SYARAT KUHN TUCKER eni

Kasus 1

Sebagai syarat agar menjadi solusi optimal bagi

NLP dengan kendala pertidaksamaan :

Maks/min

s.t. ≤

.

.

.

≤

Kendala ≥ dirubah menjadi negatif dari ≤

Teorema 1

Untuk masalah maksimisasi, solusi optimal, maka titik tersebut harus

1. Memenuhi kendala – kendala

2. Terdapat , …, yang memenuhi :

- = 0 j = 1, …, n (1)

= 0 i = 1, …, m (2)

≥ 0 i = 1, …, m (3)

adalah harga bayangan bagi kendala ke – i:

- _{Jika rhs kendala ke – I : b}  _{b +}  _{maka z naik sebesar :}



- Kendala – kendala: penggunaan sumber daya

TEOREMA 1’

Untuk masalah minimisasi, solusi optimal, maka titik tersebut harus

1. Memenuhi kendala – kendala

2. Terdapat , …, yang memenuhi :

+ = 0 j = 1, …, n (1) = 0 i = 1, …, m (2)

≥ 0 i = 1, …, m (3)

adalah harga bayangan bagi kendala ke – i:

- _{Jika rhs kendala ke – I : b}  _{b +}  _{maka z turun sebesar :}



Kasus 2

Adanya kendala nonnegative untuk seluruh peubah Maks/ min

s.t. ≤ .

. . ≤ --

Teorema 2

Untuk masalah maksimisasi, solusi optimal, maka titik tersebut harus

1. Memenuhi kendala – kendala

2. Terdapat , …, , , …, yang memenuhi :

- + = 0 j = 1, …, n = 0 i = 1, …, m = 0 j = 1, …, n

≥ 0 i = 1, …, m j = 1, …, n

Theorema 2’

Untuk masalah minimisasi, solusi optimal, maka titik tersebut harus

1. Memenuhi kendala – kendala

2. Terdapat , …, , , …, yang memenuhi :

+ - = 0 j = 1, …, n = 0 i = 1, …, m = 0 j = 1, …, n

≥ 0 i = 1, …, m j = 1, …, n

Penjelasan Untuk kasus maksimisasi syarat (1)

Pada saat kita gunakan unit resource i dan bi unit sumber

daya tersedia.

Jika kita tingkatkan sebesar  (yang kecil), maka

 nilai dari fungsi objective meningkat sebesar   Nilai kendala ke – i berubah menjadi

+ atau

Atau rhs meningkatkan sebesar shg perubahan pada z adalah

 total perubahan z karena peningkatan peningkatan x_j

sebesar  adalah 

_{Jika term dalam kurung lebih dari 0, kita dapat}

meningkatkan f dengan memilih  > 0

• _{Sebaliknya, jika term tersebut kurang dari 0, kita dapat}

meningkatkan f dengan memilih  < 0.

Penjelasan syarat (2)

Syarat 2 merupakan generalisasi dari kondisi

complementary of slackness untuk Pemrograman Linier. Syarat (2) berimplikasi bahwa

Jika _i > 0 maka ( kendala ke –i binding) Jika maka = 0

Penjelasan syarat (3)

Jika untuk  > 0 kita tingkatkan rhs kendala ke I dari b_i ke b_i + , maka nilai fungsi tujuan optimal akan meningkat

atau tetap sehingga ≥ 0

Pengertian



_i = nilai resources yang digunakan untuk membuat sebuah barang – harga jual barang tersebut

Sehingga jika _i > 0, perusahaan rugi sehingga lebih baik tidak produksi atau x_i = 0

Sedangkan jika x_i > 0 untuk solusi optimal maka _i =0, Setiap variabel x_i sebagai basic variabel , marginal

Theorema 3.

Misalkan kasus 1 adalah masalah maksimisasi.

Jika adalah fungsi konkaf dan ,…, adalah fungsi konveks, maka setiap titik yang memenuhi hipotesis pada theorema 1 adalah solusi optimal untuk kasus 1. Jika kasus 2 adalah masalah maksimisasi, adalah fungsi konkaf dan ,…,

adalah fungsi konveks, maka setiap titik yang memenuhi hipotesis pada theorema 2 adalah soludi optimal

Theorema 3’

Misalkan kasus 1 adalah masalah minimisasi

Jika adalah fungsi konveks dan ,…, adalah fungsi

konveks, maka setiap titik yang memenuhi hipotesis pada Theorema 1’ adalah solusi optimal untuk kasus 1. Jika

kasus 2 adalah masalah minimisasi, adalah fungsi konveks dan ,…, adalah fungsi konveks, maka setiap titik yang

memenuhi hipotesis pada Theorema 2’ adalah solusi optimal

Contoh

Selesaikan masalah optimisasi berikut

s.t

Gunakan syarat berikut

- = 0 j = 1, …, n (1) = 0 i = 1, …, m (2)

≥ 0 i = 1, …, m (3)

Kemudian kombinasikan nilai _i > atau = 0 dan carilah solusi yang tidak melanggar semua syarat

Soal - soal

Gunakan syarat KT untuk menemukan solusi optimal dari permasalahan berikut:

s.t

s.t 2x₁ + x₂ ≤ 100 x₁ + x₂ ≤ 80

x₁ ≤ 40 x₁ , x₂ ≥ 0