BAB 2. Diferensial Fungsi Sederhana

(1)

BAB 2. Diferensial Fungsi Sederhana

A. Kuosien Diferensi dan Derivatif

1.1 Kuosien diferensi (∆y/∆x)

mencerminkan tingkat perubahan rata-rata variabel terikat y terhadap variabel bebas x. (∆y/∆x) dapat juga kita kenal sebagai lereng dari kurva y = f(x)

Penjelasan kuosien diferensi :

(2)

Matematika Ekonomi 2

(3)

1.2 Derivatif

Derifatif/turunan  hasil yang diperoleh dari proses diferensiasi. Diferensiasi  penentuan limit suatu kuosien diferensi dalam hal penambahan variabel bebasnya sangat kecil atau mendekati nol

Penjelasan :

Turunan fungsi = limit dari kuosien diferensinya

(4)

B. Kaidah-kaidah Diferensial

1. Diferensiasi konstanta

Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka dy/dx = 0

contoh : y = 5  dy/dx = 0

2. Diferensiasi fungsi pangkat

Jika y = xn, dimana n adalah konstanta, maka dy/dx = nxn-1

contoh : y=x3 dy/dx=3x3-1=3x2

3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi

Jika y = kv, dimana v = h(x),  dy/dx = k dv/dx

(5)

contoh : y = 5x3  dy/dx = 5(3x2) =15x2

4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi

jika y = k/v, dimana v=h(x), maka :

5.Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi

jika y = u + v, dimana u = g(x) dan v =h(x) maka dy/dx = du/dx + dv/dx

contoh : y = 4x2 + x3  u = 4x 2,du/dx = 8x  v = x3 ,dv/dx = 3x2 dy/dx =du/dx + dv/dx = 8x + 3x2

6. Diferensiasi perkalian fungsi

Jika y = uv, dimana u = g(x) dan v = h(x)

2 / v dx kdv dx dy − = 6 2 2 3 2 3 15 ) ( ) 3 ( 5 , 5 : x x x x dx dy x y contoh = = − = − 4 4 4 3 2 2 3 2 20 8 12 ) 8 )( ( ) 3 )( 4 ( ) )( 4 ( : x x x x x x x dx du v dx dv u dx dy x x y contoh dx du v dx dv u dx dy maka = + = + = + = = + = ⇒

(6)

7. Diferensiasi pembagian fungsi

Jika y = u/v. dimana u = g(x) dan v = h(x)

8. Diferensiasi Fungsi komposit

Jika y=f(u) sedangkan u=g(x),dengan

bentuk lain y=f{g(x)}, maka :

2 2 6 4 4 2 3 2 2 3 2 3 2 2 4 4 12 8 ) ( ) 3 )( 4 ( ) 8 )( ( 4 : − − = − = − − = − = = − = ⇒ x x x x x x x x x x v dx dv u dx du v dx dy x x y contoh v dx dv u dx du v dx dy maka 2 5 2 3 2 2 2 3 2 3 120 96 ) 12 )( 5 4 ( 2 ) 12 ( 2 2 , 12 5 4 : ) 5 4 ( : x x x x x u dx du du dy dx dy u du dy x dx du u y x u misal x y contoh dx du du dy dx dy + = + = = • = = = = ⇒ + = ⇒ + = • =

(7)

9. Diferensiasi fungsi berpangkat

Jika y=un, dimana u=g(x) dan n adalah konstanta, maka dy/dx =nun-1 .(du/dx)

Contoh :

10. Diferensiasi fungsi logaritmik

Jika y = alogx, maka

11.Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik

Jika y=alogu, dimana u=g(x), maka :

2 5 2 3 1 2 3 2 3 120 96 ) 12 )( 5 4 ( 2 12 5 4 : , ) 5 4 ( x x x x dx du nu dx dy x dx du x u misal x y n • = + = + = = → + = ⇒ + = − 5 ln 2 1 ln 1 , 2 log : ln 1 5 ⇒ = = = = a x dx dy y contoh a x dx dy

(8)

12.Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik-berpangkat

Jika y = (alogu)n, dimana u = g(x) dan n adalah konstanta, maka :

) 6 ( log 5 ) 2 )( 3 ( log 5 ) 2 ( 5 2 3 log log ) 2 ( 5 ) 2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 3 ( : misalkan 2 3 log : contoh log 2 2 2 2 − − = + − = + •       + − = • = + = + − − + = ⇒ + − =       + − = • = x x e x x e x x x e dx du u e dx dy x x x x dx du x x u x x y dx du u e dx dy a a e x x x e x x x x e x dx dy x dx du x u x y dx du u e du dy dx dy a log ) 5 (log 6 5 log ) 5 (log 30 ) 10 ( 5 log ) 5 (log 3 10 5 misalkan ) 5 (log : contoh log 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 = =       = = → = = • • =

(9)

13. Diferensiasi fungsi logaritmik-Napier

Jika y = ln x, maka dy/dx = 1/x

Contoh : y = ln 5, dy/dx = 1/x = 1/5

14.Diferensiasi fungsi Komposit-Logaritmik-Napier

Jika y = ln u, dimana u = g(x), maka :

15.Diferensiasi fungsi Komposit-Logaritmik-Napier-berpangkat

Jika y = (ln u)n, dimana u = g(x) dan n : konstanta ,Maka ) 6 ( 5 ) 2 ( 5 ) 3 ( ) 2 ( 1 ) 2 ( 5 ) 2 ( ) 3 ( : misalkan 2 3 ln : contoh 1 2 2 2 − − = + • − + = • = + = ⇒ + − =       + − = • = x x x x x dx du u dx dy x dx du x x u x x y dx du u dx dy

(10)

16. Diferensiasi fungsi eksponensial

Jika y = ax, dimana a : konstanta,

maka :dy/dx = ax ln a

Contoh : y = 5x,

17.Diferensasi fungsi komposit – eksponensial

Jika y = au dimana u = g(x), maka : 2 2 2 2 2 2 3 2 ) 5 (ln 6 ) 10 ( 5 1 ) 5 (ln 3 10 5 misalkan ) 5 (ln : contoh 1 x x x x x dx dy x dx du x u x y dx du u du dy dx dy =       = = → = = • • = 1 ln sebab juga, maka , hal Dalam 5 ln 5 ln = = = = = e e dx dy e y a a dx dy x x x x

(11)

18. Diferensiasi fungsi kompleks

Jika y = uv, dimana u =g(x) dan v =h(x) Maka :

19. Diferensiasi fungsi balikan

dx du e dx dy e y x x dx du a a dx dy x dx du x u y dx a a dx u u x x u x = = = = = = → − = = = − − − maka , hal dalam : Khusus Kasus 9 ln 9 ) 6 ( ) 6 )( 9 (ln 9 ln 6 4 3 misalkan 9 : Contoh ln 4 3 4 3 2 4 3 2 2 2 ) 4 ln 3 4 ( 4 4 ln 12 16 ) 3 ( 4 ln 4 ) 4 ( 4 ) ( ln 3 / 4 / 4 : misalkan , 4 : contoh ln 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 1 3 1 2 3 1 x x x x x x x x x x dx dv u u dx du vu dx dy x dx dv x v dx du x u x y dx dv u u dx du vu dx dy x x x x x v v x v v + = + = + = • • + • = = → = = → = = • • + • = + + + − − −

(12)

Jika y = f(x) dan x = g(y) adalah fungsi-fungsi yang saling berbalikan (inverse

functions)

Maka :

20.Diferensiasi Implisit

Jika f (x, y)=0 merupakan fungsi implisit sejati (tidak mungkin dieksplisitkan), dy/dx dapat diperoleh dengan mendiferensiasikan suku demi suku, dengan menganggap y sebagai fungsi dari x

) 2 5 ( 1 / 1 2 5 5 , 0 5 : / 1 3 3 4 y dx dy dx dy y dx dy y y x contoh dx dy dx dy + = = → + = + = =

(13)

C. Hakikat Derivatif dan Diferensial

(

)

1 4 2 2 8 4 2 4 2 2 8 0 2 2 4 8 tentukan , 0 2 4 : 2 2 2 2 2 2 + − = + − = − = + = + − + = + − xy y x xy y x dx dy y x dx dy xy dx dy x y dx dy xy dx dy y x xy contoh dx dy x y x f(x) y x y = ∆ ∆ → ∆ = ⇒ ∆ ∆ 0 lim kurva dari lereng

(14)

D. Derivatif dari Derivatif

Tergantung pada derajatnya, sesungguhnya setiap fungsi dapat diturunkan lebih dari satu kali. Turunan pertama (first derivative)

(15)

sebuah fungsi adalah turunan dari fungsi awal atau fungsi aslinya. Turunan kedua (second derivative) sebuah fungsi adalah turunan dari turunan pertama , dan seterusnya.

Contoh :

Derivatif pertama dan derivative kedua sangat bermanfaat untuk menelaah fungsi yang bersangkutan seperti menentukan posisi-posisi khusus dari kurva fungsi non-linier.

(16)

E. Hubungan antara Fungsi dan

Derivatifnya

1. Fungsi Menaik dan Menurun

Turunan pertama dari sebuah fungsi non-linear dapat digunakan untuk menentukan apakah kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik atau menurun pada kedudukan tertentu.

Contoh :

Tentukan apakah y = f(x)= 1/3x3– 4x2+12x -5 merupakan fungsi menaik ataukah fungsi

menurun pada x=5 dan x=7. Selidiki pula untuk x= 6

(17)

F1(X) = x2-8x+12  F1 (5) = 52 - 8(5) +12 = -3<0  fungsi menurun  F1 (7) = 72 - 8(7) +12 = 5<0  fungsi menurun  F1

(6) = 62 - 8(6) +12 = 0  fungsi berada di titik

ekstrim yaitu titik minimum

2. Titik ekstrim fungsi parabolic

 Turunan pertama dari fungsi parabolik y =

f(x) berguna untuk menentukan letak titik

ekstrimnya.

 Sedangkan turunan kedua berguna untuk

mengetahui jenis titik ekstrim yang

(18)

Contoh:

y = f(x) = x2 - 8x + 12 ………….fungsi parabolik

y’ = f’(x) = dy/dx = 2x – 8 …….fungsi linear

y” = f”(x) = d2y/dx2 = 2 ……….konstanta

 Parabola y = f(x) = x2 - 8x + 12 , mencapai

titik ekstrim – dalam hal ini titik minimum yaitu (4, -4)

 y’ = 0, nilai variabel bebas x = 4. x = 4

 dimasukkan ke dalam persamaan Parabola

(19)

3. Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik

 Titik maksimum atau minimum fungsi kubik, serta titik beloknya dapat dicari melalui turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut

 Fungsi Kubik y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’ = 0

 Jika y” < 0 pada y’ = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum

 Jika y” > 0 pada y’ = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum

 Fungsi kubik y = f(x) berada di titik belok pada y” = 0 Contoh : y = 1/3x3 – 3x2 + 8x – 3 y’ = x2 – 6x + 8 y” = 2x – 6 Jika y’ = 0, x2 – 6x + 8 = 0 (x – 2)(x – 4) = 0  x1 = 2, x2 = 4

(20)

 Untuk x1 = 2 dimasukkan pada

persamaan kubik  maka y = 3.67 (2, 3.67)

 titik ekstrim maksimum karena untuk x₁ =

2 apabila dimasukkan dalam turunan ke dua,

maka y” = -2 < 0 (turunan kedua negatif)

 Untuk x2 = 4 dimasukkan pada

persamaan kubik  maka y = 2.33 (4, 2.33)

 titik ekstrim minimum karena untuk x₂ = 4

apabila dimasukkan dalam turunan ke dua, maka y” = 2 > 0 (turunan kedua positif)

Titik belok Jika y” = 0  2x – 6 = 0  x = 3, nilai x = 3 dimasukkan dalam persamaan kubik  didapatkannilai y = 3  titik belok (3,3)

Jadi, fungsi kubik y =1/3x3 – 3x2 + 8x – 3 berada di :

Titik maksimum pada koordinat (2;3,67) Titik belok pada koordinat (3;3)

(21)

Referensi :