SUKU BANYAK
koefisien suku banyak yang merupakan konstanta real dengan an ≠0
Dimana :
2. Pembagian suku banyak dengan cara Horner
Tentukan hasil bagi dan sisa dari 12x3 + 4x2- 27x – 9 dibagi (2x + 3)
x = -2 3
12 4 -27 -9
-18 21 9 +
12 -14 -6 0
Jadi hasil baginya adalah
2 6 14
12 2 − −
x x
= 6x2 - 7x - 3 dan sisanya adalah 0
c. Pembagian suku banyak dengan ax2+ bx + c
Dengan cara pembagian biasa: contoh:
x3- x2+ 4x – 4 dibagi oleh x2 - 1 (1) (2)
x - 1
x2 - 1 x3- x2+ 4x – 4
(x . (x2-1)) x3 - x -
- x2 +5x (-1 . (x2-1)) -x2
+ 1 - 5x – 5
(berderajat lebih kecil dari x2 - 1, maka perhitungan selesai dan ini merupakan sisa)
Hasil bagi adalah x – 1 dan sisa 5x - 5 Teorema Sisa:
Jika f(x) dibagi g(x) mempunyai hasil h(x) dan sisa s(x) ditulis :
f(x) = g(x) h(x) + s(x)
f(x) = suku banyak yang dibagi
g(x)= pembagi
h(x) = hasil bagi
s(x) = sisa pembagian
Jika f(x) berderajat n dan g(x) berderajat m (m ≤n) maka derajat h(x) dan s(x)masing-masing sebagai berikut. • derajat h(x) adalah (n – m)
• derajat maksimum s(x)adalah (m – 1)
- jika h(x) = ax +b maka s(x) = konstan - jika g(x) = ax2 + bx +c maka s(x) = Ax + B
Apabila suku banyak f(x) :
- dibagi (x-a) maka sisanya adalah f (a). - dibagi (ax-b) maka sisanya adalah f(
a b
) - habis dibagi (x-a) maka f(a) = 0 Teorema Faktor:
- Jika pada suku banyak f(x) berlaku f(a)=0 , f(b) =0 dan f(c)= 0 maka f(x) habis dibagi (x-a) (x-b) (x –c)
- jika f(a) = 0 maka x-a adalah faktor dari f(x)
- jika (x-a) adalah faktor dari f(x) maka x = a adalah akar dari f(x)
Akar-akar Suku banyak
1. Jika x1, x2 dan x3adalah akar-akar persamaan ax3 + bx2 + cx +d = 0 maka
x1 + x2 + x3 = -
a b
x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 =
a c
x1 x2 x3 = -
a d
2. Jika x1, x2, x3 dan x4 adalah akar-akar persamaan
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 maka
x1 + x2 + x3 + x4 = -
a b
x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3+ x2 x4+ x3 x4 =
a c
x1 x2 x3 + x1 x3 x4 + x1 x2 x4+ x2 x3 x4 = -
a d
x1 x2 x3 x4 =
a e
Persamaan suku banyak :
anxn
+ an−1xn−1
+ an−2xn−2
+…+ a2x2
+a1x + a0=0 dapat diselesaikan dengan mencari nilai pengganti x
yang memenuhi persamaan suku banyak itu. Nilai x tersebut dinamakan penyelesaian atau akar persamaan suku banyak tersebut.
Jika f(x) adalah suku banyak maka (x-h) merupakan faktor dari f(x) jika h adalah akar dari persamaan suku banyak f(x) = 0 .
Akar-akar persamaan suku banyak f(0) dapat dicari dengan menggunakan urutan langkah-langkah sbb:
1. Menentukan akar-akar yang mungkin dari f(x) =0,
yaitu
n m
,
dimana:
m = factor bulat positif dari a0
n = factor bulat dari a0
2. Akar-akar yang sebenarnya harus memenuhi f (
n m
) = 0
Contoh:
f(x) = x4- 15x2 - 10x + 24 = 0 maka an= 1 dan a0 = 24
m = faktor bulat positif dari a0= 24,
yaitu 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
n = faktor bulat dari a0 yaitu , -1, 1, -2,2, -3,3, -6,6, -8,8 -12, 12, -24,24
akar yang mungkin adalah(
n m
) : 1,-1,2,-2,3,-3,4,-4, 6,-6 ,8,-8
substitusikan akar yang mungkin ke dalam persamaan apakah f(
n m
) = 0 ?
Karena soal berderajat 4 maka cari minimal 2 nilai akar terlebih dahulu:
ambil nilai x=1 :
f(1) = 1 – 15 – 10 + 24 = 0 x = 1 adalah akar persamaan ambil nilai x = 2
f(2) = 16 – 60 – 20 + 24 = -40 x= 2 bukan akar ambil nilai x = -2
f(-2) = 16 - 60 + 20 + 24 = 0 x = -2 adalah akar persamaan
didapat dua nilai yaitu x = 1 dan x = -2 kalikan dua nilai sbb:
(x-1)(x+2) = x2+ x - 2
Bagi persamaan dengan nilai tsb :
x2-x -12
x2+x- 2 x4- 15x2- 10x + 24
x4 + x3-2x2 -
- x3 -13x 2-10x -x3 -x2+ 2 x -
-12x2-12x + 24 -12x2-12x + 24 - 0 ( sisa 0 ) sehingga hasil akhirnya didapat : f(x)= (x-1)(x+2)( x2-x -12) = 0 atau (x-1)(x+2) (x -4 ) (x +3) = 0
didapat akar-akar persamaan :
Contoh Soal:
Soal UN2010 – UN2012
UN2010
1. Suku banyak x3+2x2-px+q, jika dibagi (2x – 4) bersisa 16
dan jika dibagi (x + 2) bersisa 20. Nilai dari 2p+ q = ….
A. 17 C. 19 E. 21
B. 18 D. 20
Jawab:
Gunakan metoda Horner:
2x- 4 x = 2
2 4 =
x = 2
2 4=
1 2 -p q
2 8 16 – 2p (+)
1 4 8-p q+16-2p (sisa) q+16-2p = 16 ⇒ q – 2p = 0 …(1)
x+2 x = -2
x = -2 1 2 -p q
-2 0 2p (+)
1 0 -p q+2p (sisa) q+2p = 20 …(2)
Substitusi 1 dan 2:
Eliminasi q q – 2p = 0 q+2p = 20 -
- 4p = - 20
p = 5
q – 2p = 0
q = 2p
= 2 . 5 = 10
Sehingga 2p + q = 2 . 5 + 10 = 20
Jawabannya adalah D
UN2011
2. Diketahui suku banyak P(x) = 2x4+ ax3- 3x2 + 5x + b. Jika P(x) dibagi (x-1) sisa 11,
dibagi (x+1) sisa -1, maka nilai (2a+b) = ...
A. 13 B. 10 C. 8 D. 7 E. 6
Jawab:
Pergunakan Metoda Substitusi dibagi dengan (x-1) x =1
P(1) = 2. 14+ a. 13- 3. 12 + 5.1 + b = 11 2 + a – 3 + 5 + b = 11
a + b + 4 = 11 a + b = 7 ... (1) dibagi dengan (x+1) x = -1
P(-1) = 2. (-1)4+ a. (-1)3- 3. (-1)2 + 5.(-1) + b = - 1 2 - a – 3 - 5 + b = -1
-a + b - 6 = -1 -a + b = 5 ... (2)
Substitusi dengan eliminasi (1) dan (2) a + b = 7
-a + b = 5 + 2b = 12 b = 6
a + b = 7 a = 7 – b = 7 – 6 = 1 2a + b = 2 . 1 + 6 = 8
Jawabannya adalah C
UN2012
4. Suku banyak berderajat 3, jika dibagi (x2 – x - 6) bersisa 5x-2, jika dibagi (x2 - 2x - 3 ) bersisa ( 3x + 4 ). Suku banyak tersebut adalah....
A. x3 – 2x2 + x + 4 C. x3 – 2x2 - x - 4 E. x3 + 2x2 - 4
B. x3 – 2x2 + x - 4 D. x3 – 2x2 + 4
Jawab:
cara 1:
Suku banyak berderajat 3 f(x) = ax3 + bx2+ cx + d
f(3) = 27 a + 9b + 3 c + d = 5 . 3 – 2 = 13 f(-2) = -8 a + 4b - 2 c + d = 5 .(-2) – 2 = -12 -
35 a + 5b + 5c = 25 | : 5| 7a + b + c = 5 ....(1)
f(x) = (x2 - 2x - 3 ) h (x) + 3x + 4 = (x – 3)(x + 1) h(x) + 3x + 4
f(3) = 27 a + 9b + 3 c + d = 3 . 3 + 4 = 13 f(-1) = - a + b – c + d = 3. (-1) + 4 = 1 -
28 a + 8b + 4c = 12 | : 4| 7 a + 2 b + c = 3 ...(2)
eliminasi c: 7a + b + c = 5
7 a + 2 b + c = 3 - -b = 2 b = -2 masukkan nilai b:
7a + b + c = 5 7a – 2 + c =5 7a + c = 7
a adalah variabel pangkat tiga (≠ 0), diasumsikan bahwa
a bukan pecahan dan nilainya ≥1, nilai yang memungkinkan
adalah a = 1 sehingga c = 7 – 7a = 7 – 7 = 0
nilai d :
27 a + 9b + 3 c + d = 13
27 . 1 + 9. (-2) + 3. 0 + d = 13
d = 13 – 27 + 18 = 4
Maka suku banyak tersebut adalah :
f(x) = ax3 + bx2+ cx + d = x3 - x2+ 0. x + 4 = x3 - x2 + 4
Jawabannya D
Cara 2:
f(x) = (x2 – x - 6) h(x) + 5x – 2
= (x – 3)(x + 2) h(x) + 5x – 2
f(3) = 5.3 – 2 = 13
f(-2) = 5 . (-2) – 2 = -12
masukkan nilai salah satu f(3) atau f(-2) ke salah satu
jawaban.
