BAB 6: USAHA DAN ENERGI

BAB 6: USAHA DAN ENERGI

Pada dasamya pembahasan dalam bab-bab sebelumnya sudah cukup untuk membahas masalah dinamika. Meskipun demikian, tinjauan dari sudut pandang lain seringkali membantu bukan saja dalam pemecahan soal, tetapi juga dalam pemahaman konsep dasar yang berlaku. Dalam bab ini kita akan meninjau hukum Newton dari sisi usaha dan energi.

Istilah “usaha” yang dipakai di sini memiliki definisi yang lebih ketat dibandingkan dengan pengertian sehari-hari. Bila kita mendorong benda dan benda berpindah tempat, maka dikatakan kita melakukan usaha, tetapi bila benda kita junjung di atas kepala kita dan kita (bersama benda) bergerak ke depan maka tidak ada usaha yang kita lakukan pada benda, walaupun akhirnya kita menjadi lelah. Demikian juga jika kita mendorong dinding tembok, tidak peduli berapa besar tenaga yang kita keluarkan, bila dinding tidak bergerak, maka tidak ada usaha yang kita lakukan.

"Energi" dalam fisika juga mempunyai pengertian khusus, yaitu sebagai kemampuan melakukan usaha. Mobil yang sedang bergerak dapat merobohkan tembok; makin cepat gerakannya makin besar kerusakan yang ditimbulkannya. Mobil yang diam tidak dapat menggeser apa-apa. Dikatakan bahwa mobil yang sedang bergerak mempunyai energi karena ia mampu melakukan usaha. Energi yang dimiliki karena keadaan geraknya disebut energi kinetik.

Ada juga jenis energi yang lain, yaitu energi karena letak atau konfigurasi sistern. Pegas yang teregang dapat menarik benda, dan pegas yang tertekan dapat mendorong benda, sedangkan pegas yang kendur tidak dapat melakukan apa-apa. Batu yang tergantung di atas, bila jatuh dapat mendorong benda lain yang ditimpanya, sedangkan batu yang terletak di tanah tidak dapat mendorong apa-apa. Dikatakan bahwa pegas yang tidak kendor dan batu yang tergantung di atas memiliki energi potensial.

Bila lingkungan melakukan usaha pada benda, maka energi benda (kinetik dan/atau potensial) bertambah; dikatakan bahwa benda dikenai usaha dan energi benda bertambah. Sebaliknya bila benda melakukan usaha (pada lingkungan) maka energi benda berkurang. Jadi usaha adalah salah satu cara untuk memasukkan atau mengeluarkan energi (transfer energi). Benda dapat memiliki energi, tetapi benda tidak dapat memiliki usaha. Energi bergantung kepada keadaan benda di suatu titik, tetapi usaha bukan; usaha bergantung kepada lintasan selama perpindahan, bukan kepada keadaan di suatu titik. Kita dapat mengatakan energi kinetik benda pada posisi A atau energi potensial benda pada posisi B, tetapi kita tidak dapat mengatakan usaha benda pada posisi A atau posisi B.

Energi dapat diubah dari satu jenis menjadi jenis lain, misalnya dari nergi kinetik menjadi energi potensial atau dari energi potensial menjadi energi kinetik. Bila kita tinjau sistem dan lingkungannya, jurnlah energi total yang terlibat selalu tetap. Berkurangnya energi sistem diimbangi oleh bertambahnya energi lingkungan dan sebaliknya. Untuk situasi tertentu, energi total sistem (benda) tidak berubah, hanya jenisnya saja yang berubah,. sedangkan jumlahnya tidak. Dikatakan bahwa energi benda kekal atau benda memenuhi hukum kekekalan energi. Hukum kekekalan energi ini sangat berguna dalam memecahkan banyak persoalan dinamika yang terlalu rumit jika dipecahkan dengan cara biasa.

6.1 Usaha

Secara intiutif kita ketahui bahwa untuk memindahkan benda lebih jauh dibutuhkan usaha yang lebih banyak, demikian juga bila untuk proses !ersebut dibutuhkan gaya yang lebih besar, maka usahanya pun lebih banyak lagi. Jadi usaha haruslah sebanding dengan gaya dan jarak. Bila arah gaya tidak berimpit dengan arah kepindahan, maka hanya komponen gaya yang searah perpindahan yang terlibat dalam usaha secara efektif (Gambar 6.1)

Gambar 6.1 Gaya konstan Fbekerja pada benda yang bergerak lurus sejauh .

Dalam hal gaya F yang bekerja konstan dan benda bergerak lurus sejauh  , usaha yang dilakukan oleh gaya tersebut pada benda adalah



 Fcos

W (6.1a)

Karena baik gaya rnaupun perpindahan adalah vektor, maka bentuk di atas dapat dituliskan dalam notasi vektor sebagai

   . F W (6.1b)

Bentuk ini mempelihatkan sifat skalar dari usaha secara eksplisit. Satuan untuk usaha adalah newton-meter yang diberi nama baru joule.

Untuk situasi yang lebih umum, dengan gaya F yang tidak konstan dan/atau lintasan benda yang tidak membentuk garis lurus, persamaan (6.1 b) harus dibuat lebih umum. Kita bagi lintasannya menjadi segmen kecil-kecil, d (Gambar 6.2). Untuk gaya yang berubah secara 

sehingga untuk selang ini gayanya dapat dianggap konstan dan persamaan (6.1 b) boleh dipakai 



F.d Fdcos

dW   (6.2a)

Dalam pernyataan ini dW adalah usaha kecil (infinitesimal) yang dilakukan oleh F dalam selang d . Usaha total oleh gaya F sepanjang lintasan dari titik awal 1 ke titik akhir 2 adalah jumlah semua usaha kecil dalam tiap-tiap segmen, dan dituliskan sebagai





   2 1 2 1 cos Fd d . F W C C     (6.2b) lnilah definisi usaha secara umum. Hasil integrasi ini bergantung kepada lintasan yang dipilih dan titik 1 ke titik 2. Lintasan yang berbeda memberikan hasil yang berbeda pula. Huruf C di bawah tanda integrasi di atas mengingatkan kita bahwa integrasi di atas dilakukan sepanjang kontur lintasan C. Bila sudut  adalah sudut tumpul, maka usahanya negatif, kita akan mengartikan usaha negatif ketika kita membahas energi nanti. ,

Gambar 6.2 Usaha oleh gaya F yang tidak konstan sepanjang lintasan C yang tidak lurus. Usaha total ada1ah jumlah usaha yang dilakukan dalam tiap-tiap segmen kecil.

Contoh 6.1

Gaya F



yiˆ2xjˆ



N bekerja pada sebuah partikel. Partikel berpindah dari titik A(0,0) ke titik B(2,4), seperti diperlihatkan dalam Gambar 6.3. Hitunglah usaha yang dilakukan oleh F jika lintasan partikel tersebut adalah (a) garis patah AC dan CB, (b) garis patah AD dan DB, (c) garis lurus AB dan (d) parabola y = x2.

Jawab :

Gaya F tidaklah konstan, tetapi bergantung kepada letak (koordinat) partikel ybs, karena itu untuk menghitungnya kita gunakan bentuk umum persamaan 6.2b,







     C y x C xdy 2 dx y dy F dx F d . F W  

Di sini kita gunakan bentuk komponen perkalian skalar (lihat bab II). . (a) Untuk lintasan ACD, segmen lintasan harus dibagi dua, segmen AC dan segmen CB.

Sepanjang AC, hanya koordinat x yang berubah, koordinat y selalu tetap, yaitu y = 0, dan karenanya dy = 0. Sepanjang CB, koordinat x selalu tetap x = 2 dan karenanya dx = 0, sedangkan koordinat y selalu berubah. Jadi untuk lintasan ini berlaku

 _  20 4 0 B C 0 C A 0 ACB ydx 2xdy ydx 2xdy 4dy 4y W 



 



 



 = 16 Joule

(b) Dengan cara yang sama untuk lintasan ADB berlaku

  _ 20 B D 4 0 0 0 0 D A ADB ydx 2xdy ydx 2xdy 4dx 4x W 



 



 



 = 8 Joule

(c) Untuk lintasan garis lurus AB





         C A B A C dx dx dy x 2 y dy x 2 dx y W 1

Garis AB mempunyai persamaaan y = 2x (dapat diperiksa bahwa garis ini melalui (0,0) dan (2,4)), sehingga dy/dx = 2. Jadi





2 0 2 2 x 0 x C 2x 2x.2dx 3x W 1 



    = 12 Joule (d) Untuk lintasan parabola AB, y = x2 jadi dy/dx = 2x









 



              B A 2 0 3 2 x 0 x 2 B A C J 3 40 x 3 5 dx x 2 . x 2 x dx dx dy x 2 y dy x 2 dx y W 2

Contoh ini jelas memperlihatkan bahwa usaha bergantung kepada lintasan yang ditempuh. Untuk gaya yang usahanya bergantung kepada lintasan, maka usaha dari titik A ke titik B lewat lintasan C1 tidak akan sama dengan usaha dan titik A ke titik B lewat lintasan lain

Gambar 6.4 Usaha dari A ke B lewat lintasan Cl pada umumnya tidak

sama dengan usaha dari A ke B lewat lintasan C2

Karena usaha dari A ke B adalah negatif dari usaha dan B ke A lewat lintasan yang sama., maka usaha dari A kembali ke A lewat lintasan tertutup dalam Gambar 6.4 dapat dituliskan sebagai



















  C B A A B B A B A 1 C C2 C1 C2 0 d . F d . F d . F d . F d . F W           (6.3)

Tanda integral dengan lingkaran artinya integral sepanjang lintasan tertutup. Hasilnya tidak nol karena kedua integral dalam persamaan terakhir tidaklah sama.

Gaya yang usahanya bergantung kepada lintasan atau usaha untuk lintasan tertutup tidak sama dengan nol disebut gaya non-koservatif. Gaya dalam contoh soal di atas adalah gaya non konservatif. Gaya gesekan selalu melawan perpindahan relatif benda, sehingga usahanya selalu negatif termasuk usaha sepanjang lintasan tertutup. Gaya yang usahanya selalu negatif disebut gaya disipatif. Jelas bahwa gaya disipatif bersifat non-konservatif.

Ada gaya yang usahanya tidak bergantung kepada lintasan yang ditempuh, hanya bergantung kepada letak titik awal dan titik akhir. Gaya semacam ini disebut gaya konservatif. Usaha gaya yang konservatif untuk sembarang lintasan tertutup selalu sama dengan nol.



F_konservatif.d0 (6.4)

Bila dalam contoh perhitungan di atas gaya yang bekerja adalah Fyiˆxjˆ, maka usaha dan titik A ke titik B untuk sembarang lintasan dapat dituliskan sebagai

 

     

   







 



     B A B A 4 , 2 0 , 0 ) 4 , 2 ( ) 0 , 0 ( 2 4 0 0 8Joule xy xy d dy x dx y d . F W  

Apapun lintasan yang dipilih hasilnya selalu sama (cobalah sendiri untuk lintasan-lintasan yang diberikan dalam contoh 6.1); jadi Fyiˆxjˆ adalah contoh gaya konservatif. Beberapa contoh gaya konservatif yang akan sering kita jumpai adalah gaya gravitasi, gaya pegas, dan gaya listrik Coulomb.

6.2 Usaha Sebagai Luas

Hal khusus yang sering kita hadapi adalah persoalan satu dimensi, misa1nya pada gerak jatuh bebas atau pada gerak osilasi. Dalam hal ini bentuk matematis usaha menjadi integral biasa dalam satu dimensi.

Contoh 6.2 :

Sebuah benda jatuh dari ketinggian h sampai ke tanah. Berapakah usaha yang dilakukan oleh gaya gravitasi dalam proses ini ?

Jawab :

Gaya gravitasi dalam hal ini adalah gaya berat Fmg

 

 jˆ dan perpindahannya ddy

 

iˆ (berarah ke bawah karena benda sedang jatuh). Jadi usaha yang dilakukan oleh gaya berat adalah







  h 0 mgh dy mg d . F W  

Seringkali gaya yang bekerja besamya berubah-ubah, tetapi arahnya dalam satu garis lurus, katakanlah sepanjang sumbu x, sehingga FF

 

x iˆ. Usaha oleh gaya ini ketika benda berpindah dari xl ke x2, adalah

 

 











 2 1 2 1 x x x x dx x F iˆ . dx . iˆ x F d . F W   (6.5)

Menurut teori kalkulus kita ketahui bahwa integral satu dimensi seperti ini dapat diartikan sebagai luas di bawah kurva F(x) yang dibatasi oleh x1 dan x2 (Gambar 6.5).

Gambar 6.5. Usaha sebagai luas di bawah kurva F(x)

Contoh 6.3 :

Hitunglah usaha yang kita butuhkan untuk meregangkan pegas dari keadaan kendur sampai bertambah panjang sejauh x0 tanpa percepatan.

Jawab :

Bila pegas teregang sejauh x, maka pegas akan melakukan gaya sebesar F_pegas kx

 

iˆ (Gambar 6.6a), maka kita harus memberikan gaya yang sama besar dan berlawanan arah dengan gaya pegas yaituF_kita kx

 

iˆ . Grafik gaya pegas dan gaya kita sebagai fungsi dan regangan pegas diberikan dalam Gambar 6.6 b. Usaha yang harus kita lakukan adalah

   







 



  0 1 x 0 x 0 2 0 kita kita kx , 2 1 dx kx iˆ dx . iˆ kx d . F W   (6.6)

yang tidak lain luas segitiga di bawah kurva gaya dalam Gambar 6.6 b. Dari grafik (ataupun dari perhitungan eksplisit) jelas bahwa usaha gaya pegas adalah 2

0

pegas kx

2 1

W 

Gambar 6.6 (a) Gaya-gaya yang bekerja pada waktu pegas diregangkan (b) Grafik gaya terhadap regangan pegas.

6.3 Daya

Usaha yang diberikan dalam bagian sebelumnya tidak memuat informasi berapa cepat proses tersebut dilangsungkan. Seringkali yang dibutuhkan bukanlah banyaknya usaha total yang dapat dilakukan melainkan berapa besar laju usaha tersebut. Misalnya untuk memompa 100 liter air sumur dari kedalaman 10 m sampai ke permukaan dibutuhkan usaha 10 Kjoule. Walaupun pompa kita mampu menghasilkan 10 Kjoule, bila usaha ini rnemakan waktu 1 hari, tidak banyak manfaat yang kita dapatkan dari pompa tersebut. Akan tetapi bila diberikan pompa yang mampu memberikan usaha 25 Kjoule tiap menit, maka kita tahu bahwa dengan pompa itu kita dapat memompa 100 liter air dalam 24 detik.

Laju usaha yang dilakukan tiap detik disebut daya (power). Secara matematis daya P dirumuskan sebagai v . F dt d . F dt dW P         (6.7)

joule/detik atau disebut juga watt (W). Satuan daya lain yang sering kita dengan sehari-hari adalah daya kuda (hp),1 hp = 745.7 watt. Dalam masalah kelistrikan sering juga digunakan satuan watt-detik (= joule) untuk usaha, atau yang lebih umum kilowatt hour (kWh) == 3,6 x 105 joule.

6.4 Energi Kinetik

Setiap benda yang bergerak memiliki energi gerak atau energi kinetik. Semakin besar massa benda tersebut, sernakin besar energi yang dibawanya, demikian juga semakin cepat gerakannya, semakin besar energinya. Karena energi, dikaitkan dengan kemampuan melakukan usaha, maka satuan untuk energi haruslah sama dengan satuan usaha, yaitu joule. Berdasarkan pertimbangan dimensi, kombinasi massa dan kecepatan yang dapat memberikan satuan joule hanyalah massa dikalikan kuadrat kecepatan (periksalah bahwa bentuk ma vb hanya akan memberi satuan joule bila a = 1 dan b = 2). Karena itu energi kinetik didefinisikan sebagai

2 mv 2 1 K (6.8)

Faktor 1_{2 dipasang supaya kaitannya dengan usaha dapat diinterpretasikan dengan mudah,}







 B A C B A C r d . dt v d m r d . F W    

 







 B A C B A C 2 2 1_mdv v . v d . m   A B 2 A 2 1 2 B 2 1 K K mv mv     (6.9)

Dalam hubungandi atas, F adalah gaya resultan yang bekerja pada benda, yang menurut hukum Newton II,Fmdv/dt. Persamaan (6.9) menunjukkan bahwa usaha gaya resultan (dari lingkungan pada benda) sama dengan perubahan energi kinetik benda. Bila lingkungan melakukan usaha W > 0, maka energi kinetik benda bertambah; sebaliknya bila benda melakukan usaha (pada lingkungan), W < 0, energi benda berkurang. Dengan kata lain, benda mengambil sebagian dari energinya untuk dapat melakukan usaha tersebut.

Contoh 6.4 :

Sebuah benda dilepaskan dari ketinggian h = 5 meter. Berapakah lajunya ketika mengenai tanah ?

Jawab :

Usaha yang dilakukan oleh gaya berat adalah W = mgh (lihat contoh 6.2). Menurut persamaan (6.9),

  

10 5 10m/s 2 gh 2 V mgh 0 mv mgh K K 2 2 1 m 5 h ah tan        _ 6.5 Energi Potensial

Bila gaya-gaya yang bekerja dan lingkungan pada benda adalah gaya konservatif, maka usaha dari gaya-gaya ini tidak bergantung kepada lintasan yang ditempuh; hanya bergantung kepada posisi titik awal dan titik akhir. Dengan kata lain, usaha gaya konservatif hanya merupakan fungsi dan posisi saja. Karena itu dapat kita definisikan suatu fungsi U yang hanya bergantung kepada posisi sedemikian sehingga

 







 





    B A f konservati AB F .d U B U A W   (6 .10)

Perhatikan bahwa lintasannya tidak perlu dituliskan lagi karena hasilnya tidak bergantung kepada pilihan lintasan. Otomatis dipenuhi juga persamaan (6.4)

 







 





F_konservatif.d U A  U A 0

Fungsi U ini disebut energi potensial dari sistem; jelas bahwa satuan untuk U adalah joule. Tanda minus di depan fungsi U akan kita artikan di bawah nanti.

Karena energi potensial didefinisikan lewat usaha dan selalu muncul dalam bentuk selisih energi potensial, maka penambahan harga konstan pada U di setiap titik tidak akan mempengaruhi hasil, karena konstanta ini akan saling menghapuskan waktu kita mengambil selisih energi potensialnya. Dengan kata lain nilai mutlak energi potensial tidaklah penting, yang penting adalah nilai relatif (selisih) antara satu titik dengan titik lain. Untuk dapat menyebutkan nilai energi potensial, kita dapat memilih sembarang titik sebagai acuan, yaitu sebagai titik dengan nilai energi potensial sama dengan nol. Karena itu kita dapat menuliskan persamaan (6.10) dalam bentuk yang sedikit lain: Pilih A sebagai acuan, U(A) = 0, dan titik B pada posisi r, sehingga

 



_

r acuan f konservati .d F r U      (6.11) Persamaan ini bisa diambil sebagai definisi bagi energi potensial dan dibaca sebagai berikut: Energi potensial di titik r adalah usaha yang dibutuhkan untuk melawan medan gaya (dari

lingkungan sistem) untuk membawa sistem dari titik acuan ke titik r . Tabel 6.1 memperlihatkan beberapa sistem, titik acuan yang biasa dipilih dan bentuk energi potensialnya.

Tabel 6.1 Energi Potensial Beberapa Sistem

Jelas dari persamaan (6.11) bahwa tanda minus di depan definisi energi potensial menunjukkan bahwa kita harus melakukan usaha untuk melawan gaya-gaya dari lingkungan sistem. Pada waktu kita melakukan usaha ini, kita memasukkan energi pada sistem, dan sistem menyimpannya dalam bentuk energi potensial. Pada waktu energi potensial diubahkan menjadi usaha, energi yang kita masukkan ini yang dipakai. Ini sebabnya sistem dengan energi potensial disebut sistem konservatif, karena apa yang dimasukkan akan dapat dikeluarkan kembali.

Contoh 6.5 :

Tentukanlah enlergi potensial benda bermassa m yang terletak pada ketinggian h dari tanah. Ambil titik acuan di atas tanah h = 0.

 



_

h

   

 

_

 0 h 0 mgh dy mg jˆ dy . iˆ mg h U Contoh 6.6 :

Tentukan energi potensial antara matahari (massa M) dengan planet (massa m) yang berjarak r satu dengan lainnya. Ambil titik acuan di r = .

Jawab :

 

_

   

_

         r r 2 2 _r Mm G dr r Mm G rˆ dr . rˆ r Mm G r U Contoh 6.7 :

Tentukanlah energi potensial sistem benda dan pegas untuk pegas dalam keadaan teregang sejauh x. Ambil titik acuan di x = 0, yaitu waktu pegas dalam keadaan kendur.

 



_

x  0 2 2 1_kx dx kx x U

Perlu diingatkan di sini bahwa energi potensial bukanlah milik benda sendiri, melainkan milik benda dan lingkungannya bersama-sama, karena gaya yang bekerja adalah spesifik bagi sistem dan lingkungannya. Dalam hal energi lingkungannya tidak berubah atau perubahannya dapat diabaikan, maka seringkali energi potensial dikaitkan pada bendanya saja. Misalnya, untuk benda dilihat permukaan bumi (contoh 6.5) energi potensial pasangan bumi dan benda adalah mgh, tetapi karena bumi jauh lebih besar dan benda, perubahan yang berarti hanya terjadi pada benda, maka sering dikatakan bahwa energi potensial benda adalah mgh.

6.4.1 Hubungan Antara Energi Potensial Dan Gaya Konservatif

Dan definisinya jelas bahwa energi potensial adalah integral dari gaya konservatif terhadap jarak. Sebaliknya, gaya konservatif adalah turunan energi potensial terhadap jarak. Karena gaya adalah besaran vektor, maka turunan yang dimaksud disini haruslah turunan berarah. Dalam koordinat kartesian, komponen-komponen gaya dapat dituliskan sebagai

z U F ; y U F ; x U F_{x y z}             (6.12)

Notasi



U/x



artinya fungsi U diturunkan terhadap variabel x dengan mengandaikan variabel lainnya (y dan z) konstan; serupa juga untuk



U/y



dan



U/z



.

Dalam satu dimensi, energi potensial U hanya fungsi x dan gaya yang bekerja hanya dalam arah x. Secara grafik, gaya adalah negatif dari kemiringan grafik potensial terhadap posisi. Perhatikan Gambar 6-6. Di tempat di mana grafik potensial sedang naik, kemiringannya

positif, dan gayanya negatif (artinya gaya berarah ke kiri); sebaliknya di tempat di mana grafik potensial sedang turun, kemiringannya negatif, dan gayanya positif (artinya gaya berarah ke kanan). Dengan kata lain, gaya berarah dari tempat berenergi potensial tinggi ke tempat berenergi potensial rendah. Di tempat di mana potensial mencapai harga ekstrim (maksimum atau minimum), gaya sama dengan nol dan titik ini disebut titik setimbang.

Gambar 6.7 Hubungan antara grafik potensial dan gaya

Di sekitar titik setimbang dengan energi potensial maksimum, gaya-gaya berarah menjauhi titik setimbang (lihat Gambar 6.7); benda yang berada di sekitar ini akan didorong menjauhi titik setimbang. Titik setimbang ini disebut titik setimbang tak stabil. Di titik setirnbang dengan energi potensial minimum, gaya-gaya berarah ke titik setimbang. Benda yang berada di sini akan ditarik kembali ke titik setimbang. Titik setimbang ini disebut titik setimbang stabil. Sistem selalu menuju ke titik setimbang stabil, yaitu tempat dengan energi potensial minimum.

6.6 Hukum Kekekalan Energi Mekanik

Persamaan (6.9) menyatakan bahwa usaha yang dilakukan oleh gaya luar pada benda sama dengan selisih energi kinetik benda, dan persamaan (6.10) menyatakan bahwa energi gaya konservatif usahanya sama dengan selisih energi potensial benda. Gabungan kedua persamaan ini memberikan

W = KB - KA = (-UB) - (-UA)

atau

KB + UB = KA +UA (6.13)

Hubungan ini menyatakan bahwa dalam medan gaya konservatif jumlah energi kinetik dan energi potensial di sembarang titik A dan B selalu sama, tidak peduli bagaimana pun lintasan benda dari A ke B. Jumlah energi kinetik dan energi potensial disebut hukum kekekalan energi mekanik. Perlu ditekankan sekali lagi bahwa hukum kekekalan ini hanya berlaku dalam medan

gaya konservatif. Gaya-gaya lain boleh ada asalkan tidak melakukan usaha. Bentuk ringkas dari persamaan (6.13) adalah

E = EB –EA = 0 (6 .14)

dengan E = K + U. Tampak keuntungan mendefinisikan energi potensial dengan tanda negatif (persamaan 6.11), yaitu bahwa energi total adalah jumlah dari energi kinetik dan energi potensial.

Contoh 6.8 :

Sebagai contoh penggunaan hukum kekekalan ini, kita tinjau sebuah rol1er-coaster yang mempunyai rel lintasan seperti dalam Gambar 6.8. Rel dianggap licin. Kereta mulai dari titik A dengan laju awal nol dan bergerak hanya di bawah pengaruh gaya gravitasi saja. Berapakah kecepatan kereta di titik B ?

Gambar 6.8. Gerak roller-coaster memenuhi hukum kekekalan energi mekanik.

Energi mekanik kefeta di titik A adalah ₂1 2_{A A A A}

A mv mgh 0 mgh mgh

E      .

Ketika kereta meluncur sampai di B energi mekaniknya adalah B 2 B 2 1 B mv mgh E   , Menurut

hukum kekekalan energi EA =EB atau B 2 B 2 1 A mv mgh mgh   sehingga





1 B A B 2gh h h 2.10.20 20ms v     

Di titik A hanya ada energi potensial saja, sedangkan di titik B ada energi potensial dan energi kinetik. Contoh ini rnenunjukkan bahwa sebagian energi potensial di A diubah menjadi energi kinetik di B. Pengubahan ini terjadi melalui bantuan usaha oleh gaya gravitasi. Jadi energi dapat diubah bentuknya menjadi energi lain melalui bantuan usaha.

Sebuah benda diputar dengan tali schingga membentuk lintasan lingkaran vertikal berjari-jari R (Gambar (6 .9)) (a) Berapakah kecepatan minimum di titik terendah A agar benda dapat menempuh 1/4 lingkaran (mencapai titik B). (b) Berapakah kecepatan minimum di titik terendah A agar benda dapat menempuh satu lingkaran penuh. (c) Bila laju di titik terendah adalah v_A 



gR



, di manakah benda mulai keluar dari lintasan lingkarannya ?

Gambar 6-9. Benda diputar dengan tali. Diberikan juga diagram gaya di beberapa posisi

Jawab :

Gaya yang bekerja hanyalah gaya tali T dan gaya berat mg. Gaya tali selalu tegak lurus pada lintasan, karena itu usaha gaya tali selalu nol. Gaya berat bersifat konservatif. Jadi kita dapat menggunakan hukum kekekalan energi dalam persoalan ini.

(a) KA +UA = KB + UB B 2 B 2 1 A 2 A 2 1_mv _mgh  _mv _mgh



h h



v 2gR g 2 v v_A  2_B  _B  _A  2_B 

Kecepatan minimum di A terjadi bila vB = 0 (artinya benda hanya naik sampai B, berhenti

sesaat, lalu bergerak turun lagi).

 

vA _min  2gR

(b) Untuk dapat rnenempuh satu lingkaran penuh benda harus dapat tiba di C. Dengan menggunakan hukum kekekalan energi seperti pada pertanyaan (a), kita dapatkan

KA + UA = KC + UC C 2 C 2 1 A 2 A 2 1_mv _mgh  _mv _mgh



h h



v 4gR g 2 v v A C 2A 2 A 2 C     

sentripetal,





m TR gR 5 v gR 4 v R m R mv mg T A 2 A 2 C      

Selama benda berada dalam lintasan lingkaran, tali tidak kendur, sehingga T  0. Harga minimum laju di A dicapai pada T = 0, yang memberikan

 

v_{A min}  5gR .

(c) Tinjau keadaan sembarang, misalnya titik D. Seperti sebelumnya, dengan hukum kekekalan energi kita dapatkan

Persamaan gaya sentripetal di titik D







 







   2 mg 2mgcos R mv cos mg T 2 D atau







   2 mg 3mgcos T

Selama T  0 benda tetap berada pada lintasan lingkaran; keadaan ini dipenuhi oleh





3 2 cos 

Benda mulai keluar dari lintasan lingkaran ketika tegangan tali T = 0, yaitu pada





3 2 cos₀  

Dapat diperiksa bahwa pada a = 5, maka cos 0 = -1 atau 0 =  artinya benda mencapai

titik tertinggi C. Bila 2 < α <5, benda tidak akan mencapai titik tertinggi, tetapi keluar lintasan pada sudut o yang diberikan di atas.Pada α = 2, maka o = /2, artinya benda hampir keluar lingkaran di titik B. Untuk α < 2, benda tidak sampai ke titik B danT tidak pernah mencapai nol (artinya benda akan tetap pada lintasan lingkaran).

6.7 Usaha Dan Energi Dalam Medan Non Konservatif

Bila disamping gaya-gaya non konservatif, F_k, pada benda bekerja juga gaya non konservatif F_nk, maka usaha total oleh gaya resultan dapat dipecah atas bagian konservatif dan bagian non konservatif







 



  B A B A nk k C C d . F F d . F W     







  B A B A nk k nk k C C W W d . F d . F    (6.15)

Menurut persamaan (6 .9), ruas kin tidak lain dari pada selisih energi kinetik, dan menurut persamaan (6.10), Wk dapat dinyatakan dalam selisih energi potensia1. Jadi



 





 



nk A B nk A A B B nk B B A B W E E W U K U K W U U K K             (6 .16)

Persamaan yang terakhir menunjukkan bahwa energi mekanik tidak lagi kekal, dan perubahan energi ini disebabkan hanya oleh gaya non-konservatif saja. Untuk gaya disipatif, usahanya selalu negatif, sehingga energi akhir EB lebih kecil daripada energi awal EA. Bila proses ini

berlangsung terus, lama kelamaan benda "kehabisan" energi dan akhirnya berhenti bergerak. Contoh 6.10 :

Misalkan rel pada bagian BC, Gambar 6.8, kasar dengan koefisian gesekan kinetik μ = 0,6. Bila massa kereta adalah 500 kg dan kereta berhenti di titik C, berapakah jarak BC ?

Jawab :

Gaya gesekan yang bekerja pada kereta adalah f = μN = μ mg = 0,5 x 500 x 10 = 2500 N. Bila jarak BC adalah d, maka usaha oleh gaya gesekan adalah W_f f.dfd-2500 d.

Tanda negatif menyatakan bahwa arah gaya gesekan berlawanan dengan arah pergeseran d. Menurut persamaan (6 .10),

 

 



KC UC





K

 

B U

 

B



Wf     B 2 B 2 1 C 2 C 2 1_mv _mgh  _mv _mgh  -2500 d = 0-1/2.500.400 Diperoleh . m 400 2500 100000 d 

6.8 Hukum Kekekalan Energi Umum

Persamaan (6.16) menunjukkan bahwa energi mekanik sistem dapat berubah dengan adanya gaya non-konservatif. Gaya non-konservatif ini berasal dari lingkungan. Bila lingkungan melakukan gaya pada sistem, maka energi sistern bertambah dan energi lingkungan berkurang dengan jumlah yang sama, sebaliknya bila sistem melakukan usaha rnelawan gaya dari lingkungan, maka energi sistem berkurang dan energi lingkungan bertambah dengan jumlah yang sama. Dengan kata lain, jumlah energi sistem dan energi lingkungannya selalu tetap; yang terjadi hanyalah perpindahan energi dan sistem ke dalam lingkungan atau dari lingkungan ke dalam sistem. Perpindahan energi ini dilakukan melalui usaha gaya

(1) (2) y(m) 4 2 x(cm) A B non-konservatif.

Ada cara lain untuk melakukan perpindahan energi antara sistem dengan lingkungan, yaitu melalui kalor (Q). Perubahan energi sistem secara umum dapat dituliskan sebagai

 E = Wnk + Q (6 .17)

Ruas kiri menyatakan perubahan energi sistem dan ruas kanan menunjukkan energi yang masuk atau keluar dari lingkungan melalui usaha gaya non-konservatif dan kalor. Pendalaman konsep ini akan dibahas lebih lanjut dalam bagian termofisika.

SOAL-SOAL LATIHAN BAB 6

1. Suatu balok dengan massa 20 kg didorong sepanjang permukaan mendatar tanpa gesekan dengan gaya F yang membentuk sudut  dengan permukaan. Selama gerakannya gaya bertambah mengikuti hubungan F = 6x dimana F dalam Newton, x dalam meter. Sudut  pun bertambah menurut cos  =0,70-0,02 x. Berapa kerja yang dilakukan oleh gaya bila benda bergerak dari x = 10 m sampai x = 20 m ?

2. Benda seberat 20 N didorong ke atas bidang miring tanpa gesekan, yang panjangnya 30 cm, dengan kemiringan sudut 300, dengan gaya horisontal F.

a. Bila laju di dasar adalah 6 cm/s dan di puncak adalah 30 cm/s, berapakah usaha yang dilakukan oleh gaya F ?

b. Berapakah besar gaya F ?

c. Bila bidang tidak liecin dan memiliki k = 0,15, berapakah jarak maximum yang dapat

dicapai oleh benda ?

3. Tiap detik 1200 m3 air melewati air terjun yang tingginya 100 m. Bila dianggap tiga perempat tenaga kinetik yang diperoleh air ketika jatuh diubah menjadi tenaga elektrik oleh generator e1ektronik, berapa output daya generator tersebut.

4. Massa benda A = 24 kg

Massa benda B = 9 kg

Percepatan gravitasi g = 10 m/s2. Berapa kecepatan A ketika mengenai tanah ? Gesekan dan massa katrol diabaikan.

5. Suatu medan gaya yang mempunyai bentuk F = i 10 x2 bekerja pada suatu benda. Di bawah pengaruh gaya ini benda bergerak dari A ke B. Hitung energi yang diperoleh benda bila diambil jalan (1) dan bila diambil jalan (2).

A B

tanah 8 m

37o _α

F

A

B

6. Sebuah benda bergerak sepanjang sumbu x dibawah pengaruh gaya F = -20 x4N.

a. Apakah gaya F konservatif ? Tunjukkan ! Jika ya, turunkan energi potensi1 benda yang bergerak di bawah pengaruh gaya ini.

b. Hitung usaha yang harus dilakukan untuk melawan gaya tersebut di atas dalam memindahkan benda dari x = 3 m hingga x = 5 m !

c. Jika benda dilepaskan dari x = 4,0 m, berapa energi kinetiknya ketika mencapai x = 0? 7. Sebuah benda m = 0,1 kg ada di atas bidang miring dengan

sudut α = 370

(tan α = 0,75). Pada benda ini bekerja gaya tetap F = 1 N (mendatar). Bidang miring kasar dengan Uk = 0,5. Lihat

gb. Mula-mula benda diam di A kemudian bergerak ke B, AB = 5 m. Hitung energi kinetik benda ketika sampai di B dengan cara energi.

8. Pegas dalam sistem di gambar ini dalam keadaan tidak teregang/tertekan ketika sistem mulai dilepaskan dari kedudukannya seperti dalam gb.tersebut. Hitunglah jarak turun maksimum (d) dari beban 5 kg. tetapan pegas k.

9. Mula-mula, seperti dalam gb. Kedua pegas tak

teregang/tertekan. Kemudian benda/massa m di dorong ke kanan sehingga mengalami perpindahan d = 20 cm, lalu dilepaskan.

a. Tentukan laju benda ketika melewati posisi A. b. Berapa jauhkah balok dari kiri A ketika berhenti ?

k1 = 88 N m-1, k2 = 5 N m-1, m = 4,0 kg. Abaikan gesekan.

10. Sebuah bandul sederhana dengan panjang 1 dan massa m1 diamati memiliki laju v0 ketika

tali membentuk sudut 0 dengan vertikal (0 < 0 <

2 

), seperti dalam gambar. Dinyatakan dalam g dan bersama-sama dengan variabel-variabel tersebut di atas, tentukanlah :

a. Laju beban v1 ketika berada di titik terendah.

b. Harga v2 terkecil yang harus dimiliki v0 agar tali dapat mencapai posisi horisontal dalam

geraknya.

c. Laju v3, sedemikian sehingga bila v0 v3 bandul tidak akan berosilasi melainkan terus

bergerak membentuk lingkaran vertikal.

k1 k2

A d B

5 kg 2 kg