RANGKUMAN BAB 5
( Teknik Riset Operasi )ANALISIS SENSITIFITAS DAN DUALITAS
ANALISIS SENSITIVITAS
( Dosen : Dewi Fatmasari, SE )
Disusun oleh
Ayu Wahyuningrat Fathila Kusnandar Diono Moch. Apip Yamin Shandy Sukma Gayunalapraya
TI S1 2008 A
FAKULTAS ILMU KOMPUTER
UNIVERSITAS KUNINGAN
ANALISIS SENSITIVITAS DAN DUALITAS
ANALISIS SENSITIVITAS
Analisis sensitivitas adalah studi tentang bagaimana perubahan penyelesaian optimal dan nilai penyelesaian optimal dari programasi linear sebagai akibat dari perubahan koefisien suatu variabel keputusan.
Analisis sensitivitas digunakan untuk melakukan interpretasi penyelesaian yang telah dicapai sehingga menjadi lebih mudah dipahami. Alasan utama pentingnya dilakukan analisis ini adalah dinamisasi dunia nyata. Artinya, kasus-kasus dalam dunia nyata yang dipecahkan dalam programasi linear selalu mengalami perubahan. Misalnya, adanya perubahan harga bahan mentah yang digunakan oleh perusahaan, kenaikan upah, penggantian mesin dan sebagainya akan mengubah koefisien fungsi tujuan.
Analisis sensitivitas dapat memeberikan estimasi kritis terhadap pormulasi koefisien dalam model. Hasil analisis dapat memberi informasi kepada manager apakah perkiraan keuntungan atau harga per unit produk merupakan perkiraan yang baik atau tidak berdasarkan range optimalitas koefisien fungsi tujuan. Range optimalitas adalah range nilai keuntungan atau harga perunit yang mungkin bagi perusahaan tanpa perusahaan harus merubah penyelesaian optimal jumlah produksi.
Aspek lain dari analisi sensitivitas adalah yang berkaitan dengan perubahan nilai pada sisi kanan funsgsi kendala. Perubahan yang demikian dapat terjadi bila terdapat perubahan kapasitas produksi atau perubahan waktu operasi pada tiap-tiap unit produksi.
ANALISIS SENSITIVITAS SECARA GRAFIS
Koefisien Fungsi Tujuan
Mula-mula akan kita lihat berapa range optimalitas bagi kasusu UD.Shuma tanpa harus mengubah jumlah produksi 25,7 unit sepatu wanita dan 21,5 unit sepatu anak. Dari gambar 5.1 yang memperlihatkan penyelesaina dengan methode grafik dari kasus UD.Shuma, kita lihat bahwa peyelesaian optimal terjadi pada titik ekstrem 4, yaitu pada titik potong antara kendala pengukuran dan pemotongan pola dengan
kendala pengeleman dan pengeringan. Perubahan koefisien X1 dan X2 pada
fungsi-fungsi tujuan akan menyebabkan perubahan slope fungsi-fungsi tujuan. Dari gambar kita bisa mengetahui bahwa perubahan yang demikian menyebabkan garis fungsi tujuan berputar disekitar titik ekstrem 4 tersebut. Namun selama garis fungsi tujuan masih berada didalam daerah yang diarsis (daerah layak), titik ekstrem 4 akan tetap optimal, yaitu bila slope garis kendala I ≤ slope garis fungsi tujuan ≤ slope garis kendala II.
Gambar 5.1.
Penyelesaian dengan Metode Grafik Kasus Perusahaan UD.Shuma
Dari persamaan garis kendala I 10X1+2X2=300 kita bisa mengetahu slope dan
intersep garis tersebut dengan menuliskan persamaan tersebut jadi X2=150 -5X1
Intersape garis kendala sebesar 60 dan koefisien sebesar -3/2. Dengan demikian kita bisa mengetahuia bahwa supaya titik ekstreme 4 tetap merupakan penyelesaian optimal harus memenuhi
-5 ≤ slope garis fungsi tujuan ≤ -3/2
Kita bisa menentukan range optimalitas keuntungan per unit sepatu anak (c2)
dengan mengubah persamaan garis kendala I dan II serta persamaan tujuan sebagai X1=f(X2) .
Garis kendala 1 (pengukuran dan pemotongan pola):
10X1+2X2=300 atau X1=30-2/10X2
Garis kendala II (pengeleman dan pengeringan):
3X1+2X2=120 atau X1=40-2/3X2
Persamaan umum garis fungsi tujuan: Z=c1X1+c2X2 atau X1=Z/c1-c2/c1X2
Sehinga titik ekstrem 4 akan tetap optimal bila
-2/10 ≥ -c2/c1 ≥ -2/3
-2/10 ≥ -c2/c1 dan –c2/c1 ≥ -2/3
Atau 2/10 ≤ c2/c1 dan c2/c1≤2/3
Untuk c1 = 4000, maka
2/10 ≤ c2/4000 dan c2/4000 ≤ 2/3
8000/10 ≤c2 dan c2 ≤ 8000/3
800 ≤ c2 dan c2 ≤ 2666,67
Atau 800 ≤ c2 ≤ 2666,67
Dengan range optimalitas tersebut, perkiraan keuntungan sepatu anak sebesar Rp 1000,00 merupakan perkiraan yang baik karena berada diantara range tersebut.
Sisi Kanan Fungsi Kendala
menit, maka sisi kanan kendala pengleman dan pengeringan akan berubah. Fungsi
kendala pengeleman dan pengeringan menjadi 3X1+2X2 ≤ 150.
Tambahan waktu 30 menit akan menyebabkan daerah layak menjadi bertambah luas, seperti ditunjukan pada Gambar 5.2. dengan kendala baru tersebut, kini kita hanya mempunyai 4 titik ekstrem yaitu (0,0),(0,50),(25,25), dan (30,0).
Gambar 5.2.
Daerah Layak Kasus Perusahaan UD Shuma Dengan Kendala Pengleman dan Pengeringan yang Baru
Perubahan nilai fungsi tujuan yang dihasilkan dari kenaikan satu unit nilai sisi kanan fungsi kendala disebut harga bayangan (shadow price). Semakin banyak tambahan waktu yang bisa dilakukan menyebabkan nilai sisi kanan fungsi kendala semakin meningkat. Oleh karena itu nilai harga bayangan hanya dapat digunakan pada perubahan yang kecil dari nilai sisi kanan fungsi kendala.
ANALISIS SENSITIVITAS DENGAN TABEL SIMPLEKS
Koefisien Fungsi Kendala
Koefisien fungsi tujuan terletak dalam suatu range tertentu, maka penyelesaian optimal tidak berubah. Range dimana nilai fungsi tujuan terletak disebut range optimalitas koefisien fungsi tujuan.
Tabel simpleks ini menunjukan bahwa penyelesaian sudah optimal karena
semua nilai pada baris Cj – Zj lebih kecil sama dengan nol. Adanya perubahan pada
salah satu koefisien fungsi tujuan akan menyebabkan nilai Cj – Zj untuk variable
non-dasar menjadi positif, sehingga penyelesaian menjadi tidak optimal lagi. Bila hal iini terjadi, maka dibutuhkan tambahan iterasi untuk menemukan penyelesaian
Untuk melihat proses perhitungan range optimalisasi ini kita misalkan nilai koefisien X1 (keuntungan per unit sepatu wanita) sebesar c1 (bukan 4000), sehingga kita dapatkan table
simpleks akhir sebagai berikut :
Kombinas c1+10000/14
1/7 c1-10000/14
0 0
Dari table kita mendapatkan :
Range optimalitas yang kita peroleh adalah 1500 ≤ c1 ≤ 5000. Hasil ini sama
dengan yang kita peroleh dengan menggunakan metode grafik.
Berdasarkan range optimalitas c1 ini, manajer dapat menggunakannya untuk
memeperoleh informasi apakah penyelesaian masih optimal atau tidak. Misal, karena naiknya harga bahan mentah, menyebabkan keuntungan per unit sepatu wanita turun menjadi Rp 2000 (masih di dalam range optimalitas). Hasil iterasi terakhir untuk perubahan ini, seperti yang terlihat pada table di bawah, masih optimal (semua nilai
baris Cj – Zj ≤ 0). Sedang keuntungan total yang diperoleh menjadi Rp 2000 (25,7) +
Rp 1000 (21,5) = Rp 72.900.
Misalkan sekarang keuntungan sepatu wanita ini turun lagi menjadi Rp 1000
pada baris Cj – Zj positif. Berarti masih diperlukan iterasi lagi hingga dicapai
penyelesaian optimal yang baru. Dengan kata lain, penyelesaian sebesar 25,7 unit sepatu wanita dan 21,5 unit sepatu anak tidak lagi merupakan produksi yang optimal pada keadaan di mana keuntungan per unit sepatu wanita sebesar Rp 1000.
Kombinas
Range optimalitas keuntungan per unit sepatu anak (c2) dapat kita tentukan
dengan cara yang sama seperti yang kita lakukan terhadap c1, yaitu dengan cara
mengubah koefisien X2 dan c2 pada table simpleks akhir. Sebagai akibatnya :
-4000/7 + 3/14 c2 ≤ 0
X2
-4000/7 + 10/14 c2
4000/7 - 10/14c2
0 0
720000/7 +150/7 c2
Ruas Kanan Fungsi Kendala
Nilai sisi kanan fungsi kendala pada programasi linear biasanya di interpretasikan sebagai kapasitas yang tersedia (dapat digunakan). Analisis sensitifitas sisi kanan fungsi kendala dapat member informasi kepada manajer tentang seberapa besar perubahan kapasitas tersebut bernilai bagi perusahaan.
Kombinas
Tabel simpleks diatas menunjukan nilai Zj untuk variable slack S1, S2 dan S3
masing-masing sebesar 2500/7, 1000/7 dan 0. Jadi harrga bayyangan untuk waktu pengukuyran dan pemotongan pola adalah Rp. 2500/7, untuk waktu pengeleman dan pengeringan Rp. 1000/7 dan untuk pengeslepan sebesar Rp. 0.
Informasi yang bisa kita turunkan dari hasil ini adalah penambahan tiap menit waktu akan menambah keuntungan sebesar harga bayangan pada masing-masing unit produksi. Berarti pula, penambahan waktu yang member kontribusi terbesar pada keuntungan terjadi pada unit produksi pengukuran dan pemotongan pola yaitu sebesar Rp. 2500/7 per menit.
Dual mempunyai interpretasi penting yang dapat membantu manajer mencari jawab atas pertanyaan yang menyangkut alternatif-alternatif kegiatan dan nilai relative masing-masing kegiatan. Dengan menggunakan penyelesaian dual dimungkinkan untuk memformulasikan suatu kasus dalam konteks yang berbeda dan mendapatkan hasil yang sama. Dalam metode simpleks, dual disebut juga sebagai penyelesaian persamaan menurut kolom.
Formulasi kasus dual dapat diturunkan dari kasus primal sebagai berikut :
- Dual merupakan kasus minimisasi dan karenanya mempunyai kendala ≥.
- Bila primal mempunyai n variable keputusan, maka dual akan mempunyai n
kendala. Kendala pertama dual berkaitan dengan variable keputusan (X1) dalam
primal, sedang kendala kedua dalam dual berkaitan dengan variable X2. Dalam
primal dan seterusnya.
- Bila primal mempunyai m kendala, dual akan mempunyai m keputusan.
Variable keputusan pertama dual (u1) berkaitan dengan kendala pertama dari
primal. Variable keputusan kedua dual (u2) berkaitan dengan kendala kedua dari
primal, dan seterusnya.
- Nilai-nilai sisi kanan fungsi kendala primal menjadi nilai-nilai koefisien fungsi
tujuan dual.
- Koefisien fungsi tujuan primal menjadi nilai ruas kanan fungsi kendala dalam
dual.
- Koefisien-koefisien fungsi kendala ke-i variable primal menjadi
koefisien-koefisien dalam kendala ke-i dari dual.
- Dual seperti halnya primal, mempunyai syarat non negativity.
Berdasarkan persyaratan umum tentang dual di atas, kita bisa menurunkan formulasi dual untuk kasus perusahaan UD. Shuma.
Primal : memaksimumkan 4000X1 + 1000 X2
Kendala 10 X1 + 2X2 ≤ 300
3 X1 + 2X2 ≤ 120
2 X1 + 2X2 ≤ 100
X1, X2 ≥ 0
Kendala 10u1 + 3u2 + 2u3 ≥ 4000
2u1 + 2u2 + 2u3 ≥ 1000
u1, u2 , u3 ≥ 0
Sekarang kita mencoba menyelesaikan kasus dual ini dengan metode simpleks. Mula-mula kita ubah dulu menjadi kasus maksimisasi dengan cara mengalihkan fungsi tujuan dengan -1, kemudian memasukkan variable surplus dan variable artificial untuk mengubah formulasi menjadi bentuk yang dapat dituliskan ke dalam table.
Memaksimumkan –Y = -300u1 - 120u2 - 100u3 + 0S1 + 0S2 – Ma1 – Ma2
Kendala 10u1 + 3u2 + 2u3 - S1 + a1 = 4000
2u1 + 2u2 + 2u3 - S2 + a2 = 1000
u1, u2, u3, S1, S2, a1 , a2 ≥ 0
Tabel simpleks yang diturunkan dari formulasi tersebut adalah :
Kombinas
Hasil iterasi pertama :
Kombi-nasi Produk
Cj -300 u1
-120 u2
-1000 u3
0 S1
0 S2
-M a1
-M a2
Kuantitas
u1 u3
-120 -300
0 1
1 0
8/7 -1/7
1/7 -1/7
-5/7 3/14
-1/7 1/7
5/7 -3/14
142,86 357,14 Zj
Cj – Zj
-300 0
-120 0
-660/7 -40/7
180/7 -180/7
150/7 -150/7
-180/7 180/7-M
-150/7-M 150/7-M
124300
Penyelesaian di atas sudah mencapai optimal karena semua nilai pada baris Cj
– Zj ≤ 0. Nilai fungsi tujuan yang kita peroleh bertanda negatif,maka penyelesaian
dual fungsi tujuan haruslah –(-124300) atau 124300. Hasil ini sama dengan yang kita peroleh dari penyelesaian optimal primal.Hal ini berlaku untuk semua kasus dual,
yaitu bila primal mempunyai penyelesaian optimal, maka dual juga mempunyai
penyelesaian optimal dan sebaliknya.Nilai fungsi tujuan optimal dari keduanya akan sama.
Kalau kita perhatikan nilai penyelesaian optimal kasus dual adalah u1 =
357,14, u2, = 142,86, u3 = 0. Ternyata bahwa nilai-nilai tersebut sama dengan harga
bayangan. Dengan demikian dapat kita simpulkan bahwa nilai harga bayangan dan
