METODE NUMERIK ROSENBERG

METODE NUMERIK ROSENBERG

Mata Kuliah : Metode Numerik

Dosen Pengampu : Rukmono Budi Utomo, M.Sc

Disusun Oleh : Rizka Apriyanti

6 A1 1384202080

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH TANGERANG Jl. Perintis kemerdekaan I/33 Cikokol, Tangerang

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat dan karunia yang telah diberikan-Nya, sehingga saya dapat menyelesaikan Makalah Metode Numerik ini dengan baik. Makalah ini saya sajikan dalam bentuk yang sederhana.

Makalah ini dibuat untuk memenuhi tugas UAS mata kuliah Metode Numerik di Universitas Muhammadiyah Tangerang. Selain itu saya juga berharap makalah ini mampu memberikan kontribusi dalam menunjang pengetahuan para mahasis-wa dan pihak lain pada umumnya.

Saya menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh ka-rena itu saran dan kritik yang membangun sangat saya harapkan demi kesempur-naan di masa yang akan datang.

Tangerang, 07 Juni 2016

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ... 2 DAFTAR ISI ... 3 BAB I. PENDAHULUAN ... 4 A. Latar Belakang ... 4 B. Rumusan Masalah ... 4 C. Tujuan ... 4 D. Manfaat ... 5

BAB II. PEMBAHASAN ... 6

A. Pengertian Metode Numerik ... 6

B. Pengertian Metode Numerik Roosenberg ... 7

C. Algoritma Metode Numerik Roosenberg ... 7

D. Contoh Penyelesaian Soal dengan Metode Numerik Roosenberg ... 8

E. Contoh Pembuktian dengan Metode Analitik ... 12

BAB III. PENUTUP ... 13

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Metode Numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk memformulasik-an masalah matematis agar dapat dipecahkmemformulasik-an dengmemformulasik-an operasi perhitungmemformulasik-an biasa (tambah, kurang, kali dan bagi). Metode numerik adalah teknik -teknik yang digunakan untuk merumuskan masalah matematika agar dapat diselesaikan han ya dengan operasi hitungan, yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi (Susila, 1994 ; Ibraheem dan Hisyam, 2003). Terdapat banyak jenis me-tode numerik, namun pada dasarnya, masing -masing meme-tode tersebut memiliki karakteristik umum, yaitu selalu mencakup sejumlah kalkulasi aritmetika. Jadi metode numerik adalah suatu teknik untuk memformulasikan masalah matemati-ka sehingga dapat diselesaimatemati-kan dengan operasi aritmetimatemati-ka yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi (Rochmad, 2011). Metode numerik terbagi kepada beberapa macam metode dan salah satunnya adalah metode yang akan kita bahas dalam makalah ini yaitu Metode Numerik Roosenberg.

Alasan penggunaan metode numerik ini karena tidak semua permasalahan ma-tematis atau perhitungan mama-tematis dapat diselesaikan dengan mudah. bahkan dalam prinsip matematika, suatu persoalan matematika yang paling pertama di-lihat adalah apakah persoalan itu memiliki penyelesaian atau tidak. Jadi, jika suatu persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin digunakan dengan meto-dematematis (analitik) maka kita dapat menggunakan metode numerik sebagai alternative penyelesaian persoalan tersebut.

B. Rumusan Masalah

a. Apa pengertian dari Metode Numerik ?

b. Apa pengertian dari Metode Numerik Roosenberg ?

c. Bagaimanakah Algoritma dari Metode Numerik Roosenberg ?

d. Bagaimana Contoh Soal dan Penyelesaiannya dengan menggunakan Metode Numerik Roosenberg ?

e. Bagaimanakah pembuktian dengan cara analitik ? C. Tujuan

a. Untuk mengetahui Pengertian dari Metode Numerik

c. Untuk mengetahui Algoritma dari Metode Numerik Roosenberg

d. Untuk mengetahui Contoh Soal dan Penyelesaiannya dengan menggunakan Metode Numerik Roosenberg ?

e. Untuk mengetahui contoh pembuktian dengan cara analitik D. Tujuan dan Manfaat

Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah untuk memenuhi tugas UAS mata kuliah Metode Numerik di semester 6, serta berbagi pengetahuan ke maha-siswa lainnya mengenai materi yang akan dibahas yaitu Metode Numerik Roose-nberg. Manfaat yang dapat di petik dari tujuan tersebut yaitu diharapkan dapat menambah wawasan sebagai bekal menjadi seorang pendidik bagi pembaca dan khususnya untuk mahasiswa-mahasiswi Universitas Muhammadiyah Tangerang.

BAB II PEMBAHASAN

A. Pengertian Metode Numerik

Menurut bahasa, Metode adalah cara yang sistematis untuk menyelesaikan persoalan guna mencapai tujuan yang ditentukan. Sedangkan, Numerik adalah yang berhubungan dengan angka. Jadi, Metode Numerik adalah teknik atau ca-ra sistematis untuk menyelesaikan persoalan matematika dengan opeca-rasi angka. Metode Numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk memformulasikan masalah matematis agar dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan biasa se-perti tambah, kurang, kali dan bagi. Metode artinya cara, sedangkan numerik artinya angka. Jadi, Metode Numerik secara harfiah berarti cara berhitung de-ngan menggunakan angka-angka.

Beberapa definisi metode numerik dikemukakan oleh ahli matematika, dianta-ranya : Metode Numerik adalah teknik dimana masalah matematika diformula-sikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmetika (Chapra dan Chanale, 1991). Menurut Susila (1994) ; Ibraheem dan Hisyam (2003) Metode numerik adalah teknik -teknik yang digunakan untuk merumusk-an masalah matematika agar dapat diselesaikmerumusk-an hmerumusk-an ya dengmerumusk-an operasi hitungmerumusk-an, yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi. Terdapat banyak jenis metode numerik, namun pada dasarnya, masing -masing metode tersebut memili-ki karakteristik umum, yaitu selalu mencakup sejumlah kalkulasi aritmetika. Jadi metode numerik adalah suatu teknik untuk memformulasikan masalah matemati-ka sehingga dapat diselesaimatemati-kan dengan operasi aritmetimatemati-ka yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi (Rochmad, 2011).

a. Prinsip-Prinsip Metode Numerik :

• Metode Numerik merupaan pendekatan untuk mendapatkan pemecahan masalah yang dapat dipertanggung jawabkan secara analitik.

• Pendekatannya merupakan analisis matematis.

• Metode Numerik terdiri atas algoritma-algoritma yang dapat dihitung se-cara cepat dan mudah.

• Karena berasal dari algoritma pendekatan, maka Metode Numerik ini akan memakai iterasi (pengulangan).

• Nilai kesalahan merupakan hal paling utama untuk mengetahui seberapa baik metode yang digunakan.

b. Penggunaan Metode Numerik :

Penggunaan metode numerik biasanya digunakan untuk menyelesaikan per-soalan matematis yang penyelesaiannya sulit didapatkan dengan menggunakan metode analitik, yaitu :

a. Menyelesaikan persamaan non linear b. Menyelesaikan persamaan simultan c. Menyelesaikan differensial dan integral d. Menyelesaikan persamaan differensial e. Interpolasi dan Regresi

f. Masalah multivariabel untuk menentukan nilai optimal yang tak bersyarat B. Pengertian Metode Numerik Rosenberg

Metode Numerik Roosenberg diusulkan oleh Rosenbrock pada tahun 1960. Ia menekan sejumlah kesamaan dengan pencarian garis dan juga mencari beberapa arah tegak lurus dalam ruang. Metode numerik Rosenberg ini merupakan salah satu metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah opti-misasi, yakni menentukan nilai ¯x1 = {x1, x2} ∈ R2 yang meminimumkan atau

memaksimumkan fungsi Z = f (¯x).

Metode untuk menyelesaikan masalah optimisasi ini juga dapat menggunakan metode Aksial, Steepest Descant, Hooke and Jeeves, Arah Konjugasi atau Newton 2. Namun, tentu saja setiap metode numerik masing-masing memiliki algoritma yang berbeda dengan kecepatan tingkat efektifitas pencarian yang berbeda serta tingkat kesalahan yang berbeda pula.

Dalam metode numerik Rosenberg ini kita dapat menggunakan direction 1 dan direction 2 yang sama dengan metode numerik lainnya. Akan tetapi, untuk direction ke-3 dan seterusnya kita tidak kembali ke direction 1 melainkan perlu dicari dengan menggunakan rumus d3 seperti yang akan dipaparkan pada point

berikut.

C. Algoritma Metode Numerik Roosenberg

Algoritma Metode Numerik Roosenberg adalah sebagai berikut :

memini-mumkan atau memaksimemini-mumkan nilai Z = f (x1,x2) tersebut

2. Tentukan sebarang titik awal ¯x1 = {x1, x2} ∈ R2 (yang mengapit nilai

(x1, x2) yang sebenarnya)

3. Tentukan ε > 0 suatu konstanta positif yang menunjukkan kesalahan yang ditoleransi

4. Tentukan arah pencarian direction d1 = (1, 0) dan d2 = (0, 1)

5. Menentukan λk dengan cara λk = min Z ( ¯xk+ λkdk)

6. Menentukan ¯xk+1 dengan cara ¯xk+1 = ¯xk+ λkdk

7. Menentukan d3 dengan rumus d2k+1= _kbbk_kk, dengan bk = λkdk+ λk+1dk+1

8. Iterasi berhenti ketika k ¯xk− ¯xk+1 k< ε

9. Lakukan pengecekan dengan cara analitik atau dengan cara menentukan turunan pertama dari tiap variabel dan disamadengankan nol untuk mempe-roleh titik kritisnya

D. Contoh Penyelesaian Soal dengan Metode Numerik Roosenberg Soal :

Diberikan fungsi Z = f (x1, x2) = x21 − 3x1 + 2x22 − 8x2 dengan ε = 0, 1 dan

¯

x1 = {1, 3}. Tentukan nilai ¯x1 = {x1, x2} yang meminimumkan fungsi tersebut!

Penyelesaian : Diketahui : Z = f (x1, x2) = x21− 3x1+ 2x22 − 8x2 ε = 0, 1 ¯ x1 = {1, 3} d1 = 1, 0 d2 = 0, 1 d3 = _kbb1_1k • ITERASI 1 : λ1 = min Z(¯x1 + λ1 d1) λ1 = min Z((1, 3) + λ1 (1, 0)) λ1 = min Z((1, 3) + (λ1,0)) λ1 = min Z (1 + λ1,3) Z(x1, x2) = x21− 3x1+ 2x22− 8x2 Z(1 + λ1, 3) = (1 + λ1)2− 3(1 + λ1) + 2(3)2− 8(3) Z(1 + λ1, 3) = 12+ 2λ1 + λ21 − 3 − 3λ1+ 18 − 24 Z(1 + λ1, 3) = λ21− λ1 − 8

Z0 = 0 2λ1− 1 = 0 2λ1 = 1 λ1 = 1₂ mencari ¯x2 : ¯ x2 = ¯x1+ λ1d1 ¯ x2 = (1, 3) + 1₂(1, 0) ¯ x2 = (1, 3) + (1₂, 0) ¯ x2 = (3₂, 3) Pengecekan: k ¯xk− ¯xk−1 k< ε k (3 2, 3) − (1, 3) k< ε q (3₂ − 1)2_{+ (3 − 3)}2 q 1 4 = 1 2 = 0, 5 > ε

Karena k ¯xk - ¯xk−1k > ε maka iterasi dilanjutkan

• ITERASI 2 : λ2 = min Z(¯x2 + λ2 d2) λ2 = min Z((3₂, 3) + λ2 (0, 1)) λ2 = min Z((3₂, 3) + (0, λ2)) λ2 = min Z (3₂, 3 + λ2) Z(x1, x2) = x21− 3x1+ 2x22− 8x2 Z(3₂, 3 + λ2) = (3₂)2− 3(3₂) + 2(3 + λ2)2− 8(3 + λ2) Z(3₂, 3 + λ2) = 9₄ − 9₂ + 18 + 12λ2+ 2λ22− 24 − 8λ2 Z(3₂, 3 + λ2) = 2λ22+ 4λ2− 33₄ Z0 = 0 4λ2+ 4 = 0 4λ2 = −4 λ2 = −1 mencari ¯x :

¯ x3 = ¯x2+ λ2d2 ¯ x3 = (3₂, 3) + (−1)(0, 1) ¯ x3 = (3₂, 3) + (0, −1) ¯ x3 = (3₂, 2) Pengecekan: k ¯xk− ¯xk−1 k< ε k (3 2, 2) − ( 3 2, 3) k< ε q (3₂ −3 2)2+ (2 − 3)2 √ 1 = 1 > ε

Karena k ¯xk - ¯xk−1k > ε maka iterasi dilanjutkan

• ITERASI 3 : mencari d3 : d3 = _kbb1 1k menentukan b1 : b1 = λ1d1+ λ2d2 b1 = 1₂(1, 0) + (−1)(0, 1) b1 = (1₂, 0) + (0, −1) b1 = (1₂, −1) menentukan k b1 k : k b1 k = √ a2_{+ b}2 k b1 k = q 1 2 2 + −12 k b1 k = q 1 4 + 1 k b1 k = q 5 4 k b1 k = √ 5 2 Maka, d3 = _kbb1_1k = (1₂,−1) √ 5 2 =(1₂x√2 5, −1x 2 √ 5) = ( 1 √ 5, − 2 √ 5) λ3 = min Z(¯x3 + λ3 d3) λ2 = min Z((3₂, 2) + λ2 (√1₅, −√2₅) λ2 = min Z((3₂, 2) + (√1₅λ3, −√2₅λ3))

λ2 = min Z (3₂ +√1₅λ3, 2 − √2₅λ3) Z(x1, x2) = x21− 3x1+ 2x22− 8x2 Z(3₂+√1 5λ3, 2− 2 √ 5λ3) = ( 3 2+ 1 √ 5λ3) 2₋₃₍3 2+ 1 √ 5λ3)+2(2− 2 √ 5λ3) 2_−8(2−√2 5λ3) Z(3₂+√1 5λ3, 2 − 2 √ 5λ3) = 9 4+ 3√5 5 λ3+ 1 5λ 2 3− 9 2 − 3√5 5 λ3+ 8 − 16√5 5 λ3+ 8 5λ 2 3− 16 + 16 √ 5 5 λ3 Z(3₂ +√1 5λ3, 2 − 2 √ 5λ3) = 9 5λ 2 3− 41 4 Z0 = 0 18 5λ3 = 0 λ3 = 0 mencari ¯x4 : ¯ x4 = ¯x3+ λ3d3 ¯ x4 = (3₂, 2) + (0)(√1₅, −√2₅) ¯ x4 = (3₂, 2) Pengecekan: k ¯xk− ¯xk−1 k< ε k (3 2, 2) − ( 3 2, 2) k< ε q (3 2 − 3 2) 2_{+ (2 − 2)}2 √ 0 = 0 < ε

Karena k ¯xk - ¯xk−1k < ε maka iterasi berhenti

• TABEL ITERASI :

Dari perhitungan diatas, maka diperoleh tabel iterasi sebagai berikut : Iterasi x¯k dj λj x¯j+1 k ¯xk− ¯xk−1k< ε I 1,3 1,0 1₂ (3₂, 3) 0, 5 > ε II (3₂, 3) 0,1 -1 (3₂, 2) 1 > ε III (3 2, 2) ( 1 √ 5, − 2 √ 5) 0 ( 3 3, 2) 0 < ε

Jadi diperoleh nilai ¯x1 = {x1, x2} yang meminimumkan fungsi tersebut

E. Contoh Pembuktian dengan Metode Analitik Soal :

Diberikan fungsi Z = f (x1, x2) = x21 − 3x1 + 2x22 − 8x2 dengan ε = 0, 1 dan

¯

x1 = {1, 3}. Tentukan nilai ¯x1 = {x1, x2} yang meminimumkan fungsi tersebut!

Penyelesaian :

Z = f (x1, x2) = x21− 3x1+ 2x22− 8x2

• Menentukan turunan x1 dan x2 : ∂f

∂x1 = 2x1 - 3

∂f

∂x2 = 4x2 - 8

• Mencari titik kritisnya :

∂f ∂x1 = 0 2x1− 3 = 0 2x1 = 3 x1 = 3₂ ∂f ∂x2 = 0 4x2− 8 = 0 4x2 = 8 x2 = 2 • Pengecekan : ∂2_f ∂x2 1 = 2 ∂2_f ∂x2 2 = 4 ∂2_f ∂x1∂x2 = 0 Maka (∂_∂x2f2 1) ( ∂2_f ∂x2 2) - ( ∂2_f ∂x1∂x2) 2 _{= 2(4) - 0}2 _{= 8 > 0}

BAB III PENUTUP A. Kesimpulan

Metode numerik Rosenberg dapat mengatasi berbagai kelemahan-kelemahan pada metode yang ada sebelumnya. Dapat dipahami pula bahwa pada umumnya permasalahan dalam sains dan teknologi digambarkan dalam persamaan matema-tika. Persamaan ini sulit diselesaikan dengan metode analitik sehingga diperlukan penyelesaian pendekatan numerik. Dengan metode numerik Rosenberg, kita da-pat menyelesaikan permasalahan optimasi yang menggunakan n variabel bebas. Namun contoh dimakalah ini dibatasi hanya sampai 2 variabel.

Metode numerik Rosenberg ini memiliki beberapa kesamaan dengan metode-metode numerik lainnya seperti Metode numerik Aksial, Dichotomus, Secant, Ho-oke and Jeeves, Steepest Descant dan Arah Konjugasi yaitu dapat digunakan un-tuk menyelesaikan permasalahan optimasi yang menggunakan n variabel bebas. Metode ini hampir sama dengan Metode numerik Hooke and Jeeves. Hanya saja bedanya, dalam metode ini direction ketiganya dan seterusnya memiliki rumus sendiri.

DAFTAR PUSTAKA http://fkip-umt.ac.id/downloads http://viet5pusvitasarry.blogspot.ae/2012/12/definisi-prinsip-dan-pemakaian-or.html https://fairuzelsaid.wordpress.com/2010/10/13/metode-numerik-01-pengantar-metode-numerik http://dewamahardika.blogspot.ae/2012/11/pengertian-dan-prinsip-metode-numerik.html