BAB 11 SUKU BANYAK
Pada bab ini akan dipelajari tentang algoritma pembagian suku banyak, teorema sisa, dan teorema faktor, serta akar – akar rasional.
A. ALGORITMA PEMBAGIAN SUKU BANYAK 1. Pengertian suku banyak
Suku banyak (polinomial) adalah sebuah ungkapan aljabar yang variabel (peubahnya) berpangkat bilangan bulat non negatif.
Bentuk umum :
y = F(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-1x + an
Dengan n Є bilangan bulat , an ≠ 0
Pengertian-pengertian : a0, a1, a2 ,…, an-1 , an
Disebut koefisien masing-masing bilangan real (walaupun boleh juga bilangan kompleks).
2. Derajat suku banyak
Derajat Suku Banyak adalah pangkat tertinggi dari pangkat-pangkat pada tiap-tiap suku, disebut n. Untuk suku banyak nol dikatakan tidak memiliki derajat. Suku : a0xn , a1xn-1 , a2xn-2 , … , an-1x , an
Masing-masing merupakan suku dari suku banyak Suku Tetap (konstanta)
A0 adalah suku tetap atau konstanta, tidak mengandung
variabel/peubah. Sedangkan anxn adalah suku
berderajat tinggi. 3. Nilai suku banyak
Basic concept :
Jika f(x) = axn + bxn – 1+ cxn – 2+…+ f maka nilai suku
banyak dapat dicari dengan cara subtitusi dan skematik.
Contoh :
Diketahui fungsi polinom f(x) = 2x5+ 3x4 – 5x2+ x – 7
Maka nilai fungsi tersebut untuk x= – 2 adalah… Jawab :
f(x) = 2x5+ 3x4 – 5x2+ x – 7
Cara 1: (subtitusi): x = -2
f(-2)= 2(-2)5+3(-2)4+5(-2)2+(-2) – 7 = – 45
f(x) = 2x5+ 3x4 – 5x2+ x – 7 dan pembagianya x= – 2
Ambil koefisiennya:
-2 2 3 0 -5 1 -7
-4 2 -4 18 -38 +
2 -1 2 -9 19 -45
Jadi nilai suku banyaknya – 45
4. Pembagian pada suku banyak
Pembagian sukubanyak P(x) oleh (x – a) dapat ditulis dengan
P(x) = (x – a)H(x) + S
Keterangan:
P(x) suku banyak yang dibagi, (x – a) adalah pembagi, H(x) adalah hasil pembagian, dan S adalah sisa pembagian
B. TEOREMA SISA DAN TEOREMA FAKTOR 1. Penggunaan teorema sisa
Basic concept :
Jika sukubanyak P(x) dibagi (x – a), sisanya P(a) dibagi
(x + a) sisanya P(– a) dibagi (ax – b) sisanya b p
a
.
Contoh :
Tentukan sisa dan hasil baginya jika P(x) = x3 + 4x2 – 5x
– 8 dibagi x –2 Jawab:
Dengan teorema sisa, dengan mudah kita dapatkan sisanya,
yaitu P(2) = 23 + 4(2)2 – 5(2) – 8 = 8 + 16 – 10 – 8 = 6
Untuk menentukan hasil baginya kita gunakan: Pembagian Horner:
hasil bagi
2
21 4 5 8 2 12 14 1 6 7 6 sisa
makadiperoleh:
hasilbaginya: x 6x 7 sisabagi: 6
142 43
2. Pembagian bentuk (x – a)(x – b)
Bentuk pembagiannya dapat ditulis sebagai P(x) = (x – a)(x – b)H(x) + S(x)
berarti: untuk x = a , P(a) = S(a) dan untuk x = b, P(b) = S(b)
Catatan: S(x) berderajat 1, misal px + q Contoh :
Suatu suku banyak bila dibagi oleh x + 2 bersisa -13, dibagi oleh x – 3 sisanya 7.
Suku banyak tersebut bila dibagi oleh x2 – x - 6
bersisa…. Jawab:
Misal sisanya : S(x) = ax + b,
P(x): (x + 2) Þ S(-2) = -13 -2a + b = -13 P(x): (x – 3) Þ S(3) = 7 3a + b = 7 _ -5a = -20
a = 4 a = 4 maka b = - 5
Jadi sisanya adalah: ax + b = 4x – 5
3. Penggunaan teorema faktor Basic concept :
Jika f(x) adalah sukubanyak; (x – k) merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(k) = 0
Artinya : Jika (x – k) merupakan faktor, maka nilai f(k) = 0 sebaliknya, jika f(k) = 0 maka (x – k) merupakan faktor
Contoh :
Tentukan faktor-faktor dari P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6
Jawab:
ada 8 yaitu: ±1, ±2, ±3, dan ±6. Nilai-nilai k itu kita substitusikan ke P(x), misalnya k = 1 diperoleh:
P(1) = 2.13 – 1.12 – 7.1 + 6
= 2 – 1 – 7 + 6 = 0
Oleh karena P(1) = 0, maka (x – 1) adalah salah satu faktor dari P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6
Untuk mencari faktor yang lain, kita tentukan hasil bagi P(x) oleh (x – 1) dengan pembagian horner:
Koefisien suku banyak P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6 adalah 2
-1 -7
hasil bagi
2
12 1 7 6 2 1 6 2 1 6 0 sisa
makadiperoleh: hasilbaginya:2x x 6 sisabagi:6
1 4 2 4 3
Karena hasil baginya adalah H(x) = 2x2 + x – 6 = (2x –
3)(x + 2) dengan demikian 2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x2
+ x – 6) = (x – 1)(2x – 3)(x + 2)
Jadi faktor-faktornya liniernya adalah (x – 1), (2x – 3 ) dan (x + 2)
C. AKAR – AKAR RASIONAL Basic concept :
Jika P(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + ao dan (x – k)
merupakan faktor dari P(x) maka K merupakan akar dari P(x).
1. Menentukan akar rasional Metode supertrik :
Mencari akar rasional dengan melihat koefisien pangkat tertinggi dan konstanta !
2. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Suku banyak
Basic concept :
Jika akar – akar persamaan Suku banyak: ax3 + bx2 + cx
+ d = 0 adalah x1, x2, dan x3 maka berlaku :
x1 + x2 + x3 =
b a
x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 =
PAKET SOAL DAN PEMBAHASAN 1. UN 2010
x 1 artinyax 1, subtitusike 2 1 a 1 b 1 2 6 a b 6...1)
x 1 artinyax 1, subtitusike 2 1 a 1 b 1 2 6 a b 6...1)
x 2 artinyax 2, subtitusike 2 2 a 2 b 2 2 24
suku banyak tersebut adalah
1 2 3 1 2 3 1 2 3
untuk x 2 berlaku:
2 a 2 13 2 b 0 sisa 4a b 18...1)
untuk x 1 berlaku:
4. UN 2012
Suku banyak berderajat 3, dibagi dengan x2 – x – 6 bersisa
(5x – 2). Jika dibagi x2 – 2x – 3 bersisa (3x + 4). Suku jawaban, yang bersisa – 12 itulah hasilnya.
Jawaban:D 5. UN 2012
Jika F(x) dibagi (x2 – 2x) dan (x2 – 3x) masing – masing
bersisa (4x + 1) dan (3x + 1). Jika F(x) dibagi (x2 – 5x +
6) maka sisanya adalah…
Pilih x yang paling ribet, yaitu x = 3, kemudian subtitusi ke pilihan, dicari yang hasilnya 7.
Pilihan A = x + 4 = 3 + 4 = 7 (benar)
Jawaban:D 6. UN 2012
Suku banyak berderajat 3, jika dibagi
2
misal kitapilihsatufungsi saja, f 1 1
Jadi,pilihdiantara jawabanyang jikadisubstitusikan
ahasilnyaadalah 1.
Pembahasan : Metode supertrik :
Pilih x yang ribet antara (x + 1) dan (x – 3) maka kita pilih yang (x + 1) artinya x = – 1
f 1 8 dang 1 9h 1 f 1 g 1 8. 9 72
Ganti x = – 1, cek ke pilihan yang hasilnya – 72, itulah jawabannya.
Jawaban:D
PAKET SOAL LATIHAN
1. Suatu suku banyak 4x4 + 4x3 + 5x2 + 4x – 6 jika dibagi
dengan 2x2 + x – 1 bersisa…
A. 3x – 3 D. 3x + 2
B. 2x + 3 E. 3x – 2
C. 2x – 3
2. Hasil bagi dan sisa dari suku banyak 3x3 + 10x2 – 8x + 3
dibagi oleh x2 + 3x – 1, berturut – turut adalah…
A. 3x + 1 dan – 2x + 2 D. 3x + 19 dan – 56x + 21 B. 3x + 1 dan – 8x + 4 E. 3x + 19 dan 51x + 16 C. 3x – 1 dan 8x + 2
3. Diketahui suku banyak 2x3 + ax2 – bx + 3 dibagi oleh x2 – 4
bersisa x + 23. Nilai a + b =…
A. 12 D. – 1
B. 9 E. – 2
C. 2
4. Suku banyak P (x) = x3 – ax2 + bx – 2 mempunyai faktor (x
– 1). Jika P (x) dibagi oleh (x + 2) bersisa 36. Nilai a – b = …
A. – 15 D. 2
B. – 1 E. 15
C. 1
5. Suku banyak P (x) = 3x3 – 4x2 – 6x + k habis dibagi oleh x –
2. Sisa pembagian P(x) oleh x2 + 2x + 2 adalah…
A. 20x + 24 D. 8x + 24 B. 20x – 16 E. – 32x – 16 C. 32x + 24
6. Suku banyak P (x) jika dibagi oleh x – 1 bersisa 33, dan jika dibagi oleh x2 + 3x + 2 sisanya 2x – 5. Sisa pembagian
A. 10x + 11 D. 21
x 12 2
B. 19
x 14
2 E. 11x + 10
C. 6x + 21
7. Suku banyak f(x) dibagi x + 5 memberikan sisa 2x – 1, dan dibagi oleh x – 3 memberikan sisa 7. Sisa pembagian f(x) oleh x2 + 2x – 15 adalah…
A. 3x – 2 D.
9 3 x 4 4
B. 3x + 1 E.
9 1 x 4 4 C. 9x + 1
8. Suku banyak P (x) dibagi oleh (4x2 – 1) bersisa (3x – 4) dan
jika dibagi oleh (x + 1) sisanya – 16. Sisa pembagian suku banyak oleh (2x2 + x – 1) adalah…
A. 9x – 7 D. 21x + 5
B. 12x – 4 E. 27x + 11
C. 13x + 3
9. Diketahui suku banyak F(x) jika dibagi oleh (x – 2) mempunyai sisa 6 dan jika dibagi oleh (x + 3) mempunyai sisa – 9. Sisa pembagian F(x) oleh x2 + x – 6 adalah…
A. 3x D. 3x – 12
B. 4x E. 12 – 3x
C. 3x + 12
10. Persamaan polynomial 3x3 + (p + 2)x2 – 16x – 12 = 0
mempunyai akar x = 2. Jumlah ketiga akar persamaan itu adalah…
A. – 4 D. 3
B. 5 3
E. 4 C. 1
11. Suku banyak P(x) jika dibagi oleh 2x – 1 dan dibagi oleh 3x + 2 berturut – turut bersisa 2 dan – 3. Suku banyak F(x) dibagi oleh 2x – 1 dan 3x + 2 berturut – turut bersisa – 2 dan 6. Sisa pembagian H(x) = P(x). F(x) oleh (2x – 1) (3x + 2) adalah…
C. 6x + 5
12. Salah satu faktor dari 2x3 – 5x2 – px + 3 adalah x + 1.
Faktor linear yang lain dari suku banyak tersebut adalah… A. 2x + 1 dan x – 1 D. x – 2 dan x – 3 B. 2x – 1 dan x + 2 E. x + 2 dan x + 3 C. 2x – 1 dan x – 3
13. Akar – akar persamaan suku banyak x3 – x2 + ax + 72 = 0
adalah x1, x2, dan x3. Jika salah satu akarnya adalah 3, dan
x1 < x2 < x3, maka nilai x3 – x2 –x1 = …
A. 7 D. – 7
B. 5 E. – 13
C. – 5
14. Diketahui suku banyak f(x) jika dibagi (x + 1) bersisa 8 dan dibagi (x – 3) bersisa 4. Suku banyak g(x) jika dibagi (x + 1) bersisa – 9 dan jika dibagi (x – 3) bersisa 15. Jika h(x) = f(x).g(x), maka sisa pembagian h(x) dengan (x2 – 2x – 3)
adalah…
A. 33x – 36 D. 33x – 39 B. 33x – 16 E. – 3x – 39 C. 20x – 33
15. Suku banyak berderajat 3, dibagi dengan x2 – x – 6 bersisa
(5x – 2). Jika dibagi x2 – 2x – 3 bersisa (3x + 4). Suku
banyak tersebut adalah… A. x3 – 2x2 + x + 4
B. x3 – 2x2 – x + 4
C. x3 – 2x2 – x – 4
D. x3 – 2x2 + 4
