling kasar. Range – yang biasa diberi lambang R – adalah salah satu ukuran statistic yang menunjukan jarak penyebaran antara skor (nilai) yang terendah (Lowest Score) sampai skor (nilai) yang tertinggi (Highest Score). Dengan singkat dapat dirumuskan :

R = H – L. Atau R = Xt – Xr (6.1)

Keterangan

H = Skor (nilai) yang tertinggi ( Xt ) L = Skor (nilai) yang terendah (Xr )

Pemakaian keterangan yang diberikan oleh range sebagai tambahan bagi keterangan yang telah diberikan oleh harga rata-rata mengenai sekumpulan data, dapat memberi gambaran yang lebih terang mengenai kumpulan data itu. Artinya range kita gunakan sebagai ukuran, apabila di dalam waktu yang sangat singkat kita ingin memperoleh gambaran tentang penyebaran data yang sedang kita selidiki dengan mengabaikan faktor ketelitian atau kecermatan.

Contoh 9 :

Dua kelompok memiliki distribusi sebagai berikut :

Kedua kelompok di atas mempunyai range yang sama yaitu 10-1 = 9, walaupun distribusi kedua kelompok nilainya jelas berbeda.

Contoh 10 :

Berikut ini adalah contoh perhitungan range nilai hasil tes untuk 5 macam bidang studi dari 3 orang peserta yang mengikuti tes seleksi penerimaan calon mahasiswa baru pada sebuah Perguruan Tinggi Agama Islam

A : 1 8 9 9 10 10

Keterangan :

• _{Kolom 3 s.d 7 menunjukan distribusi nilai hasil yang} dicapai oleh 3 orang calon.

• _{Kolom 8 memuat nilai tertinggi (Highest Score) setiap} calon.

• _{Kolom 9 memuat nilai terendah (Lowest Score) setiap} calon.

• _{Kolom 10 menunjukan jumlah seluruh nilai.}

• _{Kolom 11 adalah mean (nilai rata-rata hitung) yang} dicapai oleh masing-masing calon.

Dari tabel di atas kita ketahui bahwa berdasarkan nilai range kita dapat mengatakan “semakin kecil range dari suatu distribusi data, maka kita memiliki kecenderungan untuk menganggap bahwa mean yang kita peroleh merupakan wakil yang representatif dari data yang bersangkutan., sebaliknya semakin besar rangenya, maka kita akan cenderung untuk menganggap bahwa mean yang kita peroleh itu sifatnya meragukan”.

Dari uraian diatas dapat diambil suatu kesimpulan sebagai berikut:

• _{Semakin kecil rangenya maka semakin homogen} distribusinya.

• _{Semakin besar rangenya maka semakin heterogen} distribusinya.

• _{Semakin kecil rangenya maka meannya merupakan} wakil yang representatif.

No Ujian

Na ma

Nilai Yang dicapai H L R = H-L Jum. Nilai Mean PMP Dir. Isla Bhs. Ind Bhs. Arb. Bhs. Ingg 1. 2. 3. A B C 85 58 65 55 65 65 76 72 65 45 60 65 65 70 65 85 72 65 45 58 65 40 14 0 325 325 325 65 65 65

• _{Semakin besar rangenya maka meannya merupakan} wakil yang kurang reperesentatif.

Kebaikan pemakaian range sebagai salah satu ukuran penyebaran ialah dengan menggunakan range dalam waktu singkat dapat diperoleh gambaran umum mengenai luas penyebaran data yang sedang kita hadapi. Sedangkan kelemahannya ialah:

i. Range akan sangat tergantung kepada nilai-nilai ekstrimnya. Dengan kata lain, besar kecilnya range akan sangat ditentukan oleh nilai terendah dan nilai tertinggi yang terdapat dalam distribusi data, dengan demikian range sifatnya sangat labil dan kurang teliti.

Contoh:

Data X : H = 80, L = 30
R = 80 -30 = 50 Data Y : H = 95, L = 45
R = 95 – 45 = 50 Data Z : H = 88, L = 38
R = 88 – 38 = 50.

ii. Range sebagai ukuran penyebaran data, tidak memperhatikan distribusi yang terdapat di dalam range itu sendiri. Ambillah sebagi contoh, misalnya nilai tertinggi dari nilai terendah yang berhasil, dicapai oleh 8 orang mahasiswa masing-masing adalah 80 dan 40, sehingga rangenya = 80 – 40. Dengan range sebesar 40 itu ada kemungkinan distribusi nilai itu adalah: 40, 47, 52, 59, 64, 67, 70 dan 80, mungkin juga: 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40 dan 80; mungkin juga: 40, 40, 50, 50, 60, 60, 80, 80, atau bentuk distribusi lainnya. Yang jelas, dengan hanya mengetahui range-nya saja, kita belum tahu secara pasti bagaimana sebenarnya bentuk distribusi data yang kita hadapi mulai dari nilai terendah sampai nilai tertinggi.

Karena kelemahan-kelemahan itulah maka sebagai salah satu ukuran penyebaran data, range sangat jarang digunakan dalam

pekerjaan analisis statistic. Adapun cara mencari range dapat dibedakan menjadi 3 macam, yaitu :

1. Data Tunggal

Bila ada sekumpulan data tunggal X1, X2, ..., Xn maka jangkauannya adalah

R = Xt – Xr (6.1)

Contoh 11:

Tentukan jangkauan data : 1, 4, 7, 8, 9, 11! Jawab:

Xt = 11 dan Xr = 1

Jangkauan = Xt – Xr = 11 – 1 = 10 2. Data Kelompok

Untuk data kelompok, jangkauan dapat ditentukan dengan dua cara yaitu menggunakan titik atau nilai tengah dan menggunakan tepi kelas.

a. Jangkauan adalah selisih titik tengah kelas tertinggi dengan titik tengah kelas terendah. b. Jangkauan adalah selisih tepi kelas tertinggi

dengan tepi bawah kelas terendah. Contoh 12:

Tentukan jangkauan dari distribusi frekuensi berikut !

Tabel Tinggi Badan 50 Mahasiswa Tinggi Badan (cm) Frekuensi

140 – 144 145 – 149

2 4

150 – 154 155 – 159 160 – 164 165 – 169 170 – 174 10 14 12 5 3 Jumlah 50 Jawab :

Dari table di atas terlihat bahwa: Titik tengah kelas terendah = 142 Titik tengah kelas tertinggi = 172 Tepi bawah kelas terendah = 139, 5

Tepi atas kelas tertinggi = 174,5 a. Jangkauan = 172 – 142 = 30

b. Jangkauan = 174,5 – 139,5 = 35

3. Range Antarkuartil dan Range Semi Interkuartil Range antarkuartil adalah selisih antara nilai kuartil atas ( K3 ) dan kuartil bawah ( K1 ). Dirumuskan

Interquartile Range = K3 - K1 (6.2)

Interquartile range ini mengandung 50 persen dari pada pengamatan yang terdapat di dalam kumpulan data yang bersangkutan. Yang termasuk

kedalamnya adalah 50 persen bagian tengah dari pada kumpulan data itu atau dari suatu pencaran frekuensi ukuran ini dapat dipakai untuk tujuan – tujuan tertentu dan dapat dicari dengan mudah, yaitu dengan mencari dahulu nilai-nilai kuartil ketiga dan kuartil pertama.

C. SIMPANGAN RATA-RATA (STANDARD DEVIATION) Dalam statistika, yang dimaksud dengan deviasi ialah selisih simpangan dari masing-masing skor atau interval dengan nilai rata-rata hitung atau mediannya. Bila setiap skor/ nilainya lebih besar dari rata-rata hitungnya, maka deviasinya positif dan bila setiap skor atau nilainya lebih kecil dari rata-rata hitungnya, maka deviasinya negatif. Deviasi merupakan salah satu ukuran variabilitas data yang biasa dilambangkan dengan huruf kecil dari huruf yang digunakan bagi lambang skornya. Jadi apabila skornya diberi lambang X maka deviasinya berlambang x; jika skornya Y maka lambang deviasinya y; jika skornya Z maka lambang deviasinya z.

Karena deviasi merupakan simpangan atau selisih dari masing-masing skor terhadap rata-rata hitung groupnya, maka sudah barang tentu akan terdapat dua jenis deviasi, yaitu: (1) deviasi yang berada di atas rata-rata hitung, dan (2) deviasi yang berada di bawah rata-rata hitung. Deviasi yang berada di atas rata-rata hitung dapat diartikan sebagai ”selisih lebih”; karenanya deviasi semacam ini akan bertanda plus (+), dan lazim dikenal dengan istilah deviasi positif. Adapun deviasi yang berada di bawah rata-rata hitung dapat diartikan sebagai selisih kurang” oleh karena itu, selalu bertanda minus (-), dan lazim dikenal dengan istilah deviasi negatif. Penjumlahan deviasi akan selalu menghasilkan nol, sehingga tidak dapat digunakan untuk mengetahui keragaman data. Supaya hasil

penjumlahan dapat digunakan untuk mengetahui keragaman data maka pada waktu mengadakan penjumlahan, yang dijumlahkan adalah harga mutlaknya atau tanda-tanda aljabar dari deviasi (tanda + dan -) diabaikan, sehingga tanda positif dan negatifnya tidak mempengaruhi penjumlahan.

Contoh 13:

Skor (X) 8 7 6 5 4 ∑ X = 30 Deviasi (x) 2 1 0 -1 -2 ∑ x = 0

Ukuran penyebaran dibedakan menjadi 2 kelompok yaitu ukuran penyebaran mutlak dan ukuran penyebaran relatif. Ukuran penyebaran mutlak terdiri dari: simpangan rata-rata (mean deviation), simpangan kuartil (quartile deviation), dan simpangan baku (standard deviation). Sedangkan yang termasuk dalam ukuran penyebaran relatif adalah koefisien variasi (coevicient of Variation)

1. Deviasi Rata-Rata / Simpangan Rata-Rata

Seperti terlihat pada table di atas, jika seluruh deviasi kita jumlahkan, hasilnya pasti sama dengan nol (∑x = 0). Karena jumlah deviasi akan selalu sama dengan nol, maka kalau deviasi itu kita gunakan sebagai ukuran untuk mengetahui variabilitas data tidak akan ada manfaatnya sama sekali. Oleh karena itulah agar deviasi dapat digunakan sebagai ukuran variabilitas, dalam menjum-lahkan deviasi itu tanda-tanda aljabar (yaitu tanda + dan -) yang terdapat di depan deviasi sebaiknya diabaikan. Dengan kata lain, agar deviasi dapat dimanfaatkan sebagai ukuran variabilitas, maka penjumlahan itu dilakukan

terhadap harga mutlaknya. Setelah seluruh harga mutlak deviasi dijumlahkan lalu dihitung rata-ratanya.

Biasanya kita mempergunakan rata-rata hitung atau median sebagai dasar pengukuran data. Deviasi rata-rata, dihitung dengan cara menjumlahkan simpangan masing-masing nilai skor dengan nilai rata-ratanya (atau median) dan kemudian membaginya dengan banyaknya skor, tanpa memperhatikan tanda-tanda aljabarnya. Artinya, simpa-ngan-simpangan itu harus dirata-ratakan seolah-olah kesemuanya itu adalah positif. Dalam bahasa Inggris Deviasi Rata-rata dikenal dengan nama Mean Deviation (diberi lambang MD) atau Average Deviation diberi lambang AD.

Dari uraian di atas sebenarnya sudah cukup tergambar apa sebenarnya yang dimaksud dengan simpa-ngan rata-rata (Sr) itu, yakni jumlah harga mutlak deviasi dari tiap-tiap skor, dibagi dengan banyaknya skor itu sendiri. Dengan demikian, apabila pengertian tentang simpangan rata-rata tadi kita formulasikan dalam bentuk rumus, maka akan kita peroleh formula sebagai berikut: a. Data tunggal

Sr =

n

x

x

n i i

∑

=

−

1

(6.3)

Keterangan : Sr = Simpangan rata-rata xi = Nilai pengamatan ke-i

x

= Rata-rata hitung n = Banyaknya pengamatan

Contoh 14:

Seorang ibu rumah tangga melakukan pencatatan mengenai jumlah pemakaian gula pasir selama 6 bulan berturut-turut sebagai berikut:

Bulan Konsumsi gula (kg) 1 2 3 4 5 6 7,00 8,50 6,75 7,25 7,50 7,25

Carilah simpangan rata-rata dari pemakaian gula pasir tersebut!

Jawab :

i. Kalau memakai dasar perhitungan rata-rata hitung. Konsumsi gula (kg) (xi) Simpangan = xi -

x

7,00 8,50 6,75 7,25 7,50 7,25 7,00 - 7,375 = 0,375 8,50 - 7,375 = 1,125 6,75 - 7,375 = 0,625 7,25 - 7,375 = 0,125 7,50 - 7,375 = 0,125 7,25 - 7,375 = 0,125 ∑ xi = 44,25 ∑( xi -

x

) = 2,500

•

x

= ∑ xi / n = 44,25 / 6 = 7,375 • _{Sr = 2,500/6 = 0,417 kg/bulan}

ii. Kalau memakai dasar perhitungan median Konsumsi gula (kg) (xi) Simpangan = xi - Me 7,00 8,50 6,75 7,25 7,50 7,25 7,00 - 7,25 = 0,25 8,50 - 7,25 = 1,25 6,75 - 7,25 = 0, 5 7,25 - 7,25 = 0,00 7,50 - 7,25 = 0,25 7,25 - 7,25 = 0,00 ∑ xi = 44,25 ∑( xi - Me) = 2,25 • _{Me = 7,25} • _{Sr = 2,25/6 = 0,375 kg/bulan} b. Data Kelompok

Untuk data berkelompok (distribusi frekuensi), deviasi rata-ratanya dapat dihitung dengan rumus:

Sr =

∑

∑

= =

−

k i i k i i i

f

x

x

f

1 1

_(6.4)

Atau

Sr =

∑

∑

= =

−

k i i k i t ti i

f

x

x

f

1 1

_(6.5)

Keterangan : Sr = Simpangan rata-rata

xti = Nilai tengah pengamatan ke-i xi = Nilai pengamatan ke-i

t

x

= Rata-rata hitung nilai tengah pengamatan

x

= Rata-rata hitung pengamatan

fi = Frekuensi kelas ke-i k = banyaknya kelas Contoh 15 :

Tentukan simpangan rata-rata dari data pada tabel berikut!

Usia 31 30 29 28 27 26 25 24 23 frek 4 4 5 7 12 8 5 3 2

Jawab :

∑

∑

= =

=

_k i i k i i i

f

x

f

x

1 1

=

50

1360 = 27,2

• _{Langkah II: Menghitung deviasi masing} skor, dengan rumus:

x = xi -

x

(Lihat kolom 4). • _{Langkah III : Mengalikan f}i dengan │

diperoleh nilai fi│x│setelah itu dijumlahkan, sehingga diperoleh ∑fi│x│= 82,0.

• _{Langkah IV : Menghitung simpangan rata} dengan rumus:

Sr =

∑

∑

= =

−

k i i k i i i

f

x

x

f

1 1

=

₁

_,

₆₄

50

0

,

82

=

Tabel Penolong Menghitung Simpangan Rata-Rata Kelompok Usia (xi ) fi fi xi x = xi -

x

fi│ xi 31 4 124 + 3,8 15,2 30 4 120 + 2,3 11,2 29 5 145 + 1,8 9,0 28 7 196 + 1,8 5,6 27 12 324 - 0,2 2,4 26 8 208 - 1,2 9,6 25 5 125 - 2,2 11,0

Menghitung deviasi masing-masing

│x│ sehingga setelah itu dijumlahkan,

ata-rata, Kelompok i -

x

│ 15,2 11,2 9,0 5,6 2,4 9,6 11,0

24 3 72 - 3,2 9,6

23 2 46 - 4,2 8,4

Jumlah 50 1360 82,0

Contoh 16:

Tentukan simpangan rata-rata dari ditribusi frekuensi pada Tabel berikut ini!

Tinggi Badan Mahasiswa STAIN Tinggi Badan (cm) frek

140 - 144 2 145 - 149 4 150 - 154 10 155 - 159 14 160 - 164 12 165 - 169 5 170 - 174 3 Jumlah 50 Jawab :

• _{Langkah I: Mencari titik tengah kelas, dengan} rumus

2

kelas

bawah

Batas

kelas

atas

Batas

+

= x

ti

• _{Langkah II: Mengalikan f}i dengan xti sehingga diperoleh fi xti ; kemudian jumlahkan. (∑ fixti = 7885) • _{Langkah III: Mencari mean, dengan rumus}

t

x

∑

∑

= =

=

k i i k i ti i

f

x

f

1 1

=

50

7885 = 157,7

• _{Langkah IV: Menghitung deviasi masing-masing} kelas, dengan rumus:

│x = xti -

x

_t│ (Lihat kolom 5). • _{Langkah V: Mengalikan f}i dengan x sehingga

diperoleh fix ; kemudian tentukan nilai fix setelah itu dijumlahkan, sehingga diperoleh ∑fix = 282. • _{Langkah IV : Menghitung simpangan rata-rata,}

dengan rumus:

Sr =

∑

∑

= =

−

k i i k i t ti i

f

x

x

f

1 1

₌

₌

50

282

5,64

Tabel Penolong Menghitung Simpangan Rata-Rata Kelompok

Tinggi Badan (cm) xti fi fi xti xi=│xti -

x

t│ fi xi 140 - 144 142 2 284 15,7 31,4 145 - 149 147 4 588 10,7 42,8 150 - 154 152 10 1520 5,7 57 155 - 159 157 14 2198 0,7 9,8

160 - 164 162 12 1944 4,3 51,6

165 - 169 167 5 835 9,3 46,5

170 - 174 172 3 516 14,3 42,9

Jumlah 50 7885 282

Dari uraian di atas telah kita ketahui bersama bahwa untuk memperoleh simpangan rata-rata, semua deviasi yang ada kita jumlahkan, setelah itu kita bagi dengan N. Dalam menjumlahkan deviasi masing-masing skor atau deviasi masing-masing interval itu, tanda-tanda aljabar yang terdapat di depan angka yang menunjukkan deviasi itu, kita abaikan; berarti semua deviasi yang ada kita anggap bertanda “plus”, sebab yang dijumlahkan adalah harga mutlaknya. Memang cukuplah beralasan bahwa baik tanda “plus” maupun randa “minus” itu pada dasarnya menunjukkan “selisih” antara tiap-tiap skor atau interval yang ada dengan mean-nya (yang dimaksud disini adalah misalmean-nya deviasi sebesar + 1 dan sebesar – 1, sama saja artinya yaitu “ ada selisih sebesar 1 jika dibandingkan dengan mean-nya; apakah itu “selisih lebih” ataukah “selisih kurang”). Namun cara kerja demikian sebenarnya secara matematik kurang dapat dipertanggungjawabkan, yang karenanya dalam penganalisisan data statistik ukuran ini jarang sekali digunakan, karena dianggap kurang teliti.

Karakteristik utama dari simpangan rata-rata adalah:

• _{Simpangan rata-rata didasarkan pada setiap nilai di} dalam data. Karenanya ia memberikan gambaran yang lebih baik mengenai penyebaran data dari pada range dan simpangan kuartil.

• _{Simpangan rata-rata dihitung dari sebuah rata-rata,} baik rata-rata hitung maupun median. Ia mengukur penyebaran data sekitar rata-rata lebih baik dari

penyebaran data di dalam nilai-nilai tertentu, seperti yang di ukur dengan range dan simpangan kuartil. • _{Simpangan rata-rata merupakan rata-rata hitung dari}

nilai-nilai simpangan yang mutlak. Dalam perhitu-ngannya, simpangan ini mengabaikan tanda-tanda positif dan negatif dari simpangan terhadap rata-rata. Ini merupakan kelemahan dari simpangan rata-rata.

2. Simpangan Kuartil (Quartile Deviation),

Simpangan kuartil (quartile deviation) dengan notasi “SK” merupakan suatu ukuran dispersi yang didasarkan atas nilai kuartil, yaitu kuartil pertama (K1) dan kuartil ketiga (K3). Ukuran ini juga disebut: “semi interquartile range”, yang berarti setengah jarak antara kuartil pertama hingga kuartil ketiga.

Orang biasanya lebih suka memakai istilah “quartile deviation” atau “semi interquartile range” dari pada interquartile range sebagai ukuran penyebaran. Quartile deviation adalah sama dengan setengah dari interquartile range. Oleh karena itu, kita dapat menuliskan rumus quartile deviation itu sebagai:

Quartile deviation = (1/2) (K3 - K1) (6.6)

Quartile deviation bukanlah merupakan ukuran-ukuran yang baik bagi penyebaran sekumpulan data. Jadi, jika kita hendak mengukur penyebaran sekumpulan data, biasanya ukuran-ukuran ini tidak kita pakai. Keuntungan yang mungkin diperoleh dari pemakaian ukuran-ukuran ini

sebagai ukuran penyebaran, hanyalah kemudahan dalam perhitungan saja. Karakteristik utama dari simpangan kuartil adalah:

• _{Apabila distribusinya simetris. Maka K1 dan K3} dipisahkan dari median dengan jarak yang sama (equidistant). Karena itu, jika kita mengukur +- K dari median kita menghitung 50 % bagian dari distribusi itu karena kita telah mengukur kembali K1 dan K3.

• _{Apabila distribusinya menceng (skewed), seperti biasa} terjadi kita dapat mengambil +- K di sekitar median; dan sementara kita tidak akan mencapai salah satu dari K1 atau K3, kita dapat mengharapkan dapat memper-hitungkan +- 50 % dari bagian itu tanpa memperhatikan besarnya kemencengan.

• _{Simpangan kuartil relatif tidak dipengaruhi oleh} simpangan-simpangan ekstrim. Di lain pihak karena sangat tergantung pada nilai K1 dan K3, maka reliabilitasnya tergantung pada derajad pemusatan (degree of concentration) pada kuartil-kuartil populasi dari mana sebuah sampel di ambil. Khususnya bila terdapat kesenjangan-kesenjangan di dalam populasi di sekitar kuartil, maka simpangan kuartil itu menjadi tidak reliabel.

3. Simpangan Baku ( Standard Deviation)

Simpangan baku biasa disebut juga deviasi standar atau standard deviation karena simpangan baku berasal dari simpangan rata-rata yang telah dibakukan atau distandarisasikan, sehingga memiliki kadar kepercayaan atau reliabiitas yang lebih mantap. Oleh karena itu, dalam analisis statistika simpangan baku ini mempunyai

kedudukan yang amat penting. Adapun karakteristik umum dari simpangan baku adalah:

• _{Simpangan baku didasarkan atas simpangan setiap nilai} yang ada di dalam data. Karenanya, sebagaimana halnya dengan simpangan rata-rata, simpangan baku ini memberikan gambaran yang lebih baik mengenai dispersi dari pada range dan simpangan kuartil.

• _{Simpangan baku dihitung dari rata-rata hitung} nilai-nilai yang ada dalam rata-rata, bukan dispersi di dalam nilai-nilai tertentu seperti yang diukur dengan range dan simpangan kuartil.

• _{Simpangan baku secara matematis adalah logis (masuk} akal), karena perhitungannya tidak memperhatikan tanda-tanda positif dan negatif dari simpangan indi-vidual. Kenyataan ini menambah kegunaan simpangan baku dalam operasi matematis lebih lanjut.

• _{Bila setiap nilai dari data tertentu ditambah (dikurangi)} dengan sebuah bilangan tetap, simpangan baku tidak terpengaruh. Hal ini benar karena rata-rata, seperti pada setiap nilai, juga ditambah (dikurangi) dengan bilangan tetap tersebut. Jadi, simpangan setiap nilai dari rata-rata tidak terpengaruh. Tetapi bila setiap nilai di dalam data dikalikan (dibagi) dengan sebuah bilangan tetap, simpang baku juga dikalikan (dibagi) dengan bilangan tetap itu.

Simpangan baku (standard deviation) merupakan ukuran penyimpangan terhadap nilai rata-ratanya. Semakin kecil simpangan baku, berarti semakin terkumpul distribusi skornya, demikian pula sebaliknya. Dengan demikian maka semakin kecil simpangan baku, maka semakin baik prediksi rata-rata sample terhadap rata-rata populasinya. Atau dengan kata lain sekumpulan

skor sample maupun skor individual dapat menggambarkan keseluruhan skor ( skor populasi).

Simpangan baku merupakan harga akar positif dari selisih item data dengan nilai rata-rata yang dibagi oleh jumlah data (untuk data tidak berkelompok). Jika ungkapan tersebut kita tuangkan dalam bentuk rumus, maka rumus umum simpangan baku (s) atau standard deviation (SD) ialah sebagai berikut:

a. Data Tunggal

Untuk seperangkat data X1, X2, X3, ... Xn (data tunggal) simpangan bakunya dapat ditentukan dengan dua metode, yaitu metode biasa dan metode angka kasar. i. Metode Biasa

SD =

(

)

1

1 2

−

−

=

∑

=

n

x

x

s

n i i

, untuk n ≤ 30

(6.7)

Atau

SD =

(

)

n

x

x

s

n i i

∑

=

−

=

1 2

, untuk n > 30

(6.8)

Keterangan :

SD = s = Simpangan baku (Standard Deviation) xi = Nilai pengamatan ke-i

x

= Nilai rata-rata hitung n = Banyaknya pengamatan ii. Metode Angka Kasar

s =

1

1 2 1 2

−













−

∑

∑

= =

n

n

x

x

n i n i i i

, untuk n ≤ 30

(6.9)

Atau

s =

n

n

x

x

n i n i i i

∑

∑

= =













−

1 2 1 2

, untuk n > 30

(6.10)

Keterangan :

SD = s = Simpangan baku (Standard Deviation) xi = Nilai pengamatan ke-i

x

= Nilai rata-rata hitung n = Banyaknya pengamatan

Contoh 17:

Tentukan simpangan baku (standard deviation) dari data berikut ini! Nilai kelas VA:

115 110 86 82 97 100 82 95 89 54 Nilai kelas VB:

96 95 88 96 79 86 93 88 88 91 Jawab :

Standard deviation setiap kelas dihitung dengan cara: Tabel Penolong Menghitung SD kelas VA

Kelas VA i

x

x

_i

-

x

(

x

_i

-

x

)

2 115 25 625 109 19 361 85 -5 25 81 -9 81 96 6 36 99 9 81 81 -9 81 94 4 16 88 -2 4 52 -38 1444 Σ = 900 Σ = 2754

• _{Rata-rata hitung dari data adalah}

n

x

x

n i i

∑

=

=

1

₌

10

900

10

10 1

₌

∑

= i i

x

= 90

• _{Besarnya standard deviation adalah}

SD =

1

-n

)

x

-(x

s

2 i

∑

=

17,493

9

2754

s

=

=

Interprestasi dari nilai standard deviation 17,493 adalah bahwa data menyebar sebesar 17,493 disekitar (baik di atas atau di bawah) nilai rata-rata yang sebesar 90.

Tabel Penolong Menghitung SD kelas VB Kelas VB i

x

x

_i

-

x

(

x

_i

-

x

)

2 96 6 36 95 5 25 88 -2 4 96 6 36 79 -11 121 86 -4 16 93 3 9 88 -2 4

88 -2 4

91 1 1

Σ = 900 Σ = 256

• _{Rata-rata hitung dari data adalah}

n

x

x

n i i

∑

=

=

1

=

10

900

10

10 1

=

∑

= i i

x

= 90

• _{Besarnya standard deviation adalah}

• _{SD =}

1

-n

)

x

-(x

s

2 i

∑

=

5,333

9

256

s

=

=

Interprestasi dari nilai standard deviation 5,333 adalah bahwa data menyebar sebesar 5,333 disekitar (baik di atas atau di bawah) nilai rata-rata (sebesar 90). Dari kedua data di atas dapat disimpulkan bahwa meskipun sehimpunan data mempunyai nilai rata-rata yang sama tetapi standard deviation nya belum tentu sama juga. Standard deviation kelas VA (17,496) lebih besar dibanding dengan standard deviation kelas VB (5,333). Hal ini menunjukkan kemampuan anak di kelas VA lebih bervariasi (heterogen) dibandingkan dengan kelas VB.

Contoh 18 :

Berikut ini adalah sampel nilai mid test statistika I dari sekelompok mahasiswa di sebuah universitas.

Tentukan simpangan bakunya! (Gunakan kedua rumus). Jawab :

Tabel Penolong Menghitung Simpangan Baku

i

x

x

_i

-

x

(

x

_i

-

x

)

2 xi² 30 - 32,5 1.056,25 900 35 - 27,5 756,25 1.225 42 - 20,5 420,25 1.764 50 - 12,5 156,25 2.500 58 - 4,5 20,25 3.364 66 3,5 12,25 4.356 74 11,5 132,25 5.476 82 19,5 380,25 6.724 90 27,5 756,25 8.100 98 35,5 1.260,25 9.604 Σ = 625 Σ = 4.950,5 Σ = 44.013

i. Dengan metode biasa

• _{Rata-rata hitung dari data adalah}

n

x

x

n i i

∑

=

=

1

=

10

625

10

10 1

₌

∑

= i i

x

= 62,5

• _{Besarnya standard deviation adalah}

SD =

1

-n

)

x

-(x

s

2 i

∑

=

=

23,45

9

4950,5

=

ii. Dengan metode angka kasar:

SD = s =

1

1 2 1 2

−













−

∑

∑

= =

n

n

x

x

n i n i i i

=

(

)

1

10

10

625

44013

2

−

−

=

1

10

5

.

39062

44013

−

−

=

9

5

.

4950

=

550

.

056

= 23,45

b. Data Kelompok

Untuk data berkelompok (distribusi frekuensi), simpangan bakunya dapat ditentukan dengan tiga metode, yaitu metode biasa, metode angka kasar, dan metode coding. i. Metode Biasa

(

)

1

1 1 2

−

−

=

∑

∑

= = k i i k i t ti i

f

x

x

f

s

, untuk n ≤ 30 (6.11)

atau

(

)

∑

∑

= =

−

=

_k i i k i t ti i

f

x

x

f

s

1 1 2

, untuk n > 30

(6.12)

Keterangan :

s = SD = Standard Deviation = Simpangan Baku xti = Nilai tengah kelas ke-i

x

t = Rata-rata hitung nilai tengah pengamatan fi = Frekuensi kelas ke-i

k = banyaknya kelas

ii. Metode Angka Kasar

s =

1

1 1 1 2 1 2

−













−

∑

∑

∑

∑

= = = = k i i k i k i i k i ti i ti i

f

f

x

f

x

f

, untuk n ≤ 30 (6.13)

atau

s =

∑

∑

∑

∑

= = = =













−

k i i k i k i i k i ti i ti i

f

f

x

f

x

f

1 1 1 2 1 2

, untuk n > 30 (6.14)

Keterangan :

s = SD = Standard Deviation = Simpangan Baku xti = Nilai tengah kelas ke-i

fi = Frekuensi kelas ke-i k = banyaknya kelas

iii. Metode Coding













−













−

−

=

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = =

1

1

1 1 2 1 1 1 2 k i i k i i k i i i k i i k i i i

f

f

u

f

f

u

f

I

s

, untuk n ≤ 30 (6.15) atau 2 1 1 1 1 2

























−

=

∑

∑

∑

∑

= = = = k i i k i i i k i i k i i i

f

u

f

f

u

f

I

s

, untuk n > 30 (6.16) Keterangan :

s = SD = Standard Deviation = Simpangan Baku I = panjang interval kelas

fi = frekuensi kelas ke-i

k = banyaknya kelas di dalam pencaran frekuensi ui = simpangan antara titik tengah kelas ke-i

dengan titik tengah kelas pertengahan di bagi dengan interval kelas

Contoh 19:

Misalkan data yang tertera pada contoh 15 yang telah dihitung simpangan rata-ratanya itu kita

cari simpangan bakunya, maka langkah yang perlu ditempuh adalah sebagai berikut:

Tabel Penolong Perhitungan Deviasi Standar dari data Pada Contoh 15 xi fi fi xi

x

_i

-

x

(

x

_i

-

x

)

2 fi

(

x

_i

-

x

)

2 31 4 124 + 3,8 14,44 57,76 30 4 120 + 28 7,84 31,26 29 5 145 + 1,8 3,24 16,20 28 7 196 + 0,8 0,64 4,48 27 12 324 - 0,2 0,04 0,48 26 8 208 - 1,2 1,44 11,52 25 5 125 - 2,2 4,84 24,20 24 3 72 - 3,2 10,24 30,72 23 2 46 - 4,2 17,64 35,28 Σ = 50 Σ = 1360 Σ = 212,00 Jawab :

1) Mencari rata-rata hitung untuk data kelompok dengan rumus

∑

∑

= =

=

k i i k i i i

f

x

f

x

1 1

50

1360

=

= 27,2

2) Mencari simpangan tiap-tiap skor yang ada (kolom 4)

3) Menguadratkan semua simpangan yang ada (kolom 5)

4) Mengalikan frekuensi (fi) dengan kuadrat simpangan {

(

x

_i

-

x

)

2}, sehingga diperoleh ∑fi

(

x

_i

-

x

)

2 = 212

5) Mencari simpangan bakunya dengan rumus:

(

)

∑

∑

= =

−

=

_k i i k i t ti i

f

x

x

f

s

1 1 2

4

,

24

50

212

=

=

= 2,06

Contoh 20:

Tentukan simpangan baku dari distribusi frekuensi pada tabel di bawah ini! (gunakan ketiga rumus)

Tabel Berat Badan Mahasiswa STAIN Tahun 2007

Berat Badan (Kg) Frekuensi (f)

40 - 44 8 45 - 49 12 50 - 54 19 55 - 59 31 60 – 64 20 65 - 69 6 70 - 74 4 Jumlah 100

Jawab : i. Metode biasa Berat badan xti fi fi xti xti -

x

_t ( xti -

x

_t)2 fi ( xti -

x

_t)² 40 - 44 42 8 336 -13,85 191,8225 1.534,58 45 - 49 47 12 564 -8,85 78,3225 939,87 50 - 54 52 19 988 -3,85 14,8225 281,63 55 - 59 57 31 1767 1,15 1,3225 40,99 60 – 64 62 20 1240 6,15 37.8225 756,45 65 - 69 67 6 402 11,15 124,3225 745,94 70 - 74 72 4 288 16,15 260,8225 1043,29 Jumlah 100 5585 5342,75

•

∑

∑

= =

=

k i i k i i i

f

x

f

x

1 1

100

5585

=

= 55,85

•

(

)

∑

∑

= =

−

=

_k i i k i t ti i

f

x

x

f

s

1 1 2

53

,

4275

100

75

,

5342

=

=

= 7,31

ii. Metode angka kasar Berat Badan fi xti xti ² f i xti f i xti ² 40 - 44 8 42 1764 336 14112 45 - 49 12 47 2209 564 26508 50 - 54 19 52 2704 988 51376 55 - 59 31 57 3249 1767 100719 60 – 64 20 62 3844 1240 76880 65 - 69 6 67 4489 402 26934 70 - 74 4 72 5184 288 20736 Jumlah 100 5585 317265

s =

∑

∑

∑

∑

= = = =













−

k i i k i k i i k i ti i ti i

f

f

x

f

x

f

1 1 1 2 1 2

=

100

100

5585

317265

2

−

=

100

25

,

311922

317265 −

4275

,

53

100

75

,

5342

=

=

_{= 7,31}

iii. Metode coding Berat Badan xti fi ui ui² fiui fiui² 40 – 44 42 8 -3 9 -24 72 45 – 49 47 12 -2 4 -24 48 50 – 54 52 19 -1 1 -19 19 55 – 59 57 31 0 0 0 0 60 – 64 62 20 1 1 20 20 65 – 69 67 6 2 4 12 24 70 – 74 72 4 3 9 12 36 Jumlah 100 100 -23 219

•

_u

_i

I

x

x

_ti

−

_t

=

;

x

_t

=

57

; I = 5

•

2 1 1 1 1 2

























−

=

∑

∑

∑

∑

= = = = k i i k i i i k i i k i i i

f

u

f

f

u

f

I

s

2

100

23

100

219

5











 −

−

=

=

5

2

,

19

−

0

,

0529

=

5

2

,

1371

=

5

.

1

,

4619

= 7,31

D. RAGAM (VARIANCE)

Varians adalah nilai tengah kuadrat simpangan dari nilai tengah atau simpangan rata-rata kuadrat. Untuk sampel, variansnya (varians sampel) disimbolkan dengan s² sedang untuk populasi, variansnya disimbolkan dengan σ2 _(baca sigma). Seperti halnya pada ukuran penyebaran yang lainnya,

maka perhitungan ragam ini dibedakan antara perhitungan pada data tunggal dan data kelompok.

a. Data Tunggal

Untuk seperangkat data X1, X2, X3, ... Xn (data tunggal), variansnya dapat ditentukan dengan dua metode, yaitu metode biasa dan metode angka kasar.

i. Metode biasa

(

)

1

1 2 2

−

−

=

∑

=

n

x

x

s

n i i

, untuk n ≤ 30

(6.17)

atau

(

)

n

x

x

s

n i i

∑

=

−

=

1 2 2

, untuk n > 30

(6.18)

Keterangan : s2 _{= variansi = ragam} xi = Nilai pengamatan ke-i

x

= Nilai rata-rata hitung n = Banyaknya pengamatan ii. Metode angka kasar

1

1 2 1 2 2

−













−

=

∑

∑

= =

n

n

x

x

s

n i n i i i

, untuk n ≤ 30 (6.19)

atau

n

n

x

x

s

n i n i i i

∑

∑

= =













−

=

1 2 1 2 2

. untuk n > 30 (6.20)

Contoh 21:

Tentukan varians dari data berikut: 2, 3, 6, 8, 11 ! Jawab :

Tabel Pertolongan Menghitung Varians xi

x

_i

-

x

(

x

_i

-

x

)

2 xi² 2 -4 16 4 3 -3 9 9 6 0 0 36 8 2 4 64 11 5 25 121 Σ = 30 Σ = 54 Σ = 234 i. Metode biasa

6

5

30

1

=

=

=

∑

=

n

x

x

n i i

(

)

1

1 2 2

−

−

=

∑

=

n

x

x

s

n i i

(

)

1

5

6

5 1 2

−

−

=

∑

= i i

x

4

54

=

= 13,5

ii.

Metode

angka kasar

1

1 2 1 2 2

−













−

=

∑

∑

= =

n

n

x

x

s

n i n i i i

( )

1

5

5

30

234

2

−

−

=

5

,

13

4

54

4

180

234

=

=

−

=

b. Data Kelompok

Untuk data berkelompok (distribusi frekuensi), simpangan bakunya dapat ditentukan dengan tiga metode yaitu metode biasa, metode angka kasar, dan metode coding. i. Metode Biasa

(

)

1

1 1 2 2

−

−

=

∑

∑

= = k i i k i t ti i

f

x

x

f

s

, untuk n ≤ 30

(6.21)

atau

(

)

∑

∑

= =

−

=

_k i i k i t ti i

f

x

x

f

s

1 1 2 2

_{, untuk n > 30}

_(6.22)

Keterangan :

s2 _{= variansi = ragam} xti = Nilai tengah kelas ke-i

x

t = Rata-rata hitung nilai tengah pengamatan fi = Frekuensi kelas ke-i

k = banyaknya kelas

ii. Metode Angka Kasar

s

2

₌

1 1 1 1 2 1 2 −       −

∑

∑

∑

∑

= = = = k i i k i k i i k i ti i ti i f f x f x f

, untuk n ≤ 30 (6.23)

atau

s

2

₌

∑

∑

∑

∑

= = = =













−

k i i k i k i i k i ti i ti i

f

f

x

f

x

f

1 1 1 2 1 2

, untuk n > 30 (6.24)

Keterangan : s2 = variansi = ragam xti = Nilai tengah kelas ke-i fi = Frekuensi kelas ke-i k = banyaknya kelas

iii. Metode Coding                     −       − − =

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 k i i k i i k i i i k i i k i i i f f u f f u f I s

, untuk n ≤ 30 (6.25)

atau

                          − =

∑

∑

∑

∑

= = = = 2 1 1 1 1 2 2 2 k i i k i i i k i i k i i i f u f f u f I s

, untuk n > 30 (6.26)

Keterangan : s2 _{= variansi = ragam} I = panjang interval kelas

fi = frekuensi kelas ke-i k = banyaknya kelas

ui = simpangan antara titik tengah kelas ke-i dengan titik tengah kelas pertengahan di bagi dengan interval kelas

Contoh 22:

Diameter (mm) Frekuensi 65 – 67 68 – 70 71 – 73 74 – 76 77 – 79 80 – 82 2 5 13 14 4 2 Jumlah 40 Jawab :

i. Dengan Metode biasa :

Diameter xti fi fi xti xti -

x

_t ( xti -

x

_t)2 fi (xti-

x

_t)2 65 – 67 68 – 70 71 – 73 74 – 76 77 – 79 80 – 82 66 69 72 75 78 81 2 5 13 14 4 2 132 345 936 1050 312 162 -7,425 -4,425 -1,425 1,575 4,575 7,575 55,131 19,581 2,031 2,481 20,931 57,381 110,262 97,905 26,403 34,734 83,724 114,762 Jumlah - 40 2937 467,790

•

73

,

425

40

2937

1 1

=

=

=

∑

∑

= = k i i k i ti i t

f

x

f

x

•

(

)

∑

∑

= =

−

=

k i i k i t ti i

f

x

x

f

s

1 1 2 2

40

790

,

467

=

= 11,69475

ii. Dengan Metode angka kasar

Diameter xti fi xti2 fi xti fi xti2 65 – 67 68 – 70 71 – 73 74 – 76 77 – 79 80 – 82 66 69 72 75 78 81 2 5 13 14 4 2 4356 4761 5184 5625 6084 6561 132 345 936 1050 312 162 8712 23805 67392 78750 24336 13122 Jumlah - 40 2937 216117

•

_s

2

=

∑

∑

∑

∑

= = = =













−

k i i k i k i i k i ti i ti i

f

f

x

f

x

f

1 1 1 2 1 2

=

(

)

40

225

,

215649

216117

40

40

2937

216117

2

−

=

−

694375

,

11

40

775

,

467

=

=

iii. Dengan Metode coding Diameter xti fi ui ui² fiui fiui² 65 – 67 66 2 -3 9 -6 18 68 – 70 69 5 -2 4 -10 20 71 – 73 72 13 -1 1 -13 13 74 – 76 75 14 0 0 0 0 77 – 79 78 4 1 1 4 4 80 – 82 81 2 2 4 4 8 Jumlah 40 -21 63

•

_u

_i

I

x

x

_ti

−

_t

=

;

x

_t

=

75

;

I = 3

•





















































−

=

∑

∑

∑

∑

= = = = 2 1 1 1 1 2 2 2 k i i k i i i k i i k i i i

f

u

f

f

u

f

I

s



























 −

−

=

2 2

40

21

40

63

3

=

3

2

{

1

,

575

−

0

,

525

2

}

= 9{1,575 – 0,275625}= 9 {1,299375}

= 11,694375

Hasil perhitungan dengan menggunakan ketiga rumus adalah sama, namun dengan menggunakan rumus ke-3, perhitungan-nya jauh lebih sederhana dan cepat.

E. KOEFISIEN VARIASI

Ukuran-ukuran dispersi atau variasi yang telah dibahas sebelumnya merupakan dispersi absolut, seperti jangkauan, simpangan rata-rata, simpangan kuartil, dan simpangan baku. Ukuran dispersi absolut hanya dapat digunakan untuk melihat penyimpangan-penyimpangan nilai yang terdapat pada sekumpulan data, bukan untuk beberapa kumpulan data.

Untuk membandingkan dispersi atau variasi dari beberapa kumpulan data digunakan istilah dispersi relatif, yaitu perbandingan antara dispersi absolut dan rata-ratanya. Dispersi relatif dirumuskan:

%

100

x

rata

Rata

absolut

Dispersi

relatif

Dispersi

−

=

(6.27)

Ukuran dispersi ini dinyatakan dengan (%), gunanya untuk mengamati prosentase variasi data atau sebaran data dari meannya (rata-ratanya). Artinya semakin kecil koefisien variasinya maka data semakin seragam (homogen), sebaliknya semakin besar koefisien variasinya maka data semakin heterogen.

Dispersi mutlak seperti yang telah diuraikan umumnya dinyatakan dalam bentuk satuan original, misalnya: dalam rupiah, kilogram, liter, dan sebagainya. Apabila diinginkan untuk membandingkan dispersi dari dua buah rangkaian atau lebih dengan mempergunakan ukuran mutlak akan sulit dilakukan manakala rangkaian-rangkaian itu memiliki satuan ukuran atau ukuran rata-rata yang berbeda satu dengan yang lain. Misalkan kita ingin membandingkan dispersi antara gaji pegawai negeri yang dibayar secara bulanan dengan upah

buruh kasar yang dibayar secara harian. Gaji dan upah mempunyai ukuran rata-rata yang berlainan, gaji diukur atas dasar bulanan sedang upah diukur atas dasar harian. Demikian pula kita tidak dapat membandingkan secara mutlak dispersi antara gula pasir yang mempunyai satuan berat kilogram dengan tekstil yang mempunyai satuan panjang meter.

Untuk mengatasi kesulitan ini Karl Pearson (1857 – 1936) telah menciptakan ukuran lain yang disebut Koefisien Variasi (KV). Ukuran ini merupakan ukuran yang relatif sifatnya karena diperoleh dengan cara yang tidak langsung. Dispersi relatif kemudian dikembangkan untuk mengetahui variasi dari beberapa ukuran dispersi absolut, yaitu: variasi jangkauan, variasi simpangan rata-rata, variasi simpangan kuartil, dan variasi simpangan baku sebagai berikut:

1. Variasi Jangkauan (VR)

Variasi jangkauan adalah dispersi relatif yang dispersi absolutnya digantikan dengan jangkauan. Variasi jangkauan dirumuskan:

%

100

x

x

R

VR =

(6.28)

2. Variasi Simpangan Rata-Rata (VSR)

Variasi simpangan rata-rata adalah dispersi relatif yang dispersi absolutnya digantikan dengan simpangan rata-rata. Variasi simpangan rata-rata dirumuskan:

%

100

x

x

SR

VSR =

(6.29)

3. Variasi Kuartil (VK).

Variasi kuartil adalah dispersi relatif yang dispersi absolutnya digantikan dengan kuartil. Variasi kuartil dirumuskan:

x

x

100

%

SK

VK =

(6.30)

atau

%

100

x

Me

SK

VK

=

(6.31)

atau

%

100

1 3 1 3

_x

K

K

K

K

VK

+

−

=

(6.32)

4. Variasi Simpangan Baku (KV)

Variasi simpangan baku adalah dispersi relatif yang dispersi absolutnya digantikan dengan simpangan baku. Variasi simpangan baku ini lebih dikenal dengan istilah Koefisien Variasi. Koefisien variasi merupakan angka perbandingan antara nilai simpangan baku (tingkat penyimpangan data ) dengan nilai rata-ratanya (nilai tengahnya). Rumus yang digunakan untuk menghitung koefisien variasi data berkelompok dan data tunggal adalah:

100

%

x

s

Keterangan : KV = Koefisien variasi

SD = s = Simpangan baku (Standard Deviation)

x

= Nilai rata-rata hitung

Contoh 23:

Dari suatu penelitian diketahui penjualan besi beton di toko A dan toko B adalah sebagai berikut: rata-rata kekuatan besi beton di toko A yang terjual adalah 55590 dengan simpangan baku 20. Sedangkan rata-rata kekuatan besi beton di toko B yang terjual adalah 76000 dengan simpangan baku 25.

a. Tentukan koefisien variasi masing-masing!

b.

Di toko mana sebaiknya kita membeli besi beton! Jawab :

a.

100

%

0

,

036

%

590

.

55

20

%

100

=

=

=

x

x

x

s

KV

A A A % 033 , 0 % 100 000 . 76 25 % 100 = = = x x x s KV B B B

Jadi, variasi kekuatan besi beton yang terjual di toko A lebih besar dari pada variasi kekuatan besi beton di toko B.

Contoh 24:

Dalam suatu sampel penelitian diketahui gaji karyawan di dua perusahaan yang sedang berkembang adalah sebagai berikut:

Perusahaan A : 250, 500, 550, 600, 300, 350, 400 Perusahaan B : 350, 450, 500, 750, 200, 250, 300 a. Tentukan dispersi relative dari kedua

perusahaan tersebut dengan menggunakan keempat cara diatas !

b. Perusahaan manakah yang memiliki variasi gaji lebih baik ?

Jawab :

Tabel Penolong Menghitung Dispersi relative Perusahaan A

x

_i │

x

_i

-

x

│ 2 i

-

x

)

x

(

250 171,4286 29387,76 300 121,4286 14744,9 350 71,42857 5102,041 400 21,42857 459,1837 500 78,57143 6173,469 550 128,5714 16530,61 600 178,5714 31887,76 Σ =2950 Σ =771,4286 Σ =104285,7

Perusahaan B

x

_i │

x

_i

-

x

│ 2 i

-

x

)

x

(

200 200 40000 250 150 22500 300 100 10000 350 50 2500 450 50 2500 500 100 10000 750 350 122500 Σ =2800 Σ =1000 Σ =210000

1. Perhitungan variasi jangkauan. • RA = 600 – 250 = 350

=

A

x

421

,

4286

7

2950

=

=

%

100

x

x

R

VR

A A A

=

%

05

,

83

%

100

4286

,

421

350

=

=

x

• _RB = 750 – 200 = 550

=

B

x

400

7

2800

=

=

%

100

x

x

R

VR

B B B

=

100

%

137

,

5

%

400

550

=

=

x

2. Perhitungan variasi simpangan rata-rata

• _SrA =

n

x

x

n i i

∑

=

−

1

2041

,

110

7

4286

,

771

=

=

%

100

x

x

SR

VSR

A A A

=

%

15012

,

26

%

100

4286

,

421

2041

,

110

=

=

x

• _SrB =

n

x

x

n i i

∑

=

−

1

8571

,

142

7

1000

=

=

%

100

x

x

SR

VSR

B B B

=

%

71429

,

35

%

100

400

8571

,

142

=

=

x

3. Perhitungan variasi simpangan kuartil • _{Urutan data Perusahaan A :}

250, 300, 350, 400, 500, 550, 600 K1 = 300 K2 = 400 K3 = 550

%

100

x

x

SK

VK

A A A

=

x

100

%

Me

SK

A A

=

%

25

,

31

%

100

400

125

=

=

x

• _{Urutan data Perusahaan B :} 200, 250, 300, 350, 450, 500, 750 K1 = 250 K2 = 350 K3 = 500 SKA = ½ ( K3 – K1) = ½ (500 – 250) = ½ (250) = 125

%

100

x

x

SK

VK

B B B

=

x

100

%

Me

SK

B B

=

%

71429

,

35

%

100

350

125

=

=

x

4. Perhitungan variasi simpangan baku

•

1

-n

)

x

-(x

s

2 i A

∑

=

6

104285,71

=

131,83684

17380,952

=

=

%

28

,

31

%

100

4286

,

421

83684

,

131

%

100

=

=

=

x

x

x

s

KV

A A A •

1

-n

)

x

-(x

s

2 i B

∑

=

6

210000

=

187,0829

35000

=

=

%

77

,

46

%

100

400

0829

,

187

%

100

=

=

=

x

x

x

s

KV

B B B

a. Dari perhitungan disperse relative di atas, terlihat bahwa dispersi relative gaji perusahaan B lebih baik dari pada disperse gaji perusahaan A.

b. Variasi gaji di perusahaan B lebih baik diban-dingkan variasi gaji di perusahaan A.

F. ANGKA BAKU (STANDARD SKOR)

Angka baku (Z score) ialah bilangan yang menunjukkan tingkat penyimpangan data dari mean dalam satuan simpangan baku atau seberapa jauh suatu nilai tersebut menyimpang dari rata-ratanya dengan satuan SD. Kegunaan angka baku untuk untuk mengamati perubahan nilai kenaikan dan nilai penurunan variable atau suatu gejala yang ada dari meannya.Semakin kecil angka bakunya semakin kecil pula perubahan variable tersebut dari nilai meannya. Sebaliknya semakin besar angka bakunya semakin besar juga perubahan angka baku dari nilai rata-ratanya. Dari uraian tersebut maka dapat ditulis rumus untuk angka baku adalah:

SD

x

x

z

=

−

(6.34)

Keterangan z = angka baku x = nilai variable

x

= rata-rata hitung (mean) SD = simpangan baku

Dalam penggunaan bilangan z sering dirubah menjadi distribusi baru (model yang baru) yang mempunyai rata-rata x0 dan simpangan baku st.dv0 yang sudah ditentukan. Bilangan yang diperoleh dengan cara ini disebut bilangan baku

(bilangan standar). Adapun rumus untuk memperoleh bilangan baku sebagai berikut:













−

+

=

SD

x

x

SD

x

z

_{0 0} (6.35) Keterangan: z = angka baku x = nilai variable

x

= rata-rata hitung (mean) SD = simpangan baku

x

₀= mean yang sudah ditentukan

SD0 = simpangan baku yang sudah ditentukan Contoh 25:

Imah adalah mahasiswa STAIN yang semester ini hanya mengambil 5 mata kuliah. Pada pertengahan semester diperoleh data tentang nilai UTS dan rata-rata kelas Imah sebagai berikut:

Bahasa Inggris : nilai 80 ; rata-rata 70; SD 5 Statistika : nilai 95 ; rata-rata 75; SD 4 Manaj. SDM : nilai 85 ; rata-rata 80; SD 5 Kewiraan : nilai 90 ; rata-rata 70; SD 10 Matematika : nilai 100; rata-rata 85; SD 5 Berdasarkan uraian kelima nilai di atas, bidang studi apakah yang memperoleh nilai terbaik ?

Kalau dilihat dari besar nilainya, Matematika adalah yang paling baik derajadnya yaitu 100, tetapi kalau dinilai secara relative yaitu dibandingkan dengan rata-rata kelasnya, maka kita peroleh hasil sebagai berikut:

1

5

80

85

)

(

5

4

75

95

)

(

2

5

70

80

)

(

=

−

=

=

−

=

=

−

=

MSDM

z

Stat

z

BI

z

3

5

85

100

)

(

2

10

70

90

)

(

=

−

=

=

−

=

Mat

z

Kew

z

Berdasarkan kelima nilai tersebut yang lebih baik ialah statistika. Atau kedudukan nilai Statistika lebih tinggi dari pada nilai keempat mata kuliah lainnya (matematika, Bahasa Inggris, kewiraan, dan manajemen SDM).

Jika angka-angka di atas dimasukkan ke dalam angka baku dengan rata-rata 50 dan simpangan baku 10, maka angka baku untuk kelima mata kuliah tersebut adalah: