VERTEX EXPONENT OF A TWO-COLOURED DIGRAPH
WITH 2 LOOPS
ABSTRACT
A digraph D in which each of its arcs is coloured by either red or blue is called two-coloured digraph. A strongly connected of two-coloured digraph is primitive provided there are nonnegative integers m and b such that for each pair of vertices u and v in D there is a walk with length m + b, in which m arcs coloured by red and b arcs coloured by blue. Let D is a two-coloured digraph with V (D)
= {v1, v2, · · · , vn} for each vk ∈ V (D), the vertex exponent of D is the smallest nonnegative integer m + b such that there is a walk with length m + b from vk to each vertex in D. Let D is a two-coloured digraph on n vertex with n ≥ 3 and 2 loops, if vk, k = 1, 2, ..., n is vertex of D, this paper will give the general of vertex exponent of D exactly 2n − 2 for k = 1, 2, 3 and exactly 2n − 5 + k for 4 ≤ k ≤ n.
Universitas Sumatera Utara
vii
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN i
PERNYATAAN ii
PENGHARGAAN iii
ABSTRAK v
ABSTRACT vi
DAFTAR ISI vii
DAFTAR GAMBAR ix
BAB
1. PENDAHULUAN 1
1.1. Latar Belakang 1
1.2. Perumusan Masalah 4
1.3. Tujuan Penelitian 4
1.4. Manfaat Penelitian 4
1.5. Metodologi Penelitian 4
2. DIGRAPH DAN 2-DIGRAPH 6
2.1. Definisi 6
2.2. Matriks Adjacency 11
2.3. Primitifitas dari Digraph dan 2-Digraph Terhubung Kuat 12
2.4. Eksponen Digraph dan 2-Digraph 16
2.5. Eksponen Vertex Digraph dan 2-Digraph 24
3. DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN 2 LOOP 29
3.1. Eksponen 2-Digraph dengan 2 Loop 29
3.2. Eksponen Vertex 2-Digraph dengan 2 Loop 32
4. KESIMPULAN DAN SARAN 41
4.1. Kesimpulan 41
4.2. Saran 41
DAFTAR PUSTAKA 42
Universitas Sumatera Utara
LAMPIRAN
A. FUNGSI MATLAB ”VERT 2EXP LOOPS” 43
B. OUTPUT DARI FUNGSI MATLAB ”VERT 2EXP LOOPS” 47
Universitas Sumatera Utara
ix
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
1.1 Digraph dengan 2 Loop 3
2.1 Digraph dengan 6 vertex dan 9 arc 7
2.2 Digraph dengan walk, path, cycle dan loop 8
2.3 2-Digraph dengan 6 vertex dan 9 arc 9
2.4 2-Digraph dengan walk, path, cycle dan loop 10 2.5 (a) Digraph terhubung kuat (b) Digraph tidak terhubung kuat 13
2.6 Digraph terhubung kuat dan primitif 14
2.7 (a) 2-digraph terhubung kuat (b) 2-digraph tidak terhubung kuat 15
2.8 2-Digraph terhubung kuat dan primitif 16
2.9 Digraph Wielandt Wn dengan n vertex 27
3.1 2-Digraph dengan 2 Loop 36
Universitas Sumatera Utara
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Digraph merupakan hubungan antara titik-titik yang disebut dengan vertex dari digraph dengan garis berarah yang disebut dengan arc dari digraph. Vertex dari digraph direpresentasikan dalam bentuk titik atau lingkaran kecil dan arc dari digraph direpresentasikan dalam bentuk garis berarah.
Suatu walk dengan panjang m dari suatu digraph D yang menghubungkan vertex u dan vertex v adalah suatu barisan arc di D dalam bentuk
u = v0 → v1 → ... → vm−1 → vm = v
dengan v0 = u dan vm = v. Jika u = v maka walk tersebut dikatakan walk tertutup, dan jika u 6= v maka walk tersebut dikatakan walk terbuka. Suatu path adalah suatu walk tanpa adanya perulangan vertex. Suatu path tertutup uv disebut cycle. Dan suatu cycle dengan panjang 1 disebut loop.
Suatu digraph dikatakan terhubung kuat jika untuk setiap pasangan vertex u dan v terdapat walk dari u ke v dan walk dari v ke u dan primitif jika terdapat suatu bilangan bulat positif l sedemikian hingga untuk setiap pasangan vertex dari u dan v di D terdapat walk yang panjangnya l dari u ke v. Bilangan bulat terkecil dari l tersebut merupakan eksponen dari D yang dinotasikan dengan exp(D).
Konsep tradisional dari eksponen digraph primitif telah digeneralisasikan oleh Brualdi dan Liu (1990) dengan memperkenalkan tiga tipe generalisasi ekspo- nen. Misalkan D adalah sebuah digraph primitif dengan himpunan vertex V (D)
= (v1, v2, · · · , vn). Untuk suatu vi ∈ V (D) dan X ⊆ V (D), eksponen vertex γD(vk) adalah bilangan bulat positif terkecil l sedemikian hingga terdapat walk denganUniversitas Sumatera Utara
2
panjang l dari vi kesetiap vertex di D, dan himpunan eksponen expD(X) adalah bilangan bulat positif terkecil p sehingga untuk setiap vertex vj di D terdapat sebuah walk dari paling sedikit satu vertex di X ke vj dengan panjang p.
Misalkan D adalah digraph primitif dengan orde n. Jika vertex - vertex di D adalah (v1, v2, · · · , vn) sedemikian hingga
γD(v1) ≤ γD(v2) ≤ · · · ≤ γD(vn)
maka γD(vk) adalah tipe pertama generalisasi eksponen ke - k dari D, dinotasikan expD(vk).
Digraph dwi-warna atau 2-digraph adalah suatu digraph yang setiap arc-nya diwarnai merah atau biru (Fornasini dan Valcher (1997)). Suatu (m,b)-walk pada 2 digraph D dari vertex u ke v adalah barisan arc yang terdiri dari m arc merah dan b arc biru yang menghubungkan vertex u dan v. Suatu 2-digraph D dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat m dan b sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat (m, b)-walk dari u ke v dan sebaliknya, bilangan bulat positif terkecil dari m + b tersebut merupakan 2-eksponen dari 2-digraph D primitif yang dinotasikan dengan exp2(D).
Penelitian tentang 2-eksponen 2-digraph dimulai oleh Shader dan Suwilo (2003) yang memperlihatkan bahwa bila D adalah digraph dwi-warna primitif atas n vertex, maka 2-eksponen terbesar dari D terletak pada interval [12(n3 − 5n2),12(3n3 + 2n2− 2n)].
Eksponen dari 2-digraph dengan 2-loop dan n vertex dapat diketahui dari komposisi warna arc yang adjacent dengan loop merah maupun loop biru pada 2-digraph tersebut. Dalam penelitiannya Richard Albert Nasution (2007) mem- perlihatkan bentuk umum 2-eksponen dari 2-digraph dengan 2 loop dengan jumlah vertex n yaitu tepat 2n, 2n − 1, dan 2n − 2 dengan syarat:
1. 2-digraph dengan eksponen tepat 2n didapat jika arc yang adjacent ke loopUniversitas Sumatera Utara
merah adalah sepasang arc yang berwarna merah dan untuk loop biru adalah sepasang arc yang berwarna biru, atau sebaliknya.
2. 2-digraph dengan eksponen tepat 2n − 1 didapat jika arc yang adjacent ke loop merah adalah sepasang arc berwarna merah dan arc yang adjacent ke loop biru adalah sepasang arc yang berbeda warna, atau sebaliknya.
3. 2-digraph dengan eksponen tepat 2n − 2 didapat kedua loop terletak pada vertex yang sama.
Suatu 2-digraph D terhubung kuat dengan n ≥ 2 vertex yang memuat sebuah loop merah dan sebuah loop biru memiliki eksponen exp2(D) ≤ 3n − 3. Andaikan D adalah 2-digraph yang terdiri dari cycle v1 → vn → ... → v3 → v1 dan vn → vn−1 → ... → v3 → v2 → vn, loop (v1, v1) dan loop (v2, v2) yang diperlihatkan pada gambar
Gambar 1.1 : Digraph dengan 2 Loop
memiliki exp2(D) ≤ 3n − 5. Dan jika pewarnaan di D menjadi (v1, v1) adalah loop merah, (v2, v2) adalah loop biru, v1 → vn → vn−1 → ... → v3 → v1 adalah cycle merah dan v3 → v2 → vn adalah path biru, maka 2-eksponennya tepat 3n − 5.
Gao dan Shao (2009) juga telah menggeneralisasikan eksponen dari digraph dwi-warna primitif Wielandt dengan menggunakan tiga tipe generalisasi ekspo- nen yang tipe pertamanya adalah generalisasi eksponen vertex digraph dwi-warnaUniversitas Sumatera Utara
4
primitif. Misalkan D adalah suatu digraph dwi-warna primitif dengan V (D) = {v1, v2, . . . , vn} untuk setiap vi ∈ V (D), maka eksponen vertex expD(vi) adalah bilangan bulat positif terkecil m1+ m2 sedemikian hingga terdapat (m1, m2)-walk dari vi ke setiap vertex di D. Penelitian ini bertujuan untuk mencari generalisasi dari eksponen vertex dari 2-digraph dengan 2 loop pada Gambar 1.1.
1.2 Perumusan Masalah
Andaikan D adalah suatu digraph dwi - warna yang terdiri dari n vertex dan memi- liki 2 loop seperti pada Gambar 1.1 dengan (v1, v1) adalah loop merah, (v2, v2) adalah loop biru, v1 → vn → vn−1 → · · · → v3 → v1 adalah cycle merah dan v3 → v2 → vn adalah path biru dari D. Masalah dari penelitian ini adalah bagaimana menentukan pola eksponen vertex v di D.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini yaitu untuk memperoleh generalisasi eksponen vertex dari 2-digraph dengan 2 loop seperti pada Gambar 1.1.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini bermanfaat untuk memperkaya literatur dalam bidang eksponen dari digraph primitif.
1.5 Metodologi Penelitian
Untuk mencari pola eksponen vertex digraph dwi-warna dengan 2 loops dilakukan dengan cara sebagai berikut:
1. Mempelajari teori dasar yang berkenaan dengan penelitian ini, meliputi definisi, teorema, dan berbagai contoh.
Universitas Sumatera Utara
2. Dengan bantuan program matlab ”vert 2exp loops” yang dibuat oleh Dr.
Saib Suwilo, M.Sc, yaitu suatu program yang digunakan untuk menentukan eksponen verteks dari digraph dwi-warna dengan loop. Melalui program ini peneliti memasukkan banyaknya vertex yang diinginkan lalu akan dihasilkan eksponen vertex dari masing-masing vertex serta komposisinya.
3. Mencari pola dari eksponen verteks digraph dwi-warna primitif dari hasil- hasil yang telah diperoleh tersebut secara kombinatorial.
4. Memberikan suatu pembuktian dari pola eksponen verteks yang telah diper- oleh tersebut.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
DIGRAPH DAN 2-DIGRAPH
Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar seperti teorema dan definisi sebagai landasan dalam penelitian ini. Konsep dasar yang dimaksud adalah yang berkaitan dengan permasalahan dalam penelitian ini seperti definisi, keterhubung- an, primitifitas, eksponen dan eksponen vertex dari digraph dan 2-digraph.
2.1 Definisi
Pada sub-bab ini akan diberikan beberapa definisi tentang digraph dan 2-digraph serta notasi-notasi yang akan digunakan dalam pembahasan selanjutnya.
2.1.1 Digraph
Secara sederhana graph adalah kumpulan titik atau lingkaran kecil yang dihu- bungkan oleh garis tak berarah. Jika garis penghubung diberi arah, maka graph yang demikian dinamakan digraph (directed graph).
Andaikan V adalah suatu himpunan objek berhingga yang tak kosong, se- buah digraph D adalah suatu objek yang dibentuk oleh himpunan V yang un- surnya disebut vertex dari D, dan himpunan A ⊆ V × V yang unsurnya disebut arc dari D. Jika diberikan u, v ∈ A, maka terdapat arc dari u ke v di D, dimana u disebut sebagai vertex awal dan v disebut sebagai vertex akhir. Arc (u,v) dapat juga dinotasikan dengan u → v.
Vertex v dari digraph direpresentasikan dalam bentuk titik atau lingkaran kecil yang diberi tanda v dan arc (u,v) dari digraph direpresentasikan dalam bentuk garis berarah dari titik u ke titik v.
Universitas Sumatera Utara
Contoh 2.1.1 : Himpunan vertex V = v1, v2, v3, v4, v5, v6 dan himpunan arc A = (v1, v2), (v1, v6), (v2, v3), (v2, v4), (v2, v5), (v3, v4), (v4, v5), (v5, v1), (v6, v5) adalah su- atu digraph dengan 6 vertex dan 9 arc dan direpresentasikan secara grafis sebagai berikut:
Gambar 2.1 : Digraph dengan 6 vertex dan 9 arc
Diberikan suatu digraph D dengan u dan v adalah vertex di D. Suatu walk dengan panjang m dari u ke v adalah suatu barisan arc di D dalam bentuk
v0 → v1 → v2 → ... → vm−1 → vm
dengan m > 0, v0 = u dan vm= v. Jika u = v maka walk tersebut dikatakan walk tertutup dan jika u 6= v maka walk tersebut dikatakan walk terbuka. Suatu path didefinisikan sebagai suatu walk tanpa adanya perulangan vertex, namun vertex awal dan vertex akhir boleh berulang yang kemudian disebut path tertutup. Suatu path tertutup uv disebut dengan cycle dan sebuah cycle dengan panjang 1 dise- but loop. Berikut ini akan diberikan representasi dari digraph untuk menjelaskan beberapa definisi di atas.
Universitas Sumatera Utara
8
Contoh 2.1.2 : Diberikan digraph sebagai berikut:
Gambar 2.2 : Digraph dengan walk, path, cycle dan loop
Digraph pada gambar di atas memiliki walk, path, cycle dan loop sebagai berikut:
a. v1 → v2 → v3 → v4 → v2 → v5 → v1 adalah sebuah walk tertutup tetapi bukan path.
b. v1 → v2 → v5 → v5 → v1 → v2 → v3 adalah sebuah walk terbuka tetapi bukan path.
c. v1 → v2 → v5 adalah sebuah path terbuka.
d. v1 → v2 → v3 → v4→ v5 → v1 adalah sebuah cycle atau path tertutup.
e. v5 → v5 adalah sebuah loop.
2.1.2 2-Digraph
2-Digraph atau digraph dwi-warna merupakan suatu digraph yang setiap arc-nya diberi warna merah atau biru.
Andaikan V adalah suatu himpunan objek berhingga yang tak kosong, se- buah 2-digraph D adalah suatu objek yang dibentuk oleh himpunan V yang un- surnya disebut vertex dari D, dan himpunan R ⊆ V × V yang unsurnya disebut arc merah dari D dan himpunan B ⊆ V × V yang unsurnya disebut arc biru dari D. Jika diberikan u1, v1 ∈ R dan u2, v2 ∈ B, maka terdapat arc merah dari uUniversitas Sumatera Utara1
ke v1 di D dan terdapat arc biru dari u2 ke v2 di D, dimana u1 dan u2 disebut sebagai vertex awal dan v1 dan v2 disebut sebagai vertex akhir. Arc merah (u1,v1) dapat juga dinotasikan dengan u1
−r
→ v1 dan arc biru (u2,v2) dapat juga dinotasikan dengan u2
−b
→ v2.
Vertex v dari 2-digraph direpresentasikan dalam bentuk titik atau lingkaran kecil yang diberi tanda v, arc merah (u1,v1) dari 2-digraph direpresentasikan dalam bentuk garis atau kurva berarah tak putus dari titik u1 ke titik v1 dan arc biru (u2,v2) dari 2-digraph direpresentasikan dalam bentuk garis atau kurva berarah putus-putus dari titik u2 ke titik v2.
Contoh 2.1.3 : Himpunan vertex V = v1, v2, v3, v4, v5, v6, himpunan arc R = {(v1, v2), (v2, v4), (v4, v5), (v5, v1)} dan himpunan arc B = {(v1, v6), (v2, v3), (v2, v5), (v3, v4), (v6, v5) } adalah suatu digraph dengan 6 vertex, 4 arc merah dan 5 arc biru dan direpresentasikan secara grafis sebagai berikut:
Gambar 2.3 : 2-Digraph dengan 6 vertex dan 9 arc
Suatu (m, b)-walk w pada 2-digraph D adalah suatu walk yang terdiri dari m arc merah dan b arc biru. Banyaknya m arc berwarna merah dan b arc berwarna biru pada suatu walk w di D dinotasikan dengan r(w) dan b(w) serta panjangnya walk w dinotasikan dengan `(w) dimana `(w) = r(w) + b(w) yaitu banyaknya arc merah dan arc biru yang membentuk walk tersebut. Vektor dari (r(w), b(w)) atau
Universitas Sumatera Utara
10 hr(w)
b(w)
i
disebut sebagai komposisi dari w.
Sama seperti digraph, path merupakan suatu walk tanpa adanya perulangan vertex, namun vertex awal dan vertex akhir boleh berulang yang kemudian disebut path tertutup atau cycle. Loop merupakan suatu cycle dengan komposisi 1
0
atau0 1
.Berikut ini akan diberikan representasi dari 2-digraph untuk menjelaskan
beberapa definisi di atas.
Contoh 2.1.4 : Diberikan 2-digraph sebagai berikut:
Gambar 2.4 : 2-Digraph dengan walk, path, cycle dan loop
Digraph pada gambar di atas memiliki walk, path, cycle dan loop sebagai berikut:
a. v1
−r
→ v2
−b
→ v3
−b
→ v4
−r
→ v2
−b
→ v5
−r
→ v1 adalah sebuah walk tertutup tetapi bukan path.
b. v1
−r
→ v2
−b
→ v5
−b
→ v5
−r
→ v1
−r
→ v2
−b
→ v3
−r
→ v3 adalah sebuah walk terbuka tetapi bukan path.
c. v1
−r
→ v2
−b
→ v5 adalah sebuah path terbuka.
d. v1
−r
→ v2
−b
→ v3
−b
→ v4
−r
→ v5
−r
→ v1 adalah sebuah cycle atau path tertutup.
e. v5
−b
→ v5 adalah sebuah loop dengan komposisi 0 1
.
f. v3
−r
→ v3 adalah sebuah loop dengan komposisi 1 0
.
Universitas Sumatera Utara
2.2 Matriks Adjacency
Digraph dan 2-Digraph dapat juga direpresentasikan dalam bentuk matriks. Suatu digraph D dan 2-Digraph D dengan n vertex dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks berordo n × n dengan entri-entrinya berupa 1 dan 0. Matriks tersebut merupakan matriks adjacency.
2.2.1 Matriks Adjacency Digraph
Suatu matriks adjacency A = [aij] dari Digraph D dengan n vertex dapat kita representasikan dengan entri sebagai berikut:
ai,j =
1, jika terdapat arc dari vi ke vj
0, jika sebaliknya.
untuk i, j = 1, 2, · · · , n.
Contoh 2.2.1 : Berikut ini adalah matriks adjacency yang diperoleh dari digraph
pada Gambar 2.2 :
0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1
2.2.2 Matriks Adjacency 2-Digraph
Suatu matriks adjacency dari 2-Digraph D dengan n vertex dapat kita represen- tasikan dalam 2 matriks adjacency, yaitu matriks adjacency merah dan matriks adjacency biru.
Matriks adjacency merah, R = [rij] pada D adalah matriks n × n dengan entri sebagai berikut:
ri,j =
1, jika terdapat arc merah 0, jika sebaliknya
untuk i, j = 1, 2, · · · , n Universitas Sumatera Utara
12
Matriks adjacency biru, B = [bij] pada D adalah matriks n × n dengan entri sebagai berikut:
bi,j =
1, jika terdapat arc biru 0, jika sebaliknya
untuk i, j = 1, 2, · · · , n
Contoh 2.2.2 : Berikut ini adalah matriks adjacency yang diperoleh dari 2- digraph pada Gambar 2.4 :
R =
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0
adalah matriks adjacency merah ;
B =
0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
adalah matriks adjacency biru.
2.3 Primitifitas dari Digraph dan 2-Digraph Terhubung Kuat
Pada sub-bab ini akan dibahas tentang digraph dan 2-digraph terhubung kuat dan primitif.
2.3.1 Digraph Primitif
Suatu digraph D dikatakan terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dan terdapat walk dari v ke u.
Universitas Sumatera Utara
Contoh 2.3.1 : Berikut ini adalah representasi dari digraph terhubung kuat dan digraph tidak terhubung kuat.
Gambar 2.5 : (a) Digraph terhubung kuat (b) Digraph tidak terhubung kuat
Gambar 2.5 (a) merupakan suatu digraph terhubung kuat karena terdapat walk dari satu vertex ke vertex lainnya, dan Gambar 2.5 (b) bukan merupakan suatu digraph terhubung kuat atau dengan kata lain tidak terhubung kuat karena tidak terdapat walk dari v2 ke v3.
Suatu digraph D terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat positif l sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat suatu walk yang panjangnya l.
Lemma 2.1 Andaikan D adalah digraph terhubung kuat maka setiap vertex v di D terletak pada cycle.
Bukti: Ambil sebarang vertex v di D dan sebarang arc dari vertex u ke v di D.
Karena D terhubung kuat, maka terdapat path dari vertex u ke v yang berakibat akan diperoleh suatu path tertutup di D yang dibentuk oleh arc dari vertex u ke v dan path dari vertex v ke u di D. Oleh definisi bahwa path tertutup adalah suatu cycle dan v sebarang vertex di D, maka setiap vertex v di D terletak pada suatu
cycle. Universitas Sumatera Utara
14
Andaikan himpunan C = {c1, c2,...,ct} adalah himpunan semua cycle di D.
Misalkan M adalah suatu matriks baris dengan kolom ke i untuk i = 1, 2,..., t dan entri-entri dari M adalah panjang cycle ci (`(ci)). Misalkan hM i sebagai subgrup dari grup bilangan bulat Z yang dibangun oleh kolom-kolom dari M yakni
hM i = {z1`(c1) + z2`(c2) + ... + zt`(ct) : zi ∈ Z, i = 1, 2, 3, ..., t}
Andaikan D adalah digraph imprimitif dengan indeks imprimitifitas k, maka k = gcd(`(c1), `(c2), ... , `(ct)). Kemudian suatu digraph dikatakan primitif jika k = 1 dan imprimitf jika k 6= 1.
Contoh 2.3.2 : Representasi dari digraph terhubung kuat yang primitif
Gambar 2.6 : Digraph terhubung kuat dan primitif
Digraph pada Gambar 2.6 merupakan digraph terhubung kuat dengan 4 cycle yaitu : v1 → v1 dengan panjang 1, cycle v1 → v2 → v4 → v1 dengan panjang 3, cycle v2 → v4 → v3 → v2 dengan panjang 3 dan cycle v3 → v3 dengan panjang 1. Pembagi persekutuan terbesar dari panjang cycle-cycle pada digraph tersebut adalah 1. Dengan demikian, digraph tersebut primitif.
2.3.2 2-Digraph Primitif
Suatu 2-digraph D dikatakan terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dan terdapat walk dari vUniversitas Sumatera Utara
ke u, dengan tidak memperhatikan komposisi warna arc dari walk tersebut.
Contoh 2.3.3 : Berikut ini adalah representasi dari 2-digraph terhubung kuat dan 2-digraph tidak terhubung kuat.
Gambar 2.7 : (a) 2-digraph terhubung kuat (b) 2-digraph tidak terhubung kuat
Gambar 2.7 (a) merupakan suatu 2-digraph terhubung kuat karena terdapat walk dari satu vertex ke vertex lainnya, dan Gambar 2.7 (b) bukan merupakan suatu 2-digraph terhubung kuat atau dengan kata lain tidak terhubung kuat karena tidak terdapat walk dari v2 ke v3.
Suatu 2-digraph D terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat m dan b sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat (m, b)- walk dari u ke v dan sebaliknya. Andaikan D adalah digraph dwi-warna terhubung kuat dan andaikan C = {γ1, γ2, . . . , γt} adalah himpunan semua cycle yang berada di D. Suatu matriks cycle M dari D adalah suatu matriks berordo 2 × t dengan kolom-kolomnya adalah komposisi dari cycle-cycle γi, i = 1, 2, · · · , t yakni
M =
"
r(γ1) r(γ2) ... r(γt) b(γ1) b(γ2) ... b(γt)
#
disebut sebagai cycle matriks D. Suatu 2-digraph D dikatakan primitif jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari determinan submatriks 2 × 2 dari M adalah 1 (Fornasini dan Valcher, 1997).
Universitas Sumatera Utara
16
Contoh 2.3.3 : Representasi dari 2-digraph terhubung kuat yang primitif
Gambar 2.8 : 2-Digraph terhubung kuat dan primitif
Pada gambar terdapat 4 buah cycle, sehingga diperoleh cycle matriks sebagai berikut
M =
"
1 3 1 0 0 0 2 1
#
dan submatriksnya adalah M1 =
"
1 3 0 0
#
, M2 =
"
1 1 0 2
#
, M3 =
"
1 0 0 1
#
,dst. Dikare- nakan det(M3)=1, hal ini mengakibatkan pembagi persekutuan terbesar dari se- mua determinan submatriksnya akan bernilai 1. Dengan demikian 2-digraph terse- but 2-primitif.
2.4 Eksponen Digraph dan 2-Digraph
Pada sub-bab ini akan dibahas tentang definisi eksponen digraph dan 2-digraph serta contoh bagaimana menentukan eksponen dari digraph dan 2-digraph terse- but.
2.4.1 Eksponen Digraph
Pada digraph, eksponen dari digraph D didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk berarah dari u ke v dengan panjang k. Eksponen dari digraph tersebut dinotasikan
dengan exp(D). Universitas Sumatera Utara
Zaini dan Suwilo (2005), menyatakan bahwa vertex vi ke vj di Ak memiliki walk dengan panjang k. Berikut ini diperlihatkan hubungan antara suatu digraph dengan matriks.
Proposisi 2.2 Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D. Entri akij dari Ak menyatakan banyaknya walk dari vi ke vj yang panjangnya k di D.
Bukti: Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D, maka setiap entri (i, j) dari A menyatakan arc dari vi ke vj di digraph D. Hal ini berakibat untuk k = 1, maka setiap entri a1ij dari A1 menyatakan banyaknya walk dari vi ke vj yang panjangnya satu.
Asumsikan setiap entri a(k)ij dan Ak menyatakan banyaknya walk dari vi dan vj yang panjangnya k di D, untuk k ≥ 1. Berikut ini diperlihatkan a(k+1)ij adalah banyaknya walk dari vi ke vj yang panjangnya k + 1 di D, untuk k ≥ 1.
Perhatikan setiap walk dari vi ke vj di D dengan panjang k + 1 yang terdiri dari walk dari vi ke vj dengan panjang k untuk l = 1, 2, . . . , n dan dilanjutkan dengan arc dari vike vj. Sehingga a(k)il aljadalah menyatakan walk yang panjangnya k + 1 dari vi ke vj di D, untuk k = 1, 2, . . . , n. Jika tidak terdapat walk yang panjang k dari vi ke vj di D, maka a(k)il = 0 sehingga a(k)il alj = 0. Hal ini berarti tidak terdapat walk dengan panjang k+1 dari vike vjyang melalui vldi D sehingga diperoleh banyaknya walk yang panjangnya k + 1 dari vi ke vj di D adalah
a(k)i1 a1j+ a(k)i2 a2j+ · · · + a(k)inanj = Xn
i=1
a(k)il alj
karena
Ak+1 = AkA maka
a(k)ij = Xn
i=1
a(k)il alj
Universitas Sumatera Utara
18
Hal ini berakibat a(k+1)ij adalah benar menyatakan banyaknya walk dari vi ke vj yang panjangnya k + 1 di D. Jadi, elemen (i, j) dari Ak adalah banyaknya walk yang panjangnya k dari vi ke vj.
Contoh 2.4.1 : Matriks adjacency dari digraph pada Gambar 2.6 adalah A =
1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0
, kemudian akan dicari eksponen dari digraph tersebut.
Berdasarkan Proposisi 2.2, banyaknya walk dari vertex vi ke vj dengan pan- jang k adalah entri dari matriks Akij dari Ak, dengan demikian nilai k merupakan eksponen dari digraph bila matriks Ak adalah matriks positif. Perhatikan matriks Ak berikut:
a. Untuk k = 1 ; diperoleh A1 =
1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0
, maka bukan merupakan ekspo- nen digraph, karena tidak terdapat walk dengan panjang 1 dari v1 ke v3, v1
ke v4, v2 ke v1, v2 ke v2, v2 ke v3, v3 ke v1, v3 ke v4, v4 ke v2 dan v4 ke v4.
b. Untuk k = 2 ; diperoleh A2 =
1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 2 1 0
, maka bukan merupakan ekspo- nen digraph, karena tidak terdapat walk dengan panjang 2 dari v1 ke v3, v2
ke v2, v2 ke v4, v3 ke v1, dan v4 ke v4.
c. Untuk k = 3 ; diperoleh A3 =
2 1 1 1 1 2 1 0 1 1 2 1 1 2 1 2
, maka bukan merupakan ekspo-
nen digraph, karena tidak terdapat walk dengan panjang 3 dari v2 ke v4.
d. Untuk k = 4 ; diperoleh A4 =
3 3 2 1 1 2 1 2 2 3 3 1 3 2 3 2
, karena terdapat walk dengan Universitas Sumatera Utara
panjang 4 dari tiap pasangan verteks di D, maka eksponen dari digraph pada Gambar 2.6 adalah 4.
2.4.2 2-Eksponen 2-Digraph
Pada 2-digraph, 2-eksponen dari 2-digraph D didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil m + b sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk berarah dari u ke v dengan panjang m + b yang terdiri dari m arc merah dan b arc biru. Eksponen dari 2-digraph tersebut dinotasikan dengan exp2(D).
Suwilo (2008) juga melakukan riset tentang digraph dwi - warna primitif yang dikhususkan pada lollipop dwi - warna.
Lemma 2.3 Andaikan D adalah sebuah 2-digraph atas n verteks dan misalkan
R dan B masing-masing adalah matriks adjacency merah dan biru dari digraph dwi-warna D. Maka elemen (i, j) dari (R, B)(m,b) adalah banyaknya (m, b)-walk dari verteks vi ke verteks vj.
Bukti. Akan dibuktikan dengan induksi pada (m + b) dan (m + b + 1), jika m = 0
maka b = 1 atau jika m = 1 maka b = 0. Jika m = 0 maka elemen (i, j) dari (R, B)(0,1)= B adalah walk dengan komposisi
"
0 1
#
di 2-digraph D. Dengan cara yang sama, jika b = 0 maka (R, B)(1,0) = R adalah walk dengan elemen (i, j) menyatakan walk dengan komposisi
"
1 0
#
di 2-digraph D.
Andaikan Lemma 2.3 benar untuk semua bilangan bulat tak negatif m0 dan b0 dengan m0+ b0 ≤ m + b akan diperlihatkan untuk m + b + 1 adalah benar dengan catatan sebagai berikut.
(R, B)(m+1,b) = R(R, B)(m,b)+ B(R, B)(m+1,b−1)
Oleh hipotesis induksi, elemen (i, j) pada R(R, B)(m,b) adalah walk dari vi ke vj
yang dimulai dengan arc merah dan diikuti oleh (m, b)-walk, dan elemen (i, j) pada B(R, B)(m+1,b−1)adalah walk dari vi ke vj yang dimulai dengan arc biru danUniversitas Sumatera Utara
20
diikuti oleh (m + 1, b − 1)-walk sedemikian hingga elemen (i, j) dari (R, B)(m+1,b) adalah jumlah (m + 1, b)-walk dari vi ke vj. Jadi, elemen (i, j) dari (R, B)(m,b) adalah jumlah (m, b)-walk dari verteks vi ke verteks vj.
Contoh 2.4.1 : Matriks adjacency merah dari 2-digraph pada Gambar 2.8 adalah
R =
1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
dan matriks adjacency biru dari 2-digraph pada Gambar 2.8
adalah B =
0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
, kemudian akan dicari eksponen dari 2-digraph tersebut.
Berdasarkan Lemma 2.3, banyaknya walk dari vertex vike vj dengan panjang m + b adalah entri (i, j) dari (R, B)(m,b), dengan demikian nilai m + b merupakan eksponen dari digraph bila matriks (R, B)(m+b) adalah matriks positif. Perhatikan matriks (R, B)(m,b) berikut:
a. Untuk m + b = 1, maka diperoleh:
1. (R, B)(1,0)= R =
1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
2. (R, B)(0,1)= B =
0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
b. Untuk m + b = 2, maka diperoleh:
1. (R, B)(2,0)= R2 =
1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0
Universitas Sumatera Utara
2. (R, B)(1,1)= RB + BR =
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0
3. (R, B)(0,2)= B2 =
0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0
c. Untuk m + b = 3, maka diperoleh:
1. (R, B)(3,0)= R3 =
2 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1
2. (R, B)(2,1)= R(R, B)(1,1)+ BR2 =
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3. (R, B)(1,2)= RB2+ B(R, B)(1,1)=
0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1
4. (R, B)(0,3)= B3 =
0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0
d. Untuk m + b = 4, maka diperoleh:
1. (R, B)(4,0)= R4 =
3 0 1 2 0 0 0 0 2 0 1 1 1 0 1 1
2. (R, B)(3,1)= R(R, B)(2,1)+ BR3 =
0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
Universitas Sumatera Utara
22
3. (R, B)(2,2)= R(R, B)(1,2)+ B(R, B)(2,1)=
0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
4. (R, B)(1,3)= RB3+ B(R, B)(1,2)=
0 0 0 0 0 2 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1
5. (R, B)(0,4)= B4 =
0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0
e. Untuk m + b = 5, maka diperoleh:
1. (R, B)(5,0)= R5 =
4 0 2 3 0 0 0 0 3 0 1 2 2 0 1 1
2. (R, B)(4,1)= R(R, B)(3,1)+ BR4 =
0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
3. (R, B)(3,2)= R(R, B)(2,2)+ B(R, B)(3,1)=
0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 2 1 0 0 0
4. (R, B)(2,3)= R(R, B)(1,3)+ B(R, B)(2,2)=
0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0
5. (R, B)(1,4)= RB4+ B(R, B)(1,3)=
0 0 0 0 0 3 1 2 0 2 1 1 0 1 0 1
Universitas Sumatera Utara
6. (R, B)(0,5)= B5 =
0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0
f. Untuk m + b = 6, maka diperoleh:
1. (R, B)(6,0)= R6 =
6 0 3 4 0 0 0 0 4 0 2 3 3 0 1 2
2. (R, B)(5,1)= R(R, B)(4,1)+ BR5 =
0 2 0 0 2 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0
3. (R, B)(4,2)= R(R, B)(3,2)+ B(R, B)(4,1)=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 0 2
4. (R, B)(3,3)= R(R, B)(2,3)+ B(R, B)(3,2)=
0 2 1 1 2 0 0 1 1 1 0 2 1 0 0 0
5. (R, B)(2,4)= R(R, B)(1,4)+ B(R, B)(2,3)=
0 1 0 1 1 1 2 0 1 0 1 0 0 2 1 1
6. (R, B)(1,5)= RB5+ B(R, B)(1,4)=
0 0 0 0 0 4 1 3 0 3 1 2 0 1 0 1
7. (R, B)(0,6)= B6 =
0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0
g. Untuk m + b = 7, maka diperoleh: Universitas Sumatera Utara
24
1. (R, B)(7,0)= R7 =
9 0 4 6 0 0 0 0 6 0 3 4 4 0 2 3
2. (R, B)(6,1)= R(R, B)(5,1)+ BR6 =
0 3 0 0 3 0 1 2 0 2 0 0 0 1 0 0
3. (R, B)(5,2)= R(R, B)(4,2)+ B(R, B)(5,1)=
2 2 1 3 2 1 1 1 3 1 2 2 1 1 2 2
Karena terdapat walk dengan panjang 7 dari tiap pasangan verteks di 2-digraph D, maka 2-eksponen dari 2-digraph pada Gambar 2.8 adalah 7,dengan komposisi
5 2
, 5 arc merah dan 2 arc biru.
2.5 Eksponen Vertex Digraph dan 2-Digraph
Pada sub-bab ini akan dibahas tentang definisi eksponen vertex dari digraph dan 2- digraph serta contoh bagaimana menentukan eksponen dari digraph dan 2-digraph tersebut.
2.5.1 Eksponen Vertex Digraph
Misalkan D adalah sebuah digraph primitif dengan himpunan vertex V (D) = (v1, v2, · · · , vn). Untuk suatu vi ∈ V (D) dan X ⊆ V (D), eksponen vertex γD(vi) adalah bilangan bulat positif terkecil l sedemikian hingga terdapat walk dengan panjang l dari vi kesetiap vertex di D, dan himpunan eksponen expD(X) adalah bilangan bulat positif terkecil p sehingga untuk setiap vertex vj di D terdapat sebuah walk dari paling sedikit satu vertex di X ke vj dengan panjang p.
Misalkan D adalah digraph primitif dengan orde n. Jika vertex - vertex di Universitas Sumatera Utara
D adalah (v1, v2, · · · , vn) sedemikian hingga
γD(v1) ≤ γD(v2) ≤ · · · ≤ γD(vn)
maka γD(vk) adalah tipe pertama generalisasi eksponen ke - k dari D, dinotasikan expD(vk).
Contoh 2.5.1 : Berikut ini akan dicari eksponen vertex dari masing-masing vertex di digraph pada Gambar 2.6 berdasarkan Proposisi 2.2 yaitu dengan melihat entri Akij dari Ak, dimana entri pada baris ke-i harus bernilai positif.
Pada Contoh 2.4.1 telah diperoleh matriks-matriks dari Ak, kita perhatikan
untuk k = 3 diperoleh matriks A3 =
2 1 1 1 1 2 1 0 1 1 2 1 1 2 1 2
, dimana pada baris ke-1, ke-3 dan ke-4 seluruh entrinya bernilai positif, maka expD(v1) = 3, expD(v3) = 3 dan expD(v4) = 3.
Kemudian perhatikan untuk k = 4 diperoleh matriks A4 =
3 3 2 1 1 2 1 2 2 3 3 1 3 2 3 2
,
dimana pada baris ke-2 seluruh entrinya bernilai positif, maka expD(v2) = 4.
Dengan demikian keempat vertex digraph pada Gambar 2.6 telah memper- oleh eksponen vertex masing-masing, yakni expD(v1) = 3, expD(v2) = 4, expD(v3)
= 3 dan expD(v4) = 3.
2.5.2 Eksponen Vertex 2-Digraph
Misalkan D adalah suatu 2-digraph primitif dengan himpunan vertex V (D) = {v1, v2, · · · , vn}. Untuk setiap vi ∈ V (D) dan X ⊆ V (D), eksponen vertex γD(vi) adalah bilangan bulat positif terkecil m1+m2sedemikian hingga terdapat (m1, m2)- walk dari vi ke setiap vertex di D, dan himpunan eksponen expD(X) adalah bi- langan bulat positif terkecil p1+ p2 sehingga untuk setiap vertex vj di D terdapat sebuah (p1, p2)-walk dari paling sedikit satu vertex di X ke vUniversitas Sumatera Utaraj.
26
Misalkan D adalah 2-digraph primitif dengan orde n. Jika vertex - vertex di D adalah (v1, v2, · · · , vn) sedemikian hingga
γD(v1) ≤ γD(v2) ≤ · · · ≤ γD(vn)
maka γD(vk) adalah tipe pertama generalisasi eksponen ke - k dari D, dinotasikan expD(vk).
Untuk mencari eksponen vertex dari suatu 2-digraph primitif D, dimana terdiri atas m arc berwarna merah dan b arc berwarna biru, maka akan dilakukan operasi (m, b)-matriks Hurwitz Product R dan B yang dapat didefinisikan secara rekurensif. Untuk suatu bilangan bulat tak negatif terkecil m dan b, dan k adalah vertex di D, maka untuk baris ke-k dari matriks tersebut yang seluruh entrinya bernilai positif, eksponen vertex-nya adalah m + b.
Contoh 2.5.2 : Berikut ini akan dicari eksponen vertex dari masing-masing vertex di 2-digraph pada Gambar 2.8 yaitu dengan melihat entri (i, j) dari (R, B)(m,b), dimana entri pada baris ke-i harus bernilai positif.
Pada Contoh 2.4.2 telah diperoleh matriks-matriks dari (R, B)(m,b), kita perhatikan untuk m + b = 6 pada (R, B)(4,2) diperoleh matriks (R, B)(4,2) =
R(R, B)(3,2)+ B(R, B)(4,1)=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 0 2
, dimana pada baris ke-1, ke-2 dan ke-3 seluruh entrinya bernilai positif, maka expD(v1) = 6, expD(v2) = 6 dan expD(v3)
= 6 dengan komposisi4 2
.
Kemudian perhatikan untuk m + b = 7 pada (R, B)(5,2) diperoleh matriks
(R, B)(5,2)= R(R, B)(4,2)+ B(R, B)(5,1) =
2 2 1 3 2 1 1 1 3 1 2 2 1 1 2 2
, dimana pada baris ke-4
seluruh entrinya bernilai positif, maka expD(v4) = 7 dengan komposisi 5 2
.
Dengan demikian keempat vertex 2-digraph pada Gambar 2.8 telah memper-Universitas Sumatera Utara
oleh eksponen vertex masing-masing, yakni expD(v1) = 6, expD(v2) = 6, expD(v3)
= 6 dan expD(v4) = 7.
2.5.3 Digraph Wielandt
Digraph Wielandt Wn dengan orde n ≥ 3 adalah suatu digraph dengan vertex v1, v2, . . . vn yang terdiri dari cycle vn → vn−1 → · · · → v2 → v1 → vn dan arc v1 → vn−1. Digraph Wielandt direpresentasikan sebagai berikut.
Gambar 2.9 : Digraph Wielandt Wn dengan n vertex
Digraph Wielandt Wn dengan orde n mempunyai eksponen terbesar dari digraph primitif dengan orde n tersebut, yaitu n2 − 2n + 2. Didefinisikan Wn(2)
sebagai suatu digraph dwi-warna yang diperoleh dengan mewarnai arc dengan digraph Wielandt Wndengan merah dan biru. Suatu digraph Wielandt dwi-warna Wn(2) dengan orde n adalah primitif jika dan hanya jika matriks cycle dari Wn(2)
adalah
M =
"
n − 1 n − 2
1 1
#
Hal ini mengimplikasikan bahwa untuk suatu digraph Wielandt Wn(2)yang primitif dengan orde n, n-cycle dari Wn(2) terdiri dari tepat satu arc biru dan (n − 1)- cycle dari Wn(2) juga terdiri dari tepat satu arc biru. Jadi ada dua kemungkinan.
Sebut bahwa Wn(2) tipe I, jika arc v1 → vn atau arc vn → vn−1 adalah biru, arc v1 → vn−1 adalah biru, dan yang lainnya merah; dan Wn(2) disebut tipe II, jika path vn−1→ vn−2→ · · · → v1 yang terdiri dari tepat satu arc biru dan selebihnya
merah. Universitas Sumatera Utara
28
Beberapa fakta tentang eksponen digraph dwi-warna primitif Wielandt yang telah digeneralisasikan (Gao dan Shao, 2009).
1. Misalkan Wn(2) adalah sebuah digraph dwi-warna Wielandt primitif dengan orde n. Jika Wn(2) adalah tipe I dengan arc biru v1 → vn dan v1 → vn−1, maka untuk 1 ≤ k ≤ n, berlaku
expW(2)
n = γW(2)
n (vk) = n2− 2n + k.
2. Misalkan Wn(2) adalah sebuah digraph dwi-warna Wielandt primitif dengan orde n. Jika Wn(2) adalah tipe I dengan arc biru vn → vn−1 dan v1 → vn−1, maka untuk 1 ≤ k ≤ n, berlaku
expW(2)
n = γW(2)
n (vk) = n2− 2n + k + 1
3. Misalkan Wn(2) adalah sebuah digraph dwi-warna Wielandt primitif dengan orde n. Jika Wn(2)adalah tipe II dengan arc biru vj → vj−1, dimana 2 ≤ j ≤ n − 1, maka untuk 1 ≤ k ≤ n, berlaku
expW(2)
n = γW(2)
n (vk) = n2− 2n + k − j + 1
Universitas Sumatera Utara
