Rangkuman Materi dan Soal-soal

Rangkuman Materi dan Soal-soal

Dirangkum Oleh:

Anang Wibowo, S.Pd

1 Ringkasan Materi dan Contoh Soal

1. Pengertian

a). Limit kanan dan limit kiri *) f x L

a

x→ + =

) (

lim , artinya bilamana x mendekati a dari kanan, maka nilai f (x) mendekati L. *) f x L

a

xlim→ − ( )= , artinya bilamana x mendekati a dari kiri, maka nilai f (x) mendekati L.

b). Definisi limit f x L

a

xlim→ ( ) = (ada) ⇔ xlim→a+ f(x)= xlim→a− f(x)=L

Soal-soal: 1. 2. Jika

( )

   > − − ≤ + = 3 ; 2 3 ; 2 x jk x x jk x x

f maka lim ( ) lim 2 3 2 1

3 3 − = + − = + − = − _→− − → x x f x x dan

( )

3 5 2 2 lim ) ( lim 3 3 = − − = − + = + _→− − → x x f x x sehingga lim ( ) 3 f x

x→− tak ada (limit kiri ≠ limit kanan)

3. Jika

( )

   ≥ + < − = 2 ; 3 2 ; 1 4 2 x jk x x jk x x

f maka lim ( ) lim 4 1 4.2 1 8 1 7

2 2 = − = − = − − = − _→ → x x f x x dan 7 3 4 3 2 3 lim ) ( lim 2 2 2 2 = + = + = + + = + → → x x f x x sehingga lim ( ) 7 2 = → f x x

2. Nilai Limit Fungsi Aljabar Menentukan nilai limit lim f(x)

a

x→ dengan cara:

a). Subtitusi, jika diperoleh bentuk tak tentu ( 0 0

), maka dilakukan: b). Faktorisasi, atau

c). Perkalian dengan sekawan v Untuk lim f(x)

a

x→ dengan subtitusi

Ø Jika f (a) = c maka lim f(x)

a x→ = c Ø Jika f (a) = 0 c maka lim f(x) a x→ = ∞ Ø Jika f (a) = c 0 maka lim ( ) =0 →a f x x Ø Jika f (a) = 0 0

maka dilakukan cara b). atau cara c).

a L x y f(x) kiri kanan 2 5 4 3 x y

f(x) Dari gambar diperoleh:

1). lim ( ) 3 2 = − → x f x dan lim ( ) 3 2 = + → x f x maka lim ( ) 3 2 = → f x x 2). lim ( ) 3 5 = − → x f x dan lim ( ) 4 5 = + → x f x

, limit kiri dan limit kanan tidak sama maka =

→ ( ) lim

5 f x

2 Soal-soal: 1). lim

(

5 6

)

5.3 6 15 6 9 3 − = − = − = → x x 2). 2 21 2 21 2 6 15 1 3 6 ) 3 ( 5 1 6 5 lim 3 − = − = − − − = + − − − = + − − → _x x x 3). 0 4 0 2 2 2 2 2 2 lim 2 + = = − = + − → _x x x 4). 0 0 6 2 . 5 2 2 2 6 5 2 lim _{2 2} 2 − + = − = + − − → _{x x} x x BTT, maka

(

)(

)

(

)

1 1 1 3 2 1 3 1 lim 3 2 2 lim 6 5 2 lim 2 2 2 2 − − = − = − = − =− − = + − − → → → _{x x x} x x x x x x x 5).

( )

0 0 6 5 1 2 3 1 6 ) 1 ( 5 ) 1 ( 2 ) 1 ( 3 1 6 5 2 3 lim ₂ 2 2 2 1 + − = + − = − − − − + − + − = − − + + − → _{x x} x x x BTT, maka

(

)(

)

(

)(

)

(

(

)

)

7 1 7 1 6 1 2 1 6 2 lim 6 1 2 1 lim 6 5 2 3 lim 1 1 2 2 1 − − =− =− + − = − + = − + + + = − − + + − → − → − → _x x x x x x x x x x x x x 6). 0 0 0 . 7 0 . 2 0 . 3 0 . 5 0 7 2 3 5 lim ₂ 2 3 2 2 3 0 − = + − = − + − → _{x x} x x x x BTT, maka

(

)

(

)

(

(

)

)

2 3 0 . 7 2 3 0 . 5 0 7 2 3 5 lim 7 2 3 5 lim 7 2 3 5 lim 2 0 2 0 2 2 3 0 − = + − = − + − = − + − = − + − → → → _x x x x x x x x x x x x x x x x 7). 0 0 2 2 1 8 3 2 1 4 3 lim 2 − = + − = − + − → _x x x BTT, maka

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

3 2 6 4 3 3 4 1 2 . 4 3 4 1 4 3 4 lim 1 4 3 2 2 4 lim 1 4 3 2 4 8 lim 1 4 3 2 1 4 9 lim 1 4 3 1 4 3 2 1 4 3 lim 2 1 4 3 lim 2 2 2 2 2 2 − = − = + − = + + − = + + − = + + − − − = + + − − = + + − + − = + + + + ⋅ − + − = − + − → → → → → → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 8). 0 0 3 2 1 2 2 lim 3 − − = − − + → _{x x} x x x BTT, maka

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

5 3 5 2 3 2 5 5 3 3 1 3 . 2 2 3 3 3 3 . 2 1 2 2 3 2 lim 3 1 2 2 3 2 3 lim ) ( 3 2 1 2 2 3 2 3 lim 3 2 3 2 . 1 2 2 3 2 3 lim 1 2 2 3 2 3 lim 1 2 2 3 2 ) 1 2 ( ) 2 ( lim 1 2 2 1 2 2 . 3 2 1 2 2 lim 3 2 1 2 2 lim 3 3 3 3 3 3 3 3 − = − = + + − = − + + + − − = − + + + − − = − − + + + − − − = − − − + + + − + − = + − + − − + + − − + − = − + + − − + − = − + + − − − − + = − + + − + + − − − − + = − − − − + → → → → → → → → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Dikali sekawan pembilang

Dikali sekawan penyebut

3 Menentukan nilai limit lim f(x)

x→∞ dengan cara:

a). Subtitusi.

b). Jika diperoleh bentuk tak tentu ( ∞ ∞

) maka masing2 pembilang dan penyebut dibagi dengan variabel pangkat tertinggi (VPT).

c). Jika diperoleh bentuk tak tentu ( ∞−∞) maka dikalikan bentuk sekawannya kemudian masing2 pembilang dan penyebut dibagi dengan variabel pangkat tertinggi (VPT).

v Untuk lim f(x) x→∞ dengan subtitusi Ø Jika f(x)= c ∞ maka lim f(x) x→∞ = ∞ Ø Jika f(x)= ∞ c maka lim f(x) x→∞ = 0 Ø Jika f(x)= ∞ ∞

maka dilakukan dengan cara b). Ø Jika f(x)= ∞ – ∞ maka gunakan cara c).

Soal-soal: 1). + = ∞+ =∞ ∞ → 2 9 2. 9 lim x x 2). 6 0 1 6 1 6 lim _{2 2} = ∞ = + ∞ = + ∞ → _x x 3). lim 96=96 ∞ → x 4). ∞ ∞ = − + ∞ → _{3 1} 2 lim ₂ x x x x BTT maka 0 3 0 0 0 3 0 1 lim 1 lim 3 lim 2 lim 1 1 3 2 lim 1 3 2 lim 1 3 2 lim 2 2 2 2 2 2 2 2 = = − + = − + = − + = − + = − + ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 5). ∞ ∞ = − + ∞ → _{3 1} 2 lim ₂ 2 x x x x BTT, maka 3 2 0 0 3 2 1 lim 1 lim 3 lim 2 lim 1 1 3 2 lim 1 3 2 lim 1 3 2 lim 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − + = − + = − + = − + = − + ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 6).

(

− + − + −

)

=∞−∞ ∞ → 4 5 1 4 7 2 lim x2 x x2 x x BTT, maka Catatan: 1) lim =0; >0 ∞ → _x n k n x 2) lim =∞; >0 ∞ → kx n n x 3) lim k k; x→∞ = k konstanta

Lihat Teorema Limit

Variabel Pangkat Tertinggi (VPT) adalah x2, maka pembilang dan penyebut dibagi dengan x2

4

(

)

(

) (

₍

)

₎

(

) (

)

3 4 12 4 2 12 0 0 4 0 0 4 0 12 2 7 4 1 5 4 3 12 lim 2 7 4 1 5 4 3 12 lim 2 7 4 1 5 4 3 12 lim 2 7 4 1 5 4 2 7 4 1 5 4 lim 2 7 4 1 5 4 2 7 4 1 5 4 2 7 4 1 5 4 lim 2 7 4 1 5 4 lim 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − = − = − = − + + + − + − = − + + + − + − = − + + + − + − = − + + + − + − = − + + + − − + − + − = − + + + − − + + + − ⋅ − + − + − = − + − + − ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Beberapa Kesimpulan untuk limit tak hingga:

Ø Jika ... ... ) ( ₁ 1 + + + + = _mn n_n−₋ qx px bx ax x f maka _m n x x _px ax x f ∞ → ∞ → ( )=lim lim       > ∞ = < = m n jk m n jk p a m n jk , , , 0

n adalah pangkat tertinggi dari pembilang dan m adalah pangkat tertinggi dari penyebut.

Ø Jika f(x)= ax2 +bx+c− px2 +qx+r maka lim f(x)

x→∞       < ∞ − = − > ∞ = p a jk p a jk a q b p a jk , , 2 , 3. Teorema Limit

Untuk n∈ bilangan bulat positif; c konstanta; f dan g fungsi- fungsi dalam x yang mempunyai limit di a, maka berlaku: Soal-soal: 1). a. lim 25 25 6 = → x b. limx→036=36 c. xlim→−29=9 2). lim 4 34 81 3 = = → x x 3). lim 3 5 7 23 5.2 7 5 2 − + = − + = → x x x a. c c a x→ = lim b. n n a x→ x =a lim c. lim f(x) f(a) a x→ = d. limcf(x) clim f(a) a x a x→ = →

e. lim(f(x) g(x)) lim f(x) lim g(x)

a x a x a x→ + = → + →

f. lim(f(x) g(x)) lim f(x) lim g(x)

a x a x a x→ − = → − →

g. lim(f(x) g(x)) lim f(x) lim g(x)

a x a x a x→ • = → • → h. ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim x g x f x g x f a x a x a x → → → =    ; lim ( )≠0 →ag x x i. n a x n a x (f(x)) (lim f(x)) lim → → = j. n a x n a x f(x) lim f(x) lim → → = ; limx→a f(x)≥0

Sama nilainya dengan (diambil suku yang memuat pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebut):

2 2 4 4 12 lim x x x x + − ∞ →

VPT pembilang adalah x, dan VPT penyebut x2 (setara), maka pembilang dan penyebut dibagi dengan x (jk dlm akar menjadi x2)

Lihat catatan 2

5 4). lim 5 5lim 5.( 2) 10 2 2 = →− = − =− − → x x x x

5). lim5 3 lim5 lim3 2 5.4 3.42 20 48 68

4 4 2 4 + = → + → = + = + = → x x x x x x x

6). lim5 3 lim5 lim3 2 5.4 3.42 20 48 28

4 4 2 4 − = → − → = − = − =− → x x x x x x x

7). lim

(

5 3

)

(

5 1

)

lim

(

5 3

)

.lim

(

5 1

)

8.4 32

1 2 1 2 1 + − = → + → − = = → x x x x x x x x x 8).

(

₍

₎

)

(

₍

₎

)

2 4 8 1 5 lim 3 5 lim 1 5 3 5 lim 1 2 1 2 1 − = = + = − + → → → _x x x x x x x x x 9). lim

(

5 2

)

(

lim

(

5 2

)

)

3

(

5.1 2

)

3 73 343 1 3 1 + = → + = + = = → x x x x 10). ₃

(

)

3

(

)

3 1 3 1 5 2 lim 5 2 5.1 2 7 lim + = + = + = → → x x x x 11).

(

)

(

)

3 100 7 10 75 25 7 ) 5 .( 2 ) 5 .( 3 ) 5 .( 5 7 lim 2 lim 3 lim 5 lim 7 2 lim 3 5 lim 7 2 3 5 lim 2 2 2 2 5 − = + − − − = + − − − − = + − = + − = + − ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → − → x x x x x x x _x x x x x x x x x

4. Limit Fungsi Trigonometri

Cara menentukan nilai limit fungsi trigonometri sama dengan limit fungsi aljabar. Beberapa persamaan khusus:

Soal-soal: 1). 0 1 0 0 cos 0 cos lim 0 = = = → _x x x 2). 1 0 1 2 1 cos 2 1 sin cos sin lim 2 1 + = + = + = → π π π x x x 3). 2.1 2 2 2 sin lim . 2 2 2 . 2 sin lim 2 sin lim 0 2 0 0 = → = → = = → _x x x x x x x x x (jika x→0 maka 2x →0) 4). 0 0 2 tan 5 4 sin 3 lim 0 − = + → _{x x} x x

x BTT, maka (khusus soal model ini, pembilang dan penyebut dibagi dengan x)

3 7 2 5 4 3 2 tan lim 5 lim 4 sin lim 3 lim 2 tan 5 4 sin 3 lim 2 tan 5 4 sin 3 lim 2 tan 5 4 sin 3 lim 0 0 0 0 0 0 0 − = + = − + = − + = − + = − + → → → → → → → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 5). 0 0 sin 4 cos 1 lim 0 = − → _{x x} x x BTT, maka

(

)(

)

(

)(

)

(

)

8 4 . 2 1 . 4 . 1 . 1 4 . 4 cos 1 1 . sin 4 . 4 4 sin . 4 4 sin lim 4 . 4 4 . 4 . 4 cos 1 1 . sin 4 sin . 4 sin lim 4 cos 1 sin 4 sin lim 4 cos 1 sin 4 cos 1 lim 4 cos 1 4 cos 1 . sin 4 cos 1 lim sin 4 cos 1 lim 0 0 2 0 2 0 0 0 = = + = + = + = + − = + + − = − → → → → → → x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x a. 1 sin lim sin lim 0 0 = → = → _x x x x x x b. 1 tan lim tan lim 0 0 = → = → _x x x x x x c. b a bx ax bx ax x x→ =lim→ _sin = sin lim 0 0 d. b a bx ax bx ax x x→ =lim→ _tan = tan lim 0 0 e. b a bx ax bx ax x x→ = → _tan = sin lim sin tan lim 0 0

6 6). 0 0 2 cos lim 2 =           − →π _x π x x BTT, maka 1 2 2 sin lim 2 2 sin lim 2 2 sin lim 2 2 sin lim 2 cos lim 2 2 2 2 2 − = −       − − = −       − − = −       − − = −       − =           − → → → → → π π π π π π π π π π π π π π x x x x x x x x x x x x x x x

5. Kekontinuan Suatu Fungsi

Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada x = a jika: a. f (a) ada b. lim f(x) a x→ ada c. lim f(x) a x→ = f (a) Soal-soal:

1). Fungsi f(x)=2x+1, kontinu di x = 1 karena lim

(

2 1

)

3

( )

1

1 x f x→ + = = 2). Fungsi

( )

    = ≠ − − = 3 ; 3 3 ; 3 9 2 x x x x x

f maka f(x) tidak kontinu di x = 3, karena

a. lim( 3) 3 3 6 ) 3 ( ) 3 )( 3 ( lim 3 9 lim 3 3 2 3 − = + = + = + − = − − → → → _x x x x x x x x x b. f(3) = 3 maka lim ( ) (3) 3 f x f x→ ≠

6. Limit Barisan Bilangan

Ket: e = 2,7182818... = 1 + 1 + ... ! 3 1 ! 2 1 _{+ +} (bilangan Euler) Soal-soal: 1 1 1 1 1 1 1 1 lim 1 1 1 1 lim 1 1 1 lim 1 lim . 1 − + ∞ → + ∞ → + ∞ → + ∞ → _ =     + − =       + − + + =       + − + =       + x x x e x x x x x x x x x x x x x atau _{( )}

(

)

( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 lim 1 1 1 lim 1 1 1 lim 1 1 1 1 lim 1 1 1 lim 1 lim − − + − ∞ → − + − ∞ → + ∞ → + ∞ → + ∞ → + ∞ → =             + − + =               + − =       + − =       + − + + =       + − + =       + e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

(

)

(

)

(

)

(

)

3 3 3 1 3 3 1 1 3 . 3 1 1 3 1 lim 3 1 lim 3 1 lim 3 1 lim . 2 − − − ∞ → − − ∞ → − − ∞ → ∞ →  =    ₋ =     − = − = − x x x x x e x x x x x x x

Diketahui rumus trigonometri: 

     − = x x 2 sin cos π Ciri:

Grafiknya merupakan lengkungan (kurva) yang tidak terputus.

Persamaan c. Persamaan a. a. e n n n  =     + ∞ → 1 1 lim b.

(

n

)

n e n→∞ + = 1 1 lim c. 1 1 1 lim − ∞ → _ =     − e n n n d.

(

)

1 1 1 lim − ∞ → −n n =e n

7 ( )

(

)

6 4 4 6 4 2 3 6 4 2 3 6 4 2 3 2 0 1 . 3 2 1 lim . 3 2 1 lim 3 2 1 3 2 1 lim 3 2 1 lim 3 2 1 lim . 3 − − ∞ → −       + ∞ → −       + ∞ → + −       + ∞ → − ∞ → = + =       + +                 + + =               + +                 + + =       + + =       + + e e x x x x x x x x x x x x x x x Bentuk Sekawan: a. a − b sekawannya a+ b b. a+ b−c sekawannya a− b−c c. a b−c sekawannya a b+c d. a+b + c−d sekawannya a+b− c−d e. a+b−c sekawannya a+b+c

dan lain sebagainya.. Catatan: a. a2 −b2 =

(

a−b

)(

a+b

)

b. a3−b3 =

(

a−b

)

(

a2 +ab+b2

)

c. a3+b3 =

(

a+b

)

(

a2 −ab+b2

)

d.

(

a+b

)

2 =a2 +2ab+b2 e.

(

a−b

)

2 =a2 −2ab+b2 f.

( )

a 2 = a⋅ a =a g.

(

a+b

)

2 = a+b⋅ a+b =a+b Catatan 2: a. b a b a ₌ b. ₂ 2 _x a x a x a = = c. _{4 4 4} 4 2 x b x a x b a x b a x b a + = + = + = + d. _{6 6} 2 6 2 6 2 3 2 x bx x ax x bx ax x bx ax x bx ax + ₌ + ₌ + _{= +}

dan lain- lain.

Keterangan:

Sebagian materi adalah materi

pengayaan, tidak semuanya dipelajari di kelas.

8

Soal-Soal Latihan

A. Kerjakan soal-soal berikut, bila perlu gambarlah grafiknya. 1. Jika

( )

   > ≤ = 0 ; 0 ; 2 2 x jk x x jk x f , tentukan: a. f

( )

x x→0− lim , b. f

( )

x x→0+ lim , c. f

( )

x x 0 lim → jk ada. 2. Jika

( )

   ≥ + < + = 1 ; 4 1 ; 2 3 x jk x x jk x x f , tentukan: a. f

( )

x x→1− lim , b. f

( )

x x→1+ lim , c. f

( )

x x 1 lim → . 3. Jika

( )

   > + ≤ + = 1 ; 3 2 1 ; 1 4 2 x jk x x jk x x f , tentukan: a. f

( )

x x→1− lim , b. f

( )

x x→1+ lim , c. f

( )

x x 1 lim → . 4. Jika

( )

    − > − = − < − = 1 ; 1 1 ; 0 1 ; 1 x jk x jk x jk x f , tentukan: a. f

( )

x x→−1− lim , b. f

( )

x x→−1+ lim , c. f

( )

x xlim→−1 . 5. Ditentukan

( )

    ≥ < ≤ − − − < = 1 ; 0 1 1 ; 1 1 ; 2 x jk x jk x x jk x f

Selidiki apakah ada nilai limit fungsi berikut: a. f

( )

x

xlim→−1 b. limx→1 f

( )

x

6. Tentukan nilai dari: a. lim 1

1 − + → x x b. 2 1 lim x x→−+ c. ₂ 0 1 lim x x→ +

7. Tentukan nilai dari: a. x x 4 lim 4− → b. x x→−2− lim c. x x 2 3 lim 0− →

8. Diketahui fungsi f

( )

x = x. Tentukan nilai berikut jika ada! (cari limit kiri dan limit kanan). a. f

( )

x

x 1

lim

→ b. limx→3 f

( )

x c. limx→16 f

( )

x d. limx→0 f

( )

x

9. Selidikilah, apakah x x 1 lim 0

→ ada? (cari limit kiri dan limit kanan). 10. Tentukan f

( )

x

xlim→−2 dan limx→4 f

( )

x dari gambar berikut:

-2 ₄ 1 3 2 x y

( )

x f

9 B. Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut:

11. lim1000 5 → x 12. lim12345 1 → x 13. lim 2 5 2 + − → x x 14. lim3 2 5 10 0 + − → x x x 15. lim

(

4

)(

1

)

3 − + − → x x x 16.

[

(

) (

3

)

]

5 4 7. 3 lim x x x→− − − 17. 2 lim 4 + → _x x x 18. _      −       + − → _{2 3} 1 3 lim 4 _x x x x x 19. 45 6 10 5 3 lim ₃ 2 0 + − + − → _{x x} x x x 20. 10 7 9 6 lim 2 − + → _x x x 21. lim 4 11 9 − → x x 22. lim 2 7 4 − → x x 23. ₃ 2 1 6 lim x x x − − → 24. 1 6 3 lim ₃ 2 2 + + + → _x x x x 25. 2 1 lim 2 − → _x x 26. 24 2 4 lim ₂ 4 − − + → _{x x} x x 27. 24 2 5 lim ₂ 1 − − + − → _{x x} x x 28. 6 6 lim 3 + − − → _x x x 29. x x x 3 lim 3 − → 30.       − + − → _x x x x x _{6 7} 2 3 2 lim 2 31.       _{+ +} + − → _{8 5} 5 14 9 lim 2 _x x x x 32.

(

)(

)

1 2 5 3 lim 5 − − − → _x x x x 33.

(

)(

)

x x x x x _{2 2 5} 5 3 lim 7 + + − − → 34. 1 2 6 15 4 5 3 lim 1 − − − + + + → _{x x} x x x 35. lim

(

8 2 5 5

)

4 − + − + − → x x x 36. lim

(

2 2 3 2 2 2 4 3

)

3 + − − − + → x x x x x 37. 1 2 9 lim − + → _x x a x 38. m x m x 7 lim → 39. n x x n x + → 2 lim

40. Jika lim

(

+1

)

=lim

(

2 −3

)

→

→n x x n x

x , maka tentukan

nilai dari: lim

(

2 −16

)

→n x x 41. Jika a x x x x x − + = − − → _{10 21} 7 6 lim ₂ 2 7 , berapakah nilai dari 1 4 3 2 7 4 lim 2 + − − − → _x x x a x ? 42. Jika 7 3 10 2 5 2 lim ₂ 2 2 + − = + + − → _{x ax} x x x , maka a = … 43. Jika 13 11 30 1 3 lim ₂ 2 3 − − = − + → _{x ax} ax x x , maka a = … 44. 1 1 lim 1 − − → _x x x 45. x x x − − → ₁ 1 lim 1 46. 1 1 lim 1 − − → _x x x 47. x x x − − → ₁ 1 lim 1 48. 1 6 5 lim 2 1 − − + → _x x x x 49. 6 6 2 lim ₂ 3 + − + − → _{x x} x x

10 50. x x x x 5 3 lim 2 0 − → 51. x x x x→0 + lim 52. 2 4 lim 4 − − → _x x x

53. Dengan menyederhanakan lebih dahulu (menyamakan penyebut), hitunglah:

a.       ₊ − → _{x x x} x 1 1 lim ₂ 0 b.       − − − → ₁ 1 1 2 lim ₂ 0 _{x x} x c.       − − − →₁ 3 1 3 1 1 lim x x x d.       − + − − → _{2 8} 3 4 2 lim _{2 2} 2 _{x x x} x 54. 4 3 2 2 lim ₂ 1 − − + − → _{x x} x x 55. 2 6 3 lim 2 2 − − → _x x x x 56.

(

)

3 1 2 lim 2 3 − − − → _x x x (Ebtanas IPS 99) 57. 2 3 2 1 2 lim ₂ 2 1 + − − → x x x x 58. 1 2 4 3 lim ₂ 2 1 − + − + → _{x x} x x x 59. x x x x x x ₃ 2 lim _{3 2} 2 0 + + + → 60. _{3 2} 2 4 0 ₂ 6 lim x x x x x + − → 61. _{n n} n n n x _{x x} x x x 2 6 lim ₄ 1 3 0 + − + + + + → 62. 1 3 2 3 2 lim ₂ 2 3 1 − − − + → _x x x x x 63. 2 2 4 8 lim _{3 2} 2 3 2 − − + + − + → _{x x x} x x x x 64. 12 6 2 6 lim _{3 2} 2 3 2 − + − − + → _{x x x} x x x x 65. 2 8 lim 3 2 − − → _x x x 66. x x x − − → ₁ 1 lim 3 1 67. 27 3 lim ₃ 3 − − → _x x x 68. 64 4 lim ₃ 4 − − → _x x x 69. 1 1 lim 3 1 − − → _x x x 70. 9 4 27 8 lim ₂ 3 2 3 − − → x x x ** 71. 2 8 2 lim 2 4 − − − → _x x x x 72. x x x x − − →₁ 4 1 lim

73. Diketahui g

( )

x = 1+2x, maka nilai

(

1

) (

1

)

_... lim 0 = − − + → _x x g x g x 74. 1 3 2 1 lim 1 − + − → _x x x 75. 7 5 2 2 3 lim 2 2 + − + + − → _{x x} x x x 76. 6 5 6 10 2 lim 6 − + − − − → _{x x} x x x 77. x x x x x − − − − + → _{2 3} 1 2 2 lim 3 78. 3 1 5 1 3 3 lim 1 − − + − − − → _{x x} x x x 79. x x x x x x x + − − + − − + + → _{3 3} 3 2 3 2 lim 2 2 0 80. 9 4 1 5 lim ₂ 3 − − + → _x x x 81. 10 3 1 lim 10 − − − → _x x x 82. 9 3 2 lim ₂ 3 − + − → _x x x x 83. 2 2 1 ₁ 1 3 lim x x x x − − − + →

11 84. 7 4 9 lim 2 2 3 − + − − → _x x x 85. x x x x − + − → _{3 9} 5 2 lim 2 0 86. x x x − − − → ₅ 9 4 lim 2 5 87. 3 1 2 4 lim 3 − + − + → _x x x x 88. 5 4 4 lim 5 − − − + → _x x x x 89. x x x x + + − − → _{2 1 2} 2 lim 2 90. 1 5 3 1 5 3 lim 1 + − − − + + → _{x x} x x x 91. x x x x x + − + − − → _{3 6} 3 2 lim 2 92. 3 3 6 5 lim 2 3 − − − + − − → _{x x} x x x 93. x x x x − − + → 1 1 lim 0 94. x x x x _{1 2 1 2} 4 lim 0 + − − → 95. 1 1 1 lim 1 − − − − → _{x x} x x 96. 3 2 2 0 1 1 lim x x x→ − + 97.

(

)

2 3 3 2 1 ₁ 1 . 2 lim − − − → _x x x x ** 98. 1 1 lim 1 − − → _x xn x ** 99. Diketahui f

( )

x =3x2 −2x , tentukan

(

)

2 2 ) 2 ( . 4 1 ) ( lim 2 −       _{− +} → _x x f x f x 100. Diketahui

( )

3₂ x x f = , tentukan

(

)

2 ) 2 ( ) ( lim 2 − − → _x f x f x

C. Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut:

101. x x 2 lim ∞ → 102. ₁₀ 5 6 lim x x→∞ 103. ₂₅ 2 9 lim x x − ∞ → 104. x x x _{2 5} 7 lim ₃ + ∞ → 105. 20 3 lim ₃ − − ∞ → _x x 106. lim 4 +99 ∞ → x x 107. lim 2+9 −15 ∞ → x x x 108. 100 3 lim x x→∞ 109. 55 4 7 lim + ∞ → x x 110. 12 25 lim 2 − ∞ → x x 111. 1 2 5 lim − + ∞ → _x x x 112. 5 2 3 4 lim + − ∞ → _x x x 113. 5 8 6 lim + − ∞ → _x x x 114. 5 9 3 10 lim − + ∞ → _x x x 115. x x x _{3 9} 3 10 lim − + ∞ → 116. ₂ 2 12 3 5 7 lim x x x x + − ∞ → 117. ₃ 2 3 12 3 11 5 lim x x x x x + − ∞ → 118.

(

)(

)

(

3 12

)(

1

)

3 2 1 5 lim − + + − ∞ → _{x x} x x x 119.

(

3

)(

1

)

3 5 lim 2 − − − + ∞ → _{x x} x x x 120.

(

)(

)

15 3 2 3 1 lim ₂ − + − − ∞ → _{x x} x x x

12 121.

(

)

x x x x _{3 5} 3 2 4 lim ₃ 3 + + ∞ → 122. 2 4 2 8 4 lim x x x x + ∞ → 123. 2 5 3 1 3 4 lim ₂ 2 − + − + ∞ → _{x x} x x x 124. 2 3 3 lim ₃ 3 − + ∞ → _x x x x 125.

(

)

(

₂

)

2 4 2 3 5 2 lim + − ∞ → _x x x 126. _{3 4} 4 3 2 5 6 lim x x x x x x − − + ∞ → 127.

(

)

₃ 2 4 5 1 2 lim x x x x x − + ∞ → 128.

(

)

1 1 2 lim ₃ 3 + − ∞ → _x x x 129.

(

3

)(

1

)

2 6 lim 3 + − + ∞ → _{x x} x x x 130.

(

)(

)

(

1

)(

1

)

2 2 lim 2 2 + − + − ∞ → _{x x x} x x x 131. x x x x x − − + ∞ → 2 3 5 7 2 lim 132. 3 2 3 6 2 lim x x x x x + + ∞ → 133. 3 2 2 lim 4 − + ∞ → _x x x x 134. _{2 3} 4 9 lim x x x x x − + ∞ → 135. 1 2 5 3 lim ₃ 2 − + − ∞ → _{x x} x x 136. 5 4 2 5 3 lim ₂ + + + ∞ → _{x x} x x 137. x x x x x _{10 5} 7 5 3 lim ₃ 2 + − + ∞ → 138. 5 5 17 lim 3 6 2 − + − ∞ → x x x x 139. 9 3 1 5 lim 2 2 − − + ∞ → _x x x x 140.     − + − + ∞ → ₃ 1 2 4 lim x x x x 141. 2 3 5 5 17 lim 6 3 6 2 − + − + − ∞ → x x x x x 142. 1 6 2 4 2 lim 2 2 − − − + − ∞ → _{x x x} x x 143. 1 9 3 1 5 lim 4 2 + − − + ∞ → _{x x} x x x 144. lim

(

+6 − +3

)

∞ → x x x 145. lim

(

+3− +2

)

∞ → x x x 146. lim

(

2 −1− +4

)

∞ → x x x 147. lim

(

4 +2− −3

)

∞ → x x x 148.

(

x x

)

x→∞ +5− lim 149. lim

(

3 +1− 3 −1

)

∞ → x x x 150. lim

(

+1−2 −3

)

∞ → x x x 151.

(

x x

)

x→∞3 +6 −2 1− lim 152.

(

ax b px q

)

x→∞ + − + lim untuk: a = p, a > p dan a < p 153.

(

x x x x

)

x→∞ + + − + 2 2 2 1 lim 154. lim

(

4 2 +6 −1− 5 2 − +9

)

∞ → x x x x x 155. lim

(

2 +2 −1−

(

−2

)(

2 +9

)

)

∞ → x x x x x 156.

(

x x x

)

x 4 5 3 lim 2− − 2 − ∞ → 157. lim

(

2 2 + −5− 2 −3 +12

)

∞ → x x x x x 158. lim

(

(

3 +1

)(

−5

)

− 2 +7 +1

)

∞ → x x x x x 159. lim

(

(

3 −5

)(

+4

)

− 3 2 −7 +1

)

∞ → x x x x x 160. lim

(

− 4 2 −7 −1

)

∞ → x x x x 161. lim

(

(

+2

)

− 4 2 −7 +8

)

∞ → x x x x 162. lim

(

+5− 2 − −9

)

∞ → x x x x 163. lim

(

(

+3

) (

− −3

)(

+3

)

)

∞ → x x x x

13 164. lim

(

3 2 +3 −5− +4

)

∞ → x x x x 165. lim

(

2 +6 +5− −4

)

∞ → x x x x 166. lim

(

2 −1−2 −3

)

∞ → x x x 167. lim

(

4 2 +3 −5−

(

2 −3

)

)

∞ → x x x x 168. lim

(

9 2 + −4−

(

3 +5

)

)

∞ → x x x x 169. lim

(

2 2 −3 +5

)

∞ → x x x 170. lim

(

2 −3 − 2 2 +8

)

∞ → x x x x 171.  − − − + −  ∞ → 3 4 3 2 5 lim x x x x x 172. lim

(

4 4 +3 2 −1− 4 4 +5 2 +1

)

∞ → x x x x x 173. lim

(

3−4 − 3+8

)

∞ → x x x 174.

(

x

(

x x

)

)

x→∞ +2− lim 2 175.       _{− +} ∞ → 2 3 4 lim ₂ x x x 176. 2 3 3 2 lim x x x x x + ∞ → ** 177. x x x x x x 2 2 3 2 6 3 lim + − ∞ → ** D. Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut:

178. x x x cos 5 sin lim 2 + →π 179.

(

x x

)

x sin 2 .cot lim 0 → 180.       ₊ → x x x x 3sin cos 5 6 sin lim 2 π 181. x x x ₂ cos lim 0 → 182. x x x _cos 5 lim 0 + → 183. x x x _sin5 2 tan lim 0 → 184. x x x ₅ 3 sin lim 0 → 185. x x x x _{sin 3} 5 sin lim ₂ 0 → 186. x x x x _{sin3 sin 2} 2 1 tan lim 2 0 → 187. x x x 2 2 0_sin 2 lim → 188.

( )

2 2 0 ₃ 3 sin lim x x x→ 189. x x x x _sec2 2 tan lim 0 → 190. 2 cos 2 sin lim 0 x x x x→ 191. x x x _cos 2 lim 0 → 192. ₂ 2 0 2 sin lim x x x→ 193. ₂ 0 3 cos cos lim x x x x − → 194. x x x x 4 sin 3 sin lim 0 + → 195. x x x 2 cos 1 lim 0 − → 196. ₂ 0 ₂ 2 cos 1 lim x x x − → 197.

( )

x x x x _{sin 3} 2 sin lim _{2 2} 2 0 + → 198. x x x x x x x _{2 sin3 cos2} 6 3 tan 4 sin lim ₂ 3 2 0 + → 199. a x a x a x − − → cos cos lim 200. x x x x _{1 cos} 3 cos cos lim 0 − − → 201. x x x 4 2 cos lim 4 − →ππ 202. x x x 1 sin cos lim 2 4 − →π 203. x x x x _sin cos 1 lim 0 − →

14 204.

(

x x

)

x tan sec lim 2 − →π 205. ₃ 0 tan sin lim x x x x − → 206.

(

x x

)

x cot2 lim 0 → 207. x x x _tanπ 1 lim 1 − → 208. x x x cos2 1 tan lim 4 − →π 209.

(

tan 1

)

2 cos lim 4 − → x x x x π 210. 9 2 3 2 sin lim 0 − + → _x x x 211. x x x→ ₁− ₁− 4 sin lim 0 212.

(

)

2 2 sin lim 2 − − → _x x x 213.

(

)

π π π − − → _x x x sin lim 214.

(

) (

)

3 2 1 sin 1 3 lim ₂ 1 + − − + → _{x x} x x x 215.

(

)

3 2 1 sin lim 3 − − + → _x x x 216. x x x − − → 2 sin 1 lim 2 π π 217. x x x sec tan 2 lim 2 π → 218. ₂ 0 ₅ 3 tan . 2 tan lim x x x x→ 219. x x x _{1 sin} cos 1 lim 0 + + → 220. x x x _{1 cos} 2 cos 1 lim 0 − − → 221. x x x x _sin 3 lim 2 0 + → 222. x x x 2 1 cos 1 2 lim 2 2 0 − → 223. ₃ 0 ₄ 2 cos . 3 sin 3 sin lim x x x x x − → 224.

(

)

(

)

(

₂

)

2 2 2 ₂ 2 sin 6 5 lim − − − + − → _{x x} x x x x 225.

(

)

x x x x x x _{3 2} 6 sin 1 lim _{3 2} 2 0 + + − → 226. x x x x x _{4 cos3} 2 sin 8 sin lim 0 + → 227. 9 2 3 2 sin lim 0 − + → _x x x 228.       − − → _{x x} x x x _{sin8 sin3} 2 sin 5 sin lim 0 229.       − − → _{x x} x x x _{sin2 sin} tan 2 tan lim 0 230.           − − → _x x x 4 tan 1 lim 4 π π 231.       − → x x x x sin 4 cos 1 lim 2 π 232.       → x x x cos ) sin(cos lim 2 π 233. π π 4 1 sin cos lim 4 1 − − → _x x x x 234. x x x x 1 sin2 cos sin lim 2 1 − − → π 235.

(

)

1 1 sin lim 2 1 − − → _x x x 236. x x x cos 2 cos 1 lim 2 1 + → π 237.

(

)

(

x a

)

x a a x a x _{sin 2 2} 3 lim − + − − → 238.

(

)

tan( 1) ) 1 ( lim ₂ 2 3 1 − + − + + − → _{x a x} ax x a x x 239. π π − + → _x x x cos 1 lim 240.

(

)

(

x

)

x x x x _{tan 1 3sec} cos 1 2 sin lim 0 + + →

15 241.

(

x

)

x x x x _{1 cos3} 3 sin 2 2 sin 3 lim 0 − − → 242. x x x x _{sin2 tan2} lim 3 0 − → 243. ₃ 0 sin tan lim x x x x − → 244.

(

)

9 6 3 cos 1 lim ₂ 3 + + + − − → _{x x} x x 245. x x x x x x x _{3sin sin3} 18 sin 10 sin 6 sin 2 sin lim 0 − − + + → 246.                     − + − − → y x y x y x y x y x tan tan 1 1 tan tan lim **

E. Tentukan, jika ada, titik-titik yang

menyebabkan fungsi-fungsi berikut tidak kontinu: 247.

( )

x x x x f + − = ₂2 1 248.

( )

1 3 2 3 2 − + + = x x x x f 249.

( )

2 3 5 2 2 2 − + − − = x x x x x f 250.

( )

10 3 1 2 2 − + + = x x x x f 251.

( )

1 1 2 2 − + + = x x x x f 252.

( )

   ≥ − < = 0 ; 1 0 ; 1 x unt x x unt x f 253.

( )

   ≥ − < = 0 ; 0 ; 2 x unt x x unt x x f 254.

( )

    > = < = 0 ; 0 ; 1 0 ; 2 x unt x x unt x unt x x f 255.

( )

1 1 2 − − = x x x f 256.

( )

      = ≠ − − = 1 ; 2 1 ; 1 1 2 x unt x unt x x x f

Selidikilah, apakah fungsi- fungsi berikut kontinu pada titik yang diberikan: 257. f

( )

x =5, pada x = 1 258. f

( )

x =5x−10, pada x = – 3 259.

( )

3 8 − = x x f , pada x = 3 260.

( )

12 7 12 3 2 − + − = x x x x f , pada x = 4 261.

( )

12 2 2 6 3 3 2 2 − − − + = x x x x x f , pada x = – 2

F. Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut:

262. 1 1 lim + ∞ → _     + x x _x x 263. x x _x 2 3 2 1 lim − ∞ → _     + + 264. 6 3 5 lim + ∞ → _     + + x x _x x 265. x x _x x 2 6 2 2 2 lim       + + ∞ → 266. x x _x a       + ∞ → 1 lim 267. ax x _x     + ∞ → 1 1 lim 268. 3 2 5 3 1 3 lim + ∞ → _     + + x x _x x 269. 1 1 2 2 2 1 5 2 3 lim + + ∞ →     + + + + x x x _{x x} x x

16 270. 1 2 3 5 2 2 2 5 7 2 3 lim + + ∞ →     + + + + x x x x _{x x} x x

G. Hitunglah nilai dari

(

) ( )

h x f h x f h − + →0 lim dari fungsi-fungsi berikut: 271. f

( )

x =9 272. f

( )

x =5x 273. f

( )

x =8x−10 274. f

( )

x =x2 275. f

( )

x =3x2 276. f

( )

x =−2x2 +1 277. f

( )

x =2x2 +3x 278. f

( )

x =x3 279. f

( )

x =2x3 280. f

( )

x = x 281. f

( )

x =2 x 282. f

( )

x =2 x+1 Kata-kata mutiara:

a. Where there is a will, there is a way, Dimana ada kemauan, disitu pasti ada jalan.

b. Practise makes perfect, banyak latihan kuncine kesuksesan.

c. Witing tresno jalaran soko kulino, witing iso jalaran soko kerep nyobo.

d. Kalau orang lain bisa, kita InsyaAlloh juga bisa. e. Gagal adalah kesuksesan yang tertunda, maju

teruuuss...

Sumber:

a. Matematika SMA XI, Erlangga, BK Noormandiri. b. Cerdas Belajar Matematika, Grafindo, Marthen

Kanginan.

c. Matematika SMA/MA XI, Gelora Aksara Pratama, Sulistiyono, dkk.

d. Mathematics Year XI, Yudhistira, Team.

e. Matematika unt SMA/MA XI, Piranti, Yanti M dkk. f. Matematika IPA kelas XI, Intan Pariwara, Kartini

dkk.

g. Matematika 2 SMU, Balai Pustaka, Andi Hakim N. h. Lainnya.