BAB XII. SUKU BANYAK - 12. Suku banyak

BAB XII. SUKU BANYAK

Pengertian:

f(x) = anx n

+ an₋₁x

1

− n

+ an₋₂x

2

− n

+…+ a₂x2 +a₁x + a₀ adalah suku banyak (polinom) dengan :

- a_n, a_n−1, a_n−2, ….,a₂, a₁, a₀ adalah koefisien-

koefisien suku banyak yang merupakan konstanta real dengan a_n ≠0

- a₀ adalah suku tetap yang merupakan konstanta real - n merupakan pangkat tertinggi dari x

Menghitung nilai suku banyak: 1. Metoda Substitusi :

Nilai suku banyak :

f(x) = a_nxn + a_n−1xn−1+ a_n−2xn−2+…+ a₂x2 +a₁x + a₀ untuk x = h adalah :

f(h) = a_nhn

+ a_n−1hn−1

+ a_n−2hn−2

+…+ a₂h2

+a₁h + a₀

contoh:

jika f(x) = 4x3 + 2x2 + x - 3

nilai suku banyak untuk x = -2 adalah : f(-2) = 4 . (-2)3 + 2 .(-2)2 + (-2) – 3 = -32 + 8 - 2 - 3

= - 29 2. Metoda Horner: Nilai suku banyak : f(x) = a_nxn

+ a_n−1xn−1

+ a_n−2xn−2

+…+ a₂x2 +a₁x + a₀ untuk x = h adalah f(h) menggunakan Metoda Horner diperlihatkan sbb:

An = an

An – 1 = An. h + an – 1

An – 2 = An–1 . h + an – 2 . .

. . . .

A2 = A3. h + a2

A1 = A2. h + a1

A0 = A1. h + a0

x = h a_n a_n−1 a_n−2 - - - a₂ a₁ a₀

An.h An−1. h A3.h A2.h A1.h

An An – 1 An – 2 A2 A1 A₀ f(h)

Cara penyelesaian contoh metoda substitusi dapat diselesaikan dengan cara Horner sbb:

f(x) = 4x3 + 2x2 + x - 3 untuk x = -2 didapat :

x = -2 4 2 1 -3

-8 (+) 12 (+) -26 (+)

4 -6 13 -29 hasil dari f(-2)

= kalikan dengan x = -2

didapat f(-2) = -29

Pembagian Suku Banyak: 1. Dengan Pembagian Biasa:

Sisa pembagian oleh (x – h) terhadap f(x) = a_nxn

+ a_n−1xn−1

+ a_n−2xn−2

+…+ a₂x2 +a₁x + a₀ adalah P(h) atau f(x) = (x – h) H(h)+ P(h)

12. SOAL-SOAL SUKU BANYAK

UN2004

1. Suku banyak x4_-3x3_{- 5 x}2 _{+ x – 6 dibagi oleh}

x2 - x – 2, sisanya sama dengan…

A. 16x+ 8 C. -8x+16 E. -8x -24 B 16x -8 D. -8x – 16

jawab:

x2 - 2x -5

x2 - x -2 x4- 3x3- 5x2+ x – 6 x4 - x3 -2 x2 -

-2x3-3 x2+ x - 6 -2x3+2 x2+4x -

-5x2-3x -6 -5x2+5x+10 -

- 8x – 16 Æ sisa

Hasil bagi adalah x2 - 2x -5 dan sisa - 8x – 16

Jawabannya adalah D

EBTANAS1990

2. Suku banyak f(x) jika dibagi (x-2) sisanya 24 dan dibagi

(x+5) sisanya 10. Apabila f(x) tersebut dibagi x2+3x -10

sisanya adalah…

A. x + 34 C. x + 10 E. 2x - 20 B. x – 34 D 2x + 20

jawab:

f(x) = g(x) (x-2) + 24 Æ f(2) = 24 f(x) = g(x) (x+5) + 10 Æ f(-5) = 10

f(x) = g(x)( x2+3x -10)+ Ax+B

= g(x) (x +5) (x-2) + Ax+B

f(-5) = 0 – 5A + B = 10 f(2) = 0 + 2A + B =24 -

- 7A = -14 A = 2

-5A + B = 10 B = 10 + 5A

sisa = Ax+B = 2.x + 20

jawabannya adalah D

EBTANAS1991

3. Jika f(x) dibagi oleh x2-2x dan x2-3x masing-masing mempunyai sisa 2x+1 dan 5x+2, maka f(x) dibagi oleh x2- 5x + 6 mempunyai sisa…

A. 22x – 39 C. 12x – 19 E. -22x + 49 B. 12x + 19 D. -12x + 29

jawab:

Jika f(x) dibagi oleh x2-2x = x (x – 2) mempunyai sisa 2x+1 maka :

f(0) = 2.0 + 1 = 1 f(2) = 2.2 + 1 = 5

Jika f(x) dibagi oleh x2-3x = x (x – 3) mempunyai sisa 5x+2 maka :

f(0) = 5.0 + 2 = 2 f(3) = 5.3 + 2 = 17

Jika f(x) dibagi oleh x2- 5x + 6 sisanya adalah..

x2- 5x + 6 = (x - 2) (x -3)

f(x) = g(x) h(x) + Ax+B = (x - 2) (x -3) h(x) + Ax +B

f(2) = 0 .h(x) + 2A + B = 5 f(3) = 0 .h(x)+ 3A + B = 17 -

- A = - 12 A = 12

2A + B = 5 B = 5 – 2A

= 5 – 2.12 = - 19

Ax + B = 12.x – 19

UN2004

4. Suku banyak f(x) dibagi (x+5) memberikan sisa (2x-1) dan dibagi oleh (x-3) memberikan sisa 7. Sisa pembagian

f(x) oleh (x2+ 2x – 15) adalah….

- Jika f(x) dibagi oleh x -3 memberikan sisa 7

Jika suku banyak habis dibagi berarti sisanya adalah= 0

2 3

p+12 = 0

2 3

p = -12

p = 2 / 3

12 −

= -12 . 3 2

= -8

Jawabannya adalah C

SPMB2005

7. Jika P(x) = x4+ 5x3+ 9x2+ 13x + a dibagi dengan x + 3

bersisa 2, maka P(x) dibagi (x+1) akan bersisa…

A. 2 B. -3 C. 4 D. -5 E. 6

jawab:

x + 3 Æ x = -3

x = -3 1 5 9 13 a

-3 -6 -9 -12 +

1 2 3 4 a -12 Æ sisa

sisa P(x) = x4+ 5x3+ 9x2+ 13x + a dibagi dengan x + 3

adalah 2, dengan menggunakan metoda Horner didapat sisanya adalah a – 12,

maka a – 12 = 2 Æ a = 12 + 2 = 14

Sehingga P(x) dibagi dengan x + 1 adalah: sudah diketahui a = 14

x = -1 1 5 9 13 14

-1 -4 -5 - 8 +

1 4 5 8 6 Æ sisa

Didapat sisanya adalah 6 jawabannya adalah E

UAN2002

8. Salah satu factor dari 2x3+ px2- 10x – 24 ialah x + 4 . Faktor-faktor lainnya adalah…

A. 2x + 1 dan x + 2 D. 2x - 3 dan x - 2 B. 2x + 3 dan x +2 E . 2x + 3 dan x -2 C. 2x - 3 dan x +2

jawab:

Salah satu factor berarti apabila dibagi maka sisanya adalah 0.

x = -4 2 p -10 -24

-8 -4p+32 -88+16p +

2 p-8 22 - 4p 16p - 112 Æ sisa

Sisa 16p-112= 0 16p = 112

p = 16 112

= 7

Hasil pembagian adalah :

2x2 +(p-8)x + 22 – 4p

dengan memasukkan p = 7 didapat:

2x2 +(7-8)x + 22 – 4.7

= 2x2 _{- x - 6}

difaktorkan menjadi :

2x2 - x - 6 = (2x + 3 ) (x - 2 )

sehingga faktor-faktor lainnya adalah

(2x + 3 ) dan (x - 2 )

Jawabannya adalah E

EBTANAS1995

9. Salah satu akar persamaan 2x3-7x2-7x+30 adalah 3,

maka jumlah dua akar yang lain adalah…

A. - 2 1

C. 1 E. 5

B.

2 1

Jawab:

Salah satu akar persamaan adalah 3, sehingga persamaan

2x3-7x2-7x+30 habis dibagi dengan x-3 dengan sisa

pembagian 0.

yang ditanyakan adalah jumlah kedua akar ini:

2

n m

= 1 2

− , 1

2 −

, 2 4

− , 2

4 −

= -2

f(-2) = 4 . (-2)4 - 15.(-2)2 + 5 . (-2) + 6

= 4 . 16 – 15. 4 – 10 + 6

= 64 – 60 – 10 + 6 = 0 Æ akar persamaan

sudah didapat 2 akar rasional bulat yaitu 1 dan -2, kemudian cari akar-akar yang lain dengan cara membagi f(x) dengan (x-1) (x+2) dengan pembagian biasa:

(x-1) (x+2) = x2_{+ x - 2}

4x2-4x-3

x2 + x -2 4x4- 15x2+5x + 6 4x4 + 4x3 -8 x2 -

-4x3-7 x2+5x + 6 -4x3-4 x2+8x -

-3x2_{-3x +6} -3x2-3x+ 6 - 0 Æ sisa

Didapat hasil pembagian f(x) dengan (x-1) (x+2)

adalah 4x2-4x-3 dengan sisa 0

Cek D dari persamaan 4x2-4x-3 D= b2 - 4ac = 16 + 48 = 64 > 0

D > 0 Æ mempunyai 2 akar persamaan real

(2x + 1 )(2x -3)

didapat x = -

2 1

dan x = 2 3

Didapat persamaan mempunyai 4 akar rasional bulat

Jawabannya adalah E.

Dimana :

(x – h) = pembagi H(h) = hasil bagi

P(h) = sisa

Contoh sebelumnya :

Suku banyak f(x) = 4x3 + 2x2 + x - 3 dengan x = -2 atau (x+2)

(1) (2) (3) 4x2- 6x +13 x +2 4x3 + 2x2 + x - 3 (4x2. (x+2))Æ 4x3+ 8 x2 -

- 6 x2+x (-6x . (x+2))Æ - 6 x2 - 12x - 13x – 3 (13 . (x+2))Æ 13x +26 - - 29 Hasil bagi = H(h) = 4x2- 6x +13 Sisa = P(h) = -29

Proses pengerjaan:

urutan 1 : 4x3 dibagi dengan x+2 didapat 4x2 2 : kalikan 4x2dengan x+2

didapat 4x3 +8 x2

3 : kurangi 4x3 + 2x2dengan 4x3 +8 x2 didapat - 6 x2 kemudian turunkan x sehingga menjadi - 6 x2+x

4 : bagi - 6 x2 dengan x+2 didapat - 6x 5 : kalikan - 6x dengan x +2

didapat - 6 x2 - 12x

6 : Kurangi - 6 x2+x dengan - 6 x2-12x didapat 13x kemudian turunkan -3 sehingga menjadi 13x – 3

7 : bagi 13 x dengan x + 2 didapat 13 8 : kalikan 13 dengan x+2 didapat 13x + 26

9 : Kurangi 13x – 3 dengan 13x + 26 didapat – 29

didapat hasil bagi = 4x2- 6x +13 dengan sisa = -29

2. Pembagian suku banyak dengan cara Horner

a. Pembagian suku banyak dengan x - h f(x) = 4x3

+ 2x2

+ x - 3 dibagi dengan x+2 x = -2 4 2 1 -3

-8 (+) 12 (+) -26 (+)

4 -6 13 -29

Hasil bagi =: 4x2 - 6x + 13 dengan sisa = -29 b. Pembagian suku banyak dengan ax + b

Pembagian suatu suku banyak oleh (ax + b) dinyatakan sebagai berikut :

Diketahui, h = –

a b

maka bentuk (x – h) dapat

dinyatakan sebagai :

x – h = ( x –

(-a b

) ) = ( x +

a b

)

Pembagian suku banyak f(x) oleh (x +

a b

) memberikan

hubungan berikut.

f(x) = (x +

a b

) H(h) + sisa

=

a

1

(ax + b) H(h) + sisa

= (ax + b)

a h H( )

+ sisa

Contoh :

Tentukan hasil bagi dan sisa dari 12x3 + 4x2- 27x – 9 dibagi (2x + 3)

jawab:

x = -2 3

12 4 -27 -9

-18 21 9

Jadi hasil baginya adalah

2 6 14 12x2 − x−

= 6x2 - 7x - 3 dan sisanya adalah 0

c. Pembagian suku banyak dengan ax2+ bx + c Dengan cara pembagian biasa:

contoh:

x3- x2+ 4x – 4 dibagi oleh x2 - 1 (1) (2)

x - 1

x2 - 1 x3- x2+ 4x – 4 (x . (x2-1))Æ x3 - x -

- x2 +5x (-1 . (x2

-1))Æ -x2

+ 1 - 5x – 5

(berderajat lebih kecil dari x2 - 1, maka perhitungan selesai dan ini merupakan sisa)

Hasil bagi adalah x – 1 dan sisa 5x - 5 Teorema Sisa:

Jika f(x) dibagi g(x) mempunyai hasil h(x) dan sisa s(x) ditulis :

f(x) = g(x) h(x) + s(x)

f(x) = suku banyak yang dibagi g(x)= pembagi

h(x) = hasil bagi s(x) = sisa pembagian

Jika f(x) berderajat n dan g(x) berderajat m (m ≤ n) maka derajat h(x) dan s(x) masing-masing sebagai berikut. • derajat h(x) adalah (n – m)

• derajat maksimum s(x) adalah (m – 1)

- jika h(x) = ax +b maka s(x) = konstan - jika g(x) = ax2 + bx +c maka s(x) = Ax + B

Apabila suku banyak f(x) :

- dibagi (x-a) maka sisanya adalah f (a). - dibagi (ax-b) maka sisanya adalah f(

a b

) - habis dibagi (x-a) maka f(a) = 0 Teorema Faktor:

- Jika pada suku banyak f(x) berlaku f(a)=0 , f(b) =0 dan f(c)= 0 maka f(x) habis dibagi (x-a) (x-b) (x –c)

- jika f(a) = 0 maka x-a adalah faktor dari f(x)

- jika (x-a) adalah faktor dari f(x) maka x = a adalah akar dari f(x)

Akar-akar Suku banyak

1. Jika x₁, x₂ dan x₃adalah akar-akar persamaan ax3 + bx2 + cx +d = 0 maka

x₁ + x₂ + x₃ = -

a b

x₁ x₂ + x₁ x₃ + x₂ x₃ =

a c

x₁ x₂ x₃ = -

a d

2. Jika x1, x2, x3 dan x4 adalah akar-akar persamaan

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 maka

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = -

a b

x₁ x₂ + x₁ x₃ + x₁ x₄ + x₂ x₃+ x₂ x₄+ x₃ x₄ =

a c

x1 x2 x3 + x1 x3 x4 + x1 x2 x4+ x2 x3 x4 = -

a d

x₁ x₂ x₃ x₄ =

a e

Akar-akar Rasional dari persamaan suku banyak: Persamaan suku banyak :

a_nxn + a_n−1xn−1+ a_n−2xn−2+…+ a₂x2 +a₁x + a₀=0 dapat diselesaikan dengan mencari nilai pengganti x yang

Jika f(x) adalah suku banyak maka (x-h) merupakan faktor dari f(x) jika h adalah akar dari persamaan suku banyak f(x) = 0 .

Akar-akar persamaan suku banyak f(0) dapat dicari dengan menggunakan urutan langkah-langkah sbb: 1. Menentukan akar-akar yang mungkin dari f(x) =0,

yaitu

n m

,

dimana:

m = factor bulat positif dari a₀ n = factor bulat dari a₀

2. Akar-akar yang sebenarnya harus memenuhi f (

n m

) = 0

Contoh:

f(x) = x4- 15x2 - 10x + 24 = 0 maka a_n= 1 dan a₀ = 24

m = faktor bulat positif dari a0= 24,

yaitu 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

n = faktor bulat dari a₀ yaitu , -1, 1, -2,2, -3,3, -6,6, -8,8 -12, 12, -24,24

akar yang mungkin adalah(

n m

) : 1,-1,2,-2,3,-3,4,-4, 6,-6 ,8,-8

substitusikan akar yang mungkin ke dalam persamaan apakah f(

n m

) = 0 ?

Karena soal berderajat 4 maka cari minimal 2 nilai akar terlebih dahulu:

ambil nilai x=1 :

f(1) = 1 – 15 – 10 + 24 = 0 Æ x = 1 adalah akar persamaan

ambil nilai x = 2

f(2) = 16 – 60 – 20 + 24 = -40 Æ x= 2 bukan akar ambil nilai x = -2

f(-2) = 16 - 60 + 20 + 24 = 0 Æ x = -2 adalah akar persamaan

didapat dua nilai yaitu x = 1 dan x = -2 kalikan dua nilai sbb:

(x-1)(x+2) = x2+ x - 2

Bagi persamaan dengan nilai tsb : x2-x -12

x2+x- 2 x4- 15x2- 10x + 24

x4 + x3-2x2 -

- x3 -13x 2-10x -x3

-x2

+ 2 x - -12x2-12x + 24 -12x2-12x + 24 - 0 ( sisa 0 ) sehingga hasil akhirnya didapat : f(x)= (x-1)(x+2)( x2-x -12) = 0 atau (x-1)(x+2) (x -4 ) (x +3) = 0

didapat akar-akar persamaan :