Materi Bahasan. Analisis Sensitivitas (Sensitivity Analysis) Analisis Sensitivitas. 1 Pengertian Analisis Sensitivitas

(1)

TI2231 Penelitian Operasional I 1

Analisis Sensitivitas

(Sensitivity Analysis)

Kuliah 07

① Pengertian analisis sensitivitas

② Analisis sensitivitas dengan metode grafis

③ Analisis sensitivitas dengan metode simpleks

Materi Bahasan

① Pengertian Analisis Sensitivitas

Analisis Sensitivitas

• Studi dalam perubahan solusi optimal dan nilai

optimal karena perubahan dalam koefisien data input.

• Perubahan:

– Koefisien fungsi tujuan

– Konstanta ruas kanan

– Koefisien matrix (koefisien teknologi)

• Penambahan aktivitas atau variabel baru

• Perubahan pengunaan sumber dari aktivitas (perubahan kolom) • Penambahan pembatas baru

(2)

Efek dari Perubahan

• Perubahan yang mempengaruhi optimalitas

– Perubahan koefisien fungsi tujuan

– Penambahan aktivitas (variabel) baru

– Perubahan penggunaan sumber dari aktivitas

• Perubahan yang mempengaruhi kelayakan

– Perubahan konstanta ruas kanan

– Penambahan pembatas baru

② Analisis Sensitivitas

dengan Metode Grafis

Analisis sensitivitas

– Perubahan dalam sumber

• Masalah sensitivitas 1

– Berapa banyak suatu sumber dapat ditingkatkan

untuk memperbaiki nilai optimum dari fungsi

tujuan Z?

– Berapa banyak suatu sumber dapat diturunkan

tanpa menyebabkan perubahan dalam solusi

optimum saat ini?

Pembatas binding dan nonbinding (1)

• Pembatas

– Binding → sumberdaya yang langka (scarce

resource)

– Nonbinding → sumberdaya yang berlebihan

(abundant resource)

(3)

Pembatas binding dan nonbinding (2)

(5)

(6)

(2)

(4)

(3)

(1)

x

₁

x

₂

Binding Æ (1), (2)

Nonbinding Æ (3), (4)

A

B

C

D

E

F

Peningkatan pembatas (1)

(5)

(6)

(2)

(4)

(3)

(1)

x

₁

x

₂

A

F

E

B

K

Titik K : optimum yang baru Solusi optimal:

x1*= 3 x₂*_{= 2} Nilai optimal

Z*_{= 13}

Bahan A dapat ditingkatkan hingga = 3(1) + 2(2) = 7 ton

Peningkatan pembatas (2)

(5)

(6)

(2)

(4)

(3)

(1)

x

₁

x

₂

A

B

C

D

E

F

J

D

E

Titik J : optimum yang baru Solusi optimal:

x₁*_{= 6} x₂*_{= 0} Nilai optimal

Z*_{= 18}

Bahan B dapat ditingkatkan hingga = 2(6) + 1(0) = 12 ton

Penurunan pembatas (3)

(5)

(6)

(2)

(4)

(3)

(1)

x

₁

x

₂

A

B

C

D

E

F

Konstanta ruas kanan : – x1 + x2 = -31/3+ 11/3 = -2 atau pembatas menjadi:

– x₁+ x₂≤ -2 x₂- x₁≥ 2

∴Solusi optimal saat ini tak berubah pada titik C walaupun selisih antara

permintaan eksterior dengan interior lebih dari 2 ton.

(4)

Penurunan pembatas (4)

(5)

(6)

(2)

(4)

(3)

(1)

x

₁

x

₂

A

B

C

D

E

F

Konstanta ruas kanan : x₁= 11_/

3

atau pembatas menjadi: x₁ ≤ 11_/

3

∴Solusi optimal saat ini tak berubah pada titik C walaupun batas permintaan cat interior turun hingga 11_/

3ton.

Analisis sensitivitas

– Sumber yang diprioritaskan untuk ditingkatkan

• Masalah sensitivitas

– Sumberdaya mana yang perlu ditingkatkan?

i i i

b

Z

y

_max max

∆

=

∆

max

_Z

i

= perubahan maksimum dalam nilai Z akibat

peningkatan pembatas i

∆

max

_b

i

= perubahan maksimum dari sumber/pembatas I

y

_i

= shadow price pembatas i

Shadow price

0 122_/ 3– 122/3= 0 11_/ 3– 2 = -2/3 Berlimpah 4 0 122_/ 3– 122/3= 0 – 2 – 1 = –3 Berlimpah 3 4_/ 3 18 – 122_/ 3 = 51/3 12 – 8 = 4 Langka 2 1_/ 3 13 – 122_/ 3 = 1/3 7 – 6 = 1 Langka 1 Shadow price Perubahan maksimum dalam fungsi tujuan (dalam ribuan) Perubahan maksimum dalam sumber Jenis Sumberdaya

Interpretasi

• Sumber (2) (bahan B) seharusnya

mendapatkan prioritas dalam pengalokasian

dana

(5)

Analisis sensitivitas

- Perubahan koefisien fungsi tujuan

• Perubahan dalam koefisien fungsi tujuan akan

mempengaruhi slope dari garis lurus yang

merepresentasikannya.

• Perubahan dalam koefisien fungsi tujuan akan

mengubah status dari suatu sumber (langka atau

berlimpah)

• Pertanyaan:

– Berapa besar koefisien fungsi tujuan dapat diubah tanpa

menyebabkan perubahan pada solusi (titik) optimal.

– Berapa besar koefisien fungsi tujuan dapat diubah untuk

merubah status sumber dari berlimpah ke langka, dan

sebaliknya.

(5)

(6)

(2)

(4)

(3)

(1)

x

₁

x

₂

A

B

C

D

E

F

Peningkatan c

₂

Penurunan c

₁

Peningkatan c

₁

Penurunan c

₂

Titik C tetap sebagai

titik optimal sepanjang

slope dari Z berubah antara

slope pembatas (1) dan (2)

Z

=

c

1

_x

1

₊

c

2

_x

2

(5)

(6)

(2)

(4)

(3)

(1)

x

₁

x

₂

A

B

C

D

E

F

Slope Z sama dengan slope pembatas (1)

(5)

(6)

(2)

(4)

(3)

(1)

x

₁

x

₂

A

B

C

D

E

F

(6)

Rentang c

₁

untuk mempertahankan solusi optimal pada

titik C

Minimum dari c

₁

Æ slope Z = slope pembatas (1)

1

2

1

2

1 1

=

→

_c

=

c

Minimum dari c

₁

Æ slope Z = slope pembatas (2)

4

1

2

1 1

=

→

_c

=

c

Rentang c

₁

agar titik C tetap sebagai titik optimal:

4

1 ≤ c

₁

≤

Rentang c

₂

untuk mempertahankan solusi optimal pada

titik C

Minimum dari c

₂

Æ slope Z = slope pembatas (2)

2

3

1

2

3

2 2

=

→

=

c

Minimum dari c

₁

Æ slope Z = slope pembatas (1)

6

2

1

3

2 2

=

→

=

c

Rentang c

₂

agar titik C tetap sebagai titik optimal:

6

2

3

2

≤

≤ c

③ Analisis Sensitivitas

dalam Metode Simpleks

Masalah Pemrograman Linier

Memaksimumkan Z = 3x

₁

+ 2x

₂

dengan pembatas-pembatas:

x

₁

+ 2x

₂

≤ 6

(Bahan A)

2x

₁

+ x

₂

≤ 8 (Bahan B)

– x

₁

+ x

₂

≤ 1 (Selisih permintaan cat interior dan eksterior)

x

₂

≤ 2 (Permintaan cat interior)

x

₁

≥ 0

(7)

Tabel Awal

Z = 0 0 0 0 0 2 3 2 1 0 0 0 1 0 x₆ 0 1 0 1 0 0 1 -1 x₅ 0 8 0 0 1 0 1 2 x₄ 0 6 0 0 0 1 2 1 x₃ 0 x₆ x₅ x₄ x₃ x₂ x₁ Konstanta 0 0 0 0 2 3 cB

Basis

c

_j

c

Baris

Tabel Akhir (Tabel Optimal)

Z = 38/3 0 0 -4/3 -1/3 0 0 2/3 1 0 1/3 -2/3 0 0 x₆ 0 3 0 1 1 -1 0 0 x₅ 0 10/3 0 0 2/3 -1/3 0 1 x₁ 3 4/3 0 0 -1/3 2/3 1 0 x₂ 2 x₆ x₅ x₄ x₃ x₂ x₁ Konstanta 0 0 0 0 2 3 cB

Basis

c

_j

c

Baris

Perubahan dalam

Koefisien Fungsi Tujuan

• Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk

variabel basis

• Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk

variabel non basis

• Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk

variabel basis dan non basis

Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan

untuk Variabel Basis

Variabel x

₁

:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

3 /

2

1

3 /

1

3 /

2 )

0 ,

2 ,

(

0

₁ 3

c

Æ

3 2 2 ₁ 3 + − = c c

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡−

−

=

3 /

1

3 /

2

3 /

1 )

0 ,

2 ,

(

0

1 4

c

Æ

3 4 1 4 − =c c

Kondisi tetap optimal :

0

3

≤

c

0

4

≤

c

Æ

0 3 2 2 1+ ≤ − c 0 3 4 1− ≤ c

Æ

1

≥

c

4

1

≤

c

1 ≤ c

1

≤

4

(8)

TI2231 Penelitian Operasional I 29 2 1 1

4 Z

4 x

2 x

c

=

→

=

+

2

3 /

2

1

3 /

1

3 /

2 )

0 ,

2 ,

4 (

0

3

=

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

c

Variabel x

₁

:

0

3 /

1

3 /

2

3 /

1 )

0 ,

2 ,

4 (

0

4

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡−

−

=

c

Z = 16 0 0 0 -2 0 0 2/3 1 0 1/3 -2/3 0 0 x₆ 0 3 0 1 1 -1 0 0 x₅ 0 10/3 0 0 2/3 -1/3 0 1 x₁ 4 4/3 0 0 -1/3 2/3 1 0 x₂ 2 x6 x5 x4 x3 x2 x1 Konstanta 0 0 0 0 2 4 c_B

Basis

c

_j

c

Baris

2 1 1

5 Z

5 x

2 x

c

=

→

=

+

3 /

8

3 /

2

1

3 /

1

3 /

2 )

0 ,

2 ,

5 (

0

3

=

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

c

Variabel x

₁

:

3 /

1

3 /

1

3 /

2

3 /

1 )

0 ,

2 ,

5 (

0

4

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡−

−

=

c

Z = 38/3 0 0 1/3 -8/3 0 0 2/3 1 0 1/3 -2/3 0 0 x₆ 0 3 0 1 1 -1 0 0 x₅ 0 10/3 0 0 2/3 -1/3 0 1 x₁ 5 4/3 0 0 -1/3 2/3 1 0 x₂ 2 x₆ x₅ x₄ x₃ x₂ x₁ Konstanta 0 0 0 0 2 5 cB

Basis

c

_j

c

Baris

(9)

TI2231 Penelitian Operasional I 33 Z = 14 -1 0 0 -2 0 0 2 3 0 1 -2 0 0 x₄ 0 1 -3 1 0 1 0 0 x₅ 0 2 -2 0 0 -1 0 1 x₁ 5 2 1 0 0 0 1 0 x₂ 2 x6 x5 x4 x3 x2 x1 Konstanta 0 0 0 0 2 5 c_B

Basis

c

_j

c

Baris

Perubahan dalam Koefisien Fungsi Tujuan

untuk Variabel Non Basis

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

3 /

2

1

3 /

1

3 /

2 )

0 ,

2 ,

3 (

3 3

c

Æ

3

4

3 3

= c

−

c

Variabel x

₃

:

Kondisi tetap optimal :

0

3

4

3 3

= c

−

≤

c

3

4

3

≤

c

Æ

3

4

3

≤

∞

−

c

Æ

Penambahan Aktivitas Baru

Memaksimumkan Z = 3x

₁

+ 2x

₂

+

3

_/

2

x

7

dengan pembatas-pembatas:

x

₁

+ 2x

₂

+

3

_/

4

x7

≤ 6 (Bahan A)

2x

₁

+ x

₂

+

3

_/

4

x7

≤ 8 (Bahan B)

– x

₁

+ x

₂

–

x7

≤ 1 (Selisih permintaan cat interior dan eksterior)

x

₂

≤ 2 (Permintaan cat interior)

x

₁

, x

₂

, x

₇

≥ 0

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

−

1

0

3 /

1

3 /

2

0

1

0

3 /

2

3 /

1

0

3 /

1

3 /

2

1

B

7 7 7

= c

−

πP

c

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 0 1 4 / 3 4 / 3 7 P

2 /

3

7

=

c

(

)

(

)

(

1 /

3 ,

4 /

3 ,

0 ,

0 )

1

0

3 /

1

3 /

2

0

1

0

3 /

2

3 /

1

0

3 /

1

3 /

2

0 ,

3 ,

2 ,

,

₁ ₅ ₆ 1 2

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

_c

_B

−

π

_B

(

)

1 /

4

0

1

4 /

3

4 /

3

0 ,

3 /

4 ,

3 /

1

2 /

3

7 7 7

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

−

=

c

πP

c

(10)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

4 /

1

4 /

1

4 /

1

0

1

4 /

3

4 /

3

1

0

3 /

1

3 /

2

0

1

0

3 /

2

3 /

1

0

3 /

1

3 /

2

7

P

TI2231 Penelitian Operasional I 38 1/4 -1/4 -1 1/4 1/4 x₇ 3/2 Z = 38/3 0 0 -4/3 -1/3 0 0 2/3 1 0 1/3 -2/3 0 0 x₆ 0 3 0 1 1 -1 0 0 x₅ 0 10/3 0 0 2/3 -1/3 0 1 x₁ 3 4/3 0 0 -1/3 2/3 1 0 x₂ 2 x₆ x₅ x₄ x₃ x₂ x₁ Konstanta 0 0 0 0 2 3 c_B

Basis

c

_j

c

Baris

0 0 0 0 1 x₇ 3/2 Z = 14 0 0 -1 -1 -1 0 2 1 0 0 0 1 0 x₆ 0 25/3 0 1 -1/3 5/3 4 0 x₅ 0 2 0 0 1 -1 -1 1 x₁ 3 16/3 0 0 -4/3 8/3 4 0 x₇ 3/2 x₆ x₅ x₄ x₃ x₂ x₁ Konstanta 0 0 0 0 2 3 c_B

Basis

c

_j

c

Baris

Perubahan dalam Penggunaan Sumber dari

Aktivitas

• Perubahan pada aktivitas (variabel) non basis

– Dilakukan analisis seperti kasus penambahan

aktivitas baru

• Perubahan pada aktivitas (variabel) basis

– Menyelesaikan masalah pemrograman linier dari

awal lagi

(11)

Perubahan yang Mempengaruhi Ketidaklayakan

• Perubahan dalam konstanta ruas kanan

• Penambahan pembatas baru

Perubahan dalam Konstanta Ruas Kanan

Pembatas 1:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

2

1

8

1 *

b

0

1

≥

−

_b

B

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

−

1

0

3 /

1

3 /

2

0

1

0

3 /

2

3 /

1

0

3 /

1

3 /

2

1

B

TI2231 Penelitian Operasional I 43 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + − + − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = − 3 / 14 3 / 2 9 3 / 16 3 / 3 / 8 3 / 2 2 1 8 1 0 3 / 1 3 / 2 0 1 1 1 0 0 3 / 2 3 / 1 0 0 3 / 1 3 / 2 1 1 1 1 1 * 1 b b b b b b B 4 0 3 8 3 2 1 1− ≥ →_b ≥ b 16 0 3 16 3 1 1+ ≥ → ≤ −b b 9 0 9 ₁ 1+ ≥ → ≤ −b b 7 0 3 14 3 2 1 1+ ≥ → ≤ − b b 7 4≤ b₁≤

Pembatas 1:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

2

1

8

7

*

b

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = − 0 2 3 2 2 1 8 7 1 0 3 / 1 3 / 2 0 1 1 1 0 0 3 / 2 3 / 1 0 0 3 / 1 3 / 2 * 1 b B

( ) ( ) ( ) ( )

3

2

0

13

3 +

+

=

Z

(12)

TI2231 Penelitian Operasional I 45 Z = 13 0 0 -4/3 -1/3 0 0 0 1 0 1/3 -2/3 0 0 x6 0 2 0 1 1 -1 0 0 x₅ 0 3 0 0 2/3 -1/3 0 1 x₁ 3 2 0 0 -1/3 2/3 1 0 x₂ 2 x6 x5 x4 x3 x2 x1 Konstanta 0 0 0 0 2 3 c_B

Basis

c

_j

c

Baris

Pembatas 1:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

2

1

8

9

*

b

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = − 3 / 4 0 3 / 7 3 / 10 2 1 8 9 1 0 3 / 1 3 / 2 0 1 1 1 0 0 3 / 2 3 / 1 0 0 3 / 1 3 / 2 * 1_b B 0 0 -4/3 -1/3 0 0 -4/3 1 0 1/3 -2/3 0 0 x₆ 0 0 0 1 1 -1 0 0 x₅ 0 7/3 0 0 2/3 -1/3 0 1 x₁ 3 10/3 0 0 -1/3 2/3 1 0 x2 2 x₆ x₅ x₄ x₃ x₂ x₁ Konstanta 0 0 0 0 2 3 c_B

Basis

c

_j

c

Baris

Terapkan dual simplex

Z = 13 -1/2 0 -3 0 0 0 2 -3/2 0 -1/2 1 0 0 x₃ 0 2 -3/2 1 1/2 0 0 0 x₅ 0 3 -1/2 0 1/2 0 0 1 x₁ 3 2 1 0 0 0 1 0 x2 2 x₆ x₅ x₄ x₃ x₂ x₁ Konstanta 0 0 0 0 2 3 c_B

Basis

c

_j

c

Baris

(13)

Penambahan Pembatas Baru

• Solusi optimal saat ini memenuhi pembatas

baru

ÆPembatas baru bersifat nonbinding atau redundant

sehingga tidak mengubah solusi optimal saat ini.

• Solusi optimal saat ini tidak memenuhi

pembatas baru

Æ Pembatas baru bersifat binding

Pembatas baru: x

₁

≤ 4

Solusi optimal saat ini : x = (x

₁

, x

₂

, x

₅

, x

₆

) = (10/3, 4/3, 3, 2/3)

x

₁

= 10/3 ≤ 4

Pembatas baru: x

₁

≤ 3

Solusi optimal saat ini : x = (x

₁

, x

₂

, x

₅

, x

₆

) = (10/3, 4/3, 3, 2/3)

x

₁

= 10/3 > 3

Penambahan slack variable x

₇

:

x

₁

+ x

₇

= 3

Solusi optimal saat ini : x = (x

₁

, x

₂

, x

₅

, x

₆

) = (10/3, 4/3, 3, 2/3)

(14)

TI2231 Penelitian Operasional I 53 0 1 0 0 0 0 x₇ 0 3 0 0 0 0 0 1 x7 0 0 0 4/3 -1/3 0 0 2/3 1 0 1/3 -2/3 0 0 x₆ 0 3 0 1 1 -1 0 0 x₅ 0 10/3 0 0 2/3 -1/3 0 1 x₁ 3 4/3 0 0 -1/3 2/3 1 0 x₂ 2 x₆ x₅ x₄ x₃ x₂ x₁ Konstanta 0 0 0 0 2 3 c_B

Basis

c

_j

c

Baris

TI2231 Penelitian Operasional I 54 0 1 0 0 0 0 x₇ 0 -1/3 0 0 -2/3 1/3 0 0 x7 0 Z = 38/3 0 0 -4/3 -1/3 0 0 2/3 1 0 1/3 -2/3 0 0 x₆ 0 3 0 1 1 -1 0 0 x₅ 0 10/3 0 0 2/3 -1/3 0 1 x₁ 3 4/3 0 0 -1/3 2/3 1 0 x₂ 2 x₆ x₅ x₄ x₃ x₂ x₁ Konstanta 0 0 0 0 2 3 c_B

Basis

c

_j

c

Baris

Terapkan dual simplex

0 -3/2 ½ 3/2 1 -1/2 x₇ 0 1/2 0 0 1 -1/2 0 0 x₄ 0 Z = 12 0 0 -4/3 -1 0 0 ½ 1 0 0 -1/2 0 0 x₆ 0 5/2 0 1 0 -1/2 0 0 x₅ 0 3 0 0 0 0 0 1 x₁ 3 3/2 0 0 0 1/2 1 0 x₂ 2 x₆ x₅ x₄ x₃ x₂ x₁ Konstanta 0 0 0 0 2 3 c_B