SUB POKOK BAHASAN
Pengertian Usaha
Usaha oleh gaya dalam berbagai
lintasan
Daya
Teorema Usaha Energi
Sasaran Pembelajaran
Mahasiswa mampu menghitung usaha
oleh berbagai gaya melalui berbagai
lintasan.
Mahasiswa
mampu
mencari
kecepatan
sebuah
sistem
menggunakan
Hukum
Kekekalan
Energi Mekanik maupun Teorema
Usaha Energi.
USAHA DAN ENERGI
Usaha dalam pengertian di Fisika sebanding dengan gaya dan perpindahan
Usaha yang dilakukan makin besar jika gaya yang bekerja pada benda juga besar
Jika gaya yang bekerja pada benda besar namun benda belum bergerak maka tidak ada usaha
Energi didefinisikan sebagai kemampuan untuk melakukan usaha
Beberapa contoh energi
Energi yang dimiliki oleh benda yang bergerak dinamakan energi kinetik
Energi yang ada karena letak atau konfigurasi sistem dinamakan energi potensial
Usaha
Usaha disimbolkan dengan lambang W memiliki satuan sional Joule [J]
Jika gaya (F) konstan dan berimpit dengan perpindahan (
r)
benda makaWAB= F(r)
Jika gaya (F) konstan dan tidak berimpit dengan perpindahan (
r)
benda maka
cos
)
(
.
r
F
r
F
W
Secara umum jika gaya tidak konstan dan/atau lintasan tidak membentuk garis lurus maka
. .
B
A
AB F dr
W
F
A B
F
A B
F
A
Contoh
Gaya bekerja pada sebuah partikel. Dengan gaya tersebut partikel berpindah dari titik A(0,0) ke titik B(2,4). Hitung usaha yang dilakukan gaya tersebut jika lintasan partikel a
dalah
yi xj
N F ˆ 2 ˆa. Garis patah ACB
b. Garis patah ADB
c. Garis lurus AB
d. Garis parabola
x(m) y(m)
A
B
C D
Usaha yang dilakukan gaya tsb dari A ke B adalah
y
i
x
j
i
dx
j
dy
W
B
A
AB
ˆ
2
ˆ
.
ˆ
ˆ
ydx
xdy
W
B
A
a. Melalui lintasan ACB
Untuk lintasan AC hanya koordinat x yang berubah sementara
y tetap, yaitu y=0 (dy=0), Sedangkan untuk lintasan CB koordinat x tetap, yaitu x=2 (dx=0) dan koordinat y berubah.
b. Melalui lintasan ADB
Untuk lintasan AD hanya koordinat y yang berubah sementara
x tetap, yaitu x=0 (dx=0), Sedangkan untuk lintasan DB koordinat y tetap, yaitu y=4 (dy=0) dan koordinat x berubah.
c. Melalui lintasan garis lurus AB
Persamaan garis lurus AB adalah
dx
Usaha yang dilakukan melalui garis lurus AB adalah
Ganti variabel y dan dy sesuai dengan persamaan garis AB sehingga
c. Melalui lintasan garis parabola AB
Persamaan garis parabola AB adalah
xdx
Usaha yang dilakukan melalui garis lurus AB adalah
ydx xdy
ydx xdy
Ganti variabel y dan dy sesuai dengan persamaan garis para-bola AB sehingga
Usaha Gaya Konservatif dan Non Konservatif
Gaya Konservatif (Fk) adalah gaya yang usahanya tidakgantung pada lintasan tempuh
Gaya Non Konservatif (Fnk) adalah gaya yang usahanya
gantung pada lintasan tempuh
Gaya pada contoh di atas termasuk gaya non konservatif karena usaha yang dilakukan gaya ini dari A ke B melalui tiap lintasan berbeda-beda nilainya
yi xj
N F ˆ 2 ˆ Untuk Gaya Non Konservatif (Fnk), usaha yang dilakukan gaya ini pada suatu lintasan tertutup tidak nol,
Usaha Gaya Konservatif dan Non Konservatif (2)
Gaya gesekan juga termasuk gaya non konservatif karena gaya gesekan adalah gaya disipasif yang usahanya selalu negatif (gaya gesekan arahnya selalu melawan perpindahan) sehingga usaha yang dilakukan gaya gesekan pada suatu lintasan tertutup tidak akan pernah nol
Contoh gaya konservatif adalah gaya gravitasi, gaya pegas, dan gaya Listrik. Ketiga gaya ini usahanya tidak bergantung lintasan.
Gaya adalah contoh lain gaya konservatif, karena gaya ini tidak bergantung pada lintasan tempuh. Coba kita masukkan gaya ini pada contoh sebelumnya.
Daya
Daya menyatakan seberapa cepat usaha berubah terhadap waktu atau didefinisikan sebagai laju usaha yang dilakukan per detik
Contoh :
Daya disimbolkan dengan P memiliki satuan Joule/detik atau
Watt
v F dt
r d F dt
dW
P
. .
dengan F adalah gaya yang bekerja dan v adalah kecepatan benda
Energi Kinetik
Energi kinetik adalah energi yang dimiliki oleh setiap benda yang bergerak
Energi kinetik sebanding dengan massa benda dan sebanding juga dengan kuadrat laju benda
Jika suatu gaya F bekerja pada benda bermassa m maka usaha yang dilakukan gaya tsb dari A ke B adalah
Ingat Hk. Newton F=ma
A
Contoh
Sebuah benda bermassa 2 kg dilepaskan dari ketinggian 5 m. Berapa usaha yang dilakukan gaya gravitasi dan berapa laju benda setelah sampai di tanah?
B A
mg h
Usaha gaya gravitasi
B
A grav
AB
W
mgdy
mgh
J
W
100
Mencari kecepatan di tanah (B)
2 2
1 1
2 2
2 1
2
10 /
AB B A
B
B
W
mv
mv
mgh
mv
v
m s
Pembahasan Usaha dari Grafik
Jika gaya yang bekerja pada benda adalah satu dimensi, dan gaya tersebut dinyatakan dalam bentuk kurva atau grafik maka usaha adalah luas daerah di bawah kurva
x F(x)
A B
B
A
AB F x dx
W ( )
= luas daerah arsir
Contoh
Gaya yang bekerja pada benda 2kg digambarkan dalam grafik di samping. Jika kecepatan awal benda 2 m/s,
berapa kecepatannya di x = 6 m?
F(N)
X(m)
2 4 6
Usaha = luas daerah di bawah kurva m
WAB 8168 32
Usaha = perubahan energi kinetik
s
Balok 2 kg meluncur ke kanan dengan laju 10 m/s pada lantai kasar dengan μk seperti grafik di samping
x(m) μk
4 10
0,5
Tentukan :
Usaha yang dilakukan oleh gaya gesekan dari x=0 sampai x=10 m
Besar gaya gesekan adalah
Usaha yang dilakukan gaya gesekan adalah
J
Usaha=perubahan energi kinetik
2
(tanda minus pada usaha yang dilakukan gaya gesekan disebabkan Karena gaya gesekan berlawanan arah dengan perpindahan balok)
Energi Potensial
Jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya konservatif maka usaha yang dilakukan gaya ini tidak bergantung pada lintasan tempuh, usahanya hanya bergantung pada titik awal dan titik akhir saja (usahanya hanya bergantung pada posisi) Oleh karena itu dapat didefinisikan besaran U yang merupakan fungsi dari posisi
( )
) (
.dr U B U A F
W
B
A k
AB
dengan U(B) adalah energi potensial di titik B dan U(A) adalah energi potensial di titik A
Energi Potensial (2)
Misalnya dalam kasus di atas diambil titik A sebagai acuan, di mana U(A)=0 maka
( )
( ) )(
.dr U B U A U B F
W
B
Acuan k
AB
Dengan kata lain, untuk sembarang posisi r, energi potensial di posisi r tersebut adalah
r
Acuan
k
d
r
F
r
U
(
)
.
Jadi energi potensial di titik r adalah usaha untuk melawan gaya Konservatif yang bekerja pada benda agar benda berpindah dari
Contoh
Energi potensial benda bermassa m yang terletak pada gian h :
Titik acuan diambil di permukaan h=0 dengan energi potensial sama dengan nol
Energi potensial benda bermassa m yang terletak pada sistem pegas yang teregang sejauh x :
Hukum Kekal Energi Mekanik
Jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya konservatif maka usaha yang dilakukan gaya ini dari A ke B adalah
Di sisi lain semua usaha yang dilakukan suatu gaya dari A ke B sama dengan perubahan energi kinetik
A
Dari dua pernyataan di atas dapatdisimpulkan jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya konservatif maka
Hukum Kekal Energi Mekanik (2)
Pernyataan di atas dikenal dengan Hukum Kekal Energi Mekanik, yang arti fisisnya adalah bahwa energi mekanik total di titik B sama dengan energi mekanik total di titik A
)
(
)
(
B
Ek
U
B
U
Ek
B
A
Energi mekanik total di suatu titik adalah jumlah semua energi potensial pada benda tersebut ditambah energi kinetiknya
)
(
r
U
Ek
E
Jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya gravitasi maka hukum kekal energi menjadi
A A
B
B
mgh
mv
mgh
mv
2
21 2
2 1
Contoh 1
Balok 2 kg meluncur pada bidang miring dari titik A tanpa kecepatan awal menuju titik B. Jika bidang miring 37o licin dan jarak AB
adalah 5 m, tentukan :
Usaha yang dilakukan gaya gravitasi dari A ke B
Kecepatan balok di B
A
B
37o mg
N
mgsin37
x
hA
Usaha yang dilakukan gaya gravitasi adalah
B
A B
A
grav
grav F dr mg dx mg AB J
Pada balok hanya bekerja gaya gravitasi yang termasuk gaya Konservatif sehingga untuk persoalan di atas berlaku Hukum Kekal Energi
A A
B
B
mgh
mv
mgh
mv
2
12 2
21
,
)
10
(
2
0
0
)
2
(
22 1
A
B
h
v
hA (AB)sin37 3ms m
vB 60 /
Menentukan kecepatan balok di titik B dapat pula dicari dengan
Contoh 2
Balok m=2 kg bergerak ke kanan dengan laju 4 m/s kemudian me-nabrak pegas dengan konstanta pegas k.
m
A B C
Jika jarak AB=2m, BC=0,5m dan titik C adalah titik pegas tertekan maksimum, tentukan
kecepatan balok saat menabrak pegas di B
konstanta pegas k
Penyelesaian :
Gunakan hukum kekal energi untuk titik A sampai B
) ( )
( 2
2 1 2
2
1 mv U B mv U A
A B
Contoh 3
Benda bermassa m diputar dengan tali sehingga membentuk lintasan lingkaran vertikal berjejari R
berapa kecepatan awal minimum di titik A agar m dapat mencapai ¼ lingkaran (titik B)
berapa kecepatan awal minimum di titik A agar m dapat mencapai satu putaran penuh
Tinjau benda m di titik B, gaya yang bekerja pada m adalah mg dan T Usaha yang dilakukan T adalah nol karena tegak lurus perpindahan Penyelesaian
A
B C
R
mg T
Gunakan hukum kekal energi di titik A dan B
A A
B
B mgh mv mgh
mv2 21 2 2
1
0 0 21 2
A mv
A
B C
R mgT
Agar m dapat mencapai satu putaran penuh maka saat m mencapai titik C semua komponen gaya pada m yang berarah ke pusat lingkaran harus bertindak sebagai gaya sentripetal, shg
gR
Gunakan Hukum kekal energi di titik A dan C
Hukum Kekal Energi dalam gaya non konservatif
Jika gaya yang bekerja pada benda adalah gaya konservatif dan gaya non konservatif maka gaya total
nk
k
F
F
F
Usaha yang dilakukan gaya total ini dari A ke B adalah
nk Ruas kiri WAB adalah sama dengan perubahan energi kinetik, sehingga
nk A
B
U
B
Ek
U
A
W
Ek
(
)
(
)
Contoh 1
Balok 2 kg meluncur pada bidang miring dari titik A tanpa kecepa-tan awal menuju titik B. Jika bidang miring 37o kasar dengan μ
k=1/2 dan jarak AB adalah 5 m, tentukan :
Usaha yang dilakukan gaya gesekan dari A ke B
Kecepatan balok di B
A
B
37o mg
N
mgsin37
x
hA
fk
Usaha yang dilakukan gaya gesekan adalah
B
A k B
A ges
ges F dr m mg dx J
W . cos37 (1/2)(2)(10)(0,6)(5) 30
Gaya gesekan adalah gaya non konservatif sehingga dalam per-soalan di atas terdapat Wnk
Selain gesekan, pada balok hanya bekerja gaya gravitasi yang
termasuk gaya Konservatif sehingga untuk persoalan di atas berlaku Hukum Kekal Energi dalam gaya konservatif dan non konservatif
J
W
W
nk
ges
30
nk A
A B
B mgh mv mgh W
mv 2
2 1 2
2 1
, 30 )
10 ( 2 0 0 )
2 ( 2 2
1
A
B h
v hA (AB)sin37 3m
Contoh 2
B
A 37o
F
Balok 0,1 kg didorong pada bidang miring dengan gaya horisontal F=1 N di titik A tanpa kecepatan awal. Jika bidang miring 37o kasar dengan μ
k=1/2 dan jarak AB adalah 5 m, tentukan :
Usaha yang dilakukan gaya gravitasi sepanjang AB
Usaha yang dilakukan gaya gesekan sepanjang AB
Usaha yang dilakukan gaya F sepanjang AB
Kecepatan balok di titik B
Penyelesaian
Usaha yang dilakukan gaya gravitasi sepanjang AB
B
A B
A
grav
Usaha yang dilakukan gaya gesekan sepanjang AB
Usaha yang dilakukan gaya F sepanjang AB
Kecepatan di titik B dapat dicari dengan menggunakan konsep usaha total = perubahan energi kinetik
1. Balok dengan massa 20 kg didorong sepanjang permukaan
mendatar tanpa gesekan dengan gaya F yang membentuk sudut dengan permukaan. Selama gerakannya gaya bertambah kuti hubungan F=6x, dengan F dalam Newton dan x dalam meter. Sudut pun berubah menurut cos = 0,7 0,02x. Berapa kerja yang dilakukan oleh gaya bila balok bergerak dari x = 10 m sampai x = 20 m.
2. Benda seberat 20 N didorong ke atas bidang miring yang nya 30 cm (kemiringan 30o), tanpa gesekan dengan gaya horizontal F. Bila laju di dasar adalah 6 cm/s dan di puncak adalah 30 cm/s, a. berapa usaha yang dilakukan F
b. Berapa besar gaya F
c. Bila bidang adalah kasar dengan k=0,15, berapa jarak
simum yang dapat ditempuh benda.
Sebuah benda diputar dengan tali sehingga membentuk lintasan lingkaran vertikal dengan jarijari R.
a. Tentukan kecepatan minimum di titik A agar dapat menempuh ¼ lingkaran (titik B)
b.Tentukan kecepatan minimum di titik A agar benda dapat mencapai satu lingkaran penuh.
A
B C
3.
A
B F
Sebuah benda 0,1 kg ada di atas bidang miring dengan sudut kemiringan 37o.
Pada benda ini bekerja gaya F=1 N
mendatar. Mulamula benda diam di A
kemudian bergerak ke B, panjang AB=5 m. Jika koefisien gesekan kinetis bidang
SUB POKOK BAHASAN
DEFINISI MOMENTUM LINIER
PERUBAHAN MOMENTUM
PUSAT MASSA DAN SISTEM
PARTIKEL
SASARAN PEMBELAJARAN
MAHASISWA MAMPU MENCARI PUSAT
MASSA SEBUAH SISTEM
MAHASISWA
MAMPU
MENCARI
KECEPATAN BENDA ATAU SISTEM
MELALUI MOMENTUM
IMPULS DAN MOMENTUM LINIER
Secara matematis impuls didefinisikan sebagai integral dari gaya yang bekerja pada benda terhadap waktu
Momentum linier atau ditulis momentum saja adalah kuantitas gerak yang bergantung pada massa dan kecepatan benda (v)
Momentum adalah vektor dan besarnya disimbolkan dengan P memiliki satuan kg m/s
v
m
p
Definisi Momentum
Definisi Impuls
Impuls juga besaran vektor, disimbolkan dengan I memiliki satuan Ns
t
t
dt
F
I
0
Hukum Newton dalam Impuls
Hukum Newton dapat ditulis kembali dalam bentuk
Jika gaya F tersebut diintegralkan untuk seluruh waktu maka persamaan di atas menjadi
dengan p adalah momentum akhir, p0 momentum awal, v kecepatan akhir dan v0 kecepatan awal
Dengan definisi impuls dan momentum maka diperoleh
p
p
p
I
0
Atau dengan kata lain :
Contoh
Benda bermassa 2 kg bergerak dengan kecepatan awal 2 m/s dalam arah sb x, dan 4 m/s dalam arah sb y. Kemudian pada benda bekerja gaya dalam arah sb y Fy=2t N, dan gaya dalam arah sb x seperti gambar di samping.
Fx (N)
t(s) 2
4 5
-5
Tentukan : a. Impuls antara t=0 sampai t=4 s b. Kecepatan saat t=4 s
Penyelesaian
a. Impuls pada benda yang gayanya dua dimensi ditulis dalam bentuk
j
I
i
I
I
xˆ
yˆ
Komponen impuls dalam arah sumbu x dapat diperolah dengan cara mencari luas daerah dari grafik, yaitu
0
Komponen impuls dalam arah sumbu y adalah Ns
b. Impuls = perubahan momentum
i
j
Sehingga kecepatan saat t=4 s adalah
Sistem Banyak Partikel
Tinjau suatu sistem yang terdiri atas banyak partikel, sejumlah N partikel
Momentum total sistem adalah resultan dari momentum setiap partikel
N
p
p
p
p
p
1
2
3
Jika pada partikel 1 dalam sistem tersebut bekerja gaya nal Fe
1 maka dinamika partikel 1 adalah
N
e F F F
F dt
p d
1 13
12 1
1
Sistem Banyak Partikel (2)
Hal yang sama akan terjadi pada partikel ke-2, ke-3, …, ke-N, jika pada setiap partikel tsb bekerja gaya eksternal
N
Dinamika sistem banyak partikel ini akan ditentukan oleh resultan dari dinamika masing-masing partikel, yaitu
Sistem Banyak Partikel (3)
Pasangan gaya interaksi antar partikel saling meniadakan karena masing-masing gaya interaksi besarnya sama dan berlawanan arah.
Jadi dinamika sistem hanya dipengaruhi gaya eksternal saja e
Jika dihubungkan dengan Impuls dan momentum maka an di atas menjadi
Pusat Massa
Dalam sistem banyak partikel, momentum total sistem adalah resultan dari momentum setiap partikel penyusunnya
N momentum total sistem dapat ditulis
Pusat Massa (2)
dengan
pm
pm R
dt d
V
disebut dengan kecepatan pusat massa sistem banyak partikel, dan
M
r m r
m r
m r
m dt
d
R N N
pm
1 1 2 2 3 3
Contoh
Tentukan letak pusat massa sistem yang tersusun atas empat buah partikel yang bermassa m1=1kg, m2=2kg, m3=3kg, dan
m4=4kg. Keempat partikel terletak pada titik sudut bujur sangkar yang memiliki panjang sisi 1 m
Pusat massa untuk benda kontinu
Pada prinsipnya sama dengan benda yang tersusun atas banyak Titik, hanya notasi sigma diganti dengan integral
dm
r
M
r
pm
1
Massa total sistem
dm
Contoh
Batang yang panjangnya 10 m dibentangkan pada sumbu x dari X=0 sampai dengan x=10 m. Jika batang tidak homogen, rapat
massanya fungsi dari posisi =12x kg/m, tentukanlah pusat massa
Batang!
elemen kecil batang pada posisi x yang panjangnya dx akan memiliki elemen kecil massa dm= dx
Massa total batang
kg
xdx
dx
dm
M
12
600
10
0 10
0
Pusat massa batang
m
dx
x
M
x
pm3
20
1
Hukum Kekekalan Momentum
Jika resultan gaya eksternal pada benda atau sistem sama dengan nol maka
0
dt
P
d
atautan
kons
P
Momentum total sistem tetap (tidak berubah terhadap waktu) Momentum tiap bagian boleh berubah, tetapi momentum total sistem adalah tetap.
Tumbukan
Dalam setiap tmbukan berlaku hukum kekal momentum, meski-pun dalam tumbukan antara 2 benda bekerja gaya yang sangat singkat (gaya impulsif) namun jika 2 benda dipandang sebagai satu sistem masing-masing gaya impulsif dapat dipandang se-bagai pasangan gaya aksi-reaksi.
Ada 3 jenis tumbukan :
Tumbukan lenting sempurna
(pada tumbukan lenting sempurna berlaku hukum kekal energi kinetik)
Contoh 1
Benda m1=2 kg bergerak dengan kecepatan 13 m/s ke kanan me-numbuk benda lain m2=4 kg yang sedang bergerak ke kiri dengan laju 2 m/s. Setelah tumbukan kedua benda bersatu. Tentukan :
Kecepatan kedua benda setelah tumbukan
Energi kinetik kedua benda sebelum dan setelah peristiwa tumbukan terjadi
Penyelesaian :
Berlaku hukum kekal momentum
Momentum awal sistem = momentum akhir sistem
Energi kinetik benda 1 sebelum tumbukan
Energi kinetik benda 1 sebelum tumbukan
Energi kinetik kedua benda setelah tumbukan
J
v
m
Ek
12 1 12169
1
J
v
m
Ek
21 2 228
2
J
v
m
m
Ek
21(
1 2)
'
227
1
Contoh 2
Benda m1=2 kg bergerak dengan kecepatan 13 m/s ke kanan me-numbuk benda lain m2=4 kg yang sedang bergerak ke kiri dengan laju 2 m/s. Jika tumbukannya elastis sempurna, maka tentukan :
Kecepatan kedua benda setelah tumbukan
Energi kinetik kedua benda sebelum dan setelah peristiwa tumbukan terjadi
Penyelesaian :
Berlaku hukum kekal momentum
Momentum awal sistem = momentum akhir sistem
1 1 2 2 1 1 2 2
1 2
'
'
'
2 ' 9
m v
m v
m v
m v
v
v
Elastis sempurna berarti energi
kinetik kekal
2 2 ' 2 ' 2
1 1 2 2 1 1 2 2
' 2 ' 2
1 2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
177
m v
m v
m v
m v
v
v
1. Sebuah pesawat angkasa 1000 kg bergerak dengan kecepatan 2000 i m/s. Sebuah meteor menumbuk pesawat tsb sehingga kecepatannya menjadi 2000 i +2000 j m/s. Berapa Impuls
tumbukkan ?
Soal
2. Sebuah bola 0,5 kg bertumbukan lenting sempurna dengan bola kedua yang sedang diam. Bola kedua tersebut menjauh dengan laju setengah laju awal bola. Berapa persen energi kinetik yang dipindahkan ke bola kedua
R
Sebuah peluru bermassa m dan kecepatan v menembus balok bermassa M, dan keluar dgn kecepatan v/2. Balok ini ada pada ujung tali
dengan panjang R. Berapa kecepatan minimum peluru agar balok berayun satu lingkaran penuh ? 5.
6. Rakit bujur sangkar 18 m kali 18 m, dengan massa 6200 kg digunakan sebagai perahu feri. Jika tiga mobil masingmasing dengan massa 1200 kg diletakkan di sudut timur laut, tenggara, dan barat daya, tentukan pusat massa dari feri.
8. Sebuah roket bergerak dalam ruang bebas tanpa meda gravitasi dengan kecepatan awal 500 i m/s. Roket menyemburkan gas dengan laju relatif terhadap roket 1000 m/s dalam arah berlawanan dengan gerak roket.
a. Tentukan kecepatan akhir roket ketika massanya tinggal ngah kali massa semula,