Matriks Invers Ordo 3x3

(1)

Ma

Matr

trik

ik

s I

s Inv

nv

er

ers O

s O

rd

rdo

o 3 ×

3 ×

3

Oleh : Kelompok IV (Kelas A) Oleh : Kelompok IV (Kelas A) STMIK DIPANEGARA MAKASSAR STMIK DIPANEGARA MAKASSAR 2013

2013

Aljabar Linear

(2)

Bentuk Umum



 MMaattrriikkss yyaanngg tteerrddiirrii ddaarrii 33 ba

barrisis ddanan 33 kokollomom mmereruupapakakann b beennttuukk uummuumm dadarrii mmaattrriikkss o orrddoo 33 xx 33..













33 33 32 32 31 31 23 23 22 22 21 21 13 13 12 12 11 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a

A =

(3)

Rumus Matriks Invers



−−

=

1

1 ||

||

.





 

Keterangan Keterangan : : 

 AA−−11= Invers dari matriks A= Invers dari matriks A



 adj A= matriks Adjoin dari Aadj A= matriks Adjoin dari A



(4)

Determinan Matriks (Cara Koofaktor)

D

e

t

e

r

m

i

n

a

n

d

a

r

i

s

e

b

u

a

h

m

a

t

r

i

k

s

d

a

p

a

t

d

i

p

e

r

o

l

e

h

me

la

lu

i

mi

no

r

da

n

ko

fa

kt

or

mat

ri

ks

ter

seb

ut.

          33 33 32 32 31 31 23 23 22 22 21 21 13 13 12 12 11 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a

A =

P

a

d

a

m

a

t

r

i

k

s

b

e

r

o

r

d

e

3

3 ×

×

3

3 ,

,

m

a

k

a

m

i

n

o

r

e

l

e

m

e

n

a

_ij_ij

dinotasikan

d

e

n

g

a

n

M

_ij_ij

,

di

de

fi

ni

si

ka

n

se

ba

ga

i

d

e

t

e

r

m

i

n

a

n

d

a

r

i

s

u

b

m

a

t

r

i

k

s

A

b

e

r

o

r

d

e

2

2 x

x

2

2 s

s

e

t

e

l

a

h

b

a

r

i

s

k

e

-

i

d

a

n

k

o

l

o

m

k

e

-

j

d

i

h

i

l

a

n

g

k

a

n

.

S

e

d

a

n

g

k

a

n

k

o

f

a

k

t

o

r

d

i

p

e

r

o

l

e

h

d

a

r

i

p

e

r

k

a

l

i

a

n

M

_ij_ij

d

e

n

g

a

n

(

-

1

1 )

)

i+ji+j

da

n

di

tu

li

s

de

ng

an

C

_ij._ij.

(5)

Determinan Matriks (Cara Koofaktor)

Maka minor dari elemen a

Maka minor dari elemen a₁₁₁₁ adalahadalah           33 33 32 32 31 31 23 23 22 22 21 21 13 13 12 12 11 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a A = A =           33 33 32 32 31 31 23 23 22 22 21 21 13 13 12 12 11 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a se sehihingnggaga MM₁₁₁₁ == 33 33 32 32 23 23 22 22 a a a a a a a a 

 SeSedadangkngkanan kokofafaktktoror elelememenen



aa_ij_ij = C= C_ij_ij = (-1)= (-1)ii+ j+ j _M_M

ij



 Maka koofaktor elemen aMaka koofaktor elemen a₁₁₁₁ daridari matriks tersebut adalah

matriks tersebut adalah C C₁₁₁₁ = (-1)= (-1)1 +11 +1 _M_M 11 11 = (-1)= (-1)22  __ __  __ __

(6)

Determinan Matriks (Cara Koofaktor)

Minor dari elemen a

Minor dari elemen a₃₂₃₂ adalahadalah           33 33 32 32 31 31 23 23 22 22 21 21 13 13 12 12 11 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a A = A =           33 33 32 32 31 31 23 23 22 22 21 21 13 13 12 12 11 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a se sehihingnggaga MM₃₂₃₂ == 23 23 21 21 13 13 11 11 a a a a a a a a 

 Maka koofaktor elemen aMaka koofaktor elemen a₁₁₁₁ daridari matriks tersebut adalah

matriks tersebut adalah C C₃₂₃₂ = (-1)= (-1)33+2+2 _M_M 32 32 = (-1)= (-1)55  __ __  __ __

(7)

Determinan Matriks (Cara Koofaktor)



 Ekspansi (penjabaran) kofaktor sepanjangEkspansi (penjabaran) kofaktor sepanjang baris

ke-baris ke-ii :: 1.

1. det A = | A | =det A = | A | = aa₁₁₁₁ C C₁₁₁₁++aa₁₂₁₂ C C₁₂₁₂++ a a₁₃₁₃ C C₁₃₁₃

(baris ke-1)

2.

2. det A = | A | =det A = | A | = aa₂₁₂₁ C C₂₁₂₁++aa₂₂₂₂ C C₂₂₂₂++ a a₂₃₂₃ C C₂₃₂₃

(baris ke-2)

3.

3. det A = | A | =det A = | A | = aa₃₁₃₁ C C₃₁₃₁++aa₃₂₃₂ C C₃₂₃₂++ a a₃₃₃₃ C C₃₃₃₃

(baris ke-3)



 Ekspansi (penjabaran) kofaktor sepanjangEkspansi (penjabaran) kofaktor sepanjang kolom

ke-kolom ke- j j :: 1.

1. det A = | A | =det A = | A | = aa₁₁₁₁ C C₁₁₁₁++ aa₂₁₂₁ C C₂₁₂₁++ a a₃₁₃₁ C C₃₁₃₁

(kolom ke-1)

2.

2. det A = | A | =det A = | A | = aa₁₂₁₂ C C₁₂₁₂++ aa₂₂₂₂ C C₂₂₂₂++ a a₃₂₃₂ C C₃₂₃₂

(kolom ke-2)

3.

3. det A = | A | =det A = | A | = aa₁₃₁₃ C C₁₃₁₃++ aa₂₃₂₃ C C₂₃₂₃++ a a₃₃₃₃ C C₃₃₃₃

(kolom ke-3)

Nilai determinan matriks A berordo 3 dapat ditentukan dengan Nilai determinan matriks A berordo 3 dapat ditentukan dengan menggunakan ekspansi determinan :

(8)

Determinan Matriks (Cara Koofaktor)

Tentukan nilai determinan dari matriks A

dengan cara koofaktor

A

=

1

1 2 

2 1

1

3

1

2

2 

1

1

4

4 

2

2

Contoh Soal : Contoh Soal :

(9)

Determinan Matriks (Cara Koofaktor)

  aa₂₁₂₁   __ == 2 2 11 4 4 22   __ = = 11 ++ 2 2 11 4 4 22   = (-1)(-4= (-1)(-4 – – (-4)) = 0(-4)) = 0 Penyelesaian : Penyelesaian : __ _a_a₂₂₂₂   __ == 1 1 11  1 1 22   __ = = 11 ++ 1 1 11  1 1 22   = (1)(-2= (1)(-2 – – 1) = -31) = -3   aa₂₃₂₃   __ == 1 1 22 1 1 44   __ = = 11 ++ 1 1 22 1 1 44   = (-1)(4= (-1)(4 – – (-2)) = -6(-2)) = -6 

 Nilai DeterminanNilai Determinan   | A || A | == aa₂₁₂₁ C C₂₁₂₁ ++ aa₂₂₂₂ C C₂₂₂₂ ++ a a₂₃₂₃ C C₂₃₂₃ = (3)(0) + (1)(-3) + (2)(-6) = (3)(0) + (1)(-3) + (2)(-6) = -15 = -15 A A == 1 1 2 2 11 3 3 1 1 22  1 1 4 4 22

(10)

Determinan Matriks (Cara Sarrus)

32 32 31 31 22 22 21 21 12 12 11 11 33 33 32 32 31 31 23 23 22 22 21 21 13 13 12 12 11 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a det A = det A = 32 32 21 21 13 13 31 31 23 23 12 12 33 33 22 22 11 11 aa aa aa aa aa aa aa aa a a   12 12 21 21 33 33 11 11 23 23 32 32 13 13 22 22 31 31 aa aa aa aa aa aa aa aa a a   Du Du – – Ds Ds == ||AA|| |A| |A| == (( )) ₊₊ (( ))

(11)

Determinan Matriks (Cara Sarrus)

Tentukan nilai determinan dari matriks

A

=

1

1 2 

2 1

1

3

1

2

2 

1

1

4

4 

2

2

(12)

Determinan Matriks (Cara Sarrus)

  A A == 1 1 2 2 11 3 3 1 1 22  1 1 4 4 22 1 1 22 3 3 11 1 1 44 = {(1)(1)(-2) + (2)(2)(-1) + (-1)(3)(4)} = {(1)(1)(-2) + (2)(2)(-1) + (-1)(3)(4)} – – {(-1)(1)(-1) + (4)(2)(1) + (-2)(3)(2)}{(-1)(1)(-1) + (4)(2)(1) + (-2)(3)(2)} = {(-2) + (-4) + (-12)} = {(-2) + (-4) + (-12)} – – { 1 + 8 + (-12)}{ 1 + 8 + (-12)} = (-18) + (-3) = (-18) + (-3) |A| |A| = -15= -15 Penyelesaian: Penyelesaian:

(13)

Adjoin Matriks (Terpisah/Minor)



 Jika matriks A =Jika matriks A =

 __ __ __  __ __ __  __ __ __ dan matriks

dan matriks kofaktornya adalahkofaktornya adalah

 __ __ __  __ __ __  __ __ __ maka maka

adjoin matriks A adalah transpos dari

adjoin matriks A adalah transpos dari matriks kofaktor itu, sehingga diperoleh:matriks kofaktor itu, sehingga diperoleh:

Adj A = Adj A =  __ __ __  __ __ __  __ __ __ C C₁₁₁₁ = (-1)= (-1)1 +11 +1 _M_M 11 11 = (-1)= (-1)22  __ __  __ __

(14)

Adjoin Matriks (Terpisah/Minor)

Tentukan adjoin dari matriks

A

=

1

1 2 

2 1

1

3

1

2

2 

1

1

4

4 

2

2 dengan matriks kofaktor (C)

dengan matriks kofaktor (C)



1

10

0 

4

4

1

13

3

0

0 

3 

3 

6

5

5 

5 

5 

5

(15)

Adjoin Matriks (Terpisah/Minor)

  Adj A = CAdj A = Ctt ₌₌  110 0 0 0 55  4 4 3 3 55 1 13 3 6 6 55

matriks kofaktor (C)



1

10

0 

4

4

1

13

3

0

0 

3 

3 6

6

5

5 

5 

5 5

5

Penyelesaian: Penyelesaian:

(16)

Adjoin Matriks (Gabungan)

Adj A = Adj A =   __       __ __  __ __   __ __  __ __   __       __ __  __ __   __ __  __ __   __       __ __  __ __   __ __  __ __

Adjoin dari sebuah matriks juga dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut :

(17)

Adjoin Matriks (Gabungan)

Tentukan adjoin dari matriks

A

=

1

1 2 

2 

1

3

1

2

2 



1

4

4 



2

(18)

Adjoin Matriks (Gabungan)

Penyelesaian: Penyelesaian: A Addj Aj A == 1 1 22 4 4 22 (1)(1) 2 2 11 4 4 22 2 2 11 1 1 22 (1) (1) 3 3 22  1 1 22 1 1 11  1 1 22 (1) (1) 1 1 11 3 3 22 3 3 11 1 1 44 (1)(1) 1 1 22 1 1 44 1 1 22 3 3 11 = =  110 0 0 0 55 4 4 3 3 55 1 13 3 6 6 55

(19)

Contoh Soal

Matriks Matriks A A == 1 1 2 2 11 3 3 1 1 22  1 1 4 4 22

dengan det A = -15, dan adj A = dengan det A = -15, dan adj A =

 110 0 0 0 55 4 4 3 3 55 1 13 3 6 6 55

Tentukan invers dari matriks A! Tentukan invers dari matriks A!

(20)

Contoh Soal

Matriks Matriks A A == 1 1 2 2 11 3 3 1 1 22  1 1 4 4 22

dengan det A = -15, dan adj A = dengan det A = -15, dan adj A =

 110 0 0 0 55 4 4 3 3 55 1 13 3 6 6 55

Tentukan invers dari matriks A! Tentukan invers dari matriks A!

(21)

Contoh Soal

 −− == 11 |A| |A|..aaddjj AA AA -1 -1₌₌  − −..  110 0 0 0 55 4 4 3 3 55 1 13 3 6 6 55 = =     0 0                               Penyelesaian: Penyelesaian: det A =|A| = -15 det A =|A| = -15 adj A = adj A =  110 0 0 0 55 4 4 3 3 55 1 13 3 6 6 55

(22)

SEKIAN

Terima Kasih Terima Kasih  KELOMPOK IV (KELAS A) KELOMPOK IV (KELAS A) 1.

1. (122(122020) 020) FITRFITRI RI RAHAAHAYU YU PPASASIHASASIH

2.

2. (1(1222201017) PU7) PUTRTRI CAMAI CAMANINI

3.

3. (12(122022026) 6) ELMELMIRA IRA SABSABBANBAN

4.

4. (1(1222201018) 8) YUYULI LI ANANTITI

5.

5. (12(122332330) 0) KEZKEZIA IA IMAIMANUENUELA LA

6.

6. ((122348122348) NOVITA SAPAN) NOVITA SAPAN

7.