10 x 2 C 10 y 2 K 30 xk 10 yk100

(1)

No Soal Cara Maple . 1.1 Selesaikan sistem dengan melakukan

inverse terhadap matriks koofisien (x= A -1 b) 3 3 2 1 2 2 4 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 = + + − = + + = + + x x x x x x x x x > restart; > with(linalg): > spl:={x1+3*x2+x3=4,2*x1+2*x2+x3=-1,2*x1+3*x2+x3=3};

spl:={x1C3 x2Cx3=4, 2 x1C2 x2Cx3=K1, 2 x1C3 x2

Cx3=3}

> M:=genmatrix(spl,[x1,x2,x3],flag); > A:=submatrix(M,[1,2,3],[1,2,3]): > b:=submatrix(M,[1,2,3],[4]): > x:=evalm(inverse(A).b);













−

=

7

4

1 x

1.2 Jika













=

22 12 11

0 A

A

adalah matriks blok “segitiga atas” dimana A11 dan A22 adalah

matriks bujursangkar, maka det(A) = det (A11).det(A22). Gunakan hasil ini untuk

menghitung det (A).

            2 3 2 2 1 1 3 3 3 1 4 2 1 3 1 1 > restart; > with(linalg); > A:=matrix(4,4,[1,1,3,1,2,4,1,3,3,3,1,1,2,2,3,2]) ; > H31_(-3):=addrow(A,1,3,-3); > H41_(-2):=addrow(%,1,4,-2); > A11:=submatrix(%,[1,2],[1,2]);       = 4 2 1 1 : 11 A > A22:=submatrix(%%,[3,4],[3,4]);       − − − = 0 3 2 8 : 22 A > p:=det(A); 12 :=− p > q:=det(A11).det(A22); 12 :=− q 1.3 Jika mungkin carilah kondisi untuk a, b, c

dan sehingga sistem mempunyai jawaban tunggal, banyak jawaban, atau tidak mempunyai jawaban. c 4z -3y 5x b 2 3 = + = + − = − + z y x a z y x > restart; > with(linalg); > spl:={3*x+y-z=a,x-y+2*z=b,5*x+3*y-4*z=c};

spl := {3 x C y K z = a, x K y C 2 z = b, 5 x C 3 y K 4 z

> A:=genmatrix(spl,[x,y,z],flag); > H21:=swaprow(A,2,1); > H21_(-3):=addrow(%,1,2,-3); > H31_(-5):=addrow(%,1,3,-5); > H32_(-2):=addrow(%,2,3,-2);













+

−

=

−

c

2a

-b

0

0 a

3b

-7

4

0 b

2

1

1 :

) 2 ( 32

H

> submatrix(%,[3],[4]);

[

b

-

2a

+

c

]

1.4 Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (4,-2), (4,3) dan (2,4)

> restart; > with(linalg);

> A:=matrix(4,4,[x^2+y^2, x, y, 1, x1^2+y1^2, x1, y1,1, x2^2+y2^2, x2, y2, 1, x3^2+y3^2, x3, y3, 1]);

> x1:=4;y1:=-2;x2:=4;y2:=3;x3:=2;y3:=4; > det(A);

(2)

Nama : ………. NIM : ……….. Tandatangan: __________________

No Soal Cara Maple .

2.1 Tentukan nilai

x

persamaan berikut dengan menggunakan aturan Crammer, jika memungkinkan. 1 2 5 3 2 11 2 5 4 = + + = + + = + z y x z y x y x > restart; > with(linalg): > spl:={4*x+5*y=2,11*x+y+2*z=3,x+5*y+2*z=1}; spl := {4 x C 5 y = 2, 11 x C y C 2 z = 3, x C 5 y C 2 z = 1 } > M:=genmatrix(spl,[x,y,z],flag): > A:=submatrix(M,[1,2,3],[1,2,3]): > Ax:=submatrix(M,[1,2,3],[4,2,3]): > x:=det(Ax)/det(A);

x :=

3

11

2.2 Jika













=

22 12 11

0 A

A

adalah matriks blok “segitiga atas” dimana A11 dan A22 adalah

matriks bujursangkar, maka det(A) = det (A11).det(A22). Gunakan hasil ini untuk

menghitung det (A).

                − − − 2 5 3 0 0 2 6 2 0 0 5 3 1 0 0 4 3 1 3 4 6 5 2 1 2 > restart; > with(linalg): > A:=matrix(5,5,[2,-1,2,5,6,4,3,-1,3,4,0,0,1,3,5,0,0,-2,6,2,0,0,3,5,2]); > A11:=submatrix(%,[1,2],[1,2]); > A22:=submatrix(%%,[3,4,5],[3,4,5]); > p:=det(A);

p := K1080

> q:=det(A11).det(A22);

q := K1080

2.3 Jika mungkin carilah kondisi untuk a, b, c dan sehingga sistem mempunyai jawaban tunggal, banyak jawaban, atau tidak mempunyai jawaban. c -z x b z y a z y x = = + = − + 3 2 2 > restart; > with(linalg); > spl:={2*x+y-z=a,2*y+3*z=b,x-z=c};

spl := {2 x C y K z = a, 2 y C 3 z = b, x K z = c }

> A:=genmatrix(spl,[x,y,z],flag); > H31:=swaprow(A,3,1); > H31_(-2):=addrow(%,1,3,-2); > H32_(-1/2):=addrow(%,2,3,-1/2); > H3_(-2):=mulrow(%,3,-2);

H3_ ( K2 ) :=









1

0 K1

c

0

2

3 b

0

1 b C 4 c K 2 a









> submatrix(%,[3],[4]);;

[ b C 4 c K 2 a ]

2.4 Carilah persamaan bidang dalam ruang

dimensi-3 yang melalui titik (1, 2, 1,) (2, 3, 1) dan (2, -1, -1) > restart; > with(linalg); A:=matrix(4,4,[x,y,z,1,x1,y1,z1,1,x2,y2,z2,1,x3, y3,z3,1]); > x1:=1;y1:=2;z1:=1;x2:=2;y2:=3;z2:=1;x3:=2;y3:=-1;z3:=-1; > det(A);

K2 x C 2 y K 4 z C 2

(3)

inverse terhadap matriks koofisien (x= A -1 b) 5 2 2 3 3 4 2 3 5 3 2 3 2 1 3 2 1 = + = + + = + + x x x x x x x x > restart; > with(linalg); spl:={5*x1+3*x2+2*x3=4,3*x1+3*x2+2*x3=2,x2+x3=5} ; spl := {5 x1 C 3 x2 C 2 x3 = 4, 3 x1 C 3 x2 C 2 x3 = 2, x2 C x3 = 5} > M:=genmatrix(spl,[x1,x2,x3],flag); > A:=submatrix(M,[1,2,3],[1,2,3]): > b:=submatrix(M,[1,2,3],[4]): > x:=evalm(inverse(A).b);

x :=









1 K11

16 







3.2 Jika mungkin carilah kondisi untuk a, b, c

dan sehingga sistem mempunyai jawaban tunggal, banyak jawaban, atau tidak mempunyai jawaban. b 3 3 2 8 2 3 = + + = + − = − + − az y x z x z y x > restart; > with(linalg); > spl:={-x+3*y-2*z=-8,x+z=2,3*x+3*y+a*z=b};

spl:= {Kx C3 yK2 z = K8, x Cz = 2, 3 x C3 yCa z = b}

> A:=genmatrix(spl,[x,y,z],flag); > H12_(1):=addrow(A,1,2,1); > H31_(3):=addrow(%,1,3,3); > H23_(-4):=addrow(%,2,3,-4);

H23_( K4 ) :=









K1 3

K2

K8

0

3 K1

K6

0

0 K2 C a

b









> submatrix(%,[3],[3]);

[ K2 C a ]

> submatrix(%%,[3],[4]);

[ b ]

3.4 Misalkan













−

=

9

4

0

4

5

6

7

2

3 K

dan













−

=

5

7

3

1

0

4

2

6 L

.

Gunakan metode submatriks tentukan: (a) Baris pertama dari KL

(b) Kolom pertama dari LK

> restart; > with(linalg): > K:=matrix(3,3,[3,-2,7,6,5,4,0,4,9]); > L:=matrix(3,3,[6,-2,4,0,1,3,7,7,5]); > K1:=submatrix(K,[1],[1,2,3]);

[

3

2

7 ]

:

1 =

−

K

> evalm(K.L);













57

67

63

59

21

64

41

67

> evalm(K1.L);

[

67

41

41 ]

> evalm(L.K);













−

122

41

63

31

17

6

70

6

> K2:=submatrix(K,[1,2,3],[1]);













=

0

6

3 :

2 K

> evalm(L.K2);













63

6

(4)

4.1 Tentukan nilai y tanpa menentukan nilai

x

dan z dengan menggunakan aturan Crammer. 20 3 2 2 1 2 4 6 5 4 − = − + − = + − = + − z y x z y x z y x > restart; > with(linalg); > spl:={x-4*y+5*z=6,4*x-y+2*z=-1,2*x+2*y-3*z=-20}; spl:= {x K4 y C5 z = 6, 4 x Ky C2 z = K1, 2 x C2 y K3 z = K20} > M:=genmatrix(spl,[x,y,z],flag): > A:=submatrix(M,[1,2,3],[1,2,3]): > Ay:=submatrix(M,[1,2,3],[1,4,3]): > y:=det(Ay)/det(A);

y :=

251

15

4.2 Tentukan persamaan garis yang melalui

titik (5,1) dan (4,3) > restart; > with(linalg); > A:=matrix(3,3,[x,y,1,x1,y1,1,x2,y2,1]);

A :=









x

y

1 x1 y1

1 x2 y2

1 







> x1:=5;y1:=1;x2:=4;y2:=3; > det(A);

K2 x K y C 11

dan sehingga sistem mempunyai jawaban tunggal, banyak jawaban, atau tidak mempunyai jawaban. b 3 2 2 2 -y 3 2 3 = + − = + = + − z y x z x z y x > restart; > with(linalg); > spl:={3*x-y+2*z=3,x+y-z=2,2*x-2*y+3*z=b};

spl:={3 x KyC2 z =3, x CyKz =2, 2 x K2 yC3 z =b}

> A:=genmatrix(spl,[x,y,z],flag); > H21:=swaprow(A,2,1); > H21_(-3):=addrow(%,1,2,-3); > H31_(-2):=addrow(%,1,3,-2); > H32_(-5):=addrow(%,2,3,-5);

H32_( K5 ) :=









1

9 K11

8 0 K4

5 K3

0

0 K1 C b









> submatrix(%,[3],[3]);

[ 0 ]

> submatrix(%%,[3],[4]);

[ K1 C b ]

4.4 Tentukan suatu operasi baris yang akan

mengembalikan matriks elementer di bawah ini menjadi matriks identitas. _      −3 1 0 1 > restart; > with(linalg): > A:=matrix(2,2,[1,0,-3,1]); > H21_(3):=addrow(A,1,2,3);

H21_( 3 ) :=







1

0

1 





(5)

No Soal Cara Maple . 5.1 Bagaimana kita harus memilih koefisien p,

q dan r sehingga 3 3 1 2 3 3 − = − + − = + − − − = − + rz y px rz qy x r qy px

memiliki solusi x = 1, y = -1 dan z = 2?

> restart; > with(linalg): > spl:={p*x+q*y-3*r=-3,-2*x-q*y+r*z=-1,p*x+3*y-r*z=-3}: > f := (x,y,z) -> genmatrix(spl,[p,q,r],flag): > x:=1;y:=-1;z:=2; > evalm(f(M)): > gaussjord(%);









1

0 0 K4

0

1

0

5

0

0 1 K2









> backsub(%);

[ K4 5 K2 ]

5.2 Tentukan luas segitiga dengan titik puncak

(3,3), (4,0), (-2,-1) > restart; > with(linalg); > C:=matrix(3,3,[1,1,1,x1,x2,x3,y1,y2,y3]); > x1:=3;y1:=3;x2:=4;y2:=0;x3:=-2;y3:=-1; > Luas:=1/2*det(C);

Luas :=

K19

2

dan sehingga sistem mempunyai jawaban tunggal, canyak jawaban, atau tidak mempunyai jawaban. b a 4 2 13 -y 3 4 4 2 2 = + + + = − = − + z a y x z x z y x > restart; > with(linalg); > spl:={x+2*y-4*z=4,3*x-y-13*z=2,4*x+y+a^2*z=b}; spl := {x C 2 y K 4 z = 4, 3 x K y K 13 z = 2, 4 x C y C a2 z = b } > A:=genmatrix(spl,[x,y,z],flag); > H21_(-3):=addrow(A,1,2,-3); > H31_(-4):=addrow(%,1,3,-4); > H32_(-1):=addrow(%,2,3,-1);

H32_( K1 ) :=









1

2 K4

4 0 K7

K1

K10

0

0 17 C a

2

K6 C b









> submatrix(%,[3],[3]);

[ 17 C a

2

_]

> 17+a^2;

17 C a

2 > solve(%);

I 17 , KI 17

> submatrix(%%,[3],[4]);

[ K6 C b ]

> -6+b;

K6 C b

> solve(%); 6

(6)

6.1 Gunakan aturan Crammer untuk menyelesaikan x' dan y'dalam bentuk x dan y.

'

5 3 5 4 5 4 5 3

y

x

y

x

+

=

−

=

‘ ganti dengan c > restart; > with(linalg): > spl:={x=(3/5)*xc-(4/5)*yc,y=(4/5)*xc+(3/5)*yc}; > M:=genmatrix(spl,[xc,yc],flag); > A:=submatrix(M,[1,2],[1,2]); > Ax:=submatrix(M,[1,2],[3,2]); > Ay:=submatrix(M,[1,2],[1,3]); > p:=det(Ax)/det(A);

p :=

3

5 x C

4

5

> q:=det(Ay)/det(A);

q :=

3

5 y K

4

5 x

6.2 Luas daerah gambar berikut: Titik potong A(-2,0) B(0,-1) c(2,0) dan D(0,1) > restart; > with(linalg); > A:=matrix(3,3,[1,1,1,x1,x2,x3,y1,y2,y3]); > x1:=-2;y1:=0;x2:=0;y2:=-1;x3:=0;y3:=1; > Luas:=det(A);

Luas := 4

6.3 Jika mungkin carilah kondisi untuk a, dan sehingga sistem mempunyai jawaban tunggal, canyak jawaban, atau tidak mempunyai jawaban. 0 5 6 0 3 y 0 2 = − + − = − + = + − z y x z a x z y x > restart; > with(linalg); > spl:={x-2*y+z=0,x+a*y-3*z=0,-x+6*y-5*z=0};

spl:= {x K2 yCz = 0, x Ca yK3 z = 0, Kx C6 yK5 z = 0}

> A:=genmatrix(spl,[x,y,z],flag); > H21_(-1):=addrow(A,1,2,-1); > H31_(1):=addrow(%,1,3,1); > H2_(1/(2+a)):=mulrow(%,2,1/(2+a)); > H32_(-4):=addrow(%,2,3,-4); > 16/(2+a)-4;

16 2 C

a

K 4

> solve(%); 2

6.4 Tentukan suatu operasi baris yang akan mengembalikan matriks elementer di bawah ini menjadi matriks identitas.













3

0

1

0

1

> restart; > with(linalg): > A:=matrix(3,3,[1,0,0,0,1,0,0,0,3]); > H3_(1/3):=mulrow(A,3,1/3);

H3_

0

1

3

1

:=









1

0

1

0

1 







(7)

inverse terhadap matriks koofisien (x= A -1 b) 0 4 10 4 5 = + + − = − + = + + z y x z y x z y x > restart; > with(linalg): > spl:={x+y+z=5,x+y-4*z=10,-4*x+y+z=0};

spl:= {x Cy Cz = 5, x Cy K4 z = 10, K4 x Cy Cz = 0}

> M:=genmatrix(spl,[x,y,z],flag); > A:=submatrix(M,[1,2,3],[1,2,3]): > b:=submatrix(M,[1,2,3],[4]): > x:=evalm(inverse(A).b);

x :=









1

5 K1









7.2 Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh

titik A(0,0) B(10,0), C(10,6), D(6,6) dan E(4,10) > restart; > with(linalg); > A:=matrix(3,3,[1,1,1,x1,x2,x3,y1,y2,y3]); > B:=matrix(3,3,[1,1,1,x1,x3,x4,y1,y3,y4]); > C:=matrix(3,3,[1,1,1,x1,x4,x5,y1,y4,y5]); > x1:=0;y1:=0;x2:=10;y2:=0;x3:=10;y3:=6;x4:=6;y4:= 6;x5:=4;y5:=10; > Luas:=evalm((1/2)*(det(A)+det(B)+det(C))); Luas: = 60

7.3 Jika mungkin carilah kondisi untuk a, b, c dan sehingga sistem mempunyai jawaban tunggal, canyak jawaban, atau tidak mempunyai jawaban. c z y x z x a z y x = − + = + − = + + 7 3 b 2y -3 > restart; > with(linalg); > spl:={x+3*y+z=a,-x-2*y+z=b,3*x+7*y-z=c};

spl:={x C3 yCz =a, Kx K2 yCz =b, 3 x C7 yKz =c}

> A:=genmatrix(spl,[x,y,z],flag); > H21_(1):=addrow(A,1,2,1); > H31_(-3):=addrow(%,1,3,-3); > H32_(2):=addrow(%,2,3,2);

H32_( 2 ) :=









1

3

1 a

0

1

2 a C b

0

0 Ka C 2 b C c









> submatrix(%%,[3],[4]);

[ Ka C 2 b C c ]

mengembalikan matriks elementer di bawah ini menjadi matriks identitas.

            0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 > restart; > with(linalg): > A:=matrix(4,4,[0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0]) ; > H41:=swaprow(A,4,1);

H41 :=









1

0

1

0

1

0

1 







(8)

8.1 Bagaimana kita harus memilih koefisien p, q dan r sehingga 3 3 1 2 3 3 − = − + − = + − − − = − + rz y px rz qy x r qy px

memiliki solusi x = 2, y = -3 dan z = 1?

> restart; > with(linalg): > spl:={p*x+q*y-3*r=-3,-2*x-q*y+r*z=-1,p*x+3*y-r*z=-3};

spl:={2 pK3 qK3 r =K3, K4C3 q

Cr=K1, 2 pK9Kr=K3}

> f := (x,y,z) -> genmatrix(spl,[p,q,r],flag): > x:=2;y:=-3;z:=1; > evalm(f(M)): > gaussjord(%);









1

0

6

0

1 0 K1

0

1

6 







> backsub(%);

[ 6 K1 6 ]

8.2 Tentukan luas segitiga dengan titik puncak (5,4), (3,2), (2,3) > restart; > with(linalg); > C:=matrix(3,3,[1,1,1,x1,x2,x3,y1,y2,y3]); > x1:=5;y1:=4;x2:=3;y2:=2;x3:=2;y3:=3; > Luas:=abs(1/2*det©);

Luas := 2

8.3 Jika mungkin carilah kondisi untuk a, dan

sehingga sistem mempunyai jawaban tunggal, canyak jawaban, atau tidak mempunyai jawaban. 0 0 y 0 = + + = − = − + az y x z a z y x > restart; > with(linalg); > spl:={x+y-z=0,a*y-z=0,x+y-a*z=0};

spl := {x C y K z = 0, a y K z = 0, x C y K a z = 0 }

> A:=genmatrix(spl,[x,y,z],flag); > H31_(-1):=addrow(A,1,3,-1);

H31_( K1 ) :=









1

1 K1

0

0 a

K1

0

0 1 K a

0 







> submatrix(%%,[3],[3]);

[ Ka ]

mengembalikan matriks elementer di bawah ini menjadi matriks identitas.













₋

1

0

1

0

1

0

1

₇1 > restart; > with(linalg); > A:=matrix(4,4,[1,0,-1/7,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1]); > H13_(1/7):=addrow(A,3,1,1/7);