TUGAS BESAR PROBABILITAS DAN STATISTIK

TUGAS BESAR PROBABILITAS DAN STATISTIK

“DISTRIBUSI GAMMA (EKSPONENSIAL, CHI-SQUARE, DAN

EKSPONENSIAL NEGATIF)”

Oleh : Kelompok 4

NAMA MAHASISWA NIM

1. Ade Firmansyah 131910201032 2. Novita Murti Hernandes 151910201091 3. Deschie Tri Aksara 151910201094 4. Azhar Bima Javier Arif 151910201096 5. Ghazian Aufar Hilmi 151910201112 6. Adittya Aprillia Arganta 151910201114 7. Muchammad Muchyiddin 151910201118 8. Nine Shela Sadinda Agustine 161910201113

JURUSAN TEKNIK ELEKTRO STRATA 1

FAKULTAS TEKNIK

2016BAB 1. SEJARAH DAN PENGERTIAN

Salah satu distribusi kontinu dalam statistika adalah distribusi Gamma yang dapat digunakan untuk menyelesaikan banyak persolan dalam bidang rekayasa dan sains. Sebagai salah satu contohnya distribusi Gamma memainkan peranan penting dalam teori antrian dan teori keandalan (reliabilitas) misalnya untuk mengatasi kehilanagan data. Distribusi Gamma adalah salah satu teori dari distibusi probabilitas yang banyak digunakan untuk menarik kesimpulan atau menguji sebuah hipotesis statistika. Distribusi Gamma mendapat namanya dari fungsi Gamma yang sudah dikenal luas, dan dipelajari dalam banyak bidang matematika.

Distribusi yang mempunyai aplikasi paling luas dalam menganalisa data uji hidup adalah distribusi Gamma. Data uji hidup atau uji reliabilitas merupakan peluang bahwa komponen tersebut akan berfungsi sebagaimana mestinya selama, paling sedikit, sampai jangka waktu tertentu dalam percobaan yang telah ditentukan. Dalam uji reliabilitas terdapat beberapa fungsi yang digunakan untuk menentukan reliabilitas suatu system diantaranya adalah fungsi ketahanan (survival function) dan fungsi kegagalan (failure rate function). Namun, kekurangan dari distribusi Gamma adalah memiliki fungsi ketahanan (survival

function) yang tidak dapat ditentukan bentuk khususnya, kecuali jika parameter

bentuknya berupa bilangan natural. Hal ini menyebabkan distribusi Gamma sedikit digunakan dibandingkan dengan distribusi Weibull karena mempunyai fungsi kegagalan dan ketahanan yang lebih sederhana.

Distribusi Gamma banyak dimamfaatkan untuk mengetahui atau menghitung jarak antara waktu tiba di fasilitas pelayanan (misalnya, bank dan loket tiket kereta api), serta lamanya waktu sampai rusaknya suku cadang dan alat listrik. Distribusi Gamma sendiri mempunyai hubungan dengan distribusi eksponensial, kedua dstribusi tersebut memungkinkan kedua distribusi tersebut digunakan dalam persoalan yang sama.

Oleh karena itu Distribusi Gamma sangat penting untuk dipelajari pada masa sekarang ini, karena sangat berguna untuk mengetahui dan mempelajari

pengaruh dari satu variabel terhadap variabel lain pada suatu masalah yang dihadapi. Hal tersebut yang umelatar belakangi penulisan makalah ini.

1.1 Sejarah dan Pengertian Distribusi Eksponensial

Salah satu distribusi yang banyak digunakan dalam statistika, khususnya proses stokastik, adalah distribusi eksponensial. Distribusi eksponensial adalah salah satu kasus khusus dari distribusi gamma. Distribusi eksponensial juga merupakan suatu distribusi yang berguna untuk mencari selisih waktu yang terjadi dalam suatu peluang tertentu. Dalam distribusi eksponensial ini, digunakan pencarian atau pengolahan data dengan menggunakan variabel random. Di mana variabel random itu sendiri adalah variabel yang berupa nilai atau angka yang merupakan outcome dari eksperimen random. Variabel random bersifat diskrit bila hanya berupa nilai tertentu yang dapat dihitung. Namun, variabel random bersifat kontinyu bilamana berupa suatu nilai manapun dalam suatu interval.

Distribusi eksponensial pertama kali diperkenalkan oleh Gupta dan Kundu pada tahun 1999. Distribusi ini diambil dari salah satu fungsi kepadatan kumulatif yang digunakan pada pertengahan abad 19 (Gompertz-Verhulst) untuk membandingkan tabel kematian dan menghasilkan laju pertumbuhan penduduk.

1.2 Sejarah dan Pengertian Distribusi Chi-square

Istilah regresi dikemukakan untuk pertama kali oleh seorang antropolog dan ahli meteorologi Francis Galton dalam artikelnya “Family Likeness in

Stature” pada tahun 1886. Ada juga sumber lain yang menyatakan istilah regresi

pertama kali mucul dalam pidato Francis Galton di depan Section H of The British

Association di Aberdeen, 1855, yang dimuat di majalah Nature, September 1855

dan dalam sebuah makalah “Regression towards mediocrity in hereditary stature”, yang dimuat dalam Journal of The Antrhopological Institute (Draper and Smith, 1992).

Studinya ini menghasilkan apa yang dikenal dengan hukum regresi universal tentang tingginya anggota suatu masyarakat. Hukum tersebut menyatakan bahwa distribusi tinggi suatu masyarakat tidak mengalami perubahan

yang besar sekali antar generasi. Hal ini dijelaskan Galton berdasarkan fakta yang memperlihatkan adanya kecenderungan mundurnya (regress) tinggi rata-rata anak dari orang tua dengan tinggi tertentu menuju tinggi rata-rata seluruh anggota masyarakat. Ini berarti terjadi penyusutan ke arah keadaan sekarang. Tetapi, sekarang istilah regresi telah diberikan makna yang jauh berbeda dari yang dimaksudkan oleh Galton. Secara luas analisis regresi diartikan sebagai suatu analisis tentang ketergantungan suatu variabel kepada variabel lain yaitu variabel bebas dalam rangka membuat estimasi atau prediksi dari nilai rata-rata variabel tergantung dengan diketahuinya nilai variabel bebas.

Selanjutnya Karl Pearson, membuat sebuah jurnal Biometrika yang berisi hasil kajian penelitian statistika dari peneliti ASIA (menurutnya Asia lebih baik dalam perkembangan aritmatika dibandingkan dengan Eropa). Selanjutnya ditemukan teori Kai Kuadrat (Chi-square) χ2 _{di tahun 1900, yaitu apabila datanya}

berkelompok (berbentuk kategorik).

Distribusi khi-kuadrat (bahasa Inggris: Chi-square distribution) atau distribusi χ² dengan k derajat bebas adalah distribusi jumlah kuadrat ke perubah acak normal baku yang saling bebas. Distribusi ini seringkali digunakan dalam statistika inferensial, seperti dalam uji hipotesis, atau dalam penyusunan selang kepercayaan. Apabila dibandingkan dengan distribusi khi-kuadrat nonsentral, distribusi ini dapat juga disebut distribusi khi-kuadrat sentral.

Salah satu penggunaan distribusi ini adalah uji khi-kuadrat untuk kebersesuaian (goodness of fit) suatu distribusi pengamatan dengan distribusi teoretis, kriteria klasifikasi analisis data yang saling bebas, serta pendugaan selang kepercayaan untuk simpangan baku populasi berdistribusi normal dari simpangan baku sampel. Sejumlah pengujian statistika juga menggunakan distribusi ini, seperti Uji Friedman.

BAB 2. RUMUS DAN GAMBAR GRAFIK PDF DAN CDF

Eksperimen-eksperimen probabilitas yang hasilnya menunjukkan suatu bentuk distribusi yang mempunyai variasi ukuran kemencengan yang cukup signifikan, distribusi Gamma merupakan salah satu alternatif model yang banyak digunakan.

 Fungsi Gamma r () adalah :

 Distribusi Gamma

Peubah acak kontinyu x berdistribusi Gamma dengan parameter α dan β, bila padatnya diberikan oleh :

= 0 untuk x lainnya, bila α > 0 dan β > 0

 Distribusi Gamma Standar

Jika parameter skala sebuah distribusi Gamma β = 1, maka diperoleh suatu distribusi Gamma standar :

Kurva PDF Distribusi Gamma

Untuk 0 ≤ x dengan > 0 dan r > 0,ʎ = 0, untuk yang lainnya

Kurva CDF Distribusi Gamma

2.1 Rumus dan Gambar Grafik Distribusi Eksponensial

Distribusi eksponensial didefinisikan sebagai berikut:

G(t )=(1−ρ e−tλ

)a

Kemudian dengan menstandarisasikan ρ = 1 dan x = t, diperoleh distribusi ekponensial satu variabel (Univariate Exponential Distribution) dengan fungsi kepadatan kumulatif dan x > 0, adalah sebagai berikut:

F¿(x ;a , λ)=(1−e

−λx

Dari turunan fungsi kepadatan kumulatif di atas, juga didapat fungsi kepadatan peluangnya (fkp) adalah sebagai berikut:

F¿(x ; a , λ)=aλ e −λx_(1−e−λx )a −1 Keterangan: x = peubah acak  = parameter bentuk



= parameter skala e = 2,7183...

Untuk a > 0 dan λ > 0 masing–masing adalah parameter bentuk dan parameter skala. Ini jelas untuk a = 1, merupakan distribusi eksponensial. Pada kajian parameter a, dan λ = 1, sehingga distribusi eksponensial tergeneralisir dengan parameter bentuk di notasikan dengan GE(a).

Jika terdapat dua peubah acak (X1,X) yang berdistribusi eksponensial tergeneralisir dengan asumsi saling bebas, maka distribusi eksponensial tergeneralisir dua variabel (fungsi kepadatan peluang gabungan dari (X2)), untuk

x1 > 0, x > 0 adalah:

Distribusi probabilitas eksponensial merupakan pengujian yang dilakukan untuk melakukan perkiraan atau prediksi dengan hanya membutuhkan perkiraan rata-rata populasi, karena distribusi eksponensial memiliki standar deviasi sama dengan rata-rata. Distribusi ini termasuk ke dalam distribusi kontinyu. Ciri dari distribusi ini adalah kurvanya mempunyai ekor di sebelah kanan dan nilai x dimulai dari 0 sampai tak hingga. Distribusi eksponensial merupakan model waktu (atau panjang atau area) antara kejadian Poisson. Dengan fungsi pdf dan cdf sebagai berikut :

Gambar kurva distribusi eksponensial berbeda-beda tergantung dari nilai x dan λ sebagai berikut :

2.2 Rumus dan Gambar Grafik Distribusi Chi-square

Lancaster memperlihatkan hubungan antara distribusi binomial, normal, dan chi-squared, sebagai berikut. De Moivre dan Laplace menetapkan bahwa distribusi binomial dapat didekati dengan distribusi normal. Secara khusus mereka menunjukkan normalitas asimtotik dari variabel random

χ=m−Np

√

(Npq)

di mana m adalah jumlah diamati dari keberhasilan dalam uji N, di mana probabilitas keberhasilan adalah p, dan q = 1 - p.

Mengkuadratkan kedua sisi persamaan memberikan

χ2

=(m−Np)

2

(N_pq)

Menggunakan N = Np + N (1 - p), N = m + (N - m), dan q = 1 - p, persamaan ini untuk menyederhanakan

χ2=(m−Np)

2

(N_p) +

(N−m−Nq)2

(N_q)

Ekspresi di sebelah kanan adalah dari bentuk yang Pearson akan menggeneralisasi ke bentuk:

di mana :

χ2 _{= Pearson uji statistik kumulatif, yang asimtotik mendekati distribusi.} Oi = Jumlah pengamatan tipe i.

Ei = Npi= Diharapkan (teoritis) frekuensi jenis i, menegaskan dengan hipotesis

nol bahwa fraksi jenis i dalam populasi adalah

n = Jumlah sel dalam tabel.

Probability Density Function

Rumus dari probability density function (pdf) yaitu :

y=f (x

|

v )=x (v−2)/2 e−x/ 2 2 v 2_{Γ ( v /2)} di mana : Γ( · ) = fungsi Gamma,

ν = degrees of freedom, dan x ≥ 0.

χ2=

∑

i=1 n _(O

i−Ei)2 E_i

Cumulative Distribution Function

Rumus dari cumulative distribution function (cdf) yaitu

p=F ( x|v )=

∫

0 x t(v−2)/ 2 e−t /2 2 v 2_{Γ (v /2)} dt di mana : Γ( · ) = fungsi Gamma,

ν = degrees of freedom, dan x ≥ 0.

2.3 Rumus dan Gambar Grafik Distribusi Eksponensial Negatif

Rumus umum dari distribusi probabilitas eksponensial negatif: P(R) = nCx . (P)^x . (Q)^n-x

di mana:

P(R) = Peluang kejadian (R) yang diharapkan. n = Banyaknya ulangan/ kejadian.

x = Banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x. P = Peluang kejadian keberhasilan.

Q = Peluang kegagalan. nCx = Rumus kombinasi.

Fungsi Padat Peluang

Notasi:

p = peluang sukses

x = jumlah percobaan sampai mendapatkan sukses ke-k k = jumlah sukses yang muncul

Gambar Grafik pdf Eksponensial Negatif

BAB 3. PARAMETER DAN PENGARUHNYA PADA GRAFIK  Nilai mean dari distribusi Gamma adalah :

= 

 Nilai variansi dari distribusi Gamma adalah :

2 = 2

 Mean dan varian distribusi Gamma dua parameter :

3.1 Parameter dan Pengaruh Distribusi Eksponensial Pada Grafik

Jika kejadian sukses berjalan secara kontinyu dan distribusi probabilitasnyapun bersifat kontinyu dalam kurun waktu tertentu, maka distribusi probabilitas tersebut dinamakan distribusi eksponensial. Distribusi eksponensial ini digunakan untuk memodelkan jumlahan waktu hingga kemunculan sebuah kejadian tertentu. Fungsi kerapatan probabilitas (pdf) dari distribusi eksponensial dinyatakan sebagai:

Mean dan varian dari distribusi eksponensial dinyatakan sebagai:

3.2 Parameter dan Pengaruh Distribusi Chi-square Pada Grafik Parameter

Parameter Deskripsi Support

v Degrees of freedom ν is a nonnegative

integer value Statistik deskriptif

Mean adalah ν. Variance adalah 2ν.

3.3 Parameter dan Pengaruh Distribusi Eksponensial Negatif Pada Grafik Mean (µ)

E(X) = k / p

Varian

BAB 4. SCRIPT MATLAB UNTUK PLOTTING GRAFIK PDF 4.1 Script Matlab Distribusi Eksponensial

% Program: DEksp.m % Distribusi Eksponensial clear all; clc; % Interval pengamatan x=0:.1:10; lamda=3.2;

% a. Waktu rata-rata antar pelanggan: % Nilai mu = 1/lamda untuk 30 menit, x=1 mu1=(1/3.2)*30;

% b. Untuk selisih waktu kedatangan 1 jam atau kurang % x=2 (karena 2x30 menit=1 jam)

% P(x<=2) xx=2;

y=1-exp(-lamda*xx);

% c. Untuk selisih waktu kedatangan 15 menit atau lebih % x=0,5 (karena 0,5x30 menit=15 menit)

% P(x>=0,5) x1=0.5; y1=exp(-lamda*x1); lamda1=1; lamda2=1/2; m=exppdf(x,lamda); m1=exppdf(x,lamda1); m2=exppdf(x,lamda2);

figure(1) plot(x,m,'-k','Linewidth',2); hold on; plot(x,m1,'-b','Linewidth',2); hold on; plot(x,m2,'-r','Linewidth',2); hold on; xlabel('x'); ylabel('f(x)'); legend('\lambda=3.2','\lambda=1','\lambda=0,5'); title('pdf distribusi eksponensial P(X<10)'); v=expcdf(x,lamda); v1=expcdf(x,lamda1); v2=expcdf(x,lamda2); figure(2) plot(x,v,'-k','Linewidth',2); hold on; plot(x,v1,'-b','Linewidth',2); hold on; plot(x,v2,'-r','Linewidth',2); hold on; xlabel('x'); ylabel('F(x)');

title('cdf distribusi eksponensial P(X<10)'); legend('\lambda=3.2','\lambda=1','\lambda=0,5'); grid on;

Grafik :

Gambar di atas merupakan grafik pdf dari hasil keluaran program, dapat dilihat dengan parameter lamda yang berbeda yaitu pada garis merah dengan lamda sebesar 0.2, biru sebesar 1 dan hitam sebesar 3,2 maka akan mempengaruhi nilai f(x) terhadap x.

Gambar di atas merupakan grafik CDF dari keluaran program, dengan parameter masing-masing 3,2 ; 1 ; dan 0,5. Seperti yang sudah kita ketahui bahwa karakteristik CDF nilai maksimal bernilai 1, sesuai dengan hasil keluaran program, pada gambar diatas nila F(X) maksimal 1 yang artinya percobaan diatas sudah sesuai teori dan dapat dikatakan benar.

4.2 Script Matlab Distribusi Chi-square # Chi-square PDF and CDF #df1 = 4.0 #mu = df1 #sigma = sqrt(2.0 * df1) #xmin = mu - 4.0 * sigma #xmin = xmin < 0 ? 0 : xmin #xmax = mu + 4.0 * sigma

#ymax = 1.1 * (df1 > 2.0 ? chi(df1 - 2.0) : 1.0) #Mode of chi PDF used

set key right box set zeroaxis

#set xrange [xmin : xmax] #set yrange [0 : ymax] set xlabel "x ->"

set ylabel "probability density ->" set xtics autofreq

set ytics autofreq set format x "%.1f" set format y "%.2f" set sample 100

set title "chi-square PDF" set key right box

plot [0:15] [0:0.2] df1 = 4, chi(x) title "df = 4", \

df1 = 6, chi(x) title "df = 6", \

df1 = 8, chi(x) title "df = 8"

set key left box

set title "chi-square CDF"

plot [0:15] [0:1.1] df1 = 4, cchi(x) title "df = 4", \

df1 = 6, cchi(x) title "df = 6", \

df1 = 8, cchi(x) title "df = 8"

4.3 Script Matlab Distribusi Eksponensial Negatif

# Negative exponential PDF and CDF lambda = 2.0

mu = 1.0 / lambda sigma = 1.0 / lambda xmax = mu + 4.0 * sigma ymax = lambda #No mode unset key

set zeroaxis

set xrange [0: xmax] set yrange [0: ymax] set xlabel "x ->"

set ylabel "probability density ->" set xtics autofreq

set ytics autofreq set format x "%.2f" set format y "%.1f" set sample 100

set title "negative exponential (or exponential) PDF with lambda = 2.0"

plot nexp(x)

set title "negative exponential (or exponential) CDF with lambda = 2.0"

set yrange [0: 1.1] plot cnexp(x)

BAB 5. APLIKASI DALAM DUNIA ENGINEER DAN CONTOH SOAL

Distribusi Gamma banyak dimamfaatkan untuk mengetahui atau menghitung jarak antara waktu tiba di fasilitas pelayanan (misalnya, bank dan loket tiket kereta api), serta lamanya waktu sampai rusaknya suku cadang dan alat listrik. Distribusi Gamma sendiri mempunyai hubungan dengan distribusi eksponensial, kedua dstribusi tersebut memungkinkan kedua distribusi tersebut digunakan dalam persoalan yang sama.

Beberapa aplikasi distribusi eksponensial di antaranya adalah: pemodelan waktu hingga komputer log off, pemodelan waktu antar waktu kedatangan panggilan telepon, pemodelan waktu pintu gerbang otomatis terbuka jika ada obyek di depannya dan lain-lain.

Contoh Soal 1

Variable acak kontinu x yang menyatakan ketahanan suatu bantalan peluru (dalam ribaun jam) yang diberi pembebanan dinamis pada suatu putaran kerja tertentu mengikuti suatu distribusi Gamma dengan = 8 dan = 15, Tentukan, probabilitas sebuah bantalan peluru dapat digunakan selama 60 ribu-120 ribu jam dengan pembebanan dinamik pada putaran kerja tersebut! Hitunglah mean dan variansi di atas! Penyelesaian: P (60x 120) = P (x 120) – P (x 60) = FG (120; 8 , 15) - FG (60 ; 8, 15 ) = FG (120/15 ; 8) - FG (60/15; 8) = FG (8 ;8) - FG (4 ; 8) = 0,5470 – 0,0511 = 0,4959 Mean : x E(X) (8)(15) 120 Varians :

Waktu kedatangan seorang pelanggan di sebuah restoran kota kecil diasumsikan terdistribusi eksponensial dengan rata-rata 3,2 pelanggan per 30 menit.

a. Berapa menit waktu rata-rata antar pelanggan di restoran tersebut ? b. Berapa probabilitas kedatangan pelanggan ada selang 1 jam atau kurang, c. Berapa probabilitas kedatangan pelanggan ada selang 15 menit atau lebih,

Gambarkan kurva pdf dan cdf totalnya untuk

Contoh Soal 3 Chi-square

Suatu penelitian akan menguji apakah ada perbedaan pilihan mahasiswa baru terhadap program studi Manajemen dan Akuntansi di Fakultas Ekonomi Universitas Kanjuruhan Malang. Untuk itu diambil sampel sebanyak 314 calon mahasiswa, dari jumlah tersebut 186 calon mahasiswa memiliki program studi Manajemen dan 128 calon mahasiswa memilih program studi Akuntansi.

Penyelesaian:

1. Rumusan hipotesis

Ho : PM = PA Tidak ada perbedaan yang signifikan pilihan calon

mahasiswa terhadap program studi Akuntansi dan Manajemen

Ha : PM PA Ada perbedaan yang signifikan pilihan calon mahasiswa

terhadap program studi Akuntansi dan Manajemen 2. Taraf nyata 5% ( = 0,05)

Derajat bebas (db) = jumlah kelompok – 1 = 2 - 1 = 1 Nilai 2

tabel (=0,05 ; db=1) = 3,841

3. Kriteria pengujian: Jika 2

hitung > 2tabel atau probabilitas < 0,05 maka Ho ditolak

Jika 2

hitung ≤ 2tabel atau probabilitas  0,05 maka Ho diterima

Tabel Frekuensi Observasi dan Frekuensi Harapan Program Studi Frekuensi Observasi

(O) Frekuensi Harapan (E) Manajemen 186 157 Akuntansi 128 157 Jumlah 314 314

Frekuensi harapan (E) diperoleh dari = 2

314

= 157 Selanjutnya dihitung nilai X2 _{sebagai berikut:}

X2 ₌ 157 ) 157 128 ( 157 ) 157 186 ( 2 _ 2   = 5,357 + 5,357 = 10,714

Cara lain untuk menghitung nilai 2 _{hitung adalah melalui tabel sebagai}

berikut :

Tabel Bantu Perhitungan Chi Square

Program Studi O E (O-E)2

E E O ₎2 (  Manajemen 186 157 841 5,357 Akuntansi 128 157 841 5,357 2 _10,714 5. Kesimpulan

Nilai 2 _{hitung selanjutnya dibandingkan dengan nilai }2 _{tabel,karena hasil}

perhitungan diperoleh nilai 2 _{hitung (10,714) > }2 _{tabel (3,841) berarti Ho}

ditolak, artinya pilihan calon mahasiswa terhadap program studi Akuntansi dan Manajemen berbeda secara signifikan, dengan kata lain perbedaan itu mencerminkan pilihan calon mahasiswa, dan tidak hanya bersifat kebetulan.

DAFTAR PUSTAKA

-Modul 5 Distribusi Probabilitas khusus -Modul distribusi probabiltas eksponensial

http://dokumen.tips/documents/distribusi-exponensial.html -http://firlizaa.blogspot.co.id/2012/12/distribusi-probabilitas.html

-http://dwithastatisticsundip.blogspot.co.id/2012/12/sejarah-regresi.html (22:28, 12 desember 2016)

-https://ansimath.wordpress.com/2010/06/10/tokoh-tokoh-bidang-statitstika/ (diakses pada 22:29, 12 Desember 2016)

-http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3666.htm (diakses pada 22:49, 12 Desember 2016 -http://repository.usu.ac.id/bitstream/123456789/29910/4/Chapter%20II.pdf -https://id.wikipedia.org/wiki/Distribusi_binomial -http://www.statsdata.my.id/2014/06/distribusi-variabel-acak-diskrit.html -http://gnuplot.sourceforge.net/demo_4.0/prob.html -https://www.mathworks.com/help/stats/chi-square-distribution.html#bt5dr0l -http://statistik-kesehatan.blogspot.co.id/2011/04/uji-kai-kuadrat-chi-square-test.html -http://statistikaunikama.blogspot.co.id/2012/12/latihan-soal-chi-square.html