DIGRAPH DWIWARNA PRIMITIF
Pada bagian ini akan diberikan beberapa konsep dasar seperti teorema dan definisi sebagai landasan teori dalam penelitian ini. Konsep dasar tersebut berkaitan dengan definisi digraph, digraph dwiwarna, terhubung kuat, primitifitas, eksponen dan ekspo-nen titik digraph dwiwarna yang dirujuk dari Brualdi dan Ryser (1991).
2.1 Definisi
Pada sub-bab ini akan diberikan beberapa definisi tentang digraph dan digraph dwi-warna serta notasi-notasi yang akan dipergunakan dalam pembahasan selanjutnya.
2.1.1 Digraph
Secara sederhanagraphadalah kumpulan titik atau lingkaran kecil yang dihubungkan oleh garis. Jika segmen garis tersebut diberi arah maka hal yang demikian disebut dengan digraph. Formalnya, digraph adalah objek yang terdiri dari dua himpunan yaitu :
1. Himpunan berhingga tak kosong V = {v0, v1, ..., vm} yang elemen-elemen dari himpunan V disebut verteks atau titik dari digraph D.
2. Himpunan E yakni himpunan bagian dari pasangan berurut V XV dengan se-mua titik tidak harus berbeda dan elemen-elemenya disebut arc dari digraph D.
Jika diberikan α = (u, v) adalah suatu arc diD, maka titik u disebut sebagai titik awal dan titik v sebagai titik akhir. Suatu arc (u, v) dapat juga digambarkan
sebagai u→v yang menghubungkan titiku dan v.
Contoh 2.1.1 Himpunan titik V = {v1, v2, v3, v4} bersamaan dengan himpunan arc E ={v1→v4, v4→v4, v4→v1, v4→v3, v3→v2, v2→v1, v1→v1} adalah suatu digraph dengan 4 titik dan 7 arc, dinotasikan dengan D(4,7). Representasi grafis digraph tersebut diperlihatkan seperti pada Gambar 2.1 berikut ini.
Gambar 2.1 Digraph dengan 4 titik dan 7 arc
Andaikan D adalah sebuah digraph. Misalkan u dan v adalah titik di D. Suatu walk dengan panjang l dari u ke v adalah suatu barisan arc dalam bentuk
u=v0 → v1 → · · · →vl−1 →vl=v
Dengan l > 0,v0 =udan vl =v. Walk tersebut adalah tertutup jikau=v dan walk disebut terbuka jika u 6= v. Cycle adalah suatu path tertutup uv dan loop adalah sebuah cycle yang panjangnya satu. Dengan menggunakan digraph pada contoh 2.1.1 akan dijelaskan beberapa definisi diatas.
a. Barisan arcv1→v4→v1→v4→v3→v2→v1 adalah sebuah walk tetapi bukan path karena ada perulangan titik v1.
b. Barisan arc v1→v4→v3→v2 adalah sebuah path terbuka.
c. Barisan arc v1→v4→v3→v2→v1 adalah sebuah path tertutup dan disebut juga dengan cycle.
2.1.2 Digraph Dwiwarna
AndaikanDadalah sebuah digraph atasntitikv1, v2, ..., vn. Digraph dwiwarnaadalah sebuah digraph D yang setiap arcnya diwarnai dengan warna merah atau warna biru dan dinotasikan denganD(2). Sebuah arc merah(u, v) dinotasikan dengan u→r v dan sebuah arc biru (u, v) dinotasikan dengan u→b v.
Contoh 2.1.2 Himpunan titik V = {v1, v2, v3, v4, v5} bersama dengan himpunan arc merah R = {(v3, v4) ,(v4, v5) ,(v5, v3),(v3, v3)} dan himpunan arc biru B =
{(v5, v1),(v1, v2),(v2, v3)} adalah sebuah digraph dwiwarna D(2) dengan 5 titik, 4 arc merah dan 3 arc biru. Secara grafis, digraph dwiwarna D(2) dapat direpresentasikan dengan cara berikut
a. Setiap titik digambarkan dengan lingkaran kecil hitam.
b. Setiap arc merah (a, b) digambarkan dengan garis berarah tidak putus-putus dari titik a ke titik b.
c. Setiap arc biru (c, d) digambarkan dengan garis berarah putus-putus dari titik c ke titikd.
Dengan demikian contoh 2.1.2 dapat diperlihatkan pada gambar berikut.
Gambar 2.2 : Digraph dwiwarna 5 titik dan 7 arc
Sebuah (g, h)-walk di digraph dwiwarna D(2) adalah walk yang terdiri dari g-arc merah dan h-arc biru. Andaikan w adalah sebuah walk. Banyaknya arc merah dan arc biru yang termuat di walkwdinotasikan denganr(w) danb(w) berturut-turut
dengan panjang walkw adalah l(w) =r(w) +b(w). Vektor r(w) b(w) disebut sebagai
komposisi dari walk w.
Sebuah pathadalah sebuah walk dengan semua titik-titiknya berbeda. Cycle
adalah path tertutup dan loop adalah cycle dengan komposisi
1 0 atau 0 1 .
Berdasarakan definisi tersebut, dari Gambar 2.2 diperoleh
a. v1 b →v2 b →v3 r →v3 r
→v4 adalah sebuah walk dengan komposisi
2 2 . b. v1 b →v2 b →v3 r →v4 r
→v5 adalah sebuah path terbuka dengan komposisi
2 2 . c. v5 r →v3 r →v4 r
→v5 adalah sebuah cycle dengan komposisi
3 0 . d. v3 r
→v3 adalah sebuah loop dengan komposisi
1 0 . 2.2 Matriks Adjacency
Sebuah digraph D atau digraph dwiwarna D(2) atas n titik dapat dinyatakan dalam (0,1)-matriks, yaitu sebuah matriks dengan entri 0 atau 1. Matriks yang demikian dikenal dengan sebutan matriks adjacency.
2.2.1 Matriks Adjacency Digraph
Untuk digraph D atas n titik, matriks adjacency dari D adalah A(D) = [aij] den-gan ketentuan berikut
aij =
(
1, jika terdapat arc dari vi kevj di D 0, jika sebaliknya
Sebagai contoh perhatikan digraph D pada Gambar 2.3 berikut
Gambar 2.3 : Digraph dengan 4 titik dan 7 arc
matriks adjacency dari digraph pada Gambar 2.3 adalah sebagai berikut
A(D) = 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0
2.2.2 Matriks Adjacency Digraph Dwiwarna
Pada digraph dwiwarna D(2), matriks adjacency dariD(2) terbagi atas dua buah ma-triks adjacency yakni, mama-triks adjacency untuk arc merah, R = [rij] dan matriks adjacency untuk arc biru, B = [bij] yang masing-masing orde n dengan ketentuan berikut
rij =
(
1, jika terdapat arc merah darivi kevj diD(2) 0, jika sebaliknya
dan
bij =
(
1, jika terdapat arc biru dari vi kevj di D(2) 0, jika sebaliknya
Dengan demikian, matriks adjacency dari Gambar 2.2 pada contoh 2.1.2 adalah seba-gai berikut
a. Arc merah dari D(2) pada contoh 2.1.2 adalah{v
3 →v3, v3 →v4, v4 →v5, v5 → v3}. Sehingga matriks adjacency arc merahR= [rij] dari D(2) tersebut adalah
R= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
b. Arc biru dari D(2) pada contoh 2.1.2 adalah {v
5 → v1, v1 → v2, v2 → v3}. Se-hingga matriks adjacency arc biruB = [bij] dari digraph dwiwarnaD(2) tersebut adalah B = 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
2.3 Primitifitas Dari Digraph Dwiwarna Terhubung Kuat
Pada bagian ini akan dibahas tentang digraph dan digraph dwiwarna terhubung kuat serta primitifitasnya.
2.3.1 Digraph Primitif
Sebuah digraph D disebut terhubung kuat jika untuk setiap pasang titik u dan v terdapat walk dari titik u kev dan walk dari titikv ke u, sebaliknya digraphD dise-but tidak terhubung kuat jika terdapat sembarang satu titik atau lebih sehingga tidak terdapat walk dari u ke v. Berikut ini diberikan contoh digraph terhubung kuat dan tidak terhubung kuat.
Contoh 2.3.1 Representasi dari dua buah digraph terhubung kuat dan tidak ter-hubung kuat.
Gambar 2.4 : Digraph terhubung kuat dan tidak terhubung kuat
Gambar 2.4 menunjukan bahwa (a) adalah terhubung kuat karena terdapat walk dari satu titik ke titik lainya, sedangkan (b) tidak terhubung kuat karena tidak terdapat walk dari v1 kev2 .
Misalkan himpunan C = {γ1, γ2, ..., γt} adalah himpunan semua cycle-cycle yang terdapat pada digrap D dengan panjang dari cycle-cycle tersebut dinotasikan denganl(γi),i= 1,2, ..., t. Digraph terhubung kuatDdisebutprimitifjika gcd(l(γi)) = 1, sebaliknya digraph D disebuttidak primitifjika gcd(l(γi))6= 1 (Brualdi dan Ryser, 1991). Berikut ini diberikan representasi grafis digraph yang terhubung kuat dan primitif.
Contoh 2.3.2 Representasi dari digraph terhubung kuat atas 5 titik dan 6 arc.
DigraphDpada Gambar 2.5 adalah terhubung kuat yang terdiri dari dua cycle, yaitu cycleγ1 =v1 →v2 →v3 →v5 →v4→v1 dengan l(γ1) = 5 dan cycleγ2=v4 → v3 → v5 → v4 dengan panjang l(γ2) = 3. Sehingga gcd(l(γ1), l(γ2)) = gcd(5,3) = 1. Karena gcd(l(γ1), l(γ2)) = 1, oleh definisi dapat disimpulkan bahwa digraph Dadalah primitif.
2.3.2 Digraph Dwiwarna Primitif
Sebuah digraph dwiwarnaD(2) adalah terhubung kuat jika untuk setiap pasang titiku danv diD(2) terdapat walk dari titikuke titikv dan walk dari titikv ke titikutanpa memperhatikan warna setiap arc yang dilalui. Perhatikan contoh digraph dwiwarna D(2) terhubung kuat dan digraph dwiwarna D(2) tidak terhubung kuat berikut
Contoh 2.3.3 Representasi dari digraph dwiwarna terhubung kuat
Gambar 2.6 : Digraph dwiwarna terhubung kuat dan tidak terhubung kuat
Gambar 2.6 memperlihatkan bahwa (a) adalah digraph dwiwarna D(2) ter-hubung kuat karena terdapat walk dari satu titik ke titik yang lain dan (b) adalah digraph dwiwarna D(2) yang tidak terhubung kuat karena tidak terdapat walk dari v
1 ke v2.
Sebuah digraph dwiwarna terhubung kuat D(2) disebutprimitif jika terdapat bilangan tak negatif g dan h sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D(2) terdapat (g, h)-walk dariukev. AndaikanC ={γ1, γ2, ..., γt}adalah himpunan semua cycle-cycle yang terdapat di D(2) dan didefinisikan M sebagai matriks cycle dari D(2)
orde 2× t dengan setiap kolom ke-i dari M merupakan komposisi dari cycle-cycle γi, i= 1,2, ..., t seperti berikut
M = " r(γ1) r(γ2) · · · r(γt) b(γ1) b(γ2) · · · b(γt) # .
Sebuah digraph dwiwarna D(2) adalah primitif jika dan hanya jika pembagi perseku-tuan terbesar dari determinan submatriks 2 ×2 dari M adalah ±1 (Fonarsini dan Valcher, 1997).
Lemma 2.3.1 Andaikan D(2) adalah digraph dwiwarna terhubung kuat dengan paling sedikit satu arc setiap warna. Misalkan M adalah matriks cycle dari D(2). Digraph D(2) adalah primitif jika dan hanya jika content dari matriks M adalah 1.
Contoh 2.3.4 Representasi digraph dwiwarna terhubung kuat dan primitif
Gambar 2.7 : Digraph dwiwarna primitif.
Digraph dwiwarna D(2) pada Gambar 2.7 adalah terhubung kuat yang terdiri
dari cycle v1 b → v5 r → v4 r →v3 r →v2 r → v1 dengan komposisi 4 1 dan loop v1 r → v1 dengan komposisi 1 0
, maka matriks cycle dari D(2) adalah M = 1 4 0 1 dengan
det(M) = 1. Oleh karenadet(M) = 1, maka digraph dwiwarna terhubung kuat D(2) adalah primitif.
2.4 Matriks Tak Negatif dan Eksponen Digraph Dwiwarna
Digraph dwiwarna D(2).
2.4.1 Matriks Tak Negatif
Matriks tak negatif A merupakan sebuah matriks yang setiap entri-entri aij dari A adalah bilangan bulat tak negatif, sebaliknya jika setiap entri-entri aij dari matriks A adalah bilangan bulat positif maka matriks tersebut disebut matriks positif. Per-hatikan dua buah matriks berikut ini
N = 5 0 1 3 1 7 0 2 0
, matriks tak negatif; P =
11 2 1 3 1 8 1 4 1 , matriks positif. 2.4.2 Eksponen Digraph
Eksponen dari sebuah digraph D didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terke-cil k sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan panjang k dan dinotasikan dengan exp(D).
Proposisi 2.4.1 AndaikanAadalah suatu matriks adjacency dari digraphD. Entri ak
ij dari Ak menyatakan banyak walk dari vi ke vj yang panjangnya k di digraph D.
Bukti. Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D, maka setiap entri (i, j) dariA menyatakan arc dari titikvi kevj di digraph D. Ini mengakibatkan jika k = 1, maka setiap entri a1
ij dari A1 menyatakan walk dari titik vi ke vj dengan panjang 1.
Andaikan setiap entri a(ijk) dari Ak menyatakan banyaknya walk dari titik vi ke vj yang panjangnya k di D, untuk k ≥ 1. Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa a(ijk+1) adalah banyaknya walk dari vi kevj dengan panjang k+ 1 di D dengan k ≥1.
Perhatikan setiap walk dari titikvi kevj diDdengan panjangk+1 yang terdiri dari walk vi kevl dengan panjang k untuk l = 1,2, ..., n, dan dilanjutkan dengan arc dari titikvi kevj, sehinggaa(ilk)aij menyatakan walk dengan panjang k+ 1 dari titikvi kevj diDuntukk = 1,2, ..., n. Jika tidak terdapat walk yang panjangnya k dari titik vi ke vj di D, maka ail(k) = 0 sehinggaa(ilk) aij = 0. Hal ini berakibat tidak terdapat walk yang panjangnya k+ 1 dari titikvi kevj melalui titikvl diDsehingga diperoleh banyaknya walk yang panjangnya k+ 1 dari titik vi ke vj di D adalah
a(i1k)a1j+ai(k2)a2j+...+a(ink)anj = n X i=1 ak ilalj karena Ak+1 =AkA maka a(ijk)= n X i=1 akilalj
Sehingga a(ijk+1) adalah benar menyatakan banyaknya walk dari titik vi ke titik vj yang panjangnya k+ 1 di D. Berikut ini diberikan contoh dari sebuah digraph yang akan dicari eksponennya dengan menggunakan proposisi 2.4.1.
Contoh 2.4.1 Representasi digraph dengan 3 titik dan 6 arc.
Gambar 2.8 : Digraph dengan 3 titik dan 6 arc.
Matriks adjacency dari digraph pada Gambar 2.8 adalah sebagai berikut
A= 1 1 0 0 1 1 1 0 1
Berdasarkan proposisi 2.4.1, banyaknya walk dari titik vi ke titik vj dengan panjang kdinyatakan oleh entriak
ij dari matriksAk yang semuanya positif. Eksponen dari digraph D adalah bilangan positif terkecil k yang mengakibatkan matriks Ak positif. Perhatikan matriks berikut.
a. Untukk = 1; diperoleh A1 = 1 1 0 0 1 1 1 0 1
Bukan eksponen dari digraph pada contoh 2.4.1, karena tidak terdapat walk dengan panjang 1 dari titik 1 ke titik 3, titik 2 ke titik 1 dan titik 3 ke titik 2.
b. Untukk = 2; diperoleh A2 = 1 2 1 1 1 2 2 1 1
Karena terdapat walk dengan panjang 2 dari tiap pasang titik yang ada di D, maka eksponen dari digraph pada contoh 2.4.1 adalah exp(D) = 2.
2.4.3 Eksponen Digraph Dwiwarna
Pada digraph dwiwarna D(2), eksponen dari D(2) didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecilg+hdari semua bilangan bulat tak negatifg dan hyang ada sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D(2) terdapat sebuah (g, h)-walk dari u ke v yang terdiri dari g-arc merah dan h-arc biru. Eksponen dari digraph dwiwarna D(2) dinotasikan oleh exp(D(2)).
Andaikan A dan B adalah matiks tak negatif orde m. Untuk bilangan tak negatif g dan h, didefinisikan (g, h)-Hurwitz product, (A, B)(g,h) dari A dan B adalah jumlah keseluruhan matriks dari hasil perkalian A sebanyak g kali dan B se-banyakhkali. Sebagai contoh, (A, B)(1,0) =A, (A, B)(0,1)=B, (A, B)(1,1)=AB+BA dan (A, B)(2,2)=A2B2 +ABAB+AB2A+BABA+B2A2.
maka entri (i, j) dari (R, B)(g,h) adalah jumlah (g, h)-walk dari titik uke v diD(2).
Bukti. Lemma 2.4.1 akan dibuktikan dengan induksi pada (g+h) dan (g+h+ 1), jika g = 0 maka h = 1 atau jika g = 1 maka h = 0. Jika g = 0 maka entri (i,j)
dari (R, B)(0,1) =B adalah walk dengan komposisi
0 1
diD(2). Dengan cara yang
sama, jika h = 0 maka (R, B)(1,0) = R adalah walk dengan entri (i, j) menyatakan walk dengan komposisi
1 0 diD(2).
Anggap lemma 2.4.1 benar untuk semua bilangan bulat tak negatif g0
dan h0
dengan g0
+h0
≤g+h, akan diperlihatkan untukg+h+ 1 juga benar dengan catatan sebagai berikut
(R, B)(g+1,h)=R(R, B)(g,h)+B(R, B)(g+1,h−1)
dengan induksi matematika entri (i, j) pada R(R, B)(g,h) adalah walk dari vi ke vj yang dimulai dengan arc merah diikuti oleh sebuah (g, h)-walk dan entri (i, j) pada B(R, B)(g+1,h−1) adalah jumlah walk dari vi ke vj yang dimulai dengan sebuah arc biru dan diikuti oleh sebuah (g+ 1, h−1)-walk sedemikian sehingga entri (i, j) dari (R, B)(g+1,h) adalah jumlah (g+ 1, h)-walk dari i ke j. Perhatikan contoh berikut.
Contoh 2.4.2 Reprensentasi D(2) dengan 3 titik, 3 arc merah dan 1 arc biru
Matriks adjacency merah dan biru dari Gambar 2.9 adalah R= 1 0 0 1 0 0 0 1 0 dan B = 0 0 1 0 0 0 0 0 0
Berdasarkan Lemma 2.4.1, banyaknya walk dari titikike titikjdengan panjang g +h adalah entri (i, j) dari (R, B)(g,h) yang semuanya bernilai positif, dan (g+h) terkecil dari yang demikian adalah eksponen dari matriks (R, B)(g+h). Perhatikan matriks (R, B)(g,h) berikut a. Untukg+h= 1, maka 1. (R, B)(1,0) =R = 1 0 0 1 0 0 0 1 0 2. (R, B)(0,1) =B = 0 0 1 0 0 0 0 0 0 b. Untukg+h= 2, maka 1. (R, B)(2,0) =R2 = 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2. (R, B)(0,2) =B2 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3. (R, B)(1,1) =RB+BR= 0 1 1 0 0 1 0 0 0 c. Untukg+h= 3, maka 1. (R, B)(3,0) =R3 = 1 0 0 1 0 0 1 0 0
2. (R, B)(0,3) =B3 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3. (R, B)(1,2) =RB2+B(R, B)(1,1)= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4. (R, B)(2,1) =R(R, B)(1,1)+BR2 = 1 1 1 0 1 1 0 0 1 d. Untukg+h= 4, maka 1. (R, B)(4,0) =R4 = 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2. (R, B)(0,4) =B4 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3. (R, B)(1,3) =RB3+B(R, B)(1,2)= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4. (R, B)(2,2) =R(R, B)(1,2)+B(R, B)(2,1)= 0 0 1 0 0 0 0 0 0 5. (R, B)(3,1) =R(R, B)(2,1)+BR3 = 2 1 1 1 1 1 0 1 1 d. Untukg+h= 5, maka 1. (R, B)(5,0) =R5 = 1 0 0 1 0 0 1 0 0
2. (R, B)(4,1) =R(R, B)(3,1)+BR4 = 3 1 1 2 1 1 1 1 1
Karena terdapat walk dengan panjang 5 dari tiap pasang titik pada digraph dwiwarna D(2), maka eksponen dari digraph dwiwarna D(2) pada Gambar 2.9 adalah
exp(D2) = 5, dengan komposisi
4 1
yang terdiri 4 arc merah dan 1 arc biru.
2.5 Eksponen Titik Digraph dan Digraph Dwiwarna
Pada sub-bab ini akan dibahas tentang definisi eksponen titik digraph D dan ek-sponen titik digraph dwiwarna D(2) serta contoh bagaimana menentukan eksponen titik dari digraph D dan digraph dwiwarna D(2).
2.5.1 Eksponen Titik Digraph
Misalkan D adalah sebuah digraph primitif atas n titik v1, v2, ..., vn. Untuk suatu vi di D, i = 1,2, ..., n, eksponen titik vi yang dinotasikan dengan expD(vi) adalah bi-langan bulat positif terkecilt sehingga terdapat walk dengan panjangtdarivikesetiap titik di D, dan himpunan eksponen expD(X) adalah bilangan bulat positif terkecil p sehingga untuk setiap titikvj diDterdapat sebuah walk dari paling sedikit satu titik di X ke vj dengan panjang p.
Andaikan D adalah digraph primitif orde n. Jika titik-titik di D adalah (v1, v2, ..., vn) sedemikian hingga
expD(v1)≤expD(v2)≤ · · · ≤expD(vn)
maka expD(vk) adalah tipe pertama generalisasi eksponen ke-k dari D, dinotasikan expD(vk) (Brualdi dan Liu, 1990).
Contoh 2.5.1 Berikut ini akan dicari eksponen titik dari tiap masing-masing titik di digraph D pada Gambar 2.9 dengan asumsi bahwa digraph tersebut tidak diwar-nai dengan merah dan biru. Matriks adjacency dari digraph yang demikian adalah
A= 1 0 1 1 0 0 0 1 0
Berdasarkan Proposisi 2.4.1, eksponen titik dari D diperoleh dengan melihat entri aij dari Ak, dengan entri pada baris ke-i harus bernilai positif. Perhatikan matriks Ak berikut a. Untuk k = 2, A2 = 1 1 1 1 0 1 1 0 0
. Karena semua entri pada baris pertama dari
matriks A2 sudah bernilai positif, maka exp
D(v1) = 2. b. Untuk k = 3, A3 = 2 1 1 1 1 1 1 0 1
. Karena semua entri pada baris kedua dari
matriks A3 sudah bernilai positif, maka exp
D(v2) = 3. c. Untuk k = 4, A4 = 3 1 2 2 1 1 1 1 1
. Karena semua entri pada baris ketiga dari
matriks A4 sudah bernilai positif, maka exp
D(v3) = 4.
Dengan demikian eksponen titik digraph pada Gambar 2.9 tanpa diwarnai den-gan warna merah dan biru sudah ditemukan yaitu, expD(v1) = 2, expD(v2) = 3, dan expD(v3) = 4.
2.5.2 Eksponen Titik Digraph Dwiwarna
MisalkanD(2) adalah digraph dwiwarna primitif danV(D(2)) adalah himpunan semua titik yang ada di D(2) dengan V(D(2)) = {v
1, v2, ..., vn}. Untuk suatu vi ∈ V(D(2)) danX ⊆V(D(2)),eksponen titikvi yang dinotasikan oleh exp
D(2)(vi), adalah bilangan
setiap titik di D(2), dan himpunan eksponen exp
D(2)(X) adalah bilangan bulat positif
terkecilm1+m2 sehingga untuk setiap titikvj diD(2) terdapat sebuah (m1, m2)-walk dari paling sedikit satu titik di X ke vj.
Andaikan D(2) adalah digraph dwiwarna primitif orde n. Jika titik-titik di D(2) adalah (v
1, v2, ..., vn) sedemikian hingga
expD(2)(v1)≤expD(2)(v2)≤ · · · ≤expD(2)(vk)
maka expD(2)(vk) adalah tipe pertama generalisasi eksponen titik ke-k dari digraph
dwiwarna D(2) (Gao dan Shao, 2009).
Untuk mencari eksponen titik digraph dwiwarna primitifD(2), akan dilakukan dengan operasi (g, h)-matriks Hurwitz Product R dan B yang dapat didefinisikan se-cara rekurensif. Untuk bilangan bulat tak negatif terkecil g dan h, jika k adalah adalah titik di D(2), maka semua entri pada baris ke-k dari matriks tersebut bernilai positif.
Contoh 2.5.2 Berikut ini akan dicari eksponen titik dari masing-masing titik di di-graph dwiwarnaD(2) pada Gambar 2.9, yaitu dengan melihat entri (i, j) dari (R, B)(g,h) dimana semua entri pada baris ke-iharus bernilai positif. Menggunakan Contoh 2.4.2 telah diperoleh matriks-matriks (R, B)(g,h), perhatikan bahwa
a. Untukg+h= 3 pada (R, B)(2,1)=R(R, B)(1,1)+BR2 = 1 1 1 0 1 1 0 0 1 .
Karena semua entri pada baris pertama dari matriks (R, B)(2,1) sudah bernilai positif, maka expD(2)(v1) = 3 dengan komposisi
2 1
yang terdiri dari 2-arc
merah dan 1-arc biru.
b. Untukg+g = 4 pada (R, B)(3,1)=R(R, B)(2,1)+BR3 = 2 1 1 1 1 1 0 1 1 .
positif, maka expD(2)(v2) = 4 dengan komposisi 3 1
yang terdiri dari 3-arc
merah dan 1-arc biru.
c. Untukg+h= 5 dari (R, B)(4,1)=R(R, B)(3,1)+BR4 = 3 1 1 2 1 1 1 1 1 .
Karena semua entri pada baris ketiga dari matriks (R, B)(4,1) sudah bernilai positif, maka expD(2)(v3) = 5 dengan komposisi
4 1
yang terdiri dari 4-arc
merah dan 1-arc biru.
Dengan demikian sudah ditemukan eksponen titik dari digraph dwiwarna D(2) yaitu, expD(2)(v1) = 3, expD(2) (v2) = 4, dan expD(2)(v3) = 5.
2.6 Sistem Persamaan Diophantine
Persamaan diophantine adalah suatu persamaan dalam bentuk
a1x1+a2x2+· · ·+anxn=b (1)
dengan solusi dari persamaan tersebut adalah bilangan bulat untuk semua bilangan bulat a1, a2 ,..., an , b. Andaikan bahwa n ≥ 1 dan koefisien-koefisien a1 , a2 ,..., an tak semuanya nol.
Teorema 2.6.1Persamaan (1) adalah punya solusi bulat jika dan hanya jika gcd(a1, a2, ..., an)|b.
Sistem persamaan diophantine adalah himpunan dari m persamaan diophan-tine dalamnvariabel yang sama denganmdann adalah bilangan bulat positif seperti
berikut a11x1+a12x2+· · ·+a1nxn =b1 a21x1+a22x2+· · ·+a2nxn =b2 ... am1x1+am2x2+· · ·+amnxn =bm (2)
Sistem persamaan diophantine pada persamaan (2) dapat juga diekspresikan sebagai sebuah persamaan matriks Ax = b, dimana
A= a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n .. . ... . .. ... am1 am2 · · · amn , x = x1 x2 .. . xn , b = b1 b2 .. . bm .
Perhatikan bahwa kolom-kolom dari matriksAadalah koefisien-koefisien dari variabel x1, x2, ..., xn pada persamaan (2). Sistem persamaan diophantine Ax = b adalah punya solusi bilangan bulat jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari determinan submatriks 2×2 dari A adalah ±1.
2.7 Formula Eksponen Titik Digraph Dwiwarna dengan Dua Cycle
Di bagian ini akan didiskusikan suatu cara untuk menentukan batas atas dan batas bawah eksponen titik digraph dwiwarna primitif. Suwilo (2011) menawarkan suatu teknik untuk menentukan batas atas dan batas bawah eksponen titik digraph dwi-warna primitif yang memuat dua cycle. Pertama sekali akan diberikan suatu teknik un-tuk menenun-tukan batas bawah eksponen titik digraph dwiwarna primitif pada Lemma 2.6.1 berikut.
Lemma 2.7.1 Andaikan D(2) adalah digraph dwiwarna primitif yang memuat dua cycle dengan matrik cycle M =
r(γ1) b(γ2) b(γ1) r(γ2)
dari D(2) dan terdapat sebuah (g, h)-walk dari titik vk ke setiap titik vj di D(2) dengan g h =M u v , maka u v ≥M−1 r(pk,j) b(pk,j)
untuk sembarang bilangan bulat
tak negatif u, v dan untuk suatu path p(k,j) darivk ke vj.
Bukti. Untuk sembarang j = 1,2, ..., n, misalkan pk,j adalah path dari titik vk ke titik vj. Karena D(2) memuat dua cycle maka setiap walknya dapat didekomposisi kedalam path dan cycle pada persamaan (3) berikut
g h =M x1 x2 + r(pk,j) b(pk,j) (3)
dengan x1, x2 ≥ 0. Karena D(2) primitif, maka M punya invers. Menggunakan
g h =M u v
dan persamaan (3) diperoleh persamaan berikut
M u v =M x1 x2 + r(pk,j) b(pk,j) M x1 x2 =M u v − r(pk,j) b(pk,j) x1 x2 = u v −M−1 r(pk,j) b(pk,j) ≥0 sehingga u v ≥M−1 r(pk,j) b(pk,j)
dan Lemma (2.7.1) terbukti.
Berdasarkan informasi yang ada pada pembuktian Lemma (2.7.1), diperoleh teorema berikut ini.
Teorema 2.7.1 Andaikan D(2) adalah digraph dwiwarna primitif yang terdiri dari cycle γ1 dan γ2. Misalkan vk adalah titik di D(2). Untuk sembarang titik vi dan vj di D(2), definisikan u 0 = b(γ2)r(pk,j)−r(γ2)b(pk,j) dan v0 = r(γ1)b(pk,j)−b(γ1)r(pk,j). Maka g h ≥M u0 v0 , sehingga expD(2)(vk)≥l(γ1)u0+l(γ2)v0.
Bukti. Andaikan bahwa eksponen titik vk dicapai oleh (g, h)-walk dengan g h = M u v
dan diperoleh persamaan berikut
u v ≥M−1 r(pk,j) b(pk,j) = b(γ2)r(pk,j)−r(γ2)b(pk,j) r(γ1)b(pk,j)−b(γ1)r(pk,j) (4)
untuk sembarang path pk,j dari titik vk ke titik vj.
Jika untuk sembarang titik vj, j = 1,2, ..., n diperoleh nilai b(γ2)r(pk,j) − r(γ2)b(pk,j)≥0, maka definisikan
u0 =b(γ2)r(pk,j)−r(γ2)b(pk,j)≥0 (5)
dan jika untuk sembarang titikvi,i= 1,2, ..., ndiperoleh nilair(γ1)b(pk,i)−b(γ1)r(pk,i)≥ 0, maka definisikan
v0 =r(γ1)b(pk,i)−b(γ1)r(pk,i)≥0 (6)
sehingga u≥u0 dan v ≥v0. Oleh Lemma (2.6.1) diperoleh
g h =M u v ≥M u0 v0 (7)
sehingga expD(2)(vk) =g+h≥(r(γ1) +b(γ1))u0+ (r(γ2) +b(γ2))v0 =l(γ1)u0+l(γ2)v0.
Proposisi 2.7.1 berikut ini diberikan untuk menentukan batas atas eksponen titik digraph dwiwarna primitif dari sebuah titik yang ditentukan, sebut titik terse-but v. Definisikan d(vk, v) sebagai jarak dari titik vk ke titik v, yakni panjang walk terpendek dari vk ke v.
Proposisi 2.7.1 Asumsikan D(2) adalah digraph dwiwarna primitif atasn titik. Mis-alkan v adalah sebuah titik di D(2) dengan exp
1,2, ..., n di D(2), exp
D(2)(vk)≤expD(2)(v) +d(vk, v).
Bukti. Untuk setiap k = 1,2, ..., n misalkan pk,v adalah (r(pk,v), b(pk,v))-path dari vk ke titik v dengan panjang d(vk, v). Karena eksponen titik v adalah expD(2)(v),
maka terdapat (g, h)-walk dengan panjang expD(2)(v) = g +h dari v ke setiap titik
vj, j = 1,2, ..., n. Ini menunjukan bahwa setiap titik vk di D(2) terdapat suatu (g +r(pk,v), h+b(pk,v))-walk dari titik vk ke setiap titik vj. Walk tersebut berawal dari vkmenujuv melalui (r(pk,v), b(pk,v))-path dan kemudian menujuvj melalui suatu (g, h)-walk dari v kevj. Oleh karena itu diperoleh expD(2)(vk)≤expD(2)(v) +d(vk, v)
Proposisi 2.7.2 berikut diberikan untuk menentukan batas atas eksponen titik digraph dwiwarna primitif yang memuat dua cycle.
Proposisi 2.7.2 Andaikan D(2) adalah digraph dwiwarna yang terdiri atas cycle γ 1 dan γ2. Misalkan vk adalah titik di D(2) yang terdapat pada cycle γ1 dan cycle γ2. Jika untuk setiapi= 1,2, ..., ndan sembarang bilangan bulat positifg danh, terdapat path pk,i dari vk kevi sehingga sistem persamaan
Mx + r(pk,i) b(pk,i) = g h (8)
punya solusi bilangan bulat tak negatif, maka expD(2)(vk)≤g+h.
Bukti. Misalkan bahwa solusi dari sistem persamaan (8) adalah x = (x1, x2)T. Karena D(2) adalah primitif, maka matriks cycle M adalah invertible, sehingga x
1 dan x2 tidak dapat nol kedua-duanya. Karena x1, x2 6= 0 dan kedua cycleγ1 dan γ2 memuat titik vk, maka terdapat tiga kemungkinan berikut.
Jika x1 > 0 dan x2 > 0, maka walk dari titik vk ke titik vi akan bergerak sebanyakx1kali mengelilingi cycleγ1 dan bergerak sebanyakx2kali mengelilingi cycle γ2 dan kembali lagi ke titik vk, kemudian terus bergerak menuju titikvi di sepanjang path pk,i adalah sebuah (g, h)-walk dari vk ke vi. Jika x1 = 0 dan x2 > 0, maka
walk dari titik vk ke titik vi akan bergerak sebanyakx2 kali mengelilingi cycle γ2 dan kembali lagi ke titik vk, kemudian terus bergerak menuju titik vi di sepanjang path pk,i adalah sebuah (g, h)-walk dari vk kevi. Jika x1 >0 dan x2 = 0, maka walk dari titik vk ke titik vi akan bergerak sebanyak x1 kali mengelilingi cycle γ1 dan kembali lagi ke titikvk, kemudian terus bergerak menuju titikvi di sepanjang pathpk,i adalah sebuah (g, h)-walk dari vk kevi. Dengan demikian, untuk setiap titikvi, i= 1,2, ..., n terdapat sebuah (g, h)-walk dari vk kevi, sehingga expD(2)(vk)≤g+h
