MAKALAH
KALKULUS 1
DIAJUKAN UNTUK MEMENUHI TUGAS MATA KULIAH Kalkulus
Dosen Pengampu Bapak H. LILIK SULISTYO, Drs., M.Pd.
oleh :
Damas Fahmi Assena
NIM : 161240000500
PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NAHDLATUL ULAMA
Daftar isi
BAB I
Sistem Bilangan Real
BAB II
Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak (Aljabar)
BAB III Pertidaksamaan Linear, Polinom, Pecahan, Mutlak Dan Akar
BAB IV Limit Fungsi
BAB V
Fungsi Trasenden
BAB VI Turunan Fungsi Aljabar
BAB VII Nilai Stasioner
BAB I
1.1 Bilangan Riil
A. Himpunan Bilangan Riil
Bilangan rasional adalah bilangan yang bisa dinyatakan dalam bentuk . Sebarang bilangan rasional dapat dituliskan sebagai suatu desimal. Pernyataan desimal suatu bilangan rasional dapat mempunyai akhir atau akan berulang dalam daur yang tetap selamanya. Misalnya
- = 0 , 5 ^=1,18181818
2 11 ’
771
Bilangan yang tak bisa dinyatakan dalam bentuk — dengan m.n bilangan
bulat dan disebut bilangan tak rasional. Sebarang bilangan takrasional juga dapat dituliskan sebagai suatu desimal. Pernyataan desimal suatu bilangan takrasional tidak berulang menurut suatu daur. Misalnya,0 n ^ 0 ^2=1,41421356223 n3,1415926335
Gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan tak rasional disebut himpunan bilangan riil ( biasa dilambangkan ). Anggota himpunan tersebut dinamakan bilangan riil. R
B. Sistem Bilangan Riil
Sistem bilangan riil dibentuk dari himpunan bilangan riil dan operasi yang didefinisikan pada himpunan tersebut. R yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian membentuk sistem aljabar lapangan, yakni berlaku:
1. x + y + y + x untuk sebarang x, y di R
2. (x + y) + z + x + (y + z) untuk sebarang x, y, z di R
3. Terdapat 0 di R demikian sehingga 0 + x + x + 0 + x untuk sebarang x di R 4. Untuk sebarang x di R terdapat - x di R demikian sehingga x + (+x) + (+x) + x
+ 0
5. xy + yx untuk sebarang x, y di R
6. (xy)z + x(yz) untuk sebarang x, y, z di R
7. Terdapat 1 di R demikian sehingga 1.x + x.1+ x untuk sebarang x di R
1 1
8. Untuk sebarang x di R dengan x ^ 0 terdapat- demikian sehingga x.- =
Pengurangan dan pembagian didefinisikan dengan dan ) (y-x=x+(-y dan X 1
- =
X-y y
C. Urutan pada Himpunan Bilangan Riil
Terdapat himpunan bagian dari R yang unsurnya dinamakan himpunan bilangan positif, yang memenuhi aksioma :
> jika a €R maka a= 0, atau a positif, atau -a
> jumlah dan hasil dua kali bilangan positif adalah suatu bilngan fositif ini memungkinkan kita mendfinisikan relasi urutan pada bilangan riil Dinefenisikan relasi urutan < (dibaca “kurang
dari”) sebagai x<y -y-x positif selanjutnya relasi urutan<(Dibaca (“lebih dari”)didefinisikan sebagai x>y^y<x
urutan tersebut memiliki sifat-sifat sebagai berikut :
> Trikotomi, jika x dan y adalah bilangan riil, maka satu diantara yang berikut berlaku x<y atau x=y atau x>y
> Ketransitifan, x<y dan y<z ~^x<z untuk sebarang x,y,z di R > x<y <~^x+z untuk sebarang x,y,z di R
> jika z positif, berlaku x< y ^xz<yz untuk sebarang x,y di R dan jika z negatif berlaku x < y <-^xz > yz untuk sebarang x,y di R, relasK (dibaca” kurang dari atau sama dengan”), didefinisikan sebagai x < y <~^y ≤ x sifat sifat urutan 2,3 dan 4 berlaku dengan lambang < dan> diganti dengan lambang ≤ atau ≥.
D. Kerapatan pada Himpunan Bilangan Riil
Diantara dua bilangan riil sebarang yang berlainan x dan y terdapat suatu
x-\- v
bilangan riil lainnya, khususnya z=—p dan karenanya terdapat juga bilangan riil diantara x dan z dan diantara z dan y. Argumentasi ini dapat diulang
sampai tak hingga, sehingga kita dapat mengambil kesimpulan diantara dua bilangan riil sebarang ( tak peduli betapun dekatnya ) terdapat takterhingga banyaknya bilangan riil lain.
E. Garis riil
Bilangan riil dapat dipandang sebagai label untuk titik sepanjang garis mendatar. Pada garis
tersebut bilangan riil mengukur jarak berarah ke kanan atau ke kiri dari suatu titik tetap yang diberi label . 0
0 Garis tersebut dinamakan garis riil Catatan:
> Mengatakan x<y bearti bahwa x berada disebelah kiri y pada garis riil. < --- 1--- 1--- >
x y
> Pada garis riil, bilangan riil positif terletak di sebelah kanan 0 dan bilangan riil negatif terletak di sebelah kiri 0 .
Himpunan Bilangan Himpunan Bilangan Riil Negatif < > Riil Positif
< --- 1 --- ►
0
F. Selang
Himpunan bagian tertentu dari himpunan bilangan riil yang disebut selang sering muncul dalam Kalkulus. Secara geometris ini berkaitan dengan ruas garis pada garis riil. Jika a < b, interval buka dari a ke b terdiri dari semua bilangan diantara a dan b dan menggunakan simbol (a,b) . Dalam notasi pembentuk himpunan ditulis {x a < x < b}. Perlu dicatat bahwa titik a
dan b tidak termasuk dalam selang tersebut. Selang tertutup dari a ke b adalah himpunan [a,b]= {x a < x < b}, dalam hal ini a dan b termasuk dalam selang tersebut. Lebih lanjut perhatikan tabel berikut
Simbol ropada notasi di atas bukan mewakili sebuah bilangan. (a,ro) berartihimpunan semua bilangan yang lebih dari a . Secara geometris selang ini membentang mulai dari titik a tak berhingga jauhnya ke kanan dalam arah positif. Analog untuk [a,ro) , (ro,b) , (ro,b] dan (ro,ro) .
G. Macam-macam bilangan riil
1. Bilangan Asli (A)
Bilangan asli adalah suatu bilangan yang mula-mula dipakai untuk memebilang. Bilangan asli dimulai dari 1,2,3,4,...
A = {1,2,3,4,...} 2. Bilangan Genap (G)
Notasi Deskripsi Himpunan Gambar
k
a < x < b\ --- { --- ) --- a b [a,b\k
a≤x<b} ---[
---3
--- a b [a,b)k
a ≤ x < b] --- 1 --- 1 --- a b (P,b\k
a < x < b\ ---4
--- j --- a b (0.0°)k
a < x < col ---4
--- * a [<7.°o)k
a ≤ x < --- 1 --- ^ a (co.b) oo < x < b\ * --- ) --- b (oo,6]i
Y00 < .T < b] - ---3
--- b (co.oo)i
x\
8 A H A < --- ►Bilangan genap dirumuskan dengan 2n, nIA G = {2,4,6,8,...} 3. Bilangan Ganjil (Gj)
Bilangan ganjil dirumuskan dengan 2n -1, nIA Gj = {1,3,5,7,...} 4. Bilangan Prima (P)
Bilangan prima adalah suatu bilanganyang dimulai dari 2 dan hanya dapat dibagi oleh bilngan itu sendiri dan ± 1 P = {2,3,5,7,...}
5. Bilangan Komposit (Km)
Bilangan komposit adalah suatu bilangan yang dapat dibagi oleh bilangan yang lain
Km = {4,6,8,9,...} 6. Bilangan Cacah (C)
Bilangan Cacah adalah suatu bilangan yang dimulai dari nol C = {0,1,2,3,4,...} 7. Bilangan Bulat (B)
Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, bilangan nol, dan bilangnan bulat positif. B = {...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}
8. Bilangan Pecahan (Pc)
Bilangan pecahan adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk -, a sebagai pembilang dan b sebagai penyebut, dengan a dan b IB serta b ^0
Contoh: 2 5 7
9. Bilangan Rasional (Q)
Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk -b
, a dan b IB serta b ^0. (Gabungan bilangan bulat dengan himpunan bilangan pecahan)
„ . . 1 4 r~ 22
Contoh: — — ,v4,— 3 7 7
10. Bilangan Irasional (I)
Bilangan irasional adalah suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk -b
, a dan b €B serta b ^0.
Contoh: 2, 3,p = 3,14159..., e = 2,71828... 11. Bilangan Real (R)
Bilangan real adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan real biasanya disajikan dengan sebuah garis bilangan.
Contoh:
12. Bilangan Khayal (Kh)
Bilangan khayal adalah suatu bilangan yang hanya bisa dikhayalkan dalam pikiran, tetapi kenyataannya tidak ada.
Contoh:
V—
1,V—
2,V—
3 13. Bilangan Kompleks (K)Bilangan Kompleks adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan dan khayal. Contoh: 2 +
V
-1,5 -V
- 2H. Perbedaan Antara Bilangan Rasional Dan Bilangn Irasional
Bilangan Rasional:
1. Dapat dtulis dalam bentuk pecahan biasa
Contoh: 2 3 3
2. Dapat ditulis dalam bentuk pecahan desimal terbatas.
— — 0,333...ditulis0,3
Contoh: J
— = 0,142857142857...rf/YateO,142857 7
Bilangan Irasional:
1. Tidak dapat ditulis sebagai pecahan biasa
2. Jika didahului sebagai pecahan desimal, merupakan desimal tak terbatas. Contoh:
V
3= 1,7320...V
2= 1,4142...3. Bilangan irasional ditulis dalam bentuk akar. Contoh:
V
2,V
3,V
7I. Sifat-sifat Operasi Bilangan Bulat
1. Sifat Komutatif: a + b = b + a a.b = b.a Contoh: 1. 5 + 6 = 6 + 5 = 11 2. 9.3 = 3 . 9 = 27 2. Sifat Assosiatif: (a + b) + c = a + (b + c) (a . b) . c = a . (b . c) Contoh: 1. (5 + 2) + 3 = 5 + (2 + 3) = 10 2. (5 x 2) x 3 = 5 x (2 x 3) = 30
3. Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan a x (b + c) = ab + ac
Contoh:
5 x (3 + 6) = 5 . 3 + 5 . 6 = 15 + 30 = 45 4. Terdapat Dua Elemen Identitas
Setiap bilangan a mempunyai dua elemen identitas, yaitu 1 dan 0, sehingga memenuhi: a + 0 = a a . 1 = a
5. Terdapat Elemen Invers
Setiap bialngan a mempunyai balikan atau invers penjumlahan, yaitu a yang memenuhi: a + (-a) = 0
Setiap a ^ 0 mempunyai balikan perkalian yaitu - yang memenuhi:
a.—1
a
J. Operasi Pada Bilangan Bulat:
1. Operasi Penjumlahan
a + b = c a, b dan c bilangan bulat Contoh: 14 + 10 = 24 2. Operasi Pengurangan
A - b = c Ua + (-b) = c a, b dan c bilangan bulat Contoh: 10 - (-2) = 10 + 2 = 12
3. Operasi Perkalian
a . b = c a, b dan c bilangan bulat Contoh: 5.4 = 20 9) . (-4) = 36
4. Operasi Pembagian
a . b = c a, b dan c bilangan bulat Contoh: 5.4 = 20 (-9) . (-4) = 36.
5. Operasi Pembagian
a 1
- = a .- = c+ . a,
b b
Contoh:
K. Operasi Pada Bilangan Pecahan
1. Operasi Penjumlahan
2. Operasi Pengurangan Contoh: Tentukan hasil perkalian berikut!
3. Operasi Perkalian Contoh:
Tentukan hasil perkalian berikut:
1.
2.
4. Operasi Pembagian Contoh:
Tentukan hasil pembagian dari pecahan di bawah ini!
L. Konversi Pecahan
> Mengubah penyebutnya menjadi 10 atau perpangkatan 10 lainnya. b . 3 - = — = — = 3.12
2 2 100
> Dengan pembagian berulang Contoh:
4
Ubahlah ke dalam pecahan desimal! —= 0,33333... = 0,33 12
2. Mengubah pecahan biasa ke bentuk persen. Mengubah penyebutnya menjadi 100 Contoh: 1 .^=^ = 40%
25 100
4 44 440
2. 4 — = — =--- 440% 10 10 100
3. Ubahlah 75% dan 30% ke dalam bentuk pecahan!
75 3
Jawab: 75% = — = - 100 4
30% = ^_ = A 100 10 4. Mengubah persen ke pecahan biasa dan ke pecahan desimal
Contoh:
Ubahlah persen berikut ke pecahan biasa dan ke pecahan desimal!
if) 1 a. 20% = — = - = 0.20 100 5 40 7 b. 40% = —= - = 0.40 100 5 75 3 C . 75% = — = - = 0.75 100 4
M. Perbandingan, Skala, Dan Persen
1) Perbandingan digunakan untuk membandingkan dua buah bilangan a. Perbandingan senilai Bentuk Umum:
—■— atau a1 : b1 = a 2 : b 2
bi 22
b. Perbandingan berbalik nilai Bentuk Umum:
Contoh: a. — = —
— = — atau ai : b 2 = a 2 : bi
b 1 ^2
Contoh:
1. Seorang ibu menghabiskan V liter minyak tanah untukmerebus air sebanyak 15 liter air. Jika dia akan merebus airsebanyak 100 liter, berapa liter minyak tanah yangdiperlukan?
2. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh 4 orang tukangdalam 20 hari. Jika pekerjaan itu harus selesai dalam 2 hari,maka berapa orang tukang yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan itu?
Jawab:
1. Jika perbandingan banyak minyak tanah (M) dengan banyak air (A) adalah M : A, maka:
2. Jika 4 orang tukang (T1 ) dapat menyelesaikan 20 hari (H1 ),maka untuk selesai selama 2 hari (H2 ) harus dipekerjakan lebih dari 4 orang.
T^=T2_
H2 H,
4 7, T , 4 80 ,
<=> — =—<=> 7, = 20x— = — = 40oranetukang 22022
2) Skala
Skala merupakan bentuk perbandingan nilai dari suatu besaran atau perbandingan antara ukuran gambar dengan ukuran sesungguhnya (kenyataannya). Suatu skala bisa merupakan pembesaran atau pengecilan dari ukuran sesungguhnya.
• Skala pembesaran Contoh:
Jarak kota A ke kota B pada peta adalah 10 cm. Jika jarak sesungguhnya adalah 100 km,berapakah skala kota A ke kota B?
Jawab:
Misal jarak pada peta = x
Misal jarak sesungguhnya = y X : y = 10 cm : 100 km = 10 cm : 10.000.000 cm = 1 : 1.000.000
Jadi, skala jarak kota A ke kota B adalah 1 : 1.000.000 • Skala Pengecilan Contoh:
Tinggi seorang aktor adalah 180 cm. Berapakah tinggi aktor tersebut pada layar TV jika skalanya 1 : 100?
Jawab:
Misal tinggi sesungguhnya = A = 180 cm Tinggi pada TV = B = ■ ■ = B = 1, 8 cm
100 A 100 180 100
Jadi tinggi aktor pada layar TV 1,8 cm 3. Persen
Persen (%) berarti per seratus, merupakan bentuk lain dari perbandingan yang ditulis dalam pecahan dengan penyebut 100.
Sebatang perunggu terbuat dari 100 kg tembaga, 20 kg timah hitam, dan 30 kg timah putih. Berapakah persentase tiap-tiap bahan tersebut dalam perunggu itu?
Jawab:
Massa total perunggu = 100 kg + 20 kg + 30 kg = 150 kg
100
Persentase tembaga = ■— rl00% = 66.7% in
Persentase timah hitam = —xl00% = 133% 150
30
Persentase timah putih = -^100% = 20.0%
K 150 '
N. Penerapan Pada Bidang Keahlian
1) Komisi
Komisi adalah pendapatan yang besarnya tergantung pada tingkat penjualan yang dilakukan. 2) Diskon
Diskon adalah potongan harga yang diberikan oleh penjual kepada pembeli 3) Laba dan Rugi
Laba = Penjualan - Pembelian Rugi = Pembelian - Penjualan Contoh soal:
> Seorang sales mendapat komisi 20% jika dia mampu menjual barang senilai Rp2.000.000,00. Tentukan komisi yang diterima!
Jawab:
Komisi = 20% x Rp2000.000,00 = ^-^».2000.000.00 100 ^
= Rp. 400.00
> Sebuah barang dibeli seharga Rp500.000,00, kemudian barang tersebut dijual dengan harga Rp750.000,00. Hitunglah persentase keuntungan dari harga pembelian dan dari harga penjualan! Jawab:
Laba = Rp750.000,00 - Rp500.000,00 = Rp250.000,00 Persentase laba dari harga beli Rp 2 5 0'0 0 0'0
°x 1 0 0 % = 5 0 %:
Persentase laba dari harga jual: Rp 2 5 0 ■ 0 0 0 ■ 0 0
X
1
o o %0 = 3 3,3 °%& J
BAB II
Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai MutlakPosted on Agustus 15, 2014 by ahmadthohir1089
A. Nilai Mutlak
Nilai mutlak adalah jarak pada garis bilangan real antara bilangan yang dimaksud dengan dengan nol.
untuk bilangan real didefinisikan Contoh:
, ,
B. Persamaan Nilai Mutlak
Sifat-sifat nilai mutlak
1. 2. 3. , (ketaksamaan segitiga) 4. 5. 6. 7. 8. atau Contoh Soal:
1. Tentukan nilai yang memenuhi Jawab:
……… 1)
………. 2)
Dari persamaan (1) diperoleh , dan dari persamaan (2) diperoleh .
2. Tunjukkan bahwa Bukti:
3. Tentukan nilai yang memenuhi Jawab:
————————————————— ,masing-masing ruas dikuadratkan
4. Gambarkanlah grafik untuk bilangan real! Jawab :
untuk
= tak tentu (indeterminate)
dan seterusnya
[sumber]
Soal Latihan
1. Tentukan nilai dari 2. Tentukan nilai dari
3. Tentukanlah nilai yang memenuhi persamaan 4. Carilah harga yang memenuhi
5. Carilah harga yang memenuhi
6. Tunjukkan bahwa 7. Tunjukkan bahwa 8. Gambarlah grafik
9. Gambarkanlah grafik , untuk
C. Pertidaksaan Nilai Mutlak
Untuk bilangan real dan , maka
Jika , maka Contoh Soal:
1. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari Jawab:
2. Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan harga mutlak dari Jawab :
, atau
Sehingga penyelesaiannya adalah
3. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan harga mutlak dari Jawab:
, atau
Jadi, penyelesaiannya adalah
Contoh soal :
Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Menyelesaikan Persamaan Mutlak
Nilai mutlak suatu bilangan dapat diartikan jarak antara bilangan tersebut dari titik nol(0). Dengan demikian jarak selalu bernilai positif.
Misalnya:
Parhatikan garis bilangan berikut.
Jarak angka 6 dari titik 0 adalah 6 Jarak angka -6 dari titik 0 adalah 6
jarak angka -3 dari titik 0 adalah 3 Jarak angka 3 dari titik0 adalah 3.
Dari penjelesan di atas memang tampak bahwa nilai mutlak suatu bilangan selalu bernilai positif.
Berkaitan dengan menentukan nilai mutlak suatu bilangan, maka muncullah tanda mutlak. Tanda mutlak disimbolkan dengan garis 2 ditepi suatu bilangan atau bentuk aljabar.
Misalnya seperti berikut.
Secara umum, bentuk persamaan nilai mutlak dapat dimaknai seperti berikut.
Jika kita mempunyai persamaan dalam bentuk aljabar, maka dapat dimaknai sebagai berikut.
Jadi, bentuk dasar di atas dpat digunakan untuk membantu menyelesaikan persamaan mutlak.
Lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut.
Contoh
Jawaban:
Bentuk-Bentuk persamaan nilai mutlak di atas dapat diselesaikan sebagai berikut. Pada prinsipnya, langkah langkah penyelesaian nilai mutlak diusahakan bentuk mutlak berada di ruas kiri.
1. Pada bentuk ini ada dua penyelesaian. (*) x + 5 = 3 , maka x = 3 - 5 = -2 (**) x + 5 = -3, maka x = -3 - 5 = -8
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-2, -8} 2. Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.
(*) 2x + 3 = 5 , maka 2x = 5 - 3
2x = 2 <==> x = 1 (**) 2x + 3 = -5 , maka 2x = -5 -3
2x = -8 <==> x = -4 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-4, 1}
3. Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu x+1. Penyelesaian persamaan nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian.
Bagian pertama untuk batasan x+1>= 0 atau x >= -1 Bagian kedua untuk batasan x+1< 0 atau x < -1 Mari kita selesaikan.
(*) untuk x >=-1
Persamaan mutlak dapat ditulis: (x + 1) + 2x = 7
3x = 7 - 1 3x = 6
x = 2 (terpenuhi, karena batasan >= -1)
(**) untuk x < -1
Persamaan mutlak dapat ditulis: -(x + 1) + 2x = 7
-x - 1 + 2x = 7
x = 8 (tidak terpenuhi, karena batasan < -1)
Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {2}. 4.
Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu 3x + 4. Penyelesaian persamaan nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian.
Bagian pertama untuk batasan 3x+4>= 0 atau x >= -4/3 Bagian kedua untuk batasan 3x+4< 0 atau x < -4/3 Mari kita selesaikan.
(*) untuk x >=-4/3
Persamaan mutlak dapat ditulis: (3x + 4) = x - 8
3x - x = -8 - 4 2x =-12
x = -6 (tidak terpenuhi, karena batasan >= -4/3) (**) untuk x < -4/3
Persamaan mutlak dapat ditulis: -(3x + 4) = x - 8
-3x - 4 = x -8 -3x - x = -8 + 4 -4x = -4
x = 1 (tidak terpenuhi, karena batasan < -4/3) Jadi, Tidak ada Himpunan penyelesaiannya.
Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak caranya hampir sama dengan persamaan nilai mutlak. hanya saja berbeda sedikit pada tanda ketidaksamaannya. Langkah-langkah selanjutnya seperti menyelesaikan pertidaksamaan linear atau kuadrat satu variabel .
Pertidaksamaan mutlak dapat digambarkan sebagai berikut.
Apabila fungsi di dalam nilai mutlak berbentuk ax + b maka pertidaksamaan nilai mutlak dapat diselesaikan seperti berikut.
Lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari Pertidaksamaan nilai mutlak berikut ini.
Jawaban
1. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini sebagai berikut. -9 < x+7 < 9
-9 - 7 < x < 9 - 7 -16 < x < 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x/ -16 < x < 2}
2. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini dibagi menjadi dua bagian. (*) 2x - 1 >= 7 2x >= 7 + 1 2x >= 8 x >= 4 (**) 2x - 1 <= -7 2x <= -7 + 1 2x <= -6 x <= -3
3. Kalau dalam bentuk soal ini, langkah menyelesaikan pertidaksamaannya dengan mengkuadratkan kedua ruas.
perhatikan proses berikut ini. (x + 3)2 <= (2x – 3)2
(x + 3)2 - (2x – 3)2 <= 0
(x + 3 + 2x – 3) - (x + 3 – 2x + 3) <= 0 (ingat: a2 – b2 = (a+b)(a-b))
x (6 - x) <=0
Pembuat nol adalah x = 0 dan x = 6 Mari selidiki menggunakan garis bilangan
Oleh karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}.
Mari selidiki menggunakan garis bilangan
Oleh karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}.
4. Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak seperti ini lebih mudah menggunakan cara menjabarkan definisi.
Prinsipnya adalah batasan-batasan pada fungsi nilai mutlaknya. Perhatikan pada 3x + 1 dan 2x + 4.
Dari batasan batasan itu maka dapat diperoleh batasan-batasan nilai penyelesaian seperti pada garis bilangan di bawah ini.
Dengan garis bilangan tersebut maka pengerjaanya dibagi menjadi 3 bagian daerah penyelesaian. 1. Untuk batasan x >= -1/3 ...(1) (3x + 1) - (2x + 4) < 10 3x + 1 - 2x- 4 < 10 x- 3 < 10 x < 13 ...(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian -1/3 <= x < 13
2. Untuk batasan -2<= x < -1/3 ...(1) -(3x + 1) - (2x + 4) < 10 -3x - 1 - 2x - 4 < 10 -5x - 5 < 10 -5x < 15 -x < 3 x > 3 ...(2)
Dari (1) dan (2) tidak diperoleh irisan penyelesaian atau tidak ada penyelesaian.
3. Untuk batasan x < -2 ...(1) -(3x + 1) + (2x + 4) < 10 -3x - 1 + 2x + 4 < 10 -x + 3 < 10 -x < 7 x > -7 ...(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian -7 < x < -2.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ -1/3 <= x < 13 atau -7 < x < -2}. Perhatikan contoh Pertidaksamaan mutlak lainnya berikut.
BAB III
Pertidaksamaan Linear, Polinom, Pecahan, Mutlak Dan Akar
Pertidaksamaan menggunakan tanda-tanda >, <, ≥, ≤
Sifat-Sifat Pertidaksamaan
1. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama
Jika a < b maka: a + c < b + c a – c < b – c
2. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama
Jika a < b, dan c adalah bilangan positif, maka: a.c < b.c
a/b < b/c
3. tanda pertidaksamaan akan berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama
Jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka: a.c > b.c
a/c > b/c
4. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas positif masing-masing dikuadratkan Jika a < b; a dan b sama-sama positif, maka: a2 < b2
Pertidaksamaan Linear
→ Variabelnya berpangkat 1
Penyelesaian:
Contoh:
Pertidaksamaan Kuadrat
→ Variabelnya berpangkat 2
Penyelesaian:
1. Ruas kanan dibuat menjadi nol 2. Faktorkan
3. Tentukan harga nol, yaitu nilai variabel yang menyebabkan nilai faktor sama dengan nol 4. Gambar garis bilangannya
Jika tanda pertidaksamaan ≥ atau ≤, maka harga nol ditandai dengan titik hitam • Jika tanda pertidaksamaan > atau <, maka harga nol ditandai dengan titik putih °
5. Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval di garis bilangan. Caranya adalah dengan memasukkan salah satu bilangan pada interval tersebut pada persamaan di ruas kiri.
Tanda pada garis bilangan berselang-seling, kecuali jika ada batas rangkap (harga nol yang muncul 2 kali atau sebanyak bilangan genap untuk pertidaksamaan tingkat tinggi), batas rangkap tidak merubah tanda
6. Tentukan himpunan penyelesaian
→ jika tanda pertidaksamaan > 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (+) → jika tanda pertidaksamaan < 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (–) Contoh: (2x – 1)2 ≥ (5x – 3).(x – 1) – 7 4x2 – 4x + 1 ≥ 5x2 – 5x – 3x + 3 – 7 4x2 – 4x + 1 – 5x2 + 5x + 3x – 3 + 7 ≥ 0 –x2 + 4x + 5 ≥ 0 –(x2 – 4x – 5) ≥ 0 –(x – 5).(x + 1) ≥ 0
Harga nol: x – 5 = 0 atau x + 1 = 0 x = 5 atau x = –1
Garis bilangan:
menggunakan titik hitam karena tanda pertidaksamaan ≥
jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif
karena 0 berada di antara –1 dan 5, maka daerah tersebut bernilai positif, di kiri dan kanannya bernilai negatif
karena tanda pertidaksamaan ≥ 0, maka yang diarsir adalah yang positif
Jadi penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 5}
Pertidaksamaan Tingkat Tinggi
→ Variabel berpangkat lebih dari 2
Penyelesaian sama dengan pertidaksamaan kuadrat
Contoh:
(2x + 1)2.(x2 – 5x + 6) < 0
(2x + 1)2.(x – 2).(x – 3) < 0
Harga nol: 2x + 1 = 0 atau x – 2 = 0 atau x – 3 = 0 x = –1/2 atau x = 2 atau x = 3
Garis bilangan:
menggunakan titik putih karena tanda pertidaksamaan <
jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif
karena 0 berada di antara –1/2 dan 2, maka daerah tersebut bernilai positif
karena –1/2 adalah batas rangkap (–1/2 muncul sebanyak 2 kali sebagai harga nol, jadi –1/2
merupakan batas rangkap), maka di sebelah kiri –1/2 juga bernilai positif
selain daerah yang dibatasi oleh batas rangkap, tanda positif dan negatif berselang-seling
karena tanda pertidaksamaan ³ 0, maka yang diarsir adalah yang positif
Jadi penyelesaiannya: {x | 2 < x < 3}
Pertidaksamaan Pecahan
→ ada pembilang dan penyebut
Penyelesaian:
1. Ruas kanan dijadikan nol 2. Samakan penyebut di ruas kiri
3. Faktorkan pembilang dan penyebut (jika bisa)
4. Cari nilai-nilai variabel yang menyebabkan pembilang dan penyebutnya sama dengan nol (harga nol untuk pembilang dan penyebut)
5. Gambar garis bilangan yang memuat semua nilai yang didapatkan pada langkah 4
Apapun tanda pertidaksamaannya, harga nol untuk penyebut selalu digambar dengan titik putih (penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan 0 agar pecahan tersebut mempunyai nilai)
Contoh 1:
Harga nol pembilang: –5x + 20 = 0 –5x = –20 → x = 4
Harga nol penyebut: x – 3 = 0 → x = 3 Garis bilangan:
→ x = 3 digambar menggunakan titik putih karena merupakan harga nol untuk penyebut
Jadi penyelesaiannya: {x | 3 < x ≤ 4} Contoh 2:
Harga nol pembilang: x – 2 = 0 atau x + 1 = 0 x = 2 atau x = –1
Harga nol penyebut: tidak ada, karena penyebut tidak dapat difaktorkan dan jika dihitung nilai diskriminannya:
D = b2 – 4.a.c = 12 – 4.1.1 = 1 – 4 = –3
Nilai D-nya negatif, sehingga persamaan tersebut tidak mempunyai akar real
(Catatan: jika nilai D-nya tidak negatif, gunakan rumus abc untuk mendapat harga nol-nya) Garis bilangan:
Jadi penyelesaiannya: {x | x ≤ –1 atau x ≥ 2}
Pertidaksamaan Irasional/Pertidaksamaan Bentuk Akar
→ variabelnya berada dalam tanda akar
Penyelesaian:
1. Kuadratkan kedua ruas
3. Selesaikan seperti menyelesaikan pertidaksamaan linear/kuadrat 4. Syarat tambahan: yang berada di dalam setiap tanda akar harus ≥ 0 Contoh 1:
Kuadratkan kedua ruas: x2 – 5x – 6 < x2 – 3x + 2 x2 – 5x – 6 – x2 + 3x – 2 < 0 –2x – 8 < 0 Semua dikali –1: 2x + 8 > 0 2x > –8 x > –4 Syarat 1: x2 – 5x – 6 ≥ 0 (x – 6).(x + 1) ≥ 0
Harga nol: x – 6 = 0 atau x + 1 = 0 x = 6 atau x = –1
Syarat 2: x2 – 3x + 2 ≥ 0
(x – 2).(x – 1) ≥ 0
Harga nol: x – 2 = 0 atau x – 1 = 0 x = 2 atau x = 1
Garis bilangan:
Jadi penyelesaiannya: {x | –4 < x ≤ –1 atau x ≥ 6} Contoh 2:
Kuadratkan kedua ruas: x2 – 6x + 8 < x2 – 4x + 4 x2 – 6x + 8 – x2 + 4x – 4 < 0 –2x + 4 < 0 –2x < –4 Semua dikalikan –1 2x > 4 x > 2 Syarat: x2 – 6x + 8 ≥ 0 (x – 4).(x – 2) ≥ 0
Harga nol: x – 4 = 0 atau x – 2 = 0 x = 4 atau x = 2
Garis bilangan:
Jadi penyelesaiannya: {x | x ≥ 4}
Pertidaksamaan Nilai Mutlak
→ variabelnya berada di dalam tanda mutlak | ….. |
(tanda mutlak selalu menghasilkan hasil yang positif, contoh: |3| = 3; |–3| = 3) Pengertian nilai mutlak:
Penyelesaian:
Jika |x| < a berarti: –a < x < a, dimana a ≥ 0 Jika |x| > a berarti: x < –a atau x > a, dimana a ≥ 0 Contoh 1: |2x – 3| ≤ 5 berarti: –5 ≤ 2x – 3 ≤ 5 –5 + 3 ≤ 2x ≤ 5 + 3 –2 ≤ 2x ≤ 8 Semua dibagi 2: –1 ≤ x ≤ 4 Contoh 2: |3x + 7| > 2 berarti: 3x + 7 < –2 atau 3x + 7 > 2 3x < –2 – 7 atau 3x > 2 – 7 x < –3 atau x > –5/3 Contoh 3: |2x – 5| < |x + 4|
Kedua ruas dikuadratkan: (2x – 5)2 < (x + 4)2
(2x – 5)2 – (x + 4)2 < 0
(2x – 5 + x + 4).(2x – 5 – x – 4) < 0 (Ingat! a2 – b2 = (a + b).(a – b)) (3x – 1).(x – 9) < 0
Harga nol: 3x – 1 = 0 atau x – 9 = 0 x = 1/3 atau x = 9
Jadi penyelesaiannya: {x | 1/3 < x < 4} Contoh 4:
|4x – 3| ≥ x + 1
Kedua ruas dikuadratkan: (4x – 3)2 ≥ (x + 1)2
(4x – 3)2 – (x + 1)2 ≥ 0
(4x – 3 + x + 1).(4x – 3 – x – 1) ≥ 0 (5x – 2).(3x – 4) ≥ 0
Harga nol: 5x – 2 = 0 atau 3x – 4 = 0 x = 2/5 atau x = 4/3
Syarat: x + 1 ≥ 0 x ≥ –1
Garis bilangan:
Jadi penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 2/5 atau x ≥ 4/3} Contoh 5: |x – 2|2 – |x – 2| < 2 Misalkan |x – 2| = y y2 – y < 2 y2 – y – 2 < 0 (y – 2).(y + 1) < 0
Harga nol: y – 2 = 0 atau y + 1 = 0 y = 2 atau y = –1
Garis bilangan:
Artinya: –1 < y < 2 –1 < |x – 2| < 2
Karena nilai mutlak pasti bernilai positif, maka batas kiri tidak berlaku |x – 2| < 2
Sehingga: –2 < x – 2 < 2 –2 + 2 < x < 2 + 2 0 < x < 4
BAB IV
Limit Fungsi (materi SMA)
Limit Fungsi
Jenis-jenis Llimit Fungsi
Limit fungsi dalam matematika dapat dikenali dari jenis fungsinya, berdasarkan jenis fungsinya limit fungsi dibedakan menjadi:
Limitfungsi aljabar, jika fungsi berupa fungsi aljabar
Limitfungsi trigonometri, jika fungsi berupa fungsi trigonometri
Limit fungsi eksponensial dan logaritma, jika fungsi berupa eksponen atau berupa logaritma
Limit fungsi bilangan logaritma natural, dll.
Menghitung limit fungsi secara secara intuitif
Menentukan nilai limit fungsi dapat dilakukan secara intuitif melalui pendekatan limit kiri dan limit
kanan. Definisi limit fungsi secara intuitif adalah (Wirodikromo, 1995) :
Proses perhitungan limit fungsi disekitar titik dapat dipandang dari dua arah, yaitu
Contoh :
Hitunglah limit fungsi berikut ini,
[Penyelesaian]
Dari grafik diatas perhitungan limit fungsi dapat dipandang dari dua arah yaitu dari kiri dan dari kanan : Dari kiri : Dari kanan :
Contoh menghitung limit fungsi secara intuitif
Diketahui fungsi f(x) = x + 1, tentukan nilai f(x) untuk x mendekati 2 dengan pendekatan limit kiri dan limit kanan.
[Penyelesaian]
x 1,8 1,9 1,99 1,999 -->2<-- 2,001 2,01 2,1 2,2 f(x)=x+1 2,8 2,9 2,99 2,999 ...?... 3,001 3,01 3,1 3,2
Dari tabel datas nampak bahwa jika jika x mendekati 2 baik dari kiri maupun dari kanan maka f(x) = x + 1 mendekati 3.
Jadi,
Operasi Limit Fungsi dan Teorema Limit
Teorema Limit
Beberapa teorema limit fungsi yang sering digunakan dalam perhitungan limit fungsi (Wirodikromo, 1995) yaitu:
1.Limit suatu fungsi konstanta sama dengan konstanta tersebut
Jika f(x) = c, maka ( c adalah konstanta dan a ϵ bilangan real)
2.Limit fungsi identitas sama dengan nilai pendekatan variabel atau peubahnya
Jika f(x) = x, maka ( untuk setiap a ϵ bilangan real)
3.Limit jumlah beberapa fungsi sama dengan jumlah masing-masing limit fungsi tersebut.
4.Limit selisih beberapa fungsi sama dengan selisih masing-masing limit fungsi tersebut.
5. Limit hasil kali konstanta dengan suatu fungsi sama dengan hasil kali konstanta dengan limit fungsi tersebut
6.Limit hasil kali beberapa fungsi sama dengan hasil kali masing-masing limit fungsi tersebut
8.Limit suatu fungsi pangkat n sama dengan pangkat n dari lmit fungsi tersebut
9. Limit akar pangkat n dari suatu fungsi sama dengan akar pangkat n dari limit fungsi tersebut dan n genap
Contoh Soal limit fungsi penerapan dan pembahasan
Dibawah ini beberapa contoh soal limit fungsi dengan penerapan teorema limit yang telah dijelaskan diatas
Hitunglah nilia setiap limit fungsi dibawah ini dengan menerapkan teorema limit! 1.Penerapan teorema limit No 1,2 dan 4
[Penyelesaian]
2.Penerapan teorema limit No 1,dan 6 , [Penyelesaian]
3.Penerapan terema limit No 7 dan 9, [Penyelesaian]
4.Penerapan teorema limit No 6 , 8
Jika diketahui . Hitunglah nilai dari
[Penyelesaian]
Limit fungsi yang Mengarah ke Konsep Turunan
Limit fungsi dapat dipakai untuk menentukan turunan fungsi, Jadi laju perubahan nilai fungsi f(x) terhadap x pada x = a dapat di hitung dengan dengan mengambil h mendekati nol dengan syarat limit f(x) ada. Rumus turunan fungsi f(x) dengan pendekatan limit adalah:
Berikut ini contoh soal mencari turunan fungsi aljabar dengan pendekatan limit. Tentukan turunan fungsi berikut ini dengan menggunakan pendekatan limit fungsi!
[Penyelesaian]
Dalam menghitung nilai limit fungsi kita juga bisa menggunakan Dalil L'hospital, rumus Dalil L'hospital adalah:
Contoh soal menghitung limit fungsi dengan menggunakan Dalil L'hospital.Hitunglah
[penyelesaian]
Limit fungsi Nilai Mutlak
Dibawah ini beberapa contoh limit fungsi nilai mutlak, yaitu:
[Penyelesaian]
lim x→ 1 f(x)= lim x→ 1(x^2-2x+1) =1^2-2.1+1 =0, jadi lim x→ 1 f(x) ada
2. Perhatikan kembali soal No 2 berikut ini , hitunglah lim x→ 0 |x|-1/x
[Penyelesaian]
(i) Jika x > 0, |x| = x, maka
lim x→ 0 |x|-1/x = lim x→ 0 x-1/x= lim x→ 0(1-1/x)= 1-∞ = -∞ (ii) Jika x < 0, |x| = x, maka
lim x→ 0 |x|-1/x = lim x→ 0 -x-1/x= lim x→ 0(-1-1/x)= 1-∞ =-1+∞= ∞ ∵ lim x→ 0^+ |x|-1/x≠ lim x→ 0^- |x|-1/x
∴ lim x→ 0 |x|-1/x tidak ada
Limit Fungsi dan Kontinuitas dan Diskontinuitas
Dalam istilah matematika grafik fungsi f(x) disebut kontinu di titik x = a , jika grafik f(x) di x = a berupa kurva mulus (tidak terputus) atau lim x→ a f(x) ada. Perhatikan gambar dibawah ini:
Grafik fungsi f(x) disebut diskontinu di titik x = a, jika grafik f(x) di x = a terputus atau lim x→ a f(x) tidak ada. Perhatikan gambar berikut ini:( limit-fungsi-diskontinu)
Syarat kontinuitas sebuah Fungsi
Fungsi f(x) kontinu di x = a jika memenuhi ketiga syarat dibawah ini
Contoh soal dan pembahasan fungsi kontinu dan diskontinu 1. Tunjukan bahwa fungsi dibawah ini kontinu di x = 1
[Penyelesaian]
Selidiki terlebih dahulu syarat-syarat kontinuitas fungsi
2. Apakah fungsi berikut ini kontinu di x = 2
[Penyelesaian]
Selidiki terlebih dahulu syarat-syarat kontinuitas fungsi
Oleh karena f(2) tidak ada maka f(x) diskontinu di titik x =2 tidak perlu menyelidiki syarat (2) dan (3) karena satu syarat tidak dipenuhi oleh f(x).
CONTOH SOAL LIMIT FUNGSI
Di bawah ini diberikan beberapa contoh soal limit fungsi
1. Limit Fungsi Aljabar Untuk Hitung nilai limit fungsi berikut:
2. Limit Fungsi Aljabar Untuk Hitung nilai limit fungsi berikut:
Jawab:
(Ingat bahwa, pada limit fungsi aljabar untuk , jika pangkat tertinggi pembilang lebih kecil dari pangkat tertinggi penyebut, maka hasilnya selalu sama dengan nol (0))
3. Limit Fungsi Trigonometri Hitung nilai limit fungsi berikut:
Jawab:
Mungkin, jika anda hanya membaca contoh soal di atas, semua terasa sulit dan membingungkan. Tapi tidak perlu khawatir, kalau kita mau menekuni Matematika, Insya Allah, Matematika akan terasa indah dan menyenangkan.
FUNGSI TRANSENDEN
7.1 Fungsi Logaritma Asli
7.2 Fungsi-fungsi Balikan dan Turunannya
7.3 Fungsi-fungsi Eksponen Asli
7.4 Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum
7.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
7.6 Persamaan Differensial Linear Orde Saturday
7.7 Fungsi-fungsi balikan Trigonometri dan Turunannya
7.8 Fungsi-fungsi hiperbola dan Turunannya
Asimtot.wordpress.com
7.1 Fungsi Logaritma Asli
Turunan dan integral sudah dipelajari pada bab-bab sebelumnya. Tentu kita sudah cukup menguasai tentang dua hal tersebut. Dari kedua hal tersebut, jika kita kaitkan dengan cara mengurutkannya sesuai besarnya pangkat maka diperoleh suatu keanehan yang belum kita temui pada bab-bab yang telah kita pelajari. Perhatikan hal berikut
Dengan adanya kesenjangan tersebut, maka didefinisikan suatu fungsi logaritma asli. Untuk memenuhi tempat kosong yang ada di atas.
Definisi Fungsi Logaritma Asli
Fungsi Logaritma Asli, dinyatakan oleh , didefinisikan sebagai
Daerah asalnya adalah himpunan bilangan real positif.
Dengan demikian kita sudah mempunyai suatu fungsi yang turunannya adalah , yaitu turunan suatu fungsi logaritma asli
Kita kombinasikan dengan aturan rantai. Jika dan jika terdiferensialkan, maka
Contoh : Tentukan .
Penyelesaian : Andaikan
Asimtot.wordpress.com
Karena maka
Sehingga didapatkan suatu yang selama ini menjadi permasalahan juga. Dalam aturan pangkat : , dengan sekarang, untuk kita sudah punya solusinya, yaitu
Contoh : Tentukan
Penyelesaian :
Sifat-sifat Logaritma Asli Teorema Logaritma Asli
Jika dan bilangan-bilangan positif dan sebarang bilangan rasional, maka i.
ii. iii. iv.
Grafik Logaritma Asli
Daerah asal adalah himpunan bilangan real positif, sehingga grafik terletak di setengah bidang kanan.
Karena , maka . Ini menunjukkan bahwa fungsi selalu naik. Dan untuk ini menunjukkan bahwa fungsi tersebut cekung ke bawah dimana-mana. Gambarnya seperti berikut.
Asimtot.wordpress.com
7.2 Fungsi-fungsi Balikan dan Turunannya Teorema
Jika monoton murni pada daerah asalnya, maka memiliki balikan. Fungsi monoton
Misalkan terdefinisi pada suatu himpunan . Untuk semua , fungsi dikatakan:
monoton naik, jika maka
monoton turun, jika untuk maka
monoton tak naik, jika untuk maka
monoton tak turun, jika untuk maka
monoton datar, jika untuk maka
Beberapa sumber mengatakan monoton naik yang dimaksud di atas adalah monoton naik sejati, dan mengatakan monoton tak turun yang dimaksud diatas dengan istilah monoton naik.
Yang dimaksud monoton murni atau monoton tegas adalah fungsi monoton naik atau fungsi monoton turun. Monoton naik jika maka Monoton turun jika maka Kita ambil fungsi monoton naik untuk menunjukkan bahwa fungsi
monoton murni memiliki invers. Perhatikan pengertian fungsi naik. untuk maka berlaku untuk setiap pada daerah asalnya. Pernyataan tersebut ekuivalen dengan pernyataan jika maka berlaku untuk setiap pada daerah asalnya. Dengan kata lain pernyataan tersebut adalah pengertian dari fungsi satu-satu.
Bukti teorema Kita ambil
Asimtot.wordpress.com
Kita akan membuktikan salah satu dari fungsi monoton murni yaitu fungsi monoton naik. Bukti untuk satu-satu.
Diketahui monoton naik ⟷ Dengan kata lain :
Terbukti satu-satu. Bukti untuk onto
Bukti ini merupakan bukti yang rumit. Mungkin karena hal ini sehingga di buku kalkulus tidak dituliskan. Kami mencoba untuk membuktikannya.
Onto artinya , yang ekuivalen dengan dan Untuk sudah sangat jelas.
Sekarang akan dibuktikan untuk Andaikan
Maka
Untuk Maka
Menurut teorema apit maka haruslah
Kontradiksi bahwa Jadi, adalah Onto.
Contoh : Perlihatkan bahwa memiliki balikan. Untuk .
Penyelesaian : Dengan menggunakan teorema turunan pertama untuk kemonotonan fungsi. Kita dapatkan turunan pertamanya yaitu
Dimana nilai selalu lebih besar nol untuk setiap . untuk semua
Asimtot.wordpress.com
Cara Menentukan Fungsi Balikan
Hal yang berkaitan adalah pencarian rumus untuk untuk melakukan itu, kita tentukan terlebih dahulu , kemudian kita menukarkan dan dalam rumus yang dihasilkan. Jadi diusulkan untuk melakukan tiga langkah berikut untuk pencarian
1. Langkah 1 : Selesaikan persamaaan untuk dalam bentuk .
2. Langkah 2 : Gunakan untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam . 3. Langkah 3 : Gantilah dengan .
Perhatikan bahwa kita telah menukar peranan dan . Sedikit pemikiran meyakinkan kita bahwa menukar peranan dan pada grafik adalah mencerminkan grafik terhadap garis . Jadi, grafik adalah gambar cermin grafik terhadap garis
Contoh : Carilah invers dari
Penyelesaian : Langkah 1 : menyelesaikan persamaaan untuk dalam bentuk .
Langkah 2 : menggunakan untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam
Langkah 3 : mengganti dengan .
Asimtot.wordpress.com
Turunan Fungsi Balikan
Pada bagian ini kita akan mencoba menbahas lebih dalam tentang hubungan turunan suatu fungsi dengan turunan inversnya, jika fungsi yang bersangkutan mempunyai invers. Pada bagian ini pembahasan hanya dibatasi pada fungsi kontinu yang monoton murni.
Teorema
Andaikan terdiferensiasikan dan monoton murni (monoton tegas) pada selang . Jika di suatu tertentu dalam . Maka terdiferensiasikan di titik yang berpadanan dalam daerah hasil dan
Menurut definisi invers. Yaitu, jika maka . Dengan melakukan substitusi kita dapatkan .
Kita perhatikan untuk Kita lakukan diferensiasi. Diperoleh :
Yang ekuivalen dengan Bukti teorema
Interval , dan , fungsi monoton murni dan kontinu pada . dan invers fungsi yang monoton murni dan kontinu.
Asimtot.wordpress.com
Fungsi terdiferensial di titik dan . Fungsi terdiferensial di titik lebih lanjut,
Ambil sembarang dengan , selanjutnya didefinisikan fungsi dengan
Diketahui monoton murni, selanjutnya mudah dimengerti bahwa untuk setiap dengan , maka . dengan kata lain , well define. Demikian halnya jika dan maka berdasarkan definisi fungsi diperoleh
Mudah dipahami bahwa untuk setiap dengan , maka . Selanjutnya dibuktikan bahwa
Diberikan bilangan dan jika terdiferensial di , maka terdapat bilangan sehingga untuk setiap dengan sifat – berlaku
Diketahui kontinu di titik , artinya untuk setiap bilangan terdapat bilangan sehingga untuk setiap dengan – , maka berlaku
Karena fungsi invers dari maka bijektif, dengan kata lain injektif dan surjektif. injektif dan , maka diperoleh; jika –
maka untuk setiap
Oleh karena itu untuk setiap dengan – berakibat
Untuk sebarang Jadi
Asimtot.wordpress.com
Perhatikan bahwa karena maka , sehingga diperoleh
Dapat disimpulkan, untuk setiap dengan berlaku Terbukti Contoh : Carilah jika diketahui
Penyelesaian : Kita akan mencari nilai yang berpadanan dengan
Kemudian kita cari
Kita selesaikan dengan menggunakan teorema
Asimtot.wordpress.com
7.3. Fungsi Eksponen Asli Definisi
Balikan disebut fungsi eksponen asli dan dinyatakan oleh Jadi
Dari definisi dapat diambil bahwa i.
ii. untuk semua
Sifat-sifat Fungsi Eksponen Definisi
Huruf menyatakan bilangan real positif unik sedemikian rupa sehingga .
Bilangan sama halnya seperti bilangan yaitu sama-sama bilangan yang tak rasional. Ekspansi desimalnya diketahui sampai beribu-ribu angka di belakang koma. Teorema
Andaikan dan sebarang bilangan real, maka dan
Turunan
Andaikan , maka dapat dituliskan . Perhatikan untuk
Kedua ruas diturunkan terhadap Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh
Karena , maka
Apabila . Dan terdiferensiasi, maka menurut aturan rantai
Contoh : Tentukan
Penyelesaian :
Asimtot.wordpress.com
Integral
Rumus turunan secara otomatis akan menghasilkan integral
Contoh : Tentukan
Penyelesaian :
7.4. Fungsi-fungsi Eksponen dan logaritma Umum Definisi
Untuk dan sebarang bilangan real maka berlaku
Coba hitung dengan menggunakan . Hasilnya pasti sama yaitu 9. Kalkulator mungkin akan menghasilkan yang berbeda. Misalnya 8,9999999999. Karena kalkulator menggunakan nilai hanya 8 digit atau beberapa digit di tempat desimal.
Sifat-sifat Teorema
Jika dan dan adalah bilangan-bilangan real, maka
i.
ii. iii. iv. v.
Asimtot.wordpress.com
Aturan-aturan Fungsi Eksponensial Teorema
Contoh : tentukan
Penyelesaian : dengan menggunakan aturan rantai diperoleh
Fungsi Definisi
Andaikan adalah bilangan positif bukan 1. Maka
Basis yang paling umum digunakan adalah basis 10. Logaritma yang dihasilkan dinamakan logaritma biasa. Di dalam kalkulus dan dalam semua matematika lanjut, basis yang berarti adalah .
Jika sehingga , maka
Dengan menggunakan sifat sebelumnya diperoleh turunannya, yaitu
Asimtot.wordpress.com
7.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Pertambahan populasi yaitu kelahiran dikurangi kematian dalam jangka waktu yang pendek sebanding dengan banyaknya penduduk pada awal jangka waktu itu dan sebanding dengan panjangnya jangka waktu itu sendiri. Jadi atau
Dalam bentuk limit, ini memberikan persamaan diferensial
populasi bertambah. populasi berkurang. Untuk populasi dunia, sejarah menunjukkan bahwa sekitar
Menyelesaikan Persamaan Differensial
dengan syarat awal apabila . Dengan memisahkan peubah dan mengintegrasikan, kita peroleh
Syarat pada saat akan menghasilkan Sehingga,
Ketika jenis pertumbuhannya disebut pertumbuhan eksponensial, dan ketika disebut peluruhan eksponensial.
Peluruhan Radioaktif
Tentunya tidak semuanya tumbuh. Beberapa ada yang mengalami penurunan. Khususnya, zat-zat radioaktif mengalami peluruhan. Persamaan diferensialnya tetap. Hanya saja sekarang untuk Teorema
Asimtot.wordpress.com
Bukti
Pertama ingat kembali bahwa jika maka dan khususnya, Kemudian, dari definisi turunan dan sifat-sifat , kita peroleh
Jadi
. Karena adalah fungsi yang kontinu, ini berarti kita dapat melewatkan limit ke dalam eksponen argumentasi berikut
Contoh : Rudi menyimpan 500 di bank dengan bunga harian majemuk sebesar . Andaikan bunga majemuknya kontinu, berapakah uang Dono pada akhir tahun ketiga?
Penyelesaian :
Perhatikan bahwa walaupun beberapa bank mencoba mendapatkan promosi iklan dengan
menawarkan bunga majemuk kontinu, beda hasil antara bunga majemuk secara kontinu dan yang secara harian (yang ditawarkan banyak bank) ternyata sangat kecil.
Berikut pendekatan lain terhadap masalah pemajemukan bunga secara kontinu. Andaikan adalah nilai pada saat uang sebesar rupiah yang diinvestasikan dengan suku bunga mengatakan bahwa bunga majemuk secar kontinu berarti bahwa laju perubahan sesaat dari terhadap waktu adalah , yakni
Persamaan diferensial ini adalah
7.6. Persamaan Differensial Linear Orde-Satu
Tidak semua persamaan linear dapat dipisahkan. Contohnya dalam persamaan differensial
Tidak ada cara untuk memisahkan peubah sedemikian rupa sehingga memiliki dan seluruh ungkapan yang melibatkan pada satu sisi dan beserta seluruh ungkapan yang melibatkan pada sisi lainnya.
Asimtot.wordpress.com
Dimana dan hanyalah fungsi-fungsi saja. Persamaan differensial dalam bentuk ini dinamakan sebagai persamaan differensial orde-satu.
Menyelesaikan Persamaan Linear Orde-Satu
Untuk menyelesaikan persamaan linear orde-satu, pertama kita mengalikan kedua sisi dengan factor integrasi
Didapatkan
Sisi kiri adalah turunan hasil kali , maka persamaannya mengambil bentuk
Integrasi kedua sisi menghasilkan
Contoh : Carilah penyelesaian umum dari
Penyelesaian : Faktor integrasi yang tepat adalah Di bawah perkalian dengan factor ini, persamaannya akan berbentuk
atau
Jadi penyelesaian umumnya adalah
Asimtot.wordpress.com
7.7. Fungsi-fungsi balikan Trigonometri Balikan sinus dan Kosinus
Definisi
Untuk memperoleh balikan dari sinus dan kosinus, kita membatasi daerah asal mereka masing-masing pada selang dan Sehingga,
dan dan
Balikan Tangen dan Balikan Sekan Definisi
Untuk memperoleh balikan dari sinus dan kosinus, kita membatasi daerah asal mereka masing-masing pada selang dan Sehingga,
dan dan Teorema i. ii. iii. iv.
Turunan Fungsi Trigonometri
Asimtot.wordpress.com
Turunan Fungsi Balikan Trigonometri Teorema i. ii. iii. iv.
BAB VI
Turunan Fungsi Aljabar
Rumus-rumus turunan fungsi aljabar SMA dan SMK
Turunan fungsi aljabar merupakan perluasan materi limit fungsi dan turunan fungsi yang pertama
kali diajarkan di kelas 2 SMA atau kelas 3 SMK. Selainturunan fungsi aljabar juga dikenal turunan fungsi trigonometri penting sekali menguasai konsep turunan mengingat kegunaan materi ini sangat penting dalam bidang yang lain seperti dalam bidang fisika dan kalkulus diferensial. Berikut ini rumus-rumus dasar turunan fungsi aljabar.
1.Turunan fungsi konstan f(x) = k ⇒ f’(x) = 0
Contohsoal turunan fungsi aljabar fungsi konstan: a. Turunan dari f(x) = 5 adalah f’(x) = 0
b. Turunan dari f(x) = 6 adalah f’(x) = 0
2.Turunan fungsi identitas f(x) = x ⇒ f’(x) = 1
3.Turunan fungsi aljabar berpangkat n
Contoh :
Rumus fungsi aljabar berpangkat n diatas juga berlaku untuk bilangan berpangkat negatif maupun pangkat pecahan, seperti contoh dibawah ini
c .
[Penyelesaian]
d.
4.Rumus turunan Jumlah dan selisih fungsi-fungsi
Contoh soal Turunan Jumlah dan selisih fungsi-fungsi, a.
[Penyelesaian]
b.
[Penyelesaian]
Dengan menggunakan rumus kuadrat suku dua pada materi matematika smp kelas 7 aljabar maka,
c.
[Penyelesaian]
5.Turunan fungsi aljabar hasil kali
Contoh soal turunan fungsi aljabar hasil kali, Carilah turunan dari ,
[Penyelesaian]
Dengan menggunakan rumus turunan fungsi aljabar hasil kali diatas maka diperoleh,
Rumus turunan fungsi aljabar hasil kali diatas dapat diperluas untuk mencari rumus turunan yang terdiri dari tiga fungsi, yaitu:
Contoh mencari turunan fungsi aljabar yang terdiri dari tiga fungsi: Tentukan turunan dari,
6. Turunan fungsi aljabar hasil bagi
Dengan v(x) ≠ 0
Contoh soal turunan fungsi aljabar hasil bagi: Tentukan turunan dari fungsi berikut ini, [Penyelesaian]
Turunan fungsi aljabar aturan rantai
Dengan u (x) fungsi dari x dan n ϵ bilangan real
Contoh soal menentukan turunan fungsi aljabar dengan aturan rantai, Carilah turunan dari fungsi dibawah ini,
[Penyelesaian]
Turunan fungsi aljabar irasional atau bentuk akar
Terkadang dalam menyelesaikan turunan fungsi aljabar, kita menemukan soal dalam
bentuk persamaan irasional , ada rumus khusus untuk menentukan turunan fungsi aljabar seperti itu
yaitu:
Contoh:
Carilah turunan dari fungsi berikut ini , [Penyelesaian]
Rumus turunan fungsi aljabar fungsi khusus
Rumus khusus :
Contoh:
Tentukan turunan fungsi dibawah ini, [Penyelesaian]
Turunan Fungsi Trigonometri
Turunan Fungsi Trigonometri diperoleh dari definisi turunan yang masih berhubungan dengan limit. Ada dua hal yang harus dipahami dalam turunan fungsi trigonometri. Pertama, perlu dihapalkan bagaimana turunan dari masing-masing fungsi trigonometri, yaitu turunan dari sin, cos, tan, cot, cosec, dan sec. Kedua, perlu dipahami turunan dari fungsi trigonometri yang peubahnya merupakan sebuah fungsi dan turunan dari fungsi trigonometri yang dipangkatkan. Berikut ini dibahas
bagaimana cara mendapatkan turunan fungsi trigonometri dengan menggunakan definisi turunan dan bagaimana turunan dari bentuk-bentuk fungsi trigonometri.
Turunan fungsi aljabar telah kalian kuasai, bagaimana dengan turunan fungsi trigonometri? mari kita pahami rumusnya serta berlatih di soal dan pembahasan turunan fungsi trigonometri bersama-sama, dijamin sukses dalam ujian kalian….
Untuk menentukan turunan trigonometri sama dengan konsep awal mencari turunan, namun disini langsung kita ambil hasilnya….
dimana maka
Turunan pada fungsi trigonometri akan mempunyai rumus : maka maka maka maka contoh: maka maka
Rumus rumus yang dipakai di turunan fungsi aljabar, berlaku pula untuk mengerjakan turunan fungsi trigonometri maupun gabungan keduanya lets try this….
tentukan f ‘(x) ! jawab
tentukan f ‘(x)! jawab:
Turunan ke-n
diberikan fungsi f(x), maka turunan pertama dari f(x) adalah f ‘(x) ; turunan kedua dari f(x) adalah f ”(x) ; turunan ketiga dari f(x) adalah f ”’(x) dst.
tentukan turunan kedua dari f(x)! jawab.
*kita cari turunan pertama dulu ya..
*perhatikan untuk mempunyai dua suku kita misalkan bahwa
suku-suku f ‘(x) adalah a dan b dimana f ‘(x) = a – b untuk mencari turunan kedua akan berlaku f ”(x) = a’ – b’ mari kita cari turunan masing-masing suku…
*ambil suku pertama dari f ‘(x) kita misalkan
*ambil suku kedua dari f ‘(x) kita misalkan
*nah, kembali ke
selesai,deh…..coba yang lain yuk!
tentukan turunan ke-empat dari f(x) ! jawab:
mempunyai dua suku kita misalkan a dan b sehingga f ‘(x) = a ‘ + b ‘ cari turunan masing-masing suku dulu ya…
maka
mempunyai dua suku kita misalkan lagi c dan d sehingga f ”(x) = c ‘ – d ‘
mempunyai dua suku, suku pertama langsung dapat kita turunkan dan turunan suku kedua dapat dilihat telah kita cari di atas maka
sehingga
mempunyai dua suku, suku pertama langsung dapat kita turunkan dan turunan suku kedua dapat dilihat telah kita cari di atas maka
sehingga
waaaaah…..selesai !!!!
begitu seterusnya hingga turunan ke-n …..coba sendiri dengan soal yang lain yah…!! ada yang bertanya soal seperti ini:
3. Jika diketahui buktikan bahwa turunan ke-n yaitu !
jawab:
*ingatlah kembali nilai sin x di tiap kuadran
…
…
dst
…
…
dst
…
…
dst
sehingga
terbukti
Latihan Soal
1. Tentukan turunan untuk f(x) = (x2 + 2x + 3)(4x + 5)
2. Diketahui Jika f '(x) menyatakan turunan pertama f(x), tentukan f(0) + 2f ' (0) 3. Tentukan turunan pertama dari f(x) = 3x4 + 2x2 − 5x
4. Jika maka tentukan g ‘(2)
5. Tentukan turunan pertama dari
6. Jika maka tentukan f ‘ (1)
7. Jika maka tentukan f ‘(x)
8. Diketahui maka tentukan
9. Tentukan turunan pertama fungsi 10. Tentukan turunan pertama fungsi
11. Jika f ‘(x) adalah turunan dari f(x) dan jika f(x) = ( 3x – 2 ) sin (2x + 1) maka tentukan f ‘ (x)
12. Jika , maka tentukan nilai dari f ‘ (0) 13. Tentukan turunan pertama dari
14. Diketahui f(x) = sin3 (3 – 2x) , tentukan turunan pertama fungsi f tersebut
15. Tentukan turunan pertama dari f(x) = 7 cos (5 – 3x)
Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi.
adalah simbol untuk turunan pertama.
adalah simbol untuk turunan kedua.
adalah simbol untuk turunan ketiga.
simbol lainnya selain dan adalah dan adversitemens
TURUNAN PERTAMA
Misalnya y merupakan fungsi dari x atau dapat ditulis juga y=f(x). Turunan dari y terhadap x dinotasikan sebagai berikut:
Dengan menngunakan definisi turunan diatas dapat diturunkan beberapa rumus-rumus turunan, yaitu :
1. Jika diketahui dimana C dan n konstanta real, maka Perhatikan contoh berikut :
2. Jika diketahui y=C dan Perhatikan contoh berikut :
3. Untuk y=f(x)+g(x) maka Perhatikan contoh berikut :
4. Untuk y=f(x).g(x) maka
atau dapat juga kita misalkan f(x)=u dan g(x)=v sehingga rumus turunan u.v=u’v+uv’ contoh :
6. Untuk turunan lain tersaji dalam penjelasan dibawah ini.
TURUNAN KEDUA
Turunan kedua dari y=f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut
Turunan kedua merupakan turunan yang diperoleh dengan menurunkan kembali turunan pertama. Perhatikan contoh berikut :
Penggunakan untuk turunan kedua ini antara lain untuk : a. Menentukan gradien garis singgung kurva
Sebagai contoh tentukanlah gradien garis singgung dari kurva y=x²+3x dititik (1,-4) ! Penyelesaian :
Sehingga gradien garis singgung kurva y=x²+3x dititik (1,-4) adalah m=y(1)=2.1+3=5 b. Menentukan apakah interval tersebut naik atau turun
kurva y =f(x) naik jika f ‘ (x) >0 dan kurva y=f(x) turun jika f ‘ (x) <0. Lalu bagaimana cara menentukan f ‘ (x) > 0 atau f ‘ (x) <0 ? kita gunakan garis bilangan dari f ‘ (x). Perhatikan contoh berikut :
Tentukanlah interval naik dan interval turun dari fungsi y=x³+3x²-24x ! Jawab :
y=f(x)=x³+3x²-24x →f ‘ (x)=3x²+6x-24=3(x²+2x-8)=3(x+4)(x-2)
Berdasarkan garis bilangan yang diperoleh diatas :
f ‘ (x) >0 untuk x<-4 dan x>2 yang merupakan interval untuk fungsi naik. F ‘ (x) <0 untuk -4 < x < 2 yang merupakan interval untuk fungsi turun. c. Menentukan nilai maksimum dan nilai minimum
Nilai maksimum dan nilai minimum fungsi ini sering disebut juga dengan nilai ekstrim atau nilai stasioner fungsi, yang dapat diperoleh pada f ‘ (x)=0 untuk fungsi y=f(x). Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.
Tentukan nilai ekstrim dari fungsi y=x³-3x²-24x-7 ! Jawab :
y’=3x²-6x-24
nilai ekstrim diperoleh dari y’=o maka 3x²-6x-24 = 0
(x²-2x-8)=0 (x-4)(x+2)=0 x1=4 ; x2=-2
Berdasarkan garis bilangan diatas :
Fungsi maksimum pada x=-2 sehingga nilai balik maksimumnya yaitu : f(-2)=(-2)³-3(-2)²-24(-2)-7
f(-2)=21
Fungsi minimum pada x=4 sehingga nilai balik minimumnya yaitu : f(4)=(4)³-3(4)²-24(4)-7
f(4)=-87
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Berikut ini rumus untuk turunan fungsi trigonometri :
Perhatikan contoh berikut :
Apakah dari penjelasan mengenai turunan diatas telah membuat anda benar-benar mengerti tentang turunan dan telah dapat mengerjakan ragam variasi soal turunan yang akan anda temui. Semoga saja demikian. Sebagai masukkan banyaklah belajar soal-soal agar anda lebih mantap dalam mengerti setiap materi matematika. Semangatlah dalam belajar agar apa yang dicita-citakan dapat tercapai, baca juga artikel Peluang Kejadian Majemuk dan Kejadian Bersyarat dari sub bab topik Peluang.
Rumus Turunan (diferensial) Matematika rumus hitung55 Comments
Rumus Turunan (diferensial) Matematika dan Contoh Soal – Dua buah pepatah, kalau tak kenal maka tak sayang dan kalau tahu caranya tidak ada yang tidak bisa mungkin cocok buat jadi pemacu sobat belajar matematika. Jika kita tidak kenal dan tidak tahu cara mengerjakan suatu soal matematika bisa dipastikan soal tersebut tidak bisa kita jawab. Nah kali ini kita akan coba kenalan dengan rumus-rumus di limit matematika SMA. Ada yang bilang limit matematika itu susah. Benar sih susah jika sobat tidak tahu carannya. Berikut ini rangkuman rumus limit beserta contoh soal sederhananya. Check this out?
Apa sih Turunan?
Definisi turunan aga susah kalau di berikan dalam bentuk kata (verbal). Sobat bisa misalkan ada y yang merupakan fungssi dari x, ditulis y = f(x). Yang dimaksud dengan turun y terhadap x (dinotasikan dy/dx) atau sering ditulis y’ (baca : “y aksen”) didefinisikan sebagai
