Bab 3 Limit dan Kontinuitas - Limit & Kontinuitas

(1)

Bab 3

Limit dan Kontinuitas

Definisi Limit Funssi

 Limit Kiri

) (x

f _{dikatakan mempunyai limit kiri l untuk}_x_mendekati_c_{dari kiri yang}

dinyatakan dengan _x

lim

__c

f

(

x

)



l

bila untuk 0  0 

c x c

x   

 ,  _berlaku f(x)l 

 Limit Kanan

) (x

f _{dikatakan mempunyai limit kanan g untuk}_x_mendekati_c_{dari kanan}

yang dinyatakan dengan _x _c_

f

x



g



)

(

lim

_{bila untuk}0 0

, x



 cxc berlaku f(x)g 

Bila l = s atau _x

lim

_c_

f

(

x

)

_x

lim

_c_

f

(

x

)



maka dikatakan bahwa

g l x f c

x ( )  lim

Sehingga didapat defniii :

Contoh Soal.

1. Buktikan lim₁



5 2



3



 x

x 3. Cari ₂

2 lim

2 _



 _x

x

2. Buktikan lim₁



2 1



2

 x

x 4. Cari limx3 f(x) jika

    

  

 

3 ,

0

3 ,

3 3 )

(

x x x

x x f

Bentuk Limit Khusus

1. 

 ( ) lim f x

c

x diiebut limit tak tak iebenarnya

2. _x f x L

  ( )

lim _berarti0 terdapat bilangan N poiitif iedemikian iehingga f(x)L  maka x N bagaimanapun beiarnya N.

Bilangan L diiebut limit fungii untuk mendekati iuatu harga c ditulii :

(2)

Teorema

A x f c

x ( )

lim _dan g x B

c

x ( ) lim

1. lim ( ) , konstan

ck f x k A k

x 3. limx c f(x).g(x)A.B 2. _xlim__c



f(x)g(x)



AB 4. , 0

) (

lim  

 B B

A x g

x f c x

Teorema

1. Jika _x _c f x L

 ( )

lim _maka f x L

c

x ( )  lim

2. Jika lim ( ) 0

c f x

x maka limx c f(x)0

3. _xlim_ _cln f(x)ln_xlim__c f(x)

Contoh Soal. Hitung nilai limit berikut !

1. lim₂(2 3)

 x

x 6.

5 3

4 lim

2 2

2

 



 _x

x

2.

2 2 lim

3 _



 x

x

x 7. ₃ ₄ ₃

1 3 6

lim ₂

2

 



 _x _x

x x

x

3.

12 4 lim ₂

4 _ _



 x x

x

x 8. _h

x f h x f h

) ( ) ( lim

0

 



4.

9 27

lim ₂

3

3 _



 _x

x

x jika a. f(x) x 3x

2



 , b.

1 5 )

(x  x

f

5.

h x h x

h

2 2

0

) (

lim  



9. lim ₁1

0 _

 

 x

x x

x

Limit Funssi Trisonometri dan Limit-limit Khusus

1. lim sin 1

0 

 x

x

x 4. 1

1 lim

0 



 x

ex x

2. e

x

x _ 

   

  

1 1

lim 5.



x



x e

x_   

1

0 1

lim

3. lim1 cos 0

0 



 x

x

x 6. _ln 1

1 lim

1 



 x

x

Contoh Soal.

1. _xlim_ ₀sin x 5. x

x x

x

     

  

 1

3 lim

2. ₂

0

cos 1 lim

x x

x



 6.

2

3 3

3 4 2 lim

x

x _x

x x

    

  

(3)

3.

x x

x sin

cos 1

lim 

 7. x

x x

x 1 cos

sin lim

0 _



4. x

x _x

x

x 2

1

2 2

2 3 4

lim _

  

 

8.

x x

x _sin₂ _sin

tan 2 tan lim

0 _



Kekontinuan Funssi Defniii

Fungii f (x) kontinu di xc apabila : 1. f(c) ada berhingga

2. lim_x__c f(x) ada 3. lim_x _c f(x) f(c)



Contoh. Apakah f(x) kontinu

1.

3 9 )

(

2

  

x x x

f di x3 4.

    

  



  

2 1 , 2

0 0

, )

(

2

x x

x f

2.

  



0 ,

0

0 ,

1 )

(

x x x x

f 5.

     

0 )

( _x

x x f

3.

    

  

 

3 ,

4

3 ,

3 3 )

(

x x x

x x

f 6.

    

  



0 ,

2

0 , )

(

x x x

x x x f

Teorema

Jika f dan g kontinu di c maka ,  ,  , . , g(c)0 g

f g f g f g f

kf _,_fn_,n _f ₍

0 ) (c 

f jika n genap) juga kontinu

Teorema

Jika _x _cg x L

 ( )

lim _dan_f_{kontinu di}_L_maka_lim _f₍_g₍_x₎₎ _f _lim_g₍_x₎ _f₍_L₎

c x c

x _

 

  

 

( Khuiuinya jika g kontinu di c dan f kontinu di g(c) maka f g kontinu di c)

Soal.

1. Jika _x _c f x A

 ( )

lim _dan g x B

c

x ( ) lim

Buktikan _xlim__c



f(x)g(x)



AB dan _xlim_ _c



f(x).g(x)



A.B

2. Hitung

h h

h

2 4 lim

0

  

3. Berapa nilai

x x

x

sin lim

0



4. Buktikan

    

  

0 ,

5

0 ,

1 sin )

(

x x x x x

f tidak kontinu di x=0

Teorema Apit

Andaikan f,g,h_{adalah fungii yang memenuhi} f(x)g(x)h(x),x c kecuali mungkin di c. Jika _x _c f x _x _ch x L

  ( ) lim ( )

lim _maka g x L

c

x ( )

lim _.

(4)

f kontinu pada (a,b) jika f kontinu diietiap titik (a,b). f kontinu pada

] ,

[a b jika f kontinu pada, kontinu kanan di adan kontinu kiri di b .

Teorema Nilai Rata-rata (TNR)

Jika f kontinu pada [a,b]_{dan jika}_W_{adalah bilangan antara} f(a) dan f(b)

maka terdapat iuatu bilangan c diantaraadanb iedemkian iehingga W

c

f( ) . Akibat TNA

Jika f kontinu pada [a,b]dan f(a).f(b)0maka terdapatc,acb iehingga f(c)0

Soal-Soal.

1. Tentukan nilai a dan b agar

  

 _, , ₂0

)

( ₂

x x

x b ax x

f kontinu di x = 0 tetapi

f’(0) tidak ada !

2. Apakah TNR berlaku untuk fungii f(x) x2 2x



 pada ielang [0,2]. Jika Ya tentukan c yang membuat

a b

a f b f c f

   ( ) ( )

) (

' !

3. Tentukan nilai a dan b agar

    

 

2 ,

3 2

2 , 2 )

(

2

x x

b ax x

f kontinu di R.

4. Tentukan nilai a agar 4 3

1 lim

2

 



 x

ax

x

5. Apabila x2 cosx

 kontinu pada 0x₂ maka tentukan ietidaknya iatu

bilangan yang memenuhi x2 _cosx_.

6. Apakah

9 4

1 )

(

2

 

x x x

f _{kontinu ?}

7. Kontinukah fungii dibawah ini, jika tidak di titik mana fungii tidak kontinu ?

1.

6 3 2 )

( ₂

 

x x

f 3.

1 )

( ₂

  

x x

h

2. ₂

4 1 )

(

x x

g



 _4.

5 7 2 ) (

  

u u u f

8. Selidiki kekontinuan dari fungii dibawah ini :

1. ; 1

2 1 , ln

1 0 , sin )

( 

  

 

 x

x x

x

f 

2.

x x

g( )1 , x = 2

3. , 2, (2) 3, 2

4 8 )

( ₂

3

 

  

 x f x

x x x h

4. m(x)xx, x0

Tentukan nilai limitnya!

1

x x

x ₅ ₉

7 3 lim 3 ₃ 2

  



 12. 

   

 

  

 x

x

1 1 lim

0

2.

4 5

2 lim

   

 x

x x

x 13.

x

x x

3 1 1

lim 

    

(5)

3.



x x



xlim 1 14. 

  

    

 x

e x

x sin

1 lim

0

4.

x

x x

1 4 lim

3

0



 15. 

   

  

 



 2 1

1 lim

1 x

x

5. x

x

x _x _x

x x

sin

2 2

0 ₃ ₂

3 2

lim _

  

 



16.

9 3 lim

2

3 _



 _x

x

6. _

  

   

0 2

cos 1 lim

x x

x 17.

x

x _x

x

x 4

3 2 3

5 5 3 lim

    

  

    

7. _xlim__



ln(2x1)ln(x2)



18.lim 1, 0

0 



 x a

ax x

8. 

  



 _ _ _



 x x x

xlim 4 1

2 _19.

    

  

 



 4 4

1 lim

1 x

x

9.



1 2

0

cos

lim

x

x

x

20. 

      



 x

x

xlim0

10.



x

x x

1 0 1 sin

lim 



21.



1 2

3 2 1

lim ₂

2

1 _ _

  

 _y _y

y y y

y

11 _

  

 

 x

x x

x 1

1 ln 1 lim

0 22.

3 / 1 3

2 4

8 4 lim

    

  

 

 y

y y

y

Bab 4

Derivative

Definisi

Bila y f(x) adalah fungii x dan

x y dx

dy

x _

 



lim0 atau



x x f x x f x

f

x _

   

 

) ( lim

) ( '

(6)

turunan (derivative) dari y terhadap x dan f(x) dikatakan fungii x yang dapat diturunkan (diferentiable).

Turunan Kanan dan Kiri

Turunan kanan dari y  f(x) pada xx0 didefniiikan :



x

f

x

f

x

f

x



   

)

(

lim

)

(

'

0 0

0

0 jika limitnya ada, dan

Turunan kiri dari y  f(x) pada xx0 didefniiikan :



x

f

x

f

x

f

x



   

)

(

lim

)

(

'

0 0

0

0 .

Suatu fungii y f(x)mempunyai turunan pada xx0 jhj f'(x0) f'(x0)

Differentiabelitas dalam suatu Interval

Jika iuatu fungii mempunyai derivative di ietiap titik dari iuatu interval maka

dikatakan fungii teriebut diferentiabel dalam interval. Jika y  f(x) tertentu dalam interval tertutup axb makay f(x) diferentiabel dalam interval

teriebut jhj f'(x0)ada untuk ietiap x0 padaax0b dan jika f' (x0)dan

) ( ' x0

f  keduanya ada.

Contoh ioal.

1. Dapatkan f'(2)dari f(x) x2 3x



 !

2. Dapatkan y'_dari

1 1 ) (

 

x x

f dan tunjukkan f'(1) tidak ada !

3. Jika f(x) x maka dapatkan f'_(0) f'_(0). Apakah f(x)

mempunyai turunan di x0?

Teorema

Jika u(x) dan v(x) merupakan fungii kontinu dan mempunyai turunan pertama pada domain D maka berlaku :

1.



( ) ( )



( ) ( ) u'(x) v'(x) dx

x dv dx

x du x

v x u dx

d

 



2.



( ). ( )



( ) ( ) ( ) ( ) u'(x)v(x) u(x)v'(x) dx

x dv x u x v dx

x du x

v x u dx

d

 

3.



( )



( ) ku'(x) dx

x du k x u k dx

d



 , k=konitan

4.



₍ ₎



2

) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ) (

) (

x v

x v x u x v x u x

v x u dx

d 

   

  

5. Bila y f(u) dan u g(x)maka y f



g(x)



iehingga

dx du du dy dx dy

.

 (dalil

Rantai)

6. . Bila y  f(x)mempunyai inveri _f 1(_x)_maka

dy dx dx

dy 1

(7)

Beberapa rumus turunan 1. yk y'0_,_k_{= konitan}

2. _' 1

 

xn y nxn

y

3.

a x y x y a

ln 1 '

log  



4.

x y x

yln  '1 5. y ax y_' ax _lna

  

6. _y _ex _y _ex  

 '

Funssi Trisonometri

1. ysinx y'cosx 6.

x an x ec y

x ec

ycos  'cos cot

2. ycosx y'sinx 7.

2

1 1 ' sin

x y

x arc y

   

3. y _tanx y_' _sec2 x

 

 8. ₂

1 1 '

cos

x y

x arc y

    

4. y _cotan x y_' _cos_ec2x

  

 9. ₂

1 1 ' tan

x y

x arc y

   

5. ysecx y'secxtanx 10. ₂

1 1 '

an cot

x y

x arc

y

    

Funssi Parameter

Bentuk :   

 

) (

t y y

t x x

, dengan dalil rantai dapat ditentukan turunan fungii

parameter yaitu :

dx dt dt dy dx dy

 atau

dt dx dt dy

dx dy

 dengan 0 dt dx

Funssi Implisit

Pada bentuk f(x,y)0 dapat diiajikan dengan u F(x,y)0, iehingga u merupakan fungii dari variabel x dan y dengan y fungii dari x. Diperoleh :

dy F

dx F

dx dy dx dy y F x F dx du

     

    

0

dengan

= derivatif pariial

x F



 _{= derivatif pariial ke}_x_{maka variabel}_y_{dianggap iuatu konitan}

y F

 

= derivatif pariial ke y maka variabel x dianggap iuatu konitan

Contoh Soal. Tentukan y'_!

1.



4 ₃ 2 ₁



10

 

 x x

y 8.

2

1 ,

1 1

     

  



t t y t

x

2. sin



2 4 2



 

 x x

y 9. xy10

3. _y _exlnx

(8)

4. _y _xsinx

 11. exy 4xy2 20

5. y (x4)(x5)(x6)(x7)(x8) 12. 2 2 3 2 4 0

  

 xy xy

y x

6. yln



x43x21



13. xsin yycosx0

7. 2 2, 3 2 3

   

t y t t