fufuama , ;:,,,',,,,,,,,,, 2008, ": 1,,-,., learning Assistance Program for Islamic Schoolg'. ' pendidikan Guru Madrasah lbtidaiyah ,.,.

fufuama

Tim Penulis

:

A.

Saepul Hamdani

-

IAIN Sunan Ampel Surabaya

Kusaeri

-

IAIN

Sunan Ampel Surabaya

Irzani

-

IAIN

l4ataram

Mulin Nu'man

-

UNISIVIA Malang

,

,

,

.,.

;,,

,',

learning

Assistance Program

for

Islamic

Schoolg'.

'

pendidikan

_{Guru Madrasah}

_lbtidaiyah

,

;:,,,',,,,,, ,,,,

Relasi

Dan

Fungsi

i:

,:

DISKUSI

KELOMPOK:

RELASI

Petunjuk

'1.

_{Berkelompoklah menjadi 4 kelompok}

2.

lvlasing-masing Kelompok mendiskusikan/mengerjakan LKM 13.1.A

3.

Salah satu kelompok mempresentasikan

hasildiskusi

kelompok

4.

Kelompok yang lain menanggapi

Pertonyoon Diskusi

Diketahui:

i. A:

{Riska, Amir, Deni, Rudi}

B

:

_{{Firman, Sita, Edi, Reni,} Aisyah}

Jika Riska mempunyai saudara yang bernama Firman dan Sita.

Amir mempunyai saudara yang bernama Edi. Deni tidak mempunyai sauda.a.

Rudi mempunyai saudara yang bernama Reni dan Aisyah

ii.

A = {Ani, Didit, Eni} B = iNlerah, biru, hijau)

Jika

Ani suka warna merah. Didit suka warna hijau. Eni suka warna biru.

Pertanyaan:

a.

Tulislah

bentuk himpunan pasangan terurut dari i dan ii!

b.

Gambarkan Himpunan A dan

B

dari

idanii

dalam Diagram Venn kemudian beri panah sesuai pernyataan yang diketahui!(diagram panah)

c.

Nyatakan hubungan/relasi dari

idan

iil

d.

Sebutkan semua anggota himpunan A!

(disebut

domain)

e.

Sebutkan semua anggota himpunan B!

(di

sebut kodomain)

i

Sebutkan anggota himpunan B yang di panah anggota himpunan A! (disebut Range) Dari hasil pengerjaan di atas coba beri kesimpulan:

a.

Apa yang dimaksud relasi?

b.

Bagaimana cara menyatakan relasi?

e,

DISKUSI

KELOMPOK:

FUNGSI

Petunjuk

'1

.

_{Mengelompoklah menjadi 4 kelompok}

2.

Masing-masing Kelompok mendiskusikan/mengerjakan LKIV 13.1 . B

3.

Salah satu kelompok mempresentasikan hasil diskusi kelompok

4.

Kelompok yang lain menanggapi

Pertonyoon Diskusi

a.

Diketahui:

A _{= {lndah, Lina, Budi}}

B = {Bakso, Soto, Rawon, Rames} Dengan suatu relasi sebagai berikul lndah suka makan Rawon

Lina suka makan Bakso Budi suka makan soto

b.

Diketahui: A = {1, 2, 3, 4}

B={3,4,5,6}

A dan B merupakan suatu relasi dengan aturan "tambah dua" Pertanyaan:

1.

Gambarlah relasiAdan B dalam suatu diagram panah pada bagian (a) dan (b).

2.

Tulislah dalam bentuk pasangan berurutan pada bagian (a) dan (b).

3.

Tuliskan domain, kodomain, dan range pada bagian (a) dan (b)

4.

Apayang dimaksud dengan fungsi!

-i

:

.*t_

RELASI

DAN FUNoSI

Pada uraian materi 13

inidi

bahas mengenai:

'Relasi

'

Fungsi

A.

Relosi

Dalam kehidupan sehari-hari kita tidak asing dengan istilah relasiatau hubungan, misalnya, relasi (hubungan) antar manusia seperti "bersaudara dengan." Dengan relasi ini kita bisa membuat hubungan antara Ahmad dengan Siti menjadi, "Ahmad bersaudara dengan Siti." Ada

juga

relasi antara

dua

himpunan yang berbeda, seperti relasi "suka makan" antara

himpunan mahasiswa dengan makanan. Dengan

relasi

ini

dapat

dibuat

kalimat-kalimat seperti, "Udin suka makan Soto Lamongan, Fauziah suka makan nasipecel, ataupun Amir

sLka makan rawon.

Relasi dapat juga dinyatakan dengan pasangan terurut. Pada contoh relasi di atas, yakni

relasi "bersaudara dengan" dan suka makan" dapat dinyatakan dalam bentuk pasangan

ierurut menjadi {(Ahmad, Siti)}dan {(Udin,

Soio

Lamongan), (Fauziah, nasi pecel), (Amir, rawon)). Secara matematis, relasiR dalam pasangan terurut dapat dituliskan

R:{(x,y)

_lx€A

dan

y€B).

Berdasarkan ilustrasi

ini dan

contoh tentang relasi tersebut, berikut disajikan

deflnisidari reJasi.

Definisil

l\risalkan A X B adalah produk Cartesius himpunan A dan B.

Relasiatau

hubungan R dari himpunan

A

ke himpunan B adalah sebarang himpunan bagian dari produk Cartesius A X B.

Pada relasi ini, dikenal istilah daerah asal (doma,n), daerah kawan (kodomain), dan daerch

hasil(range). Daerah asal (domain) dari suatu relasi merupakan himpunan yang anggotanya

terdiri atas unsur-unsur pertama dari pasangan terurut itu. Daetah kawan (kodomain, dari

suatu relasi

adalah himpunan

yang

anggotanya

terdiri atas

unsur-unsur kedua

dari pasanganterurut itu.

Contoh

l3.l:

a.

RelasidarihirnpunanA={l,2,3,4}kehimpunanB={0,

1 , 2, 3, 4} yang ditentukan oleh F

b.

Relasi dari himpunan A ₌

_{0,

l,4}kehimpunanB=I-2,-1,0,1,2}yan9ditentukanoleh

G =

{(4,2t,

$,

'2),

(1,1),

(1,

l),

(o,o)}dapat dituliskan sebasai _{G = {(x,} y)

_lx

₌

I,

xeA

dan

y€B]

Contoh 13,2.:

Diketahui relasi H =

{(1,3), (2,4\,

(3, 5), (4, 6D.

a.

Tentukan daerah

asaldan

daerah hasilnya.

b.

Sebutkan aturan relasinya. Jawao.

a.

Daerahasaldari

relasi H

diatas

adalah

_11,2,3,4)dan

daerah

hasilatau

daerah kawannya adalah {3, 4, 5, 6}.

b.

Aturan relasi yang tepat untuk relasi H di atas adalah "ditambah dua."

Sifot-sifot

Relosi

Pada bagian ini diuraikan sifat-sifat relasi, yang pada kenayataannya memainkan peran penting dalam lingkup yang cukup luas dan beragam dalam konteks ilmiah

Sifat Refleksif

Suatu relasi R pada himpunan A bersifat refleksifjika dan hanya jika (a,a)€ R untuk setiap

a€A.

Dengan kata lain, relasi ini berelasi terhadap dirinya sendiri.

Sebagaicontoh, relasi"berjenis kelamin sama dengan" pada himpunan manusia merupakan relasi refleksif karena setiap orang berjenis kelamin sama dengan dirinya sendiri. Relasi "sama dengan" pada himpunan bilangan

realjuga

merupakan re'asi refleksif karena setiap bilangan real sama dengan bilangan itu sendiri. Relasi "orang tua dari" himpunan manusia bukan merupakan relasi refleksif karena seseorang bukan orang tua dari dirinya sendiri.

Situf Simetris

Suatu relasi R pada himpunan A adalah simetris jika dan hanya jika (a,b) eR, berlaku

(b,a) €R untuk setiap

a,b

€A.

Sebagaicontoh, relasi "bersaudara dengan" merupakan relasisimetris pada himpunan manusia karena bila Ahmad bersaudara dengan Siti maka

Sitijuga

bersaudara dengan Ahmad. Untuk relasi "orang tua dari" bukan relasi simetris karena bila Umar orang tua dari

Fetima, tentu F6tima bukan orang tua dari [Jmar.

stfat

tfanst

f

Suatu relasi R pada himpunan A adalah

transitifjika

dan hanya

jika

(a,b)eR, (b,c)

€R

berlaku (a,c) €R untuk setiap a,b,

c

€A.

Perhatikan contoh, relasi "bersaudara dengan" merupakan relasi transitif pada himpunan manusia karena bila Ahmad bersaudara dengan Siti dan Sitj bersaudara dengan Umi, maka Ahmad juga bersaudara dengan Umi. tJntuk relasi "orang tua dari" bukan relasi transitif karena bila Umar orang tua dari FStimah,

dan

F6timah orang tua dari Qodir akan salah bila disimpulkan bahwa Umar orang tua dari Qodir.

Silat

Ekivalen

Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan bersifat ekivalen jika dan hanya jika relasi itu bersifat refleksif, simetris dan transitif.

Contoh

13.3 :

Selidiki apakah rerasi R =

(1,1),

(1,2), (1,3), (2,1), (2,2\, (2,3), (3,1), (3,2),(3,3))pada himpunan A _{= {1,2,3}bersifat} refleksif, simetris, transitif dan ekivalen?

Jawab.

.

Karena ada (1,1), (2,2), (3,3) merupakan anggota dari relasi R, maka relasi R bersifat refleksif.

'

Ada (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3),

(3,2)di

R, berarti untuk setiap (a,b)e R berlaku

(b,a)€ R. Dengan demikian, relasi R bersifat simetris.

.

Relasi R juga bersifat transitif karena ada ( _{1,2) dan (2,3)} menghasilkan (1,3); ( 1 ,3) dan

(3,1) menghasilkan (1, 1); (2,3) dan (3,1) menghasilkan (2,1); serta (1,3) dan (3,2) menghasilkan (1,2). Dengan demikian pada R, berlaku untuk setiap (a,b)€ R dan (b,c)

€

R sedemikian hingga

(a,c)e

R.

'

Karena relasi R bersifat refleksif simetris dan transitif maka R bersifat ekivalen.

B.

Fungsi (Pemetoon)

Pada bagian ini dilihat fungsi sebagai suatu aturan yang mengaitkan

(mengorespondensikan) suatu anggota himpunan ke anggota himpunan yang lain. Selanjutnya baru kita tentukan fungsi sebagai pasangan terurut dengan sifat tertentu. Dalam kehidupan sehari-hari, korespondensi dapat berupa: besar uang yang ditabung di

bank dengan bunga yang diperoleh atau mahasiswa dan nomor induk mahasiswa. Selanjutnya, fungsi

dapatjuga

kita pandang sebagai aturan untuk memasangkan

(korespondensi) antara anggota himpunan A dan B sedemikian hingga setiap unsur di A berpasangan dengan tepat satu unsur di B. Himpunan pertama disebut sebagai dornaln (daerah asal) dan himpunan kedua kita sebur sebagai kodomain (daerah kawan). Unsur yang dituju dinamakan raDge (daerah hasil).

Perhatikan relasi "anaknya dari" dari himpunan anak-anak (A) ke himpunan ayahnya (B) seperti ditunjukkan oleh diagram panah berikut.

?

Tajudin

Zaki lrurd Sreituddio

Dari dlagram anak panah di atas, setiap anak hanya mempunyai satu ayah sehingga setiap

anggota

A

dipasangkan

tepat

satu anggota B. Relasi yang bersifat demikian dinamakan fungsi. Definisi berikut ini akan mempedelas pengertian fungsi sebagaimana diilustrasikan di

AlaS.

Fungsi dari hjmpunan

A

ke himpunan B adalah himpunan

f

dari pasangan

terurut diAxB

sedemikian hingga untuk setiap

a€A

ada

b€B

yang tunggal dengan

(a,b)€f.

Berdasarkan definisi ini,

jika

(a,b)€f

dan (a,b')

maka

b = b'.

Kita

notasikan dengan f: A -+ B yang menunjukkan bahwa fmerupakan

fungsidariA

ke B. Dalam hal ini, himpunanA dinamakan

domain alau daerah

definisi

alau

daerah

asa/,

sedangkan himpunan

B

dinamakan kodomain

alau daerah

kawantungsi

I

Domain fungsi fditulis dengan

notasiD,

dan apabila tidak disebutkan maka disepakati bahwa domain fungsi

f

adalah himpunan

terbesardi dalam Rsehingga fterdefinisikanatau ada. Jadi:

D1

=

_{xeR:

/(r)

ada

(terdefinisikan)}

Himpunan

semua

anggota

B

yang

mempunyai

kawan

di

A

dinamakan

range

alau

daerch

hasil

fungsi f, ditulis Rr. Jika (a,b)€f maka dapat ditulis sebagai b = f(a) dengan b

sebagai nilai dari f pada titik A atau bayangan titik A atas

i

Dengan demikian, f(a) dibaca "f

dari a" atau "f pada a" menunjukkan nilai yang diberikan oleh f pada a. Pemahaman yang

jelastentang cara menuliskanfungsi adalah hal sangatpenting.

Sebagaicontoh, misalkanX= { 1,2 } dan

f={3,6

}. Himpunan {(1,3), (2,3)}merupakan fungsi

dari

Xke

Y, karena setiap anggota

Xberelasi

dengan tepat satu anggota Y. Demikian pula,

himpunan

_{(1,6),

(2,3)}merupakan fungsi dati

X ke

Y. Sementara himpunan

_{(1,3),

(1,6),

(2,3))bukan merupakan fungsi

dariXke

y, karena ada anggota

X

yaitu 1, yang menentukan

lebihdari satu nilai di Y.

Jika

pada

fungsi

f:A

+8,

sebarang

elemen x

€

A

mempunyai kawan y €

B, maka dikatakan "y merupakan bayangan x oleh

f"

atau

"y merupakan

nilai

fungsi

i

di

t'

dan ditulis y ₌

(x).

Selanjutnya,

xdan

y

masing-masing

dinamakan varlable bebas

dan

variabel fakbebas.

Sedangkan

y=f(x)

disebut

rumus

fungsif.

Contoh 13.4 :

Tentukan domainnya dari fungsjfungsi di bawah ini.

(i0

I

a.

_Jrl

l=

x+2

r

/,(

)=18

Jawab:

a.

Suatu hasil bagi akan memiliki ani apabila penyebut tidak nol, oleh karena itu,

daerah asal (domain)

darifungsir{

_;=-!

u6u'un,

D.

=J

i

eR::

terdefinisikanI

' I

x+2

)

=

_{reR

:n+2 +

0}

=n

-l

2.1

b.

Akar suatu bilangan mempunyai

n

ilai

jika

bilangan tersebut

tak

'

negatif,

sehingga daerah asal (domain)

darifungsir(

_{_}

)=.f--t

uduluh'

Ln -l

t

-

I

a

=l.ren:-i-j-

uou

I

t

'i

r.'

I

l

=lr.n,-j->o

I

I

r'-l

)

=fteR:- l<:rf

lataur>l)

=(

1,01!,[1,co) Contoh 13.5 :

Bedkut ini

diberikan dua

diagram anak panah yang menunjukkan relasi dari

himpunan A ke himpunan B. Relasi manakah yang merupakan fungsi?

2-\4t

4"\

t

",/

(D

Jawab:

Relasi (i) bukan fungsi, sebab ada unsur di A yaitu c yang tidak mendapat pasangan di B.

a.

Relasi (ii) merupakan

fungsikarena

setiap unsur

diA

mempunyai pasangan tepat satu unsur di B

Contoh

13.6 :

Perhatikan himpunan pasangan terurut berikut:

a.

(r,3),

(2,4), (3,5),

(4,60

b.

{(1,2). (1,4), (2,2\, (3,4))

Manakah dari pasangan terurut di atas yang merupakan fungsi?

Jawab:

a.

sesuai dengan definisi, himpunan pasangan terurut ini merupakan fungsi sebab setiap unsur di A dipasangkan tepat satu unsur di B.

b.

Karena ada unsur di A

yaitu

1 dipasangkan tidak tunggal dengan unsur di B,

maka himpunan pasangan terurut ini bukan merupakan fungsi.

Sifot-Sifdt

Fungsi

Perhatikan

fungsil:-y-+

y

dan

g:r|:-)y

dengan:

J

:x+'f

dimana

r

'0.

Oan g

(r

_1-1.

r-

I

Grafik

fungsi

/

dan

g

, suatu garis mendatar y

.

b yang digambar pada bidang

cartesius memotong grafik paling banyak di satu titik atau tidak memotong, seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut:

Jika kita memilih suatu garis

horizontaly

_{= b} dengan b anggota range, garis tersebut memotong setiap fungis tepat satu titik.

Fungsi/dan

g

merupakan

contoh

fungsi

satu-satu

atau

injektif

Suatu

fungsif:r+])

dikatakan lungsi satu-satu atau

injektifjika

tidak ada dua

anggota x yang mempunyai bayangan sama di bawah

fungsil

Atau dapat ditulis sebaqai berikut:

Suatu

fungsif

:-y-+l

merupakan

fungsisatusatu

bila memenuhi:

lvlisalkan x1 _{dan & anggota} X, maka xj ₌ xr

e

f(x1) ₌

f(xr.

*.*

*:_

Suatu fungsi f:

X+

Y

kadangkadang

dikatakan

'Xinto

(ke)

Y.'Seperti

Anda ketahui, range

darisuatu

fungsi merupakan himpunan bagian dari kodomain

fungsi tersebut. Pada kejad'an khusus, yang di dalamnya range fungsi

13

-

11

.-.-sama dengan kodomain, fungsitersebut dikatakan

fungsi

onto

atau

fungsi

pada,

Suatu

fungsi

f

:

X

)

Y

dikatakan 'onto'

atau

'onto

Y'

jika setiap elemen pada kodomain

juga

merupakan elemen pada range f. Dengan kata lain, untuk setiap

y eY

paling

sedikit

merupakan pasangan dari satu anggota X sedemikian sehingga

/

(r) =1,. Suatu fungsi onto juga _{dikatakan fungsi surjektif.}

Suatu

fungsijuga

dapat dikatakan sebagai iungsi satu-satu onto atau fungsi satu-satu pada atau lebih dikenal dengan istilah fungsi bijektif.

Contoh

13.7:

lvlisalkan:A

₌

_{-1

_,0,1

_{,2}, B={0, 1,4,7},C ={0,}

1,2},

dan

D={0,

1,4}.

Fungsi

f:

A-+

B, g : C

-+

B, h :

A-+

D yang didefinisikan sebagai berikut:

I:x-+*

g:x-+

_f

h:x->x2

Apakah fungsi tersebut satu-satu dan pada?

Jawab:

Berikut ini adalah diagram panah dari fungsi-fungsi tersebut

Dari diagram

panahf:A

-+

B,denganf:

x

+

x',

dapat dilihat bahwa f bukan fungsi

sai+satu

dan f bukan fungsi pada.

Dari diagram panah

g

:

C-+

B dengan g :

x-+

)C dapat dilihat bahwa g adalah

Dari

diagrampanahh:A

-+Ddenganh:x

)

x'? dapat dilihat bahwa

hbukan

fungsi

sat+satu

tetapi fungsi pada.

Contoh13.8

:

MisalX={0,

1,2}danY={0,

1,4}.

FungislX

--rY

yang didefinisikan oleh Apakah f

fun$i

satu-satu pada?

Berikut ddalah diagram panah

darifungs/i

X ')

dengan/:x+.r

Dari diagram panah tersebut dapat dilihat

bahwa

_f:

x

-r

)'

dengan

jf:r

)r'

Jenis

Peniloion

Penilaian padapaket ini adalah tes tertulis

fnstrumen

Peniloion

Selesaikanlah

soalsoal

berikut:

1.

Jelaskan apa ayang dimaksud dengan

relasidan fungsiserta

berikan masing

masing contoh.

2.

Diketahui relasi

_{(2,4\,

(-1,1), (0,0), (1,1), (2,4D

a.

Tentukan aturan

relasidiatas-b.

Gambarlah diagram panahnya

c.

Tuliskan domain dan rangeya

3.

Nyatakan diagram panah dan himpunan pasangan berurut berikut, apakah

merupakan fungsi atau bukan,

jika

fungsi berikan alasan dan sebutkan

lenrsnya.

(ii)

(D b. a. b.

(iii)

(e,-3),

(4,-2), (1,-1), (0,0), (1,1), (4,2), (e,3))

(1,3),(2,4),(2,6),(3,6))

(-3,1),

_{(-2,2), C1,3),} (0,4))

=

l-2, _1,

O,1,2j

=

{-3, -2,

-1,0,

1,2,3,4,5}

12

\:/

\ 3,/

\

5

7./

/B

->;

i->;

\;

Jika diketahui

/:l+

B,f (x)=2x+l,

Gambarlah

fungsidiatas

dalam bentuk diagram panah

Jika diketahui

_/:

l+

B,f(x)

₌ Z

r

a

1,

^tv.,

a. Gambarlah fungsi di atas dalam bentuk diagram panah

b.

Sebutkan himpunan pasangan terurutnya

c.

Tentukan domain, kodomain, dan rangenya

Doftor

Pustoko

13.5

Adjie,

Nahrowi, Rostika

dan

Deti,

2006.

Konsep

Dasar

Matematika. Bandungi

FIP Universitas Pendidikan lndonesia

Bartle,

Robert

&

Sherbert, Donald

R,

1992. Introduction

fo

Rea/ Analysis. New

York:

John Wiley & Sons, Inc.

Dossey,

J.A., Mccrone,

S.,

Giofdano

F.R.,

Weir, M.D.,

2002.,

Mathematics

Methods

and

Modeling

for

Today's Mathematics

Classroom: A

Contemporary

Apprcach

to

Teaching Grades

7

-

12.

Thomson

Learning lnc. Australia.

Hease, Robert

&

Sandra,

dan

Kappelle,

2005.

Core

Ski

s

Mathematics

9.

Adelaide South Australia: Raksar Nominees, Pty Ltd.

Kenneth

H.

Rosen.

2003.

Discrete Mathematics

and

lts Application,

lvlccraw

-Hill Higher Education.

Nolan

J,

Phillips

G,

Watson

J,

Denney

C,

Siambulic

S., 2000.

Math

Quest

12:

Mathenatical Methods. John Wiley & Sons. Australia

Purcell, Edwin

J

& Varbg, Dale,

1990. Kalkulus

sdan

Geometri

Analitis

Jilid

1.

Jakarta: Penerbit Erlangga.

Smith, Stanley

A,

2001. Algebra

2

with

Trigonometri. New Jersey USA: Prentice Hall.

Theresia. 1999. Pengantar Dasar

Matemaf*a-

Surabaya: Erlangga.