ANALISIS SENSITIVITAS DAN DUALITAS

ANALISIS

SENSITIVITAS DAN

DUALITAS

ANALISIS SENSITIVITAS

Analisis sensitivitas adalah studi tentang bagaimana perubahan penyelesaian optimal dan nilai

penyelesaian optimal dari programasi linear sebagai akibat dari perubahan koefsien suatu variabel

ANALISIS SENSITIVITAS

_{ANALISIS SENSITIVITAS SECARA GRAFIS}

_{ANALISIS SENSITIVITAS DENGAN TABEL}

F U N G S I A N A L I S I S S E N S I T I V I TA S

ANALISIS SENSITIVITAS

SECARA GRAFIS

Metode grafk dapat digunakan untuk menunjukan analisis sensitivitas pada koefsien fungsi tujuan,

KO E F I S I E N F U N G S I T U J UA N

D A L A M M E T O D E G R A F I S

Mula-mula akan kita lihat berapa range optimalitas bagi kasusu UD.Shuma tanpa harus mengubah jumlah produksi 25,7 unit sepatu wanita dan 21,5 unit sepatu anak. Dari gambar 5.1 yang memperlihatkan penyelesaina dengan metode grafk dari kasus UD.Shuma, kita lihat bahwa

. . . L A N J U TA N

Perubahan koefsien X1 dan X2 pada fungsi-fungsi tujuan akan

menyebabkan perubahan slope fungsi tujuan. Dari gambar kita bisa mengetahui bahwa perubahan yang demikian menyebabkan garis fungsi tujuan berputar disekitar titik

ekstrem 4 tersebut. Namun selama garis fungsi tujuan masih berada didalam daerah yang diarsis (daerah layak), titik

G A M B A R 5 . 1 .

P E N J E L A S A N G A M B A R 5 . 1

Dari persamaan garis kendala I 10X1+2X2=300 kita bisa mengetahu

slope dan intersep garis tersebut dengan menuliskan persamaan

tersebut jadi X2=150 -5X1 dimana 150 menunjukan besarnya

intersape dan -5 menunjukan slope. Sedang persamaan garis kendala II 3X1+2X2=120 dapat dituliskan menjadi X2=60-3/2X1. Intersape

garis kendala sebesar 60 dan koefsien sebesar -3/2. Dengan demikian kita bisa mengetahuia bahwa supaya titik ekstreme 4 tetap

merupakan penyelesaian optimal harus memenuhi

Kita bisa menentukan range optimalitas keuntungan per unit sepatu anak (c2) dengan mengubah persamaan garis kendala

I dan II serta persamaan tujuan sebagai X1=f(X2) .

Garis kendala 1 (pengukuran dan pemotongan pola):

10X1+2X2=300 atau X1=30-2/10X2

Garis kendala II (pengeleman dan pengeringan):

3X1+2X2=120 atau X1=40-2/3X2

Persamaan umum garis fungsi tujuan:

Sehinga titik ekstrem 4 akan tetap optimal bila :

-2/10 ≥ -c2/c1 ≥ -2/3

-2/10 ≥ -c2/c1 dan –c2/c1 ≥ -2/3

Atau 2/10 ≤ c2/c1 dan c2/c1≤2/3

Untuk c1 = 4000, maka

2/10 ≤ c2/4000 dan c2/4000 ≤ 2/3

8000/10 ≤c2 dan c2 ≤ 8000/3

800 ≤ c2 dan c2 ≤ 2666,67

Atau 800 ≤ c2 ≤ 2666,67

S I S I KA N A N F U N G S I

K E N D A L A

Gambar 5.2.

Perubahan nilai fungsi tujuan yang dihasilkan dari kenaikan satu unit nilai sisi kanan fungsi kendala disebut harga bayangan (shadow price). Semakin banyak tambahan waktu yang bisa dilakukan

A N A L I S I S S E N S I T I V I TA S

D E N G A N TA B E L S I M P L E K S

Informasi yang terdapat pada table simpleks akhir dapat kita digunakan untuk menghitung range

KO E F I S I E N F U N G S I K E N D A L A

Koefsien fungsi tujuan terletak dalam suatu range tertentu, maka penyelesaian optimal tidak berubah. Range dimana nilai fungsi tujuan terletak disebut range optimalitas koefsien fungsi tujuan.

Tabel simpleks ini menunjukan bahwa penyelesaian sudah optimal karena semua nilai pada baris Cj – Zj lebih kecil sama dengan nol. Adanya perubahan

pada salah satu koefsien fungsi tujuan akan menyebabkan nilai Cj – Zj untuk

variable non-dasar menjadi positif, sehingga penyelesaian menjadi tidak optimal lagi. Bila hal iini terjadi, maka dibutuhkan tambahan iterasi untuk menemukan penyelesaian optimal nilai Cj untuk semua variable non-dasar

Untuk melihat proses perhitungan range optimalisasi ini kita misalkan nilai koefsien X₁ (keuntungan per unit sepatu wanita) sebesar c₁ (bukan 4000),

sehingga kita dapatkan table simpleks akhir sebagai berikut : c1+10000/14

1/7 c1

-10000/14

0 0

180/7 c1+10000/7

 

Dari table kita mendapatkan : -1/7 c₁+3000/14 ≤ 0

(-2 c₁+3000)/14 ≤ 0

2 c₁ ≥ 3000 c₁ ≥ 1500

dan 1/7 c₁ - 10000/14 ≤ 0 (2 c₁ - 10000)/14 ≤ 0

2 c₁ ≥ 10000 c₁ ≥ 5000  

Berdasarkan range optimalitas c₁ ini, manajer dapat menggunakannya untuk memeperoleh informasi apakah penyelesaian masih optimal atau tidak. Misal, karena naiknya harga bahan mentah, menyebabkan keuntungan per unit sepatu wanita turun menjadi Rp 2000 (masih di dalam range optimalitas). Hasil iterasi

terakhir untuk perubahan ini, seperti yang terlihat pada table di bawah, masih optimal (semua nilai baris C_j – Z_j ≤ 0). Sedang

Misalkan sekarang keuntungan sepatu wanita ini turun lagi menjadi Rp 1000 (di luar range optimalitas). Hasil iterasi

tidak lagi optimal karena nilai kolom S₁ pada baris C_j – Z_j positif. Berarti masih diperlukan iterasi lagi hingga dicapai

penyelesaian optimal yang baru. Dengan kata lain, penyelesaian sebesar 25,7 unit sepatu wanita dan 21,5 unit sepatu anak tidak lagi merupakan produksi yang

optimal pada keadaan di mana

Range optimalitas keuntungan per unit

sepatu anak (c₂) dapat kita tentukan dengan cara yang sama seperti yang kita lakukan terhadap c₁, yaitu dengan cara mengubah koefsien X₂ dan c₂ pada table simpleks akhir. Sebagai akibatnya :

-4000/7 + 3/14 c₂ ≤ 0 (3 c₂ - 8000)/14 ≤ 0

c₂ ≤ 8000/3 c₂ ≤ 2666,67

dan 4000/7 - 10/14 c₂ ≤ 0 (8000 - 10 c₂)/14 ≤ 0

c₂ ≥ 800 atau 800 ≤ c₂ ≤ 2666,67

Artinya selama keuntungan per unit sepatu anak berada didalam range tersebut,

produksi sebesar 25,7 unit sepatu wanita dan 21,5 unit sepatu anak akan merupakan penyelesaian optimal.

4000/7 - 10/14

R UA S KA N A N F U N G S I K E N D A L A

Nilai sisi kanan fungsi kendala pada programasi linear biasanya di interpretasikan sebagai

kapasitas yang tersedia (dapat digunakan). Analisis sensitiftas sisi kanan fungsi kendala

dapat member informasi kepada manajer tentang seberapa besar perubahan kapasitas tersebut

Kombina

Tabel simpleks diatas menunjukan nilai Z_j untuk variable slack S₁, S₂ dan S₃ masing-masing sebesar 2500/7, 1000/7 dan 0. Jadi harrga bayyangan untuk waktu pengukuyran dan pemotongan pola adalah Rp. 2500/7, untuk waktu pengeleman dan pengeringan Rp.

DUALITAS

Dual mempunyai interpretasi penting yang dapat

membantu manajer mencari jawab atas pertanyaan yang menyangkut alternatif-alternatif kegiatan dan nilai relative masing-masing kegiatan. Dengan menggunakan

F O R M U L A S I KA S U S D U A L D A PAT D I T U R U N KA N D A R I KA S U S P R I M A L

S E B A G A I B E R I K U T :

Dual merupakan kasus minimisasi dan karenanya mempunyai kendala ≥.

Bila primal mempunyai n variable keputusan, maka dual akan mempunyai n kendala. Kendala pertama dual berkaitan dengan variable keputusan (X₁) dalam

primal, sedang kendala kedua dalam dual berkaitan

dengan variable X₂. Dalam primal dan seterusnya.

Bila primal mempunyai m kendala, dual akan

mempunyai m keputusan. Variable keputusan pertama

dual (u₁) berkaitan dengan kendala pertama dari

primal. Variable keputusan kedua dual (u₂) berkaitan

Nilai-nilai sisi kanan fungsi kendala primal menjadi nilai-nilai koefsien fungsi tujuan dual.

Koefsien fungsi tujuan primal menjadi nilai ruas kanan fungsi kendala dalam dual.

Koefsien-koefsien fungsi kendala ke-i

variable primal menjadi koefsien-koefsien dalam kendala ke-i dari dual.

Berdasarkan persyaratan umum tentang dual di atas, kita bisa menurunkan formulasi dual untuk kasus perusahaan UD. Shuma.

Primal : memaksimumkan 4000X₁ + 1000 X₂ Kendala 10 X₁ + 2X₂ ≤ 300

3 X₁ + 2X₂ ≤ 120 2 X₁ + 2X₂ ≤ 100 X₁, X₂ ≥ 0

Dual : meminimumkan Y = 300u₁ + 120u₂ + 100u₃

Sekarang kita mencoba menyelesaikan kasus dual ini dengan metode simpleks. Mula-mula kita ubah dulu menjadi kasus maksimisasi dengan cara mengalihkan fungsi tujuan

dengan -1, kemudian memasukkan variable

surplus dan variable artifcial untuk mengubah formulasi menjadi bentuk yang dapat

dituliskan ke dalam table.

Memaksimumkan –Y = -300u₁ - 120u₂ - 100u₃ + 0S₁ + 0S₂ – Ma₁ – Ma₂

Tabel simpleks yang diturunkan dari formulasi tersebut adalah :

Penyelesaian di atas sudah mencapai optimal karena semua nilai pada baris C_j – Z_j ≤ 0.

Nilai fungsi tujuan yang kita peroleh

bertanda negatif,maka penyelesaian dual fungsi tujuan haruslah –(-124300) atau 124300. Hasil ini sama dengan yang kita

peroleh dari penyelesaian optimal primal.Hal ini berlaku untuk semua kasus dual, yaitu

bila primal mempunyai penyelesaian optimal, maka dual juga mempunyai penyelesaian optimal dan

Kalau kita perhatikan nilai penyelesaian

optimal kasus dual adalah u₁ = 357,14, u₂, = 142,86, u₃ = 0. Ternyata bahwa nilai-nilai tersebut sama dengan harga bayangan. Dengan demikian dapat kita simpulkan bahwa nilai harga bayangan dan nilai dual adalah satu dan sama. Berarti nilai optimal variabel dual menyatakan juga nilai tambahan per unit waktu (sumber daya) atau mengidentifkasi kontribusi ekonomi sumber daya dalam kasus primal.